Основные уравнения механики в физике

Основные формулы по физике — МЕХАНИКА

Формулы механики. Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику. В разделе кинематика рассматриваются такие кинематические характеристики движения, как перемещение, скорость, ускорение. Здесь необходимо использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

В основе классической динамики лежат три закона Ньютона. Здесь необходимо обратить внимание на векторный характер действующих на тела сил, входящих в эти законы.

Динамика охватывает такие вопросы, как закон сохранения импульса, закон сохранения полной механической энергии, работа силы.

При изучении кинематики и динамики вращательного движения следует обратить внимание на связь между угловыми и линейными характеристиками. Здесь вводятся понятия момента силы, момента инерции, момента импульса и рассматривается закон сохранения момента импульса.

Таблица основных формул по механике

Физические законы, формулы, переменные

Формулы механики

Скорость мгновенная:

где r — радиус-вектор материальной точки,

— производная радиус-вектора материальной точки по времени.

Модуль вектора скорости:

где s — расстояние вдоль траектории движения (путь)

Скорость средняя (модуль):

Ускорение мгновенное:

Модуль вектора ускорения при прямолинейном движении:

Ускорение при криволинейном движении:

Механика

Механика является одним из разделов физики. Под механикой обычно понимают классическую механику. Механика – наука, изучающая движение тел и происходящие при этом взаимодействия между ними.

В частности, каждое тело в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве относительно других тел. Если со временем тело меняет положение в пространстве, то говорят, что тело движется, совершает механическое движение.

Механическим движением называется изменение взаимного положения тел в пространстве с течением времени.

Основная задача механики – определение положения тела в любой момент времени. Для этого нужно уметь кратко и точно указать, как движется тело, как при том или ином движении изменяется его положение с течением времени. Другими словами – найти математическое описание движения, т. е. установить сязи между величинами, характеризую­щими механическое движение.

При изучении движения материальных тел используют такие понятия, как:

• материальная точка – тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь. Это понятие используется при поступательном движении, или когда в изучаемом движении можно пренебречь вращением тела вокруг его центра масс,
• абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого не меняется. Понятие применяется, когда можно пренебречь деформацией тела.
• сплошная изменимая среда – понятие применимо, когда можно пренебречь молекулярной структурой тела. Используется при изучении движения жидкостей, газов, деформируемых твердых тел.

Классическая механика основана на принципе относительности Галилея и законах Ньютона. Поэтому, ее еще называют – механикой Ньютона.

Механика изучает движение материальных тел, взаимодействия между материальными телами, общие законы изменения положений тел со временем, а также причины вызывающие эти изменения.

Общие законы механики подразумевают, что они справедливы при изучении движения и взаимодействия любых материальных тел (кроме элементарных частиц) от микроскопических размеров до объектов астрономических.

Механика включает в себя следующие разделы:

• кинематика (изучает геометрическое свойство движения тел без причин, вызвавших это движение),
• динамика (изучает движение тел с учетом причин вызвавших это движение),
• статика (изучает равновесие тел под действием сил).

Следует отметить, что это не все разделы, которые входят в механику, но это основные разделы, которые изучает школьная программа. Кроме разделов указанных выше существует еще ряд разделов как имеющих самостоятельное значение, так и тесно связанных между собой и с указанными разделами.

• механика сплошных сред (включает в себя гидродинамику, аэродинамику, газовую динамику, теорию упругости, теорию пластичности);
• квантовая механика;
• механика машин и механизмов;
• теория колебаний;
• механика переменной масс;
• теория удара;
• и др.

Появление дополнительных разделов связано как с выходом за границы применимости классической механики (квантовая механика), так и с детальным изучением явлений происходящих при взаимодействии тел (например, теория упругости, теория удара).

Но, несмотря на это, классическая механика не теряет своего значения. Она является достаточной для описания в широком диапазоне наблюдаемых явлений без необходимости обращаться к специальным теориям. С другой стороны она проста для понимания и создает базу для других теорий.

Механика имеет большое значение для многих разделов астрономии, особенно для небесной механики (где изучаются движения планет, звезд и т. д.).

Особое значение механика имеет для техники. В гидродинамике, аэродинамике, динамике машин и механизмов, теории движения наземных, воздушных и транспортных средст используют уравнения и методы теоретической механики.

Что изучает механика в физике — основные понятие и разделы с формулами и примерами

Содержание:

Основная задача механики:

Представьте аварийную ситуацию: на одном пути оказались два поезда. Товарный поезд движется со скоростью 50 км/ч, а позади него, на расстоянии 1 км, едет экспресс со скоростью 70 км/ч. Машинист экспресса начинает тормозить. Неизбежна ли катастрофа? Сколько времени нужно экспрессу для остановки? Какой путь пройдет за это время товарный поезд? Какое наименьшее расстояние должен преодолеть экспресс до остановки? От чего это зависит? Вспомним, что на эти и многие другие подобные вопросы отвечает раздел физики, который называется «Механика».

Что изучает механика

Механика — наука, изучающая механическое движение тел и взаимодействия между телами.

