Основные уравнения поверхности дифференциальная геометрия

Содержание

2. Связь между дифференциалами в декартовой и криволинейной системах координат

Список литературы

Введение

Наблюдая длительный период развития математики, можно заметить, что диалектически происходит периодическая смена двух основных взглядов на восприятие и описание закономерностей окружающей действительности. В одни эпохи идет алгебраизация с ее формализацией и логическим структурированием языка, торжествуют аксиоматические подходы, иногда в ущерб наглядности и даже возможным приложениям. В другие эпохи главенствует геометризация с ее стремлением к интуитивной наглядности, визуализации, к «картинкам», иногда в ущерб даже формальной строгости доказательств. Психологи утверждают, что и индивидуумы делятся на «левополушарных» и «правополушарных», одни из них тяготеют к счету, к абстракции, другие — к наглядности, к геометрии, к моделям.

Сейчас, как нам кажется, имеется тенденция к очередной геометризации, модельности и, следовательно, к воспитанию навыков образного мышления. Мы обращали уже внимание в наших методических указаниях [5] на то, что эта задача становится особенно актуальной в связи с возрастающим количеством нелинейных задач,возникающих в современной физике и технике, решения которых приводят к сложным визуализациям результатов численных расчетов и экспериментов. Мыслительные процессы человека, такие как инженерное проектирование, научно-теоретическое изучение явлений и их связей, оперируют образами, визуальными формами.

Обучение методам образного мышления является большой и серьезной задачей. В данном пособии делается очередной шаг в этом направлении. Учебников и монографий по геометрии много, и неисчислимо много всевозможных методических пособий по тем или иным частным вопросам. Чем же предлагаемые вниманию читателя методические указания отличаются от остальных?

Один из соавторов из личных пристрастий время от времени вкрапляет в читаемый им на физическом факультете курс математического анализа элементы дифференциальной геометрии; другой соавтор в свое время, будучи студентом, активно воспринял эти «вкрапления»; третий, которому удалось продвинуть недавно некоторые трудные вопросы нелинейной физики, поставил второму задачу о большом изгибе мембраны, которую они решали, опираясь на аппарат дифференциальной геометрии, а результат этой работы вышел, по сути, за рамки классической теории. Сама работа получила медаль Российской академии наук на конкурсе научных работ студентов вузов за 1998 год.

Таким образом, дифференциальная геометрия является типичным рабочим инструментом в некоторых актуальных областях современной нелинейной физики и механики. Мы надеемся, что это пособие будет помогать в работе физикам и механикам, как инженерам, так и теоретикам.

Эта работа подготовлена аспирантом (К.Г. Охоткиным) и преподавателями (В.А. Степаненко и Ю.В. Захаровым) и является одним из результатов сотрудничества в рамках Межвузовского инженерно-физического отделения.

Мы благодарны всем, помогавшим изданию работы.

1. Определение поверхности

Любой однозначной функции двух переменных w = f ( x , y ) можно поставить во взаимнооднозначное соответствие поверхность (ее график), погруженную в обычное евклидово пространство R 3 , с декартовыми координатами x , y , w . Соответственно в цилиндрических координатах r , φ , w поверхность будет описываться функцией w = f(r, φ) (рис. 1). Такой способ задания поверхности называют явным.

Рис. 1. График поверхности в декартовых координатах

На поверхности можно вводить криволинейную сетку поверхностных координат. Например, l_x , l_y – поверхностные криволинейные координаты, которые получаются в результате сечения поверхности семейством вертикальных плоскостей wox и woy ( рис. 1 ) . Соответственно в цилиндрических координатах можно ввести криволинейные координаты l _r , l _φ , где l _r – криволинейный радиус, получаемый с помощью сечения поверхности плоскостью wor , а l_φ = r φ – дуга окружности. Задаваемые таким образом на поверхности криволинейные координаты являются в общем случае косоугольными (углы между координатными линиями на поверхности не всегда прямые, как в случае ортогональных координат).

2. Связь между дифференциалами в декартовой и криволинейной системах координат

Введем угол наклона касательной θ_x к кривой, получаемой сечением поверхности w = f(x, y) вертикальной плоскостью wo x , в текущей точке x (рис. 2). Аналогично вводятся углы θ _y и θ _r для цилиндрической системы координат.

Рис. 2. Сечение wo x поверхности w = f ( x , y )

Напишем основные выражения, связывающие дифференциалы в декартовой системе координат dx, dy и в криволинейной системе координат dl_x, dl_y. Имеем в сечениях wo x (рис. 2)

, , (1)

, , ; (2)

для сечений wo y : , , .

Соответствующие формулы верныив цилиндрических координатах для сечения wo r . Можно также сказать, что формулы (2) задают неявно связь между декартовыми переменными и криволинейными длинами на поверхности, в общем случае x ( l_x , l_y ), y ( l_x , l_y ), z ( l_x , l_y , θ_x , θ_y ).

3. Элемент поверхности. Замена переменных

А. Изменение при переходе из одной системы координат (x, y) в другую (u, v) элемента площади dS₀ в двумерном случае

Рассмотрим малый элемент площади dS₀ в плоскости (x, y) (рис. 3).

.

Его дифференциал в произвольном направлении l

.

Площадь малого элемента dS₀ построим как модуль векторного произведения двух векторов:

,

где J – определитель матрицы якобиана перехода. Т.е. dS ₀ = dxdy = Jdudv . В современной дифференциальной геометрии переход осуществляется введением дифференциальной формы ω = dS₀ = dx ^ dy = J du ^ dv, где ^ — внешнее произведение. (См., например, [1], [2] ). Приведем пример для полярной системы координат:

Б. Замена системы координат для элементарной площадки на поверхности

Необходимость выражения дифференциала площади элемента поверхности в различных криволинейных координатах возникает, прежде всего, в процессе вычисления поверхностных интегралов, при переходе к двойному интегралу. Введем обозначения: dS – поверхностный элемент площади (рис. 4), dS ₀ – площадь элемента, лежащего в плоскости xoy , или проекция на эту плоскость dS, т.е. dS₀ = d S cosγ , где , – вектор нормали. Криволинейные ортогональные координаты на поверхности — u , v . Поверхность задана явно, w = f(x, y). Радиус-вектор текущей точки — имеет компоненты:

Это задание поверхности в параметрической форме. Построим математическую модель площади с помощью векторного произведения дифференциалов радиус-вектора, аналогично пункту А:

. (3)

Выражение называется детерминантом первой квадратичной формы, см. следующий пункт, (6). В частном случае, когда в качестве криволинейных координат выбираются собственно декартовые координаты, имеем

.

Пример : элемент площади в цилиндрических координатах и при осевой симметрии,

когда w = f ( r ) и d / d φ = 0, имеет вид:

. (4)

4. Исследование поверхности с помощью аппарата квадратичных форм

А. Первая квадратичная форма I

В каждой точке поверхности можно ввести квадратичную форму

, (5)

где (ξ, η) – криволинейные поверхностные координаты.

Общеприняты следующие обозначения для коэффициентов формы:

Поясним геометрический смысл первой формы. Пусть – радиус-вектор. Его дифференциал

, (7)

, (8)

где dl – элемент дуги поверхности в произвольном направлении l. Таким образом, первая квадратичная форма определяет квадрат dl. Определим коэффициенты формы, подставив (7) в (8):

,

, (9)

.

Если χ — угол между касательными векторами (между координатными линиями на поверхности в текущей точке), то . Для ортогональных координат на поверхности χ = π/2, a₁₂ = 0.

Введем обозначение для детерминанта квадратичной формы

. (10 )

Рассмотрим рис. 5. В текущей точке M построим касательные векторы и . Плоскость L, проведенная через них, является касательной плоскостью к поверхности в точке М. Линия, перпендикулярная к плоскости и проведенная через точку М, является нормалью в текущей точке к поверхности. Ее направление определяется векторным произведением касательных векторов. Единичный вектор нормали находим из следующего выражения:

. (11 )

Рис. 5. Координатные векторы в точке М

Таким образом, первая квадратичная форма описывает поверхность в первом приближении, когда малый участок поверхности заменяется на участок касательной плоскости. Первая квадратичная форма определяет углы между линиями и длины дуг на поверхности, а также площади любых участков поверхности (см. (3) ). Малый элемент площади поверхности

, (12 )

где — криволинейные дифференциалы на поверхности, получаемые по формулам типа (1), (2) .

Б. Вторая квадратичная форма II

Вторая квадратичная форма описывает поверхность во втором приближении. Она показывает, как отклоняется поверхность от касательной плоскости, и полностью определяет кривизну поверхности.

. (13 )

Коэффициенты формы определяются следующими выражениями:

,

, (14 )

.

В. Исследование кривизны поверхности

Для двумерного случая скалярной кривизной кривой, лежащей в плоскости, называется величина

, (15 )

взятая в текущей точке кривой.

Здесь все векторы лежат в одной плоскости. В литературе часто встречаются определения кривизны (15) с разными знаками, которые можно трактовать различно, в зависимости от конкретной задачи. Общий физический смысл: кривизна кривой линии пропорциональна моменту сил, изгибающих ее.

Для пространственного случая нормальной кривизной линии l , получаемой нормальным сечением поверхности, называется величина

, (16 )

взятая в текущей точке линии. Если вертикальное и нормальное сечения совпадают, то совпадают и величины кривизн (15) и (16). Кривизна κ в произвольном наклонном сечении определяется из (16) по теореме Менье: , где γ – угол между этим наклонным и нормальным сечениями.

Выберем в качестве параметра, определяющего положение точки на кривой, длину дуги. Тогда криволинейные координаты точки будут функциями длины дуги l: ξ(l), η(l). Выражение (7) перейдет в

. (17 )

Векторы и перпендикулярны нормали , (см. рис. 5 ). Имеем из (16)

,

. (18 )

Найдем из (18) нормальные кривизны координатных линий:

1) η = Const, dη = 0, ;

2) ξ = Const, dξ = 0, . (19 )

Параметр b₁₂/ w определяет кручение поверхности. Проследим за изменением κ_n при повороте сечения вокруг нормали к поверхности. Для гладких поверхностей кривизна будет плавно периодически изменяться от минимального до максимального значения. Найдем их. Перепишем выражение (18) в виде

.

Раскрывая скобки и перегруппировывая члены выражения, имеем

.

Получили квадратичную форму

.

Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения по теореме Крамера является равенство нулю определителя этой матрицы. Имеем квадратное уравнение для кривизны

.

Отсюда находим два экстремальных значения κ_n, которые называются главными кривизнами поверхности в данной точке. Соответствующие им направления (для отношения dξ:dη) называются главными. Главные направления взаимно перпендикулярны.

Проведем линии на поверхности таким образом, чтобы в каждой точке касательные к ним шли вдоль главных направлений. Такие кривые называются линиями кривизны; их удобно выбирать в качестве координатных кривых. Если поверхностная координатная сеть (ξ, η) совпадает с линиями кривизны поверхности, то главные кривизны совпадают с (19) . Если коэффициент первой формы a₁₂ = 0, то это сеть ортогональных криволинейных координат (для них c = p /2); если b₁₂ = 0, то сеть называется сопряженной.

По свойству решений квадратного уравнения имеем для произведения и полусуммы главных кривизн выражения

, .

Гауссовой кривизной поверхности в данной точке называется величина

. (20 )

Средней кривизной поверхности в данной точке называется величина

. (21)

5. Метрический тензор

Пусть дана обычная (лабораторная) система координат x ( x 1 , x 2 , …, x n ). Сделаем переход в произвольную криволинейную (не обязательно ортогональную) систему координат y (y 1 , y 2 , …, y n ). Радиус-вектор и матрица Якоби будет задаваться следующим образом (здесь пишем верхние индексы – используем контравариантные координаты):

, . (22)

В этой матрице столбцы являются компонентами касательных векторов к координатным линиям y 1 , y 2 , …, y n . Если их нормировать, то получим набор базисных векторов в пространстве x .

Метрический тензор в базисе имеет вид

. (2 3)

Символы Кристоффеля (коэффициенты связности)

Введем тензорные обозначения касательных векторов и их производных:

, .

Векторы производных разложим по базисным векторам:

, (24 )

где коэффициенты разложения — некоторые функции координат, вид которых зависит от выбора системы координат; в декартовой системе все . Отсюда видно, что величины не образуют тензора, так как тензор, равный нулю в одной системе координат, равен нулю и во всякой другой. В данной метрике символы Кристоффеля вычисляются по формулам

, (2 5)

доказательство которых приведем ниже.

Найдем, как преобразуется производная от произвольной вектор-функции ∂A i / ∂y j при переходе от декартовых к криволинейным координатам. Для того чтобы получить дифференциал вектора, необходимо, чтобы оба вектора находились в одной точке пространства. Но в криволинейных координатах разность компонент векторов после параллельного переноса их в одну точку не совпадает с их разностью до переноса (т.е. с дифференциалом dA i ). Изменение компонент вектора при бесконечно малом параллельном переносе зависит линейно от самих компонент. Таким образом, запишем точные производные в криволинейных координатах, так называемые ковариантные производные (которые являются тензорами)

, , , (26 )

соответственно от контравариантного и ковариантного векторов и тензора. В декартовой метрике они, очевидно, совпадают с обычными производными.

Линия пространства y i = y i ( t ) называется геодезической, если ее вектор скорости A i = dy i / dt параллелен вдоль нее самой, т.е. его ковариантная производная равна нулю.

Уравнение геодезических линий

.

Если все символы Кристоффеля равны нулю, то решениями этого уравнения являются обычные прямые. Таким образом, геодезические линии являются аналогом прямых для случая произвольной кривизны пространства.

Тензор кривизны Римана

Если дважды ковариантно продифференцировать вектор A i , то результат зависит, вообще говоря, от порядка дифференцирования, в противоположность от обычных производных. Запишем эту разность

,

где — тензор 4-го ранга:

, (27 )

, где . (2 8)

Этот тензор называется тензором кривизны Римана данной метрики. Свойства тензора для симметричных связностей:

, .

Из тензора Римана можно путем упрощения построить тензор второго ранга — тензор Риччи, являющийся следом тензора Римана

. ( 29)

Свернув метрикой тензор Риччи, получим инвариант — след тензора Риччи

, (3 0)

называемый скалярной кривизной данного пространства. Гауссова кривизна, определенная в (19), связана со скалярной следующим образом: 2 K = R .

Тензором кручения пространства называется выражение

. (3 1)

Если связность является симметричной, то тензор кручения равен нулю. Поясним геометрический смысл тензора кручения на рис. 6. Рассмотрим поверхность S . В точке А к S построим касательную плоскость p . Выберем произвольный бесконечно малый квадрат ABCD на плоскости p с вершиной в А. Из точки А по поверхности S выпустим геодезическую в направлении вектора AB . Пройдя по ней расстояние, соответствующее параметру, равному длине AB , попадем в точку B ‘ . Аналогично из А по S выпустим геодезическую в направлении AD , попадем в D ‘ . Совершим параллельный перенос вектора AD в точку B ‘ вдоль геодезической AB ‘ и выпустим геодезическую из B ‘ вдоль перенесенного вектора, попадем в точку С’. Аналогично вектор AB перенесем параллельно вдоль AD ‘ и вдоль перенесенного вектора из D ‘ выпустим геодезическую, попадем в C » . Если кручение нулевое, то C ‘ = C », и геодезический квадрат с точностью до малых более высокого порядка замкнется, в противном случае нет.

Скалярным произведением двух произвольных векторов

,

в метрике g_ij будет следующая билинейная форма:

.

Для частного случая евклидова пространства метрический тензор — единичная матрица, и скалярное произведение принимает обычный вид

.

Если взять скалярное произведение двух одинаковых векторов, то получим положительно определенную квадратичную форму

,

следовательно, det g > 0.

Дивергенция вектора имеет вид

.

Градиент функции f имеет вид

.

Оператор Лапласа в произвольных криволинейных координатах:

В ортогональных криволинейных координатах матрица метрического тензора имеет диагональный вид

,

где положительные функции H_i — коэффициенты Ламе системы координат и . Они соответствуют корням из коэффициентов первой квадратичной формы a ₁₁ и a ₂₂ в теории поверхностей.

Оператор Лапласа в евклидовом пространстве R 3 , в декартовых координатах.

Здесь n = 3, x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z . Лапласиан принимает вид

. (33 )

Оператор Лапласа в евклидовом пространстве R 3 , в сферических координатах:

x 1 = r sin θ cos φ , x 2 = r sin θ cos φ , x 3 = r cos θ , (здесь n = 3, y 1 = r , y 2 = θ , y 3 = φ ).

Ортонормированный базис e_r, e _q , e _j , . Лапласиан принимает вид

.

Оператор Лапласа в евклидовом пространстве R 3 , в цилиндрических координатах:

x 1 = r cos φ, x 2 = r sinφ, x 3 = z. ( здесь n = 3, y 1 = r, y 2 = φ, y 3 = z). Лапласиан принимает вид

. ( 34)

6. Метрический тензор в теории поверхностей

А. Метрика поверхности

Рассмотрим поверхность w = w ( x , y ) в евклидовом пространстве R 3 . Применим для исследования этой поверхности приведенный выше тензорный аппарат дифференциальной геометрии. Будем задавать поверхность в параметрическом виде как геометрическое место точек, описываемых радиус-вектором, проведенным из начала координат (так же, как и при рассмотрении первой квадратичной формы поверхности):

,

поверхностные криволинейные координаты

Введем тензорные обозначения для производных радиус-вектора поверхности по криволинейным координатам:

; .

Получим метрический тензор поверхности так же, как и в (23) :

, ( 35)

его компоненты образуют матрицу, совпадающую с матрицей первой квадратичной формы поверхности

,

т.е. g_ij = a_ij , и в тензорных обозначениях первая квадратичная форма примет следующий вид:

.

Ковариантные компоненты метрического тензора находим, обращая матрицу

. (3 6)

С помощью метрического тензора выполняют операции поднятия и опускания индексов, например, для нахождения ковариантных компонент векторов:

.

Б. Единичный орт нормали в текущей точке поверхности (см. (11)

.

В. Элементарный элемент площади на поверхности

Угол между касательными векторами , .

Элемент площади (см. (12)

. (37 )

Г. Вторая квадратичная форма записывается в тензорных обозначениях как

II = b_ij dy i dy j , ее коэффициенты вычисляются по формулам

. (3 8)

Они подчинены двум уравнениям Петерсона-Кодацци

, i, j, k = 1, 2.