Основная задача механики — познать законы механического движения и взаимодействия материальных тел, на основе этих законов предвидеть поведение тел и определять их механическое состояние (координаты и скорость движения) в любой момент времени (см., например, рис. 4.1).

Механика включает в себя несколько разделов, в частности кинематику — раздел механики, изучающий движение тел и при этом не рассматривающий причины, которыми это движение вызвано. Иначе говоря, кинематика не отвечает на вопросы типа: «Почему именно через 2 км остановится экспресс?», — она только описывает движение. А вот причины изменения движения тел рассматривают в разделе механики, который называется динамика.

Составляющие системы отсчета

Механическое движение — изменение со временем положения тела (или частей тела) в пространстве относительно других тел. Тело, относительно которого рассматривают движение всех тел в данной задаче, называют телом отсчета. Чтобы определить положение тела в пространстве в данный момент времени, с телом отсчета связывают систему координат, которую задают с помощью одной, двух или трех координатных осей (соответственно одномерную, двухмерную или трехмерную систему координат), и прибор для отсчета времени (часы, секундомер и т. п.).

Рис. 4.1. На перекрестке не произошло дорожнотранспортного происшествия, поскольку все участники движения правильно решили основную задачу механики

Тело отсчета, связанные с ним система координат и прибор для отсчета времени образуют систему отсчета (см. рис. 4.2).

Пока не выбрана система отсчета, невозможно утверждать, движется тело или находится в состоянии покоя. Например, люди, сидящие в троллейбусе, не движутся относительно друг друга, но вместе с троллейбусом они движутся относительно полотна дороги.

Рассмотрите рис. 4.2. Назовите тела или части тел, которые осуществляют механическое движение. Относительно каких тел вы рассматривали эти движения?

Когда размерами тела можно пренебречь

Любое физическое тело состоит из огромного количества частиц. Например, в 1 см3 воды содержится более 3 ·

Рис. 4.2. Составляющие системы отсчета: тело отсчета, система координат, прибор для отсчета времени

Материальная точка — это физическая модель тела, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. То же самое тело в условиях одной задачи можно считать материальной точкой, а в условиях другой — нельзя (см. рис. 4.3). Далее, если специально не оговорено, рассматривая движение тела и определяя его координаты, будем считать данное тело материальной точкой.

Рис. 4.3. Исследуя движение астероида Бенну по орбите, размером астероида можно пренебречь и считать его материальной точкой (а); планируя спуск на астероид робота, размерами астероида пренебрегать нельзя (б)

Воображаемая линия, в каждой точке которой последовательно находилась материальная точка во время движения, называется траекторией движения.

Так, траектория движения астероида Бенну — эллипс (желтая линия на рис. 4.3, а). Если определить длину участка траектории, которую описал астероид, например, за три земных месяца (оранжево-желтая линия на рис. 4.3, а), найдем путь l, который прошел астероид за это время (l ≈ 262 млн км). Путь — это физическая величина, равная длине траектории.

Перемещение

Проекция перемещения Соединим направленным отрезком (вектором) положение астероида в момент начала наблюдения и его положение в конце наблюдения (см. рис. 4.3, а). Этот вектор — перемещение астероида за данный интервал времени.

Перемещение — это векторная величина, которую графически представляют в виде направленного отрезка прямой, соединяющего начальное и конечное положения материальной точки. Перемещение считают заданным, если известны направление и модуль перемещения. Модуль перемещения s — это длина вектора перемещения.

Единица модуля перемещения в СИ — метр: [s] =1 м (m).

В большинстве случаев вектор перемещения не направлен вдоль траектории движения тела: путь, пройденный телом, обычно больше модуля перемещения (см. рис. 4.3, а). Путь и модуль перемещения оказываются равными, только когда тело движется вдоль прямой в неизменном направлении.

Приведите примеры движения тел, когда:

• а) путь равен модулю перемещения;
• б) путь больше модуля перемещения;
• в) модуль перемещения равен нулю.

Если известны начальные координаты тела и его перемещение на данный момент времени, можно определить положение тела в этот момент времени, то есть решить основную задачу механики. Однако по формулам, записанным в векторном виде, выполнять вычисления довольно сложно, ведь приходится постоянно учитывать направления векторов. Поэтому при решении задач используют проекции вектора перемещения на оси координат (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Координатный метод определения положения тела

В чем заключается относительность механического движения

Траектория, путь, перемещение и скорость движения тела зависят от выбора системы отсчета — в этом заключается относительность механического движения.

Убедитесь в относительности механического движения: рассмотрите движение точки A на лопасти винта вертолета при его вертикальном взлете, приняв, что за время наблюдения винт вертолета сделал три оборота (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Траектория, путь и перемещение вертолета в разных системах отсчета

Система отсчета «Вертолет»:

• траектория движения точки А — окружность;
• путь l — три длины окружности: l=3 ⋅ 2πR;
• модуль перемещения s= 0.

Система отсчета «Земля»:

• траектория движения точки А — винтовая линия;
• путь l — длина винтовой линии;
• модуль перемещения s — высота, на которую поднялся вертолет: s=h.