Д. Криволинейный оператор Лапласа записывается так же, как и в (32):

( 39)

Е. Локальный базис и символы Кристоффеля поверхности

В текущей точке y 1 , y 2 поверхности касательные векторы r ₁ , r ₂ и орт нормали n образуют сопутствующий локальный базис (триэдр) в R 3 , причем

. (40)

Разложим вектор второй производной в локальном базисе

, (4 1)

и найдем неизвестные коэффициенты разложения и . Для этого умножим скалярно обе части уравнения (41) сначала на вектор нормали n :

.

Так как касательные векторы и орт нормали перпендикулярны, то имеем

.

Этот коэффициент действительно совпадает с коэффициентами второй квадратичной формы (38) . Умножим теперь обе части уравнения на касательный вектор :

Выразим коэффициенты явно, для этого умножим обе части уравнения на ковариантный метрический тензор

. (4 2)

Скалярное произведение, стоящее в левой части уравнения, можно выразить через компоненты метрики. Продифференцируем метрику по координате и проведем циклические перестановки индексов:

Сложим последние два уравнения и вычтем первое:

,

окончательно имеем известное выражение

(43)

для коэффициентов, которые называются символами Кристоффеля 2 рода. Таким образом, мы получили два уравнения (42) и (43) для нахождения коэффициентов Кристоффеля и уравнение (41) для проверки. Тензор кривизны Римана поверхности определяется так же, как и в (27) .

Рассмотрим заданную явно поверхность w = w ( x , y ) в декартовых координатах:

Имеем радиус-вектор точки поверхности

.

Первые и вторые производные радиус-вектора

, , , , .

Метрика (матрица первой квадратичной формы) по определению (35)

,

.

Единичный вектор нормали имеет вид

.

Малый элемент площади поверхности, с использованием соотношений (2)

.

Криволинейный оператор Лапласа в общем косоугольном случае

, (44 )

в частном случае поверхности, на которой возникли ортогональные криволинейные координаты (), имеем

.

Матрица второй квадратичной формы

.

Главные кривизны найдем по формулам (19) :

, . (4 5)

Для осесимметричной поверхности логично перейти в полярные координаты. Если здесь сделать формальную замену переменных (49) , то получим формулы для кривизн в полярных координатах (50) .

В выражениях (45) корень, стоящий в знаменателе, является модулем вектора нормали к поверхности в текущей точке. Если для этой поверхности нормальное сечение совпадает с вертикальным, то кривизны (45) перейдут в

, . (4 6)

В частном случае малых прогибов поверхности (углов наклона касательной) в выражениях (46) можно пренебречь квадратом производной по сравнению с единицей и получить выражения для малых кривизн (геометрически линейный случай):

, . ( 47)

Символы Кристоффеля можно найти по формуле (43) или по формуле (42) :

.

По формулам (27) вычислим компоненты тензора кривизны Римана

,

, .

Остальные компоненты равны нулю. Найдем тензор Риччи по формуле (29)

.

Скалярная кривизна по формуле (30)

,

где К — гауссова кривизна, см. формулу (20) .

Рассмотрим осесимметричную поверхность, заданную явно функцией w(r), в цилиндрических координатах. Для этого случая пропадает зависимость от полярного угла φ, и все , поэтому частные производные по полярному радиусу совпадают с полными производными.

Координаты y 1 = ξ = r, y 2 = η = φ. Используя формулы замены переменных, запишем радиус-вектор

.

Выпишем производные от радиус-вектора по координатам

, , , , .

Компоненты метрического тензора (коэффициенты первой квадратичной формы) найдем по формулам (35) или (9):

, , .

Отсюда видно, что мы получили на поверхности сетку ортогональных криволинейных координат. Оператор Лапласа

. ( 48)

Для случая пологих поверхностей, когда можно пренебречь квадратом производной по сравнению с единицей, оператор (48) совпадает с обычным оператором Лапласа в полярных координатах (см., например, (34) . Выражение (48) можно получить из (44) прямой заменой декартовых координат на полярные для осесимметричного случая. Приведем эти формулы перехода

, , , , . ( 49)

Коэффициенты второй квадратичной формы

.

Главные кривизны поверхности найдем по формулам (19) :

, . (5 0)

Здесь , т.е. использована замена переменных w ( r ) на θ ( r ), вида (2) . Выражения (50) можно получить заменой переменных (49) непосредственно из приведенных выше кривизн (45) в декартовой системе координат.

Кручение поверхности отсутствует в осесимметричном случае, так как диагональный коэффициент второй квадратичной формы b ₁₂ = 0. Из (50) видны свойства главных кривизн:

, . ( 51)

, , , .

Отличные от нуля компоненты тензора Римана

, .

Скалярную кривизну поверхности найдем, дважды свернув тензор Римана

.

Вычислим для примера главные кривизны псевдосферы — поверхности, образованной вращением трактрисы относительно оси Ow (трактриса является эвольвентой цепной линии ). Используя формулы (50) , найдем кривизны

, .

Гауссова кривизна постоянна и отрицательна на всей поверхности. Выполняя интегрирование

,

получим длину дуги вдоль радиуса на поверхности псевдосферы.

Список литератур ы

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т . Современная геометрия. – М.: Наука, 1985.

2. Новиков С.П., Фоменко А.Т . Элементы дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Наука, 1987.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1988.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.

5. Поверхности функций комплексного переменного: Метод. указания, ч. 5 / Краснояр. гос. ун-т; Сост. Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин, Л.С. Титов. Красноярск, 1996.

6. Победря Б.Е . Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во МГУ, 1986.

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раз­дел гео­мет­рии, в ко­то­ром гео­мет­рич. объ­ек­ты изу­ча­ют­ся ме­то­да­ми ма­те­ма­тич. ана­ли­за, в пер­вую оче­редь ме­то­да­ми диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния. Важ­ней­шие объ­ек­ты Д. г. – кри­вые (ли­нии) и по­верх­но­сти евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, а так­же се­мей­ст­ва (не­пре­рыв­ные со­во­куп­но­сти) кри­вых и по­верх­но­стей. При этом, в от­ли­чие от эле­мен­тар­ной и ана­ли­тической гео­мет­рий, изу­чаю­щих отд. кри­вые и по­верх­но­сти или спец. клас­сы кри­вых и по­верх­но­стей, Д. г. рас­смат­ри­ва­ет пре­имущественно кри­вые и по­верх­но­сти во­об­ще, лишь бы их мож­но бы­ло за­да­вать урав­не­ния­ми, ко­то­рые ис­сле­ду­ют­ся ме­то­да­ми ма­те­ма­тического ана­ли­за. Ха­рак­тер­ной осо­бен­но­стью Д. г. яв­ля­ет­ся то, что она ис­сле­ду­ет пре­ж­де все­го свой­ст­ва гео­мет­рич. объ­ек­тов (кри­вых, по­верх­но­стей и их се­мейств), ко­то­рые при­су­щи сколь угод­но ма­лым их час­тям; та­кие свой­ст­ва на­зы­ва­ют­ся диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми.

Дипломная работа: Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Глава 1.Введение в дифференциальную геометрию поверхностей. Основные понятия

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Глава 2. Понятие поверхности Каталана

2.1 Общие положения

2.2 Примеры поверхностей Каталана

2.3 Виды поверхностей Каталана

Глава 3. Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности

3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана

Глава 4. Специальные поверхности Каталана (поверхности класса КА)

4.1 Вывод уравнения поверхности класса КА

4.2 Вывод уравнения поверхности класса КА по заданным кривым и нормальному вектору порождающей плоскости

Глава 5. Дифференциальная геометрия поверхностей класса КА

5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности

5.2 Первая квадратичная форма поверхности класса КА

5.3 Вторая квадратичная форма поверхности класса КА

Глава 6. О программе визуализации и анализа поверхностей

6.1 Общие положения и возможности программы

6.2 Примеры работы

Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию поверхностей.

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

Пусть — гладкая поверхность, – ее векторное параметрическое уравнение и .

Первой квадратичной формой на поверхности называется выражение

(1)

Распишем это выражение подробнее.

,

Откуда (2)

Выражение (2) в каждой точке поверхности представляет собой квадратичную форму от дифференциалов и . Первая квадратичная форма является знакоположительной, так как ее дискриминант

и .

Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения (и мы в своих исследованиях будем придерживаться именно их) ([1].[2],[3]):

,

,

.

Так что выражение (2) для формы можно переписать в виде

(3)

.

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

Известно, что, зная первую квадратичную форму поверхности, можно вычислять длины дуг кривых на поверхности, углы между кривыми и площади областей на поверхности. В самом деле, если рассмотреть формулы, определяющие вышеуказанные величины, можно заметить, что туда входят только лишь коэффициенты , , первой квадратичной формы. Поэтому если известная первая квадратичная форма поверхности, можно исследовать геометрию на поверхности, не обращаясь к ее уравнениям, а лишь используя ее первую квадратичную форму.

Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, составляет так называемую внутреннюю геометрию поверхности.

Поверхности, имеющие одинаковые первые квадратичные формы и потому имеющие одинаковую внутреннюю геометрию, называются изометричными.

Рассмотрим простой пример.

Пусть задана поверхность

Это цилиндрическая поверхность с синусоидой в качестве направляющей.

,

,

,

.

Если сделать замену, вводя новые параметры и таким образом

,

.

Тогда первая квадратичная форма поверхности примет, очевидно, вид

.

Мы видим, что в новых переменных первая квадратичная форма рассматриваемой цилиндрической поверхности совпадает с первой квадратичной формой плоскости и поэтому внутренняя геометрия этой поверхности совпадает с внутренней геометрией плоскости. Т.е. синусоидальный цилиндр изометричен плоскости. Этот важный факт мы еще получим несколько другим способом.

Чисто геометрически это свойство понятно: синусоидальный цилиндр получается изгибанием (т.е. деформацией без сжатий и растяжений) обычной плоскости. При такой деформации внутренняя геометрия не изменяется.

Более того, можно показать, что если одна поверхность получается из другой путем изгибания, то внутренние геометрии этих поверхностей совпадают.

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.3.1. Определение второй квадратичной формы.

Основным объектом рассмотрения в этой части изложения станет — регулярная поверхность , заданная своим радиус-вектором.

,

В каждой точке такой поверхности помимо единичного вектора нормали

(1)

Определен и второй дифференциал радиус вектора

(2)

Второй квадратичной формой поверхности называется скалярное произведение векторов и .

([1],[3],[4],[5]) (3)

Нетрудно заметить, что в каждой точке поверхности квадратичная форма (3) является квадратичной формой относительно дифференциалов и .

Для коэффициентов второй квадратичной формы приняты (и мы также в дальнейшем будем пользоваться этим) следующие обозначения

(4)

Это позволяет записать ее в следующем простом виде

(5)

Покажем еще один способ вычисления коэффициентов второй квадратичной формы поверхности.

Заменим в формулах (4) единичный вектор нормали на его выражение (1), получим,

(6)

Для подробного вывода нужно знать тождество:

.

Так как векторы и ортогональны (первый, разумеется лежит в касательной плоскости к поверхности, а второй лежит в плоскости нормального сечения).

.

Отсюда, дифференцируя, получим:

(7)

Это дает еще один способ расчета второй квадратичной формы.

([5],[6]) (8)

Отсюда же можно получить новые формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы. Впрочем, удобнее продифференцировать по и по очевидные равенства

и .

Воспользовавшись соотношениями (4), получаем, что

(9)

Вторая квадратичная форма эффективна при выяснении графических свойств регулярной поверхности.

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

Пусть – регулярная поверхность и – ее параметрическое задание.

Выберем на поверхности некоторую точку и рассмотрим плоскость , которая касается поверхности в этой точке.

Отклонение произвольной точки поверхности от плоскости определим по формуле

(1)

В этой формуле – единичный вектор нормали к поверхности в точке . Это отклонение, взятое по абсолютной величине, равно расстоянию от точки до плоскости . Отклонение положительно, если точка и конец вектора лежат по одну сторону от касательной плоскости, соответственно, оно отрицательно, если они лежат по разные стороны от касательной плоскости в точке .

Рассмотрим формулу (1).

Разность допускает следующую интерпретацию

(2)

, при .

Умножим обе части равенства (2) скалярно на вектор и положив

, .

(3)

Разумеется, вдумчивый (или хотя бы немного читающий эти выкладки) читатель поймет, что коэффициенты

,

,

указанные в формуле (3) вычислены в точке , в окрестности которой мы и рассматриваем исходную поверхность .

Из курса линейной алгебры известно, что свойства квадратичной формы во многом определяются ее дискриминантом. А скорее даже знаком квадратичной формы.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы в точке .

Рассмотрим все возможные случаи.([7],[8],[9],[10],[11])

Т.е. вторая квадратичная форма поверхности в заданной точке является знакоопределенной.

Зафиксируем в точке некоторое направление на поверхности. Пускай .

Тогда любое другое направление на поверхности в точке можно задавать при помощи угла , который оно образует с уже выбранным направлением.

,

(4)

Нетрудно показать, что

,

а в силу условия

положительна.

Таким образом неравенство

выполняется независимо от выбора угла .

Так как порядок стремления к нулю при второго слагаемого в правой части формулы (3) выше двух, то из последней оценки можно сделать следующий вывод.

Отклонение сохраняет знак (совпадающий со знаком второй квадратичной формы ) для всех достаточно малых значений независимо от выбора направления на поверхности.

Это означает, что все точки поверхности , достаточно близкие к точке , располагаются по одну сторону от касательной плоскости поверхности в этой точке. Такая точка поверхности называется эллиптической точкой.

Например, все точки сфер – эллиптические.([6],[8])

.

Вторая квадратичная форма является знакопеременной.

Покажем, что в этом случае, в точке можно указать два неколлинеарных направления на поверхности, обладающие следующими свойствами:

— для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма поверхности, вычисленная в точке , обращается в нуль,

— все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса – для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна и для другого отрицательна.

Пусть некоторое направление положительного класса задается углом . В соответствии с формулой (4) имеем

, ([1],[4],[11])

где

Как видно из формулы (3), знак отклонения для всех достаточно малых значений в рассматриваемом направлении совпадает со знаком второй квадратичной формы . Следовательно, если точка поверхности достаточно близка к точке , то это отклонение положительно.

Рассуждая аналогично, можно указать точки на поверхности, близкие к точке , для которых отклонение будет отрицательным.

Приведенные рассуждения показывают, что вблизи точки поверхность располагается по разные стороны от касательной плоскости. При этом проекции точек поверхности, отклонения которых расположены на касательный плоскости заполняются множество «между» этими направлениями…

В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.

.

Но отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов, , .

Пусть для определенности . Тогда вторая квадратичная форма поверхности в точке может быть записана в следующем виде

Тем самым в зависимости от знака форма либо неотрицательна, либо неположительна. При этом на поверхности в точке можно указать направление , такое, что определяющие его дифференциалы и обращают вторую квадратичную форму в нуль.

Для всех других направлений на поверхности в точке форма имеет один и тот же знак (совпадающий со знаком )

В этом случае точка называется параболической точкой поверхности .

Такая точка называется точкой уплощения поверхности. Расположение поверхности, близ таких точек может быть самым разнообразным.

Например, все точки плоскости являются точками уплощения.

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Нам осталось рассмотреть еще немного понятий, прежде чем приступить к исследованиям. Рассмотрим на поверхности произвольную — регулярную кривую, проходящую через точку в направлении .

— естественная параметризация кривой. Вычислим в точке три вектора

— единичный вектор касательной к кривой

,

— единичный вектор нормали к поверхности

Эта тройка векторов линейно независима. Это позволяет представить вектор

в виде линейной комбинации

Так как , то

.

Коэффициенты и имеют специальные названия.

– нормальная кривизна кривой

– геодезическая кривизна кривой.

Примем без доказательства следующую формулу для вычисления нормальной кривизны поверхности в заданном направлении

(1)

Как видно из этой формулы нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от направления на поверхности.

Направление на поверхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигает экстремального значения.

Покажем, что в каждой точке -регулярной поверхности найдется не мене двух различных главных направлений.

Пусть – произвольное направление в точке на поверхности . Тогда

(2)

(2) – дифференцируемая функция переменных и . Отметим, что функции коэффициентов второй и первой квадратичных форм определяются только выбором точки и от переменных и не зависят.

,

Так как функция

непрерывна и , то на отрезке она либо постоянна, либо имеет хотя бы один максимум. Это и означает, что в каждой точке — регулярной поверхности есть два различных главных направления.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Укажем способ вычисления главных кривизн в данной точке регулярной поверхности.

Из формулы (2) вытекает тождество относительно переменных и

(3)

Продифференцируем это тождество по . Учитывая, что производная нормальной кривизны в главном направлении обращается в нуль, получим для главного направления

(4)

(5)

Здесь – главная кривизна в направлении .

Рассматривая полученные соотношения (4) и (5) как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и , получим, что эта система всегда имеет ненулевое решение, так как в данной точке регулярной поверхности всегда есть главные направления.

Из этого вытекает, что

Вычисляя определитель, мы получим квадратное уравнение для искомой функции (внимание… мы его будем использовать при некоторых выкладках далее).

(6)

Возможны два случая.

Квадратное уравнение имеет два различных корня и .

Этим корням на поверхности соответствует два различных главных направления.

Уравнение (6) имеет один корень кратности 2 .

Это могут быть только точки уплощения или омбилические точки (точки округления) ().

Средней кривизной поверхности в данной точке называется полусумма ее главных кривизн в этой точке.

(7)

Гауссовой кривизной поверхности называется произведение ее главных кривизн.

(8)

В виду уравнения (6) можно показать, что

(9)

(10)

Этих основных понятий нам пока хватит для рассмотрения специального класса поверхностей.

Глава 2. Понятие поверхности Каталана

2.1 Общие положения

Поверхность Каталана – линейчатая поверхность, прямолинейные образующие которой параллельны одной и той же плоскости.

Плоскость, которой параллельны образующие поверхности Каталана, называется плоскостью параллелизма .

Поверхность Каталана, все образующие которой пересекают одну прямую, называется Коноидом.

Обычно предполагают, что уравнение поверхность Каталана:

, причем .

Мы, однако, не будем учитывать это условие, а ограничимся указанным выше определением. И те, и другие поверхности мы будем для краткости называть поверхностями Каталана.

Из определения поверхности Каталана следует, что, если ее уравнение:

, то .

Это очевидно, так как все три вектора (вычисленные при одном и том же значении параметра), участвующие в смешанном произведении лежат в одной плоскости, – плоскости параллелизма, т.е. они компланарны.

Для обратного утверждения справедлива теорема.

Достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является поверхностью Каталана.