Нам кажется очевидным, что время не зависит от выбора системы отсчета. То есть интервал времени между двумя событиями имеет одно и то же значение во всех системах отсчета. Это утверждение — одна из важнейших аксиом классической механики. И это действительно так, но только тогда, когда скорость движения тела намного меньше скорости распространения света (движение именно с такими скоростями рассматривают в классической механике). Если скорость движения тела сравнима со скоростью распространения света, то время для этого тела замедляется. Движение с такими скоростями рассматривают в релятивистской механике.

Виды механического движения

Вы знаете, что по характеру движения различают равномерное и неравномерное движения, по форме траектории — прямолинейное и криволинейное движения. Внимательно рассмотрите таблицу ниже и дайте определение некоторых механических движений: равномерного прямолинейного, равномерного криволинейного, неравномерного прямолинейного, неравномерного криволинейного. Приведите собственные примеры таких движений. (Красные точки в таблице показывают положения тела через некоторые равные интервалы времени.)

Равномерное движение — движение, при котором материальная точка за любые равные интервалы времени проходит одинаковый путь

Неравномерное движение — движение, при котором материальная точка за равные интервалы времени проходит разный путь

• Механика — наука, изучающая механическое движение тел и взаимодействия между телами. Основная задача механики — познать законы механического движения и взаимодействия материальных тел, на основе этих законов предвидеть поведение тел и определять их механическое состояние (координаты и скорость движения) в любой момент времени.
• Механическое движение — изменение со временем положения тела (или частей тела) в пространстве относительно других тел. Решая задачу о механическом движении, обязательно нужно выбрать систему отсчета: тело отсчета, связанные с ним систему координат и прибор для отсчета времени.
• Материальная точка — это физическая модель тела, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Масса материальной точки совпадает с массой тела. Координаты материальной точки в двухмерной системе координат вычисляют по формулам: .
• Путь l — это физическая величина, численно равная длине траектории движения материальной точки за данный интервал времени. Перемещение  s — это векторная величина, которую графически представляют в виде направленного отрезка прямой, соединяющего начальное и конечное положения материальной точки.
• Траектория движения, путь и перемещение тела зависят от выбора системы отсчета — в этом заключается относительность механического движения.

Скорость движения. Средняя и мгновенная скорости. Законы сложения перемещений и скоростей

Переплывали ли вы реку с быстрым течением? Трудно переплыть ее так, чтобы попасть на противоположный берег прямо напротив места начала движения. А кто-то пытался подняться по эскалатору, движущемуся вниз? Тоже сложно — лучше двигаться в направлении движения эскалатора. В обоих примерах человек участвует одновременно в двух движениях. Как при этом рассчитать скорость его движения?

Равномерное прямолинейное движение тела

Самый простой вид механического движения — равномерное прямолинейное движение.

Равномерное прямолинейное движение — это механическое движение, при котором за любые равные интервалы времени тело совершает одинаковые перемещения.

Из определения равномерного прямолинейного движения следует:

• yy для описания данного движения достаточно воспользоваться одномерной системой координат, поскольку траектория движения — прямая;
• отношение перемещения к интервалу времени t, за который это перемещение произошло, для данного движения является неизменной величиной, ведь за равные интервалы времени тело совершает одинаковые перемещения.

Векторную физическую величину, равную отношению перемещения к интервалу времени t, за который это перемещение произошло, называют скоростью равномерного прямолинейного движения тела:

Направление вектора скорости движения совпадает с направлением перемещения тела, а модуль и проекцию скорости определяют по формулам:

Единица скорости движения в СИ — метр в секунду:

Из формулы для определения скорости можно найти перемещение тела за любой интервал времени:

Последнюю формулу будем записывать для проекций: — или для модулей: s =vt. Поскольку в данном случае скорость движения тела не изменяется со временем, то перемещение тела прямо пропорционально времени:

Для решения основной задачи механики — определения механического состояния тела в любой момент времени — запишем уравнение координаты. Поскольку , для равномерного прямолинейного движения уравнение координаты имеет вид:

,

где — начальная координата; — проекция скорости; t — время наблюдения. Для описания движения удобно использовать графики (рис. 5.1) — они так же полно описывают движение тел, как и формулы или словесное описание.

Определите скорости движения автомобиля и велосипеда, а также их перемещения за 4 с наблюдения (рис. 5.1). На каком расстоянии друг от друга они будут через 4 с после начала наблюдения?

Рис. 5.1. Графики равномерного прямолинейного движения. Велосипед и автомобиль движутся вдоль оси ОХ: велосипед — в направлении оси ОХ, автомобиль — в противоположном направлении. Турист сидит на обочине

Какую скорость показывает спидометр

Как правило, мы имеем дело с неравномерным движением. Такое движение характеризуется средней путевой скоростью, средней векторной скоростью, мгновенной скоростью (см. таблицу ниже).

Характеристики средней путевой, средней векторной, мгновенной скоростей

Приведем пример. Из соображений безопасности в населенных пунктах установлено ограничение скорости движения транспортных средств 50 км/ч. Если водитель 10 мин мчится со скоростью 80 км/ч, а следующие 10 мин «ползет в тянучке» со скоростью 20 км/ч, средняя скорость движения автомобиля не превышает 50 км/ч, вместе с тем скоростной режим водителем был нарушен, а движение автомобиля вряд ли можно считать безопасным.