Пусть задана линейчатая поверхность

,

причем вектор-функция трижды непрерывно дифференцируема (здесь и далее мы говорим о каком-либо простом куске поверхности, которому отвечают некоторые промежутки параметров). Тогда если и неколлинеарен ни в одной точке то данная поверхность является поверхностью Каталана.

Рассмотрим два случая: когда кривая, описываемая вектором – плоская и когда она неплоская.

1) Предположим, что кривая – плоская. Тогда равенство просто следует из этого факта. Очевидно, что все тройки векторов (при любом значении параметра) лежат в плоскости кривой . Поэтому и все образующие лежат в этой плоскости, значит и поверхность является по определению поверхностью Каталана.

2) Предположим, что кривая – неплоская. По условию теоремы . Продифференцируем это равенство один раз по параметру:

.

Если коллинеарен вектору в некоторой точке. Тогда

Значит коллинеарен , а значит, коллинеарен и , а мы предположили противное, значит, этот случай невозможен, т.е. неколлинеарен вектору .

Посмотрим на картинку:

Так как , то все эти три вектора лежат в одной плоскости – плоскости . А в силу того, что , эти векторы тоже лежат в одной плоскости – плоскости (в первом случае плоскость обозначена двумя дугами, во втором, одной дугой). Так как векторы и неколлинеарны, то они в обоих случаях определяют плоскость, т.е. плоскости и – совпадают, а значит, все четыре вектора: , , , лежат в одной плоскости, а значит: .

Напомним, что если дана кривая . То кручение кривой в точке вычисляется по формуле:

(*)

Т.к. – то кривая – плоская, а это противоречит предположению пункта два. Т.е. рассматриваемая ситуация невозможна.

Таким образом, кривая (в условиях теоремы) может быть только плоской кривой и при этом поверхность является поверхностью Каталана ч.т.д.

Замечание 2.3. Если в теореме убрать предположение о тройной непрерывной дифференцируемости вектор-функции . То можно построить пример поверхности, такой что , но при этом поверхность не является поверхностью Каталана.

Красивый пример можно получить следующим образом.

Нам хочется, чтобы функция «развернула» плоскость прямых или разворачивала ее постоянно. Как следует из теоремы, соответствующую функцию следует искать среди функций, 3-яя производная которых терпит в какой-либо точке разрыв.

Например, можно задаться следующим уравнением: .

Здесь – функция Хэвисайда.

Проинтегрируем это уравнение.

.

Теперь уже гораздо проще подобрать необходимый пример.

Итак, рассмотрим поверхность.

Проверим, что в каждой точке выполняется равенство: .

Замечание 4. Строго говоря, мы тут допустили неточность. А именно: . Т.е. производная тета-функции Хэвисайда – дельта-функция Дирака. Поэтому,

.

Однако, простое геометрическое рассуждение может убедить нас, что вторым слагаем можно пренебречь. Действительно, посмотрим на график функции:

Очевидно, что в нуле наклон касательной к графику функции равен нулю, а функция равна нулю всюду, кроме, быть может, нуля, следовательно, вклад в значение производной эта функция не вносит. Таким образом, Наше выражение для производной вполне корректно.

.

Проверим условие коллинеарности векторов и .

Как мы видим, они коллинеарны в каждой точке.

Теперь нам надо отыскать три прямые, которые вместе не лежат в параллельных плоскостях.

Для этого найдем три значения направляющего вектора этих прямых.

,

,

Если эти три вектора некомпланарны, то отвечающие им прямые (для которых они являются направляющими векторами) не лежат в параллельных плоскостях, т.е. являются искомыми.

.

Т.е. эти прямые действительно не лежат в параллельных плоскостях.

Ниже на рисунке изображен пример такой поверхности. Мы отчетливо видим, как на этой поверхности есть прямы, соответствующие данным векторам.

Более простой пример можно построить, убрав требование о том, что неколлинеарен .

Найдем вектор, который в каждой точке обладает свойством, обратным к данному.

Пусть коллинеарен вектору при каждом значении параметра. Например:

Пусть .

Решим уравнение, например, для координаты .

Сделаем замену: .

.

.

Подставим в .

. Т.е. имеет вид:

Вычислим производные для проверки.

,

.

Теперь видно, что в каждой точке векторы и коллинеарные, поэтому смешанное произведение будет заведомо равно нулю (другого и быть не могло, собственно).

Теперь нам надо сделать так, чтобы нашлись 3 вектора не лежащие в одной плоскости (при соответствующих значениях параметра).

,

,

.

И при этом: .

Поскольку сдвиг в пространстве всех этих трех векторов не повлияет на равенство (или не равенство) нулю смешанного произведения, то достаточно рассматривать векторы:

,

,

.

А эти векторы, очевидно, лежат в одной плоскости. Так что добиться выполнения утверждения о коллинеарности векторов и в каждой точке, при выполнении, которого поверхность не будет являться поверхностью Каталана – нельзя.

Значит, стоит подумать о примере, который обеспечивает выполнение этого условия в одной точке, в которой, разумеется, мы должны «повернуть» плоскость образующих линейчатой поверхности.

,

Очевидно, что в каждой точке (есть нулевой столбец). Также, за исключением точки, соответствующей параметру кручение вектора также равно нулю (). Причем, в каждой точке промежутка: неколлинеарен (т.е. мы имеем право пользоваться формулой (*) для расчета кручения кривой на указанном промежутке).

Если : , .

График ординаты имеет вид:

И мы видим, что он нигде кроме 1 в нуль не обращается (это видно и непосредственно из аналитического выражения).

Если : , .

Аналогично – график на данном полуинтервале:

Теперь мы уже поняли, что коллинеарен в точке . Следовательно, вычислять кручение кривой в этой точке по формуле (*) нельзя. Как мы сейчас увидим, в результате – кривая не будет плоской.

Действительно, возьмем три вектора:

,

,

.

Проверим, лежат ли они в одной плоскости.

.

Действительно, они некомпланарны, а следовательно, и соответствующие этим векторам прямые не лежат в одной плоскости, значит, поверхность не является поверхностью Каталана.

Теперь осталось написать явно хороший пример такой поверхности.

Примерный вид такой поверхности изображен ниже на рисунке.

2.2 Примеры поверхностей Каталана

поверхность каталан линейчатый квадратичный

1. Очевидно, все цилиндры являются поверхностями Каталана.

Так как направляющий вектор образующих цилиндрической поверхности не зависит от параметра.

Например, – прямой круговой цилиндр.

2. Прямой архимедов геликоид (является также и коноидом)

2.3 Виды поверхностей Каталана

Напомним, что среди линейчатых поверхностей имеет место следующая классификация.

Поверхность Каталана может быть либо косой линейчатой поверхностью, либо цилиндрической поверхностью, и не может быть конической поверхностью (имеется в виду невырожденный случай, т.е. когда все образующие конуса не лежат в одной плоскости).

Примеры цилиндрический и косой линейчатой поверхности мы уже видели. Осталось показать, что поверхность Каталана не может быть ни конической поверхностью, ни поверхностью касательных.

1. Конус. Очевидно, что если имеет место невырожденный случай (не все образующие лежат в одной плоскости), то это противоречит определению поверхности Каталана.

2. Поверхность касательных. Рассмотрим произвольную поверхность касательных:

.

Т.е. .

Так как очевидно, что два вектора и всегда лежат в одной плоскости, а все векторы (при различных значениях параметра) , также лежат в одной плоскости (так как это поверхность Каталана), тои все векторы также лежат в этой плоскости. Поэтому поверхность касательных вырождается в плоскость.

Очевидно, не все косые линейчатые поверхности являются поверхностями Каталана,

Например, Лист Мёбиуса и однополостный гиперболоид – не являются (см. рис. ниже)

Глава 3. Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

Так как поверхности Каталана являются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые их особые, отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для начала рассчитаем некоторые характеристики линейчатых поверхностей.

3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой

Понятное дело, нас интересуют лишь коэффициенты, однозначно определяющие саму форму.

, ,

,

,

,

(5)

. (6)

. (7)

Определитель для краткости обозначим так (ибо непосредственное покоординатное вычисление не дает удобочитаемого результата).

.

, , .

1. Расчет .

(8)

.

. (9)

.

(10)

Итак, мы рассчитали коэффициенты первой и второй квадратичных форм линейчатой поверхности. Сделаем некоторые замечания.

Из формулы (9) очевидно, что необходимое и достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является развертывающейся, может быть переписано в виде: .

О различных точках линейчатой поверхности.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы для линейчатой поверхности.

. (11)

В связи с этим, проведем классификацию точек линейчатой поверхности.

1. Так как , то на линейчатой поверхности нет эллиптических точек.

2. Пусть , т.е. вторая квадратичная форма поверхности является знакопеременной. Таким образом, в точке , для которой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления, обладающих следующими свойствами:

а) Для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма, вычисленная в точке , обращается в нуль.

б) все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса – для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна, а для другого отрицательна.

Другими словами в окрестности точки поверхность лежит по разные стороны от касательной плоскости в заданной точке.

Такие точки, как известно, называются гиперболическими.

В силу замечания 1, гиперболическими точками среди линейчатых поверхностей обладают только косые линейчатые поверхности (например, все точки архимедова геликоида – гиперболические).

3. Пусть и . Такие точки называются параболическими.

Такими точками обладают развертывающиеся поверхности.

4. . Такие точки называют точками уплощения поверхности.

Очевидно, что у линейчатых поверхностей могут быть точки уплощения.

Поверхность в окрестности точки уплощения может выглядеть самым разным образом, вот один из примеров…

3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана

Итак, из формулы (5), (6), (7):

. (5)

. (6)

. (7)

Для поверхности Каталана мы имеем дополнительное условие . Тут мы не получим никаких существенных изменений.

,

индекс говорит о том, что он вычислен для поверхности Каталана.

Расчет .

(8)

.

. (9)

.

– средняя кривизна поверхности в заданной точке.

. (10)

. (11)

.

Можно считать, что

Тогда: .

Аналогичная величина для произвольной линейчатой поверхности имеет вид:

Как мы видим, – последнее слагаемое обращается в нуль .

Очевидно, что для поверхности Каталана:

.

Подставим это выражение для , , для поверхности Каталана.

Итак, пересчитаем коэффициенты второй квадратичной формы для поверхности Каталана.

(12)

— без изменений

– без изменений.

Теперь средняя кривизна.

(13)

Попробуем найти все минимальные поверхности Каталана.

(14)

Рассмотрим два случая.

1. Поверхность Каталана является развертывающейся поверхностью (т.е. цилиндром).

Тогда, очевидно: , .

Уравнение примет вид:

. (15)

Пусть . Также, можно положить . Тогда уравнение запишется в виде:

(16)

Предположим, что функция известная (ситуация абсолютно симметрична, как мы видим).

Сделаем замену искомой функции:

. Получим:

Предположим, что . Быть может за исключением какого-то множества точек, которое мы исключим из рассмотрения (так как нас интересуют общие, регулярные свойства поверхности, то на общность рассмотрения это не повлияет).

.

Далее:

.

Таким образом, все цилиндры вида:

(17)

являются минимальными поверхностями.

, поэтому.

Также может выполняться, если , т.е. если , то выполняется система:

причем (нигде, кроме быть может, каких-то точек). Проинтегрируем, например первое уравнение.

Сделаем замену искомой функции: .

.

.

Откуда .

В результате получаем более приемлемое выражение, описывающее все минимальные цилиндры (с точностью до ориентации в пространстве).

Пусть для удобства записи функция

, тогда: .

Итак, цилиндры, вида:

являются минимальными поверхностями.

Однако, как легко видеть – это только плоскости…

Теорема 3.1. О минимальных цилиндрах.

Среди цилиндров только плоскости являются минимальными поверхностями.

Пусть дан цилиндр.

,

,

,

,

Тогда ,

,

,

,

Поэтому уравнение для определения главных кривизн

,

, т.е.

Вспомним формулу для средней кривизны, а именно:

В нашем случае, это возможно только если . А это означает, что цилиндрическая поверхность сплошь состоит из точек уплощения. Т.е. является плоскостью.

Вернемся к рассмотрению уравнения (14)

Рассмотрим случай, когда (т.е. поверхность Каталана является косой линейчатой поверхностью).

Улучшений здесь не видно, особенно.

Рассмотрим один специальный случай: .

Т.е. , .

,

Теорема 3.3. О минимальных поверхностях Каталана.

Если имеет место разложение: для поверхности Каталана , то она является минимальной, если верно уравнение

Рассмотрим пример минимальной поверхности Каталана.

.

Это прямой архимедов геликоид. Т.е.

,

,

,

,

,

.

Имеет место разложение:

, т.е.

, .

,

,

,

,

,

, получим .

Действительно, прямой архимедов геликоид – минимальная поверхность Каталана.

Еще раз напомним, как он выглядит.

Выведем условие, при котором поверхность Каталана будет являться коноидом.

Т.е. задана поверхность Каталана

.

Определим, когда есть прямая, пересекающая все образующие данной поверхности.

Пусть есть кривая на этой поверхности:

Причем она не совпадает ни с одной из образующих, т.е. .

Уравнение этой кривой в пространстве имеет вид:

Если в каждой точке кривизна равно нулю – то это связное множество точек, которое лежит на прямой.

.

.

Рассмотрим векторное произведение:

Как мы видим, это не очень удобная запись. Попробуем использовать соотношение:

Сгруппируем члены при векторах.

(18)

Умножим это равенство векторно на справа.

А теперь умножим скалярно на .

Так как мы рассматриваем поверхности Каталана, то . В результате получим.

(19)

Дифференциальное уравнение (19) дает необходимое условие того, чтобы поверхность Каталана являлась коноидом.

Рассмотрим специальный простой случай, а именно, когда поверхность Каталана является цилиндром () в этом случае уравнение (19) примет вид: . Т.е. вырождается. Это и понятно, поскольку мы делали неравносильные преобразования уравнения, а выводили следствия путем соответствующих преобразований.

Если имеется равенство: , очевидно, что если его справа или слева умножить векторно на какой-то вектор, то оно сохраниться. Например:

.

Однако из этой записи вышеуказанное равенство не следует. Ибо если , то это тождество… Аналогично со скалярным произведением… А если то , а мы как раз умножали скалярно на . Отсюда и вырождение уравнения…

Очевидно, мы пока не получили достаточно удовлетворительного уравнения для характеризации коноидов среди линейчатых поверхностей. Воспользуемся тем фактом, что для прямой верно, что , и обратно, если для кривой этой выполняется, – то она прямая. Это справедливо в силу того, что параметрическое уравнение прямой:

, .

Итак (20)

Рассмотрим снова два случая.

1. . Т.е. поверхность Каталана является цилиндром. В таком случае:

(21)

Т.е. если уравнение (21) в указанных в начале продолжениях имеет решение, то оно определяет параметрическое уравнение прямой, через которую проходят все образующие цилиндра.

Умножим уравнение справа на векторно.

.

Откуда очевидно, что:

(22)

Рассмотрим уравнение (22) для какой-нибудь одной координаты. Пусть

, .

.

.

Возвращаясь к уравнению и имея в виду: , получим, что , а значит, .

Т.е. всякий цилиндр является коноидом, если существует такая функция , что

,

при этом, общая прямая, через которую проходят все образующие цилиндра имеет вид:

Естественно – это целое семейство прямых.

Попробуем сразу воспользоваться найденным приемом для уравнения (21).

Это можно переписать так:

,

(23)

Откуда также можно сделать вывод, что – иначе равенство невозможно. Также, очевидно, что и . Другими словами существует такая замена переменного параметра , что выполнится указанное выше соотношение.

Если проанализировать это равенство для одной из координат:

.

Тогда, если существует обратная функция , то:

.

Проверим наши выкладки на примере.

Рассмотрим два цилиндра:

1)

Проверим, является ли этот цилиндр коноидом:

.

Допустим, что локально можно положить:

С другой стороны,

.

Естественно, выполнение этих двух условий в системе возможно только в каких-то определенных точках, что нас не устраивает. Очевидно, это не коноид. Результат тем более очевиден, что если , то лини – это синусоиды, а не прямые.

2) .

,

остальные равенства выполняются при равенстве нулю коэффициентов линейной функции.

Очевидно, что коэффициенты в данном случае влияют лишь на динамику обхода линий .

Данная поверхность Каталана является коноидом.

Итак, данный цилиндр, является коноидом, тогда и только тогда, когда существует такая замена переменного , что

. (24)

При этом найдется целое семейство прямых, каждый член которого не совпадет ни с одной образующей и который все образующие пересекают.

Из (24) легко понять, что если такая замена существует, то поверхность является просто плоскостью. Другими словами, справедлива теорема.

Теорема 3.2. О кониодных цилиндрах.

Среди всех цилиндров только плоскость является коноидом.

Вернемся к рассмотрению общего случая соотношения (20). Напомним.

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Константу можно «убрать» в функцию .

.

Рассмотрения возможных случаев, когда данное уравнение имеет невырожденное решение мы оставим за границами нашего рассмотрения.

Глава 4. Специальные поверхности Каталана (поверхности

Рассмотрим две пространственные кривые:

(1)

и , (2)

плоскость с нормальным вектором . Причем будем полагать, что для любых плоскость с нормальных вектором , проходящая через точку пересекает кривую ровно в одной точке. Это условие мы будем для краткости называть условием согласованности кривых относительно плоскости . Соответственно, две таких кривых мы будем называть согласованными относительно плоскости .

Пусть кривые (1) и (2) согласованны относительно плоскости . Тогда множество прямых, опирающихся на эти кривые и параллельных плоскости называется поверхность класса КА. Плоскость в данном случае называется плоскостью параллелизма.

Эту поверхность можно себе представить следующим образом. Пусть в пространстве расположены две кривые, согласованные относительно некоторой плоскости . Пусть плоскость сначала проходит через точку первой кривой и точку второй кривой. Прямая принадлежит множеству, описываемому в определении 2. Двигаясь параллельно самой себе, плоскость будет пересекать новые пары точек, лежащих на заданных кривых – они также будут принадлежать формируемой таким образом поверхности. Можно сказать, что плоскость «отстраивает» поверхность, проходя через данные кривые.

Первым нашим шагов в изучении данного вида поверхностей будет вывод уравнения данной поверхности.

4.1 Вывод уравнения поверхности класса КА

Итак, пусть задано две кривые и вектор (нормальный вектор порождающей плоскости).

Выберем систему координат так, чтобы ось совпадала по направлению с заданным вектором.

– первая кривая.

– вторая кривая.

,

,

.

Дополнительно требуем, чтобы первая и вторая кривые были согласованны относительно плоскости .

Возьмем точку , лежащую на оси . Плоскость, проходящая через данную точку и имеющая нормальный вектор , согласно условию согласованности пересекает каждую из кривых ровно в одной точке.