Далее, говоря о скорости движения тела, будем иметь в виду его мгновенную скорость.

При прямолинейном равномерном движении мгновенная скорость все время остается неизменной и совпадает со средней векторной скоростью движения тела. В любом другом случае мгновенная скорость движения тела изменяется: по направлению — при криволинейном равномерном движении; по значению, иногда по направлению (направление может изменяться на противоположное) — при прямолинейном неравномерном движении; по направлению и значению одновременно — при криволинейном неравномерном движении.

Какую скорость движения показывает спидометр: среднюю векторную? среднюю путевую? мгновенную?

Законы сложения перемещений и скоростей

Рассмотрим движение тела в разных системах отсчета (СО). Пусть таким телом будет собака, которая движется равномерно прямолинейно по плоту, плывущему по реке (рис. 5.2).

Очевидно, что скорость движения плота равна скорости течения реки. За движением собаки следят наблюдатель и наблюдательница, причем наблюдательница находится на берегу (ловит рыбу), а наблюдатель (вместе с собакой) — на плоту. Наблюдатель и наблюдательница измеряют перемещение собаки и время ее движения. Время движения собаки для обоих наблюдателей одинаково, а вот перемещения будут отличаться. Предположим, что за некоторое время t собака перебежала на другой край плота.

Перемещение собаки относительно плота (его измерил наблюдатель) приблизительно равно по модулю ширине плота и направлено перпендикулярно течению реки. Перемещение собаки относительно берега (измеренное наблюдательницей) равно по модулю длине отрезка OA и направлено под некоторым углом к течению реки. Сам плот за это время сместился по течению и совершил перемещение относительно берега.

Рис. 5.2. К выводу закона сложения перемещений и скоростей

Из рис. 5.2 видим: . Свяжем с берегом систему координат XOY — получим неподвижную систему отсчета. С плотом свяжем систему координат X′O′Y′ — получим подвижную систему отсчета.

Теперь можно сформулировать закон сложения перемещений: Перемещение тела в неподвижной системе отсчета равно геометрической сумме перемещения тела в подвижной системе отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной:

Разделив обе части уравнения на время движения и учитывая, что , получим закон сложения скоростей:

Скорость движения тела в неподвижной системе отсчета равна геометрической сумме скорости движения тела в подвижной системе отсчета и скорости движения подвижной системы отсчета относительно неподвижной:

Обратите внимание! Движение и покой относительны, поэтому в нашем примере в качестве неподвижной можно было выбрать СО, связанную с плотом. В таком случае СО, связанная с берегом, была бы подвижной, а направление ее движения было бы противоположным направлению течения.

Пример №1

Рыбак переплывает реку на лодке, удерживая ее перпендикулярно направлению течения. Скорость движения лодки относительно воды — 4 м/с, cкорость течения реки — 3 м/с, ширина l реки — 400 м.

Определите: 1) за какое время t лодка переплывет реку и за какое время лодка переплыла бы реку, если бы не было течения; 2) модуль перемещения s и модуль скорости v движения лодки относительно берега; 3) на каком расстоянии вниз по течению от исходной точки лодка достигнет противоположного берега.

Анализ физической проблемы. В качестве неподвижной выберем СО, связанную с берегом, в качестве подвижной — СО, связанную с водой. На пояснительном рисунке изобразим векторы скорости: движения лодки относительно берега (), движения лодки относительно воды ( ), течения реки ().

Дано:

= 4 м/с, = 3 м/с, l = 400 м

Решение:

1) В СО, связанной с водой, лодка совершила перемещение , которое по модулю равно ширине реки: = l. Скорость движения лодки относительно воды . Таким образом, время движения лодки:

Видим, что время движения лодки не зависит от скорости течения реки, поэтому, если бы не было течения, лодка переплыла бы реку за то же время: = t =100 с.

2) Модуль скорости лодки относительно берега найдем по теореме Пифагора:

Лодка движется равномерно, поэтому перемещение s лодки относительно берега:

3) Зная время t движения лодки и скорость течения реки, определим расстояние , на которое лодку снесло вниз по течению:

Ответ: t== 1 мин 40 с; s = 500 м; v = 5 м/с ; = 300 м.

Физика в цифрах

• 1600 км/ч — скорость движения точек экватора; обусловлена вращением Земли вокруг своей оси.
• Около 110 000 км/ч — скорость движения Земли вокруг Солнца, а следовательно, и всех нас.
• Свыше 780 000 км/ч — скорость, с которой Солнечная система (а следовательно, и все мы) летит в космическом пространстве относительно центра Галактики.

Так с какой же скоростью мы движемся? Единого ответа нет — все зависит от системы отсчета!

• Равномерное прямолинейное движение — это механическое движение, при котором тело за любые равные интервалы времени совершает одинаковые перемещения. При равномерном прямолинейном движении: — график зависимости — отрезок прямой, параллельной оси времени; — проекцию перемещения вычисляют по формуле: ; график зависимости — отрезок прямой, который начинается в начале координат; — уравнение координаты имеет вид:.
• Если движение тела неравномерно, для его описания используют такие физические величины: средняя векторная скорость ; средняя путевая скорость ; мгновенная скорость — средняя векторная скорость за бесконечно малый интервал времени: .
• Скорость движения тела в неподвижной СО равна геометрической сумме скорости движения тела в подвижной СО и скорости подвижной СО относительно неподвижной СО: .

Равноускоренное прямолинейное движение

Существуют автомобили — их называют драгстеры, — которые имеют мощность большую, чем самолет «Боинг». Представляете, какую скорость может развить такой автомобиль за короткое время? Вот показатели одного из драгстеров: за 0,5 с он развил скорость 32 м/с, за 1,0 с — 51 м/с, за 3,8 с достиг максимальной скорости — 143 м/с! Вспомним, как по этим показателям найти расстояние, которое преодолел драгстер.

Если тело движется неравномерно, скорость его движения непрерывно изменяется. Векторную физическую величину, характеризующую быстроту изменения скорости движения тела и равную отношению изменения скорости к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло, называют ускорением движения тела:

Из курса физики 9 класса вы знаете, что равноускоренное прямолинейное движение — это движение с неизменным ускорением, то есть движение, при котором скорость движения тела изменяется одинаково за любые равные интервалы времени. Ускорение равноускоренного прямолинейного движения определяют по формуле:

где — начальная скорость движения тела; — скорость движения тела через некоторый интервал времени t.

Мы будем использовать данную формулу, записанную в проекциях на ось координат, например на ось OX:

Единица ускорения в СИ — метр на секунду в квадрате:

Рис. 6.1. Увеличение или уменьшение скорости движения тела не зависит от выбора направления оси ОХ, а зависит от направления действия силы

• Направление ускорения движения тела совпадает с направлением равнодействующей сил, действующих на тело (см. рис. 6.1).
• Если ускорение равно нулю, скорость движения тела не изменяется ни по значению, ни по направлению: , то есть тело движется равномерно прямолинейно. Равномерное прямолинейное движение — это частный случай равноускоренного прямолинейного движения.
• При равноускоренном движении ускорение постоянно, поэтому график проекции ускорения (график зависимости — отрезок прямой, параллельной оси времени (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Графики зависимости ax(t) для равноускоренного прямолинейного движения

Скорость равноускоренного прямолинейного движения

Из формулы для проекции ускорения получим уравнение проекции скорости для равноускоренного прямолинейного движения:

Если задано уравнение проекции скорости движения тела, то заданы и начальная скорость ( ) , и ускорение движения этого тела. Например, уравнение проекции скорости имеет вид: . Это означает: (начальная скорость движения равна 5 м/с, а ее направление противоположно направлению оси OX); (ускорение движения равно 3 м/с2, а его направление совпадает с направлением оси OX).

Зависимость является линейной, поэтому график проекции скорости — график зависимости — это отрезок прямой, наклоненной под некоторым углом к оси времени (рис. 6.3, 6.4).

Рис. 6.3. Графики зависимости для равноускоренного прямолинейного движения. Тело 1 все время набирает скорость, поскольку . Тело 2 сначала замедляет свое движение, поскольку (участок AB), затем останавливается (точка B), после чего увеличивает скорость , двигаясь в противоположном направлении (участок BC)

Чем больше ускорение движения тела, тем больше угол a наклона графика проекции скорости к оси времени (см. рис. 6.4).

Рис. 6.4. Болид движется с большим ускорением, чем автомобиль, поэтому . Ускорение движения велосипедиста равно нулю

Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении

Вы уже знаете о геометрическом смысле проекции перемещения: перемещение тела численно равно площади фигуры под графиком зависимости проекции скорости движения тела от времени. Мы доказывали это утверждение для равномерного движения. Рассмотрим пример равноускоренного движения:

Видим, что при равноускоренном движении проекция перемещения численно равна площади трапеции под графиком зависимости (формулу для определения площади трапеции вы знаете из курса геометрии):

Приняв во внимание, что , получим уравнение зависимости проекции перемещения от времени для равноускоренного прямолинейного движения:

При таком движении начальная скорость () и ускорение () движения тела не изменяются, поэтому зависимость проекции перемещения sx от времени t является квадратичной, а график этой зависимости — парабола, вершина которой соответствует точке разворота (рис. 6.5). Во многих задачах речь не идет о времени движения тела.

В таких случаях для расчета неизвестных величин используют формулу:

Получите последнюю формулу самостоятельно, воспользовавшись формулой и определением ускорения.

Координату тела при любом движении определяют по формуле , поэтому для равноускоренного прямолинейного движения уравнение координаты имеет вид:

Таким образом, зависимость x(t) , как и зависимость , является квадратичной, а график этой зависимости — парабола (рис. 6.6).