Кривую I в точке .

Кривую II в точке .

Становиться очевидным, что в качестве параметра кривых удобно выбрать . При переходе к параметру (Это можно сделать ввиду условия согласованности), уравнения кривых приобретают вид:

– первая кривая,

– вторая кривая.

Тогда при выбранной точке порождающая плоскость пересечет первую кривую в точке , а вторую кривую в точке .

Таким образом, направляющий вектор прямой, порожденной данной плоскостью и лежащей на поверхности есть вектор

.

Тогда легко понять, что вся поверхность описывается уравнением:

(3)

Так как разность – снова функция параметра , то иногда будет удобно использовать следующую запись уравнения:

(3*)

Уравнение (3) будем называть уравнением поверхности класса КА в параметрической форме. Еще раз заметим, что уравнения (3) и (3*) взаимозаменяемы при рассмотрении общего случая.

4.2 Вывод уравнения поверхности класса КА по заданным кривым

и нормальному вектору порождающей плоскости

Выше, мы вывели уравнение квазицилиндрической поверхности в каноническом виде, предполагая, что нормальный вектор порождающей плоскости направлен по оси .

Однако, интересно бы было получить параметрическое (или общее уравнение) такой поверхности без такого допущения (т.е. в случае, когда вектор нормали порождающей плоскости направлен произвольно).

Для этого мы воспользуемся простым соображением. Чтобы воспользоваться каноническим уравнением поверхности в форме (3) нам надо повернуть поверхность так, чтобы нормальный вектор порождающей плоскости стал сонаправлен направляющему вектору оси .

Нам достаточно вывести матрицу такого поворота. Для этого поворот будем осуществлять в два этапа:

1. Поворот относительно оси , так, чтобы проекция вектора на плоскость оказалась бы в плоскости .

2. Поворот вокруг нового положения оси (после операции 1) до совпадения нового положения оси с самим вектором .

Рассмотрим плоскость .

.

Т.е. нам надо повернуть поверхность на угол относительно оси . Однако, тут есть два важных момента:

1) Если мы будем вращать в положительном направлении, то угол следует брать со знаком +, если в отрицательном, – со знаком минус. Таким образом, выражение для угла поворота относительно оси примет вид:

.

2) Полученное в п. 1 выражение для угла поворота также не является точным, поскольку в случае становиться некорректным.

Очевидно, в этом случаем вектор лежит на оси и вращать относительно ее поверхность не требуется. Решить проблему можно так: вместо подставить функцию:

.

Такую функцию легко записать аналитически:

Итак, мы получим выражение для угла поворота относительно оси :

(4)

После первого поворота, нам надо осуществить второй – относительно оси (эта ось направлена «вглубь» рисунка.

.

Этот поворот нам придется делать либо в положительном, либо в отрицательном направлении, поэтому формула для второго угла поворота примет вид:

.

Тут важно отметить, что первым поворотом мы всегда придем к картине, когда угол между направляющим вектором оси и вектором (нового его положения) всегда будет лежать на отрезке (это происходит из-за правильного выбора знака угла первого поворота).

Осталось отметить один неприятный частный случай, а именно, когда вектор лежит на оси . В этом случае , а значит , что неверно, когда вектор направлен в отрицательном направлении оси (в этом случае, нам требуется осуществить поворот на угол или ). Пользуясь приемом, примененным в пункте 1 мы уточним нашу формулу:

(5)

Дополнительных уточнений, тут, вероятно, уже не нужно.

Как известно, матрица поворота относительно оси имеет вид:

.

Относительно оси (в нашем случае, – нового ее положения):

.

Суммарно поворот описывается произведением этих матриц:

Подставлять значения углов в эту матрицу, – сущее безумие, поэтому просто поймем, как будут выглядеть уравнения для направляющих кривых квазилинейчатой поверхности при таком повороте.

– первая кривая, – вторая кривая до описанного поворота. Очевидно, после поворота они преобразуются так:

Для первой и второй кривой соответственно. Т.е.

,

Запишем теперь каноническое уравнение в поверхности в параметрической форме.

Итак, если заданы две кривые , , согласованные относительно плоскости с нормальным вектором , то параметрическое уравнение соответствующей поверхности определяется следующими соотношениями (6) и (7)

(6)

(7)

Это кажущаяся сложность. В дальнейшем, для изучения внутренней геометрии поверхности мы будем пользоваться, как правило, каноническим ее заданием.

Мы можем рассмотреть другой подход к параметризации поверхностей класса КА.

Теорема 4.1. Всякая поверхность класса КА является поверхностью Каталана. Обратное неверно: есть поверхности Каталана, не являющиеся поверхностями класса КА.

Первое утверждение теоремы – очевидно, в силу определения поверхности класса КА.

Для доказательства второго – достаточно привести пример.

Таким примером может служить прямой круговой цилиндр – плоскость параллелизма будет пересекать каждую из этих кривых, за исключением двух точек ровно по двум точкам.

Следует отметить, что поверхность Каталана всегда можно разбить на куски, каждый из которых будет представлять из себя поверхность класса КА.

Теорема 4.2. Поверхность класса КА является цилиндрической, тогда и только тогда, когда разности между радиус-векторами направляющих кривых при согласованных значениях параметров для каждой из них являются коллинеарными векторами.

Глава 5. Дифференциальная геометрия поверхностей класса КА

Определим основные характеристики поверхностей класса КА. Нам будет интересно, в частности, рассматривать различные понятия и свойства этих поверхностей в разрезе направляющих кривых, так, что мы будем использовать (3) форму записи уравнения поверхности.

Сделаем предварительное замечание относительно обозначений. Для удобства записи и наглядности индексы, обозначающие принадлежность координатных функций к первой или ко второй кривой будут указывать в слева вверху относительно символа, в отличие от предыдущих глав.

Так как поверхности класса КА являются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые их особые, отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для начала рассчитаем некоторые характеристики линейчатых поверхностей.

5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой

Понятное дело, нас интересуют лишь коэффициенты, однозначно определяющие саму форму.

, ,

,

,

,

.

.

.

Определитель для краткости обозначим так (ибо непосредственное покоординатное вычисление не дает достаточно удобочитаемого результата).

.

, , .

1. Расчет .

(8)

.

. (9)

.

(10)

Итак, мы рассчитали коэффициенты первой и второй квадратичных форм линейчатой поверхности. Сделаем некоторые замечания.

Из формулы (9) очевидно, что необходимое и достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является развертывающейся, может быть переписано в виде: .

Замечание 5.2. О различных точках линейчатой поверхности.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы для линейчатой поверхности.

. (11)

В связи с этим, проведем классификацию точек линейчатой поверхности.

1. Так как , то на линейчатой поверхности нет эллиптических точек.

2. Пусть , т.е. вторая квадратичная форма поверхности является знакопеременной. Таким образом, в точке , для которой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления, обладающих следующими свойствами:

а) Для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма, вычисленная в точке , обращается в нуль.

б) все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса – для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна, а для другого отрицательна.

Такие точки, как известно, называются гиперболическими.

В силу замечания 1, гиперболическими точками среди линейчатых поверхностей обладают только косые линейчатые поверхности (например, все точки архимедова геликоида – гиперболические).

3. Пусть и . В окрестности такой точки поверхность лежит по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки называются параболическими.

Такими точками обладают развертывающиеся поверхности.

4. . Такие точки называют точками уплощения поверхности.

5.2 Первая квадратичная форма поверхности класса КА

Ограничимся вычислением лишь коэффициентов.

.

,

,

5.3 Вторая квадратичная форма поверхности класса КА

, , .

,

,

.

Мы могли бы и сразу воспользоваться результатами 3.1. Т.е. для всякой поверхности Каталана верно.

,

,

,

,

,

,

При расчете второй квадратичной формы мы не получим дополнительных улучшений.

Итак, окончательно зафиксируем результат. Производные функции для удобства будем обозначать далее штрихами.

,

,

,

,

.

Где

Глава 6. О программе визуализации и анализа поверхностей

6.1 Общие положения и возможности программы

Ввиду поставленной задачи, а также для наличия удобного инструмента исследования дифференциальной геометрии поверхностей была разработана компьютерная программа визуализации параметрически заданных поверхностей, кривых, кривых на поверхности.

Данная программа позволяет легко и наглядно представлять себе геометрию поверхностей, задав ее параметрическое уравнение, границы параметров и мелкость сетки.

Имеется также возможность раскрашивать поверхность, задавать текстуру, выводить сеть заданной толщины и многое другое.

В программе есть средства для численного расчета всех дифференциальных характеристик, необходимых автору работы.

В программе встроено два алгоритма проверки произвольной поверхности на линейчатость: вращением сети и методом нормального сечения.

При разработке использовалась среда.NET, язык C# и технология OpenGL ([13],[14],[15]).

Нашей целью не ставиться описывать тут алгоритмы этой программы. Она представляет собственный интерес и довольно сложна.

Приведем далее примеры работы этой программы.

6.2 Примеры работы

Это простая визуализация поверхности.

Это пример анализа на линейчатость.

На этом мы закончим свою работу.

1. Проведен подробный анализ поверхностей Каталана с точки зрения дифференциальной геометрии, получены важные необходимые и достаточные условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Получены уравнения для определения минимальных поверхностей Каталана. Для частных случаев сформулированы и доказаны теоремы. Как и ожидалось поверхности Каталана обладают своими, отличными от всех линейчатых поверхностей свойствами, которые и отражены в этой работе.