Свободное падение и криволинейное движение под действием постоянной силы тяжести

«Человек — пушечное ядро» — цирковой номер с таким названием впервые был показан в 1877 г. в Лондоне. 16-летнюю воздушную гимнастку поместили в дуло «пушки», произвели выстрел, и девушка, пролетев над головами восхищенных зрителей, опустилась на страховочную сетку. Современные аналогичные «пушки» — это огромные пневматические пистолеты. Как они работают, предлагаем вам узнать самостоятельно, а сейчас рассмотрим, на какие законы опираются создатели подобных аттракционов.

Аристотель утверждал: чем тело тяжелее, тем быстрее оно падает на Землю. Однако вы знаете: так будет, если движение примерно одинаковых по размеру тел будет происходить в воздухе, а вот при отсутствии воздуха все тела — независимо от их массы, объема, формы — падают на Землю одинаково (рис. 7.1). Падение тел в безвоздушном пространстве, то есть падение только под действием силы тяжести, называют свободным падением.

В случае свободного падения все тела падают на Землю с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения ().

• Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз.
• Ускорение свободного падения впервые измерил нидерландский математик, астроном и физик Христиан Гюйгенс (1629–1695) в 1656 г. Вблизи поверхности Земли, то есть на небольшом (по сравнению с радиусом Земли) расстоянии, оно приблизительно равно 9,8 м/с2.

Свободное падение каких тел мы будем рассматривать:

Характер движения тела в поле тяготения Земли достаточно сложен (рис. 7.2), и его описание выходит за рамки школьной программы. Поэтому примем ряд упрощений.

• Систему отсчета, связанную с точкой на поверхности Земли, будем считать инерциальной.
• Будем рассматривать движение тел, находящихся вблизи поверхности Земли. Тогда кривизной поверхности Земли можно пренебречь, а ускорение свободного падения считать неизменным. При решении задач будем считать, что g =10 м/с2, если не указано иное.
• Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Это упрощение не повлечет серьезного искажения результатов только тогда, когда тела достаточно тяжелые, небольшие по размеру, а скорость их движения достаточно мала. Именно такие тела будем рассматривать далее.

Как движется тело, брошенное вертикально

Наблюдая за движением небольших тяжелых тел, брошенных вертикально вниз или вертикально вверх либо падающих без начальной скорости, видим, что траектория их движения — отрезок прямой. К тому же эти тела движутся с неизменным ускорением.

Движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз, — это равноускоренное прямолинейное движение с ускорением, равным ускорению свободного падения:

Вспомним формулы, описывающие равноускоренное прямолинейное движение, учтем, что при описании движения тела по вертикали векторы скорости, ускорения и перемещения традиционно проецируют на ось OY, и получим ряд формул, которыми описывают свободное падение тел (см. таблицу).

Формулы для расчета кинематических характеристик свободного падения

Равноускоренное движение вдоль оси OX	Свободное падение вдоль оси OY
Проекция скорости движения
Проекция перемещения
Уравнение координаты

Пример №2

С вертолета, который висит на высоте 45 м над озером, сбросили небольшой тяжелый предмет. 1) Через какой интервал времени предмет упадет в озеро? 2) Какой будет скорость движения предмета в момент касания воды? 3) Определите соотношение перемещений предмета за любые равные интервалы времени ∆t.

Анализ физической проблемы. Выполним пояснительный рисунок (рис. 1). Ось OY направим вертикально вниз. Начало координат пусть совпадает с положением тела в момент начала падения. Скорость движения тела в этот момент равна нулю.

Решение:

Запишем уравнения проекции перемещения и проекции скорости движения тела:

Конкретизируем эти уравнения (перейдем от проекций к модулям). Из рис. 1 видно:

Проверим единицы, найдем значения искомых величин:

Для ответа на вопрос 3 воспользуемся геометрическим смыслом перемещения (рис. 2).

Свободное падение тел — равноускоренное прямолинейное движение, поэтому график зависимости — это отрезок прямой, который начинается в точке . Видим, что за первый интервал времени ∆t перемещение тела численно равно площади одного треугольника (площадь фигуры под графиком): ; за второй интервал времени ∆t — площади трех треугольников: ; за третий интервал времени ∆t — площади пяти треугольников: и т. д.

Ответ:

Если тело свободно падает без начальной скорости, перемещения тела за равные последовательные интервалы времени относятся как нечетные числа:

Это свойство касается любого равноускоренного движения без начальной скорости. Так, если за первую секунду тело прошло 5 м, за вторую оно пройдет 3 5⋅ =15 м, за третью — 5 5⋅ = 25 м, за четвертую — 7⋅5=35 м и т. д.

Что падает быстрее:

Представим, что с моста в горизонтальном направлении бросили каштан и в то же мгновение выпустили из руки второй каштан. Какой каштан упадет в воду быстрее? На самом деле оба каштана, если им ничего не помешает, упадут в воду одновременно.

Итак, движению тела в вертикальном направлении «не мешает» его движение в горизонтальном направлении, и наоборот. В данном случае мы имеем дело с проявлением принципа независимости движений, в соответствии с которым любое сложное движение можно рассматривать как сумму двух (или более) простых движений. Воспользовавшись специальным устройством и видеокамерой мобильного телефона, можем легко подтвердить это (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Шарик 1, свободно падающий без начальной скорости, и шарик 2, брошенный горизонтально, все время находятся на одинаковой высоте и на пол падают одновременно

Движение тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту

Воспользовавшись принципом независимости движений, рассмотрим движение тела, которому вблизи поверхности Земли сообщена некоторая не вертикальная скорость. Напомним: сопротивление воздуха будем считать пренебрежимо малым, то есть движение происходит только под действием силы тяжести с ускорением . Такое движение удобно рассматривать как результат сложения двух независимых движений (рис. 7.4):

1. Горизонтального — равномерного вдоль оси OX (поскольку = 0), которое описывается уравнениями:
2. Вертикального — равноускоренного (с ускорением ) вдоль оси OY, которое описывается уравнениями: .

• Модуль и направление скорости движения тела в произвольной точке траектории находим, воспользовавшись теоремой Пифагора и определением тангенса (см. рис. 7.4): .
• Если из уравнения найти t и подставить полученное выражение в уравнение , получим уравнение траектории движения тела, имеющее вид квадратичной функции: .

Таким образом, траектория движения тела, которому вблизи поверхности Земли сообщена начальная скорость, является параболической (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Траектория тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, является параболической, а ее кривизна зависит от модуля и направления начальной скорости

Пример №3

Мотоциклист, двигавшийся горизонтально по горной дороге со скоростью 15 м/с, не затормозил перед поворотом, и его мотоцикл упал в сугроб с высоты 20 м. 1) Сколько времени падал мотоцикл? 2) Какова горизонтальная дальность полета мотоцикла? Как, по вашему мнению, изменится ли эта дальность в реальной ситуации? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Выберем систему отсчета: начало координат свяжем с местом, где мотоцикл начал падение, ось OY направим вертикально вниз, ось ОХ — в направлении начальной скорости t движения мотоцикла (см. рисунок). —

В выбранной системе отсчета движение:

вдоль оси ОХ — равномерное:

вдоль оси ОY — равноускоренное:

Следовательно, уравнения (1) и (2) принимают вид:

Обратите внимание! Выделенные формулы справедливы для описания движения любого горизонтально брошенного тела.

1) Определим время падения мотоцикла:

2) Вычислим дальность полета:

Проанализируем результат. Очевидно, что в реальной ситуации дальность полета будет меньше, ведь движению мешает сопротивление воздуха. Однако это не означает, что падение будет более безопасным. Будьте осторожны и внимательны на дорогах!

Ответ: t = 2 с; L = 30 м.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Прочитав о рекордах скорости спортивных снарядов, ученица решила выяснить, какую скорость она придает футбольному мячу. Для этого девочка ударила по мячу, направив его под углом 45° к горизонту (см. рис. 7.6). Мяч упал на землю на расстоянии 40 м от ученицы. Выполнив расчеты, девочка решила, что она придала мячу скорость 20 м/с, а мяч поднялся на высоту 8 м. Не ошиблась ли юная футболистка?

Рис. 7.6. По направлению и дальности полета мяча можно определить, какую скорость вы придали мячу при ударе или броске

Пример №4

Футболистка ударила по мячу, сообщив ему скорость v0 , направленную под углом a к горизонту. Определите дальность полета и максимальную высоту подъема мяча.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок (рис. 1): начало координат свяжем с точкой на поверхности Земли, где мяч оторвался от бутсы футболистки; ось OY направим вертикально вверх; ось ОХ — горизонтально.

В выбранной системе отсчета движение:

Поэтому уравнения (1) и (2) принимают вид:

Время движения мяча до верхней точки траектории (точки А) найдем из условия . :

Координата y мяча в точке А — это максимальная высота подъема мяча:

После подстановки получаем формулы для определения максимальной высоты подъема и общего времени движения мяча:

Дальность L полета мяча равна координате х тела в конце движения (x=L) :

Поскольку .

Обратите внимание! Из последней формулы следует:

• если бросить тело под углом a, а затем под углом 90° − α , то дальность полета не изменится, то есть тело попадет в ту же точку, двигаясь разными траекториями (рис. 2);
• максимальной дальности полета тело достигает при α = 45° (sin2α = 1) .

• Падение тел в безвоздушном пространстве, то есть падение только под действием силы тяжести, называют свободным падением.
• В случае свободного падения все тела падают на Землю с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения () . Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз; по модулю g = 9,8 м/с2 (g 10 м/с2).
• Движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз, — это равноускоренное прямолинейное движение с ускорением, равным ускорению свободного падения: .
• Траектория движения тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту, — параболическая. Такие движения рассматривают как результат сложения двух простых движений: горизонтального — равномерного вдоль оси OX и вертикального — равноускоренного (с ускорением ) вдоль оси OY. При этом уравнения зависимостей проекции скорости и координаты от времени имеют вид:

Равномерное движение по окружности

В древности воины использовали пращу — простое оружие для метания камней, ядер и т. п.: на среднюю часть сложенной веревки (или полоски кожи) помещали «снаряд», раскручивали веревку по круговой траектории и отпускали один конец — «снаряд» летел к цели. Почему «снаряд» не продолжает двигаться по окружности, а ведет себя так, будто его бросили в определенном направлении с очень большой скоростью?