2. Рассмотрен особый подкласс поверхностей Каталана – поверхности класса КА. Независимо выведено уравнение этого класса поверхностей, получены формулы для сведения произвольно заданной поверхности к уравнению найденного типа. Выведены формулы для расчета первой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА, сформулирован и доказан ряд утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности класса КА.

3. Разработана программа визуализации и анализа параметрически заданных поверхностей, которая успешно решает задачу определения линейчатости поверхности для широкого спектра произвольно заданных уравнений поверхности. Позволяет наблюдать как результат – итоговые найденные прямые, так и промежуточные результаты (кривые нормального сечения).

4. Таким образом, поставленные перед автором задачи были полностью и успешно решены, однако, остались неохваченными некоторые полученные в ходе исследования новые уравнения, требующие дополнительного исследования (в частности, определения нахождения прямой на поверхности, имеющей общие точки со всеми образующими).

1. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 432 с. – ISBN 5-354-00294-Х (Книга включает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственных кривых и применении к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений линейчатых и развертывающихся поверхностей и внутренней геометрии поверхностей. Рекомендуется математикам и механикам – студентам, аспирантам и научным работникам. Может служить в качестве учебного пособия).

2. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. – Изд. 2-е исправл. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 488 с. – ISBN 5-354-0034301 (Книга знакомит с основными понятиями теории кривых и поверхностей, элементами тензорно исчисления, римановой геометрии и гладких многообразий, а также с некоторыми их приложениями в математике, физике, технике. Материал подробно проиллюстрирован примерами и рисунками. Книга рассчитана на математиков-прикладников, физиков, механиков, инженеров. Предполагается знакомство читателя с аналитической геометрией, линейной алгеброй, дифференциальным и интегральным исчислением).

3. Сизый С.В. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 376 с. – ISBN 978-5-9221-0742-6 (Настоящее учебное пособие представляет собой переработанный конспект лекций по курсу «Теория чисел» для студентов третьего курса механико-математического факультета Уральского государственного университета. В пособии представлены следующие разделы теории чисел: теория делимости целых чисел, цепные дроби, мультипликативные функции, теория сравнений, трансцендентные числа. Большинство пунктов пособия снабжено задачами для самостоятельного решения. Рекомендовано к изданию Научно-методическим советом по математике и механике УМО университетов России в качестве учебного пособия для математических специальностей и направлений подготовки в университетах).

4. Фиников П.С. Курс дифференциальной геометрии. – М.: КомКнига, 2007. – 344 с. – ISBN 5-484-00355-5 (Вниманию читателя предлагается курс дифференциальной геометрии, написанный известным отечественным математиком С.П.Финиковым. Во введении даются основные определения и рассматриваются простейшие свойства простой дуги кривой и простого куска поверхности. В первой части излагается теория кривых, описываются натуральные уравнения кривой и теория огибающих. Во второй части подробно рассматривается теория поверхностей. Также в книгу включен краткий исторический очерк развития дифференциальной геометрии от Лейбница до наших дней. Рекомендуется математикам, механикам, физикам-теоретикам – студентам, аспирантам, преподавателям и научным работникам).

5. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. – М.: Институт компьютерных исследований, Регулярная и хаотическая динамика, 2006. – 256 с. – ISBN 5-93972-467-1 (Изложены основы дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, а также несколько дополнительных разделов, посвященных теории групп Ли и элементам теории представления. Книга возникла из курса лекций, прочитанных автором на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Несмотря на компактность книги, все вопросы разобраны достаточно доступно, имеются задачи для самостоятельного решения. Может служить учебным пособием для студентов механико-математических и физических специальностей университетов).

6. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. – Новокузнецк: ИО НФМИ, 2003. – 222 с. – ISBN 5-80323-307-2 (Книга представляет собой курс лекций, прочитанных известным американским математиком Дж. Шварцем. Лаконичность и сравнительная простота изложения позволяют читателю быстро ознакомиться с основными понятиями дифференциальной геометрии и топологии. Начиная с общей теории многообразий, выясняя далее связь топологических инвариантов с инвариантами римановой метрики и переходя к К-теории, автор завершает изложение теоремой о векторных полях на сферах. Книга представляет интерес для широких кругов математиков. Ее могут использовать студенты, аспиранты и преподаватели университетов и пединститутов).

7. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. – М.: Платон, 2000. – 360 с. – ISBN 5-80100-284-7 (Книга американского ученого, знакомящая с основными понятиями и методами дифференциальной геометрии. В ней использован довольно общий алгебраический подход, изложение богато иллюстрировано графическим материалом, имеется около 300 задач).

8. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. – М.: КомКнига, 2006. – 304 с. – ISBN 5-484-00450-0 (Предлагаемая вниманию читателя книга, написанная известным отечественным математиком С.С. Бюшгенсом, представляет собой учебник по дифференциальной геометрии. Автор рассматривает следующие темы: исследование плоской кривой по ее уравнению, соприкосновение плоских кривых и кривизна кривой, пространственные кривые, поверхности, кривизна поверхностей, метод подвижного репера для поверхностей. Книга содержит большое количество упражнений и задач, которые сопровождаются либо полными решениями, либо достаточными указаниями для проведения этих решений. Рекомендуется студентам, аспирантам и преподавателям математических вузов, а также специалистам – математикам и физикам, применяющим в своих исследованиях методы дифференциальной геометрии).

9. Гусейн-Заде С.М. Дифференциальная геометрия. Современные лекционные курсы. М.: МЦНМО, 2004. – 80 с. – SBN 5-900916-93-6 (Настоящий текст представляет собой записи лекций, читавшихся С.М. Гусейн-Заде в Независимом Московском Университете в 1994/95 и в 1995/96 учебных годах для студентов 3 курса (во II семестре) с минимальными изъятиями и дополнениями. Лекции являлись продолжением части курса, читавшейся в первом семестре С.П. Новиковым, и основывались на нем. Текст публикуется в авторской редакции).

10. Блашке В. Введение в дифференциальную геометрию. – У.: Издательство Удмуртского университета, Регулярная и хаотическая динамика, 2005. – 232 с. – ISBN 5-7029-0342-0 (В этой книге излагается в элементарной форме основы теории кривых и поверхностей с помощью метода внешних форм Картана. Идеи этого метода изложены в объеме, достаточном для понимания основного материала. В конце каждой главы приведены задачи и вопросы. В комментариях В.А. Александрова отражено современно состояние обсуждаемых вопросов. Книга рассчитана на студентов и аспирантов, специализирующихся в области математики).

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Лань, 2003. – 832 с. – ISBN 5-8114-0485-9 («Справочник» содержит сведения по следующим разделам: высшая алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, математический анализ (включая интегралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные координаты, функции комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление, абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы и теория представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и математическая статистика, численные методы анализа, специальные функции. Справочник рассчитан на студентов старших курсов математических специальностей, научных работников и инженеров).

12. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Издательство «Факториал Пресс», 2000. – 448 с. – ISBN: 5-88688-048-8 (Книга представляет собой курс дифференциальной геометрии, читаемый в течение двух семестров на математических факультетах университетов. Она содержит основной программный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теории гладких многообразий, теории кривых и поверхностей, группам преобразований, тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям, фундаментальным группам поверхностей, вариационным принципам в римановой геометрии. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал. Для математиков и физиков – студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников).

13. Эйнджел Э. Интерактивная компьютерная графика. –М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 592 с. –ISBN5-8459-0209-6 (Книга представляет собой вводный курс компьютерной графики, в котором основной упор сделан на вопросах прикладного программирования. Она включает описание структуры графических систем и обсуждение основных концепции формирования изображений трехмерных объектов и сцен. Рассматривается взаимодействие освещения и материалов, также приводятся основные сведения о методах тонирования освещенных поверхностей, принципах иерархической организации графических моделей и новых возможностях современных аппаратных графических средств. В книгу включены те разделы линейной алгебры и геометрии, которые необходимы для понимания основ компьютерной графики. Обсуждаются методы построения кривых и поверхностей, языковые модели, фракталы и системы частиц, а также методика применения графических средств для визуализации результатов научных расчетов. Весь теоретический материал в книге иллюстрируется программами на OpenGL. Книга адресована в основном студентам старших курсов и аспирантам первого года обучения, специализирующимся в области информатики и вычислительной техники, но будет также полезна и многим профессионалам).

14. Шрайнер Д. OpenGL. Официальный справочник. – СПб: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. – 512 с. – ISBN 0-201-65765-1, 5-93772-048-2 (Эта книга является первым русским изданием третьей редакции официального справочника по OpenGL, подготовленным Наблюдательным Советом по Архитектуре OpenGL и компанией SGI. Материал в книге расположен так, что позволяет читателю быстро и эффективно найти в огромной графической библиотеке OpenGL нужную команду или константу, познакомиться с основными идеями и принципами реализации той или иной команды, понять, как работает та или иная команда, а также разобраться с общей архитектурой OpenGL. Книга написана достаточно строго, но понятно, и рассчитана на широкий круг читателей – от новичков до специалистов, уже работающих с OpenGL).

15. М. Ву, Т. Девис, Дж. Нейдер, Д. Шрайнер. OpenGL. Руководство по программированию. – СПб: «Питер», 2006. – 624 с. – ISBN 5-94723-827-6, 0-3211-7348-1 (Это 4-е издание признанного бестселлера