Каковы особенности криволинейного движения

Движение по окружности — это криволинейное движение, а любое криволинейное движение гораздо сложнее прямолинейного.

• Во-первых, при криволинейном движении изменяются как минимум две координаты тела.
• Во-вторых, непрерывно изменяется направление вектора мгновенной скорости: этот вектор всегда совпадает с касательной к траектории движения тела в рассматриваемой точке и направлен в сторону движения тела (рис. 8.1, 8.2).
• В-третьих, криволинейное движение — это всегда движение с ускорением: даже если модуль скорости остается неизменным, направление скорости непрерывно изменяется.

Что такое линейная скорость

Скалярную физическую величину, которая характеризует криволинейное движение и равна средней путевой скорости, измеренной за бесконечно малый интервал времени, называют линейной скоростью движения тела:

Поскольку для очень малых интервалов времени модуль перемещения (∆s) приближается к длине участка траектории (∆l) (см. рис. 8.1), линейная скорость в данной точке равна модулю мгновенной скорости. Именно линейную скорость имеют в виду, когда, например, характеризуют движение автомобиля на повороте, описывают движение частицы в ускорителе, говорят о скорости полета искусственных спутников Земли и т. п.

Рис. 8.1. Разбивая траекторию движения тела на все меньшие участки ∆l , видим, что вектор скорости все больше приближается к касательной (а, б). В данной точке мгновенная скорость направлена вдоль касательной к траектории движения тела (в)

Рис. 8.2. Скорости движения искр фейерверка, брызг из-под колес автомобиля, металлических опилок направлены по касательной к окружности. Именно в этом направлении частицы продолжают свое движение после отрыва

Со временем линейная скорость может оставаться неизменной, а может изменяться. В зависимости от этого в физике рассматривают равномерное криволинейное движение (движение с постоянной линейной скоростью) и неравномерное криволинейное движение (движение с изменяющейся линейной скоростью). При равномерном криволинейном движении за любые равные интервалы времени тело проходит одинаковый путь, потому линейную скорость движения тела можно определить по формуле:

где l — путь, пройденный телом за время t. Описывать криволинейное движение достаточно сложно, ведь форм криволинейных траекторий — множество. Однако практически любую сложную криволинейную траекторию можно представить как совокупность дуг различных радиусов, а криволинейное движение рассматривать как движение по окружности (рис. 8.3).

Рассмотрим самый простой вид криволинейного движения — равномерное движение по окружности.

Равномерное движение по окружности

Равномерное движение тела по окружности — это такое криволинейное движение, при котором траекторией движения тела является окружность, а линейная скорость не изменяется со временем. Из курса физики 7 класса вы знаете, что равномерное движение по окружности достаточно часто является периодическим движением, а следовательно, характеризуется такими физическими величинами, как период и частота.

Период вращения Т — физическая величина, равная интервалу времени, за который тело совершает один оборот: (N — число оборотов за интервал времени t). Единица периода вращения в СИ — секунда: [T] = 1 c.

Частота вращения n — физическая величина, численно равная количеству оборотов тела за единицу времени: . Единица частоты вращения в СИ — оборот в секунду:

Период и частота вращения — взаимно обратные величины: . Зная период вращения и радиус круговой траектории, легко определить линейную скорость v равномерного движения тела по окружности. Действительно, за время одного оборота (t=T) тело проходит путь, равный длине окружности: l=2πr. Поскольку , имеем: (1)

Для характеристики равномерного движения тела по окружности кроме линейной скорости часто используют угловую скорость.

Угловая скорость — это физическая величина, численно равная углу поворота радиуса за единицу времени:

где ω — угловая скорость; ϕ — угол поворота радиуса за интервал времени t (рис. 8.4). Единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду:

.

Рис. 8.4. Равномерное движение тела по окружности: r — радиус окружности;  v — вектор мгновенной скорости в точке B; ϕ — угол поворота радиуса

За время, равное одному периоду (t=T), радиус совершает один оборот (ϕ = 2π), поэтому угловую скорость можно вычислить по формуле: (2)

Из формул (1) и (2) следует, что угловая и линейная скорости связаны соотношением:

Почему при равномерном движении тела по окружности ускорение называют центростремительным

Определим направление ускорения при равномерном движении тела по окружности. По определению , поэтому направления векторов ускорения и изменения скорости совпадают . Определим направление вектора изменения скорости (рис. 8.5, а). Видим, что вектор направлен к середине окружности, так же направлен и вектор ускорения . Докажем, что вектор направлен непосредственно к центру окружности, то есть вдоль радиуса. Поскольку мгновенная скорость движения тела направлена по касательной, а касательная перпендикулярна радиусу r, нужно доказать, что .

Рис. 8.5. Определение направления ускорения равномерного движения тела по окружности

Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что вектор ускорения (серая стрелка на рис. 8.5, б) не перпендикулярен вектору мгновенной скорости . Однако в таком случае скорость тела будет увеличиваться, если > 0, и уменьшаться, если

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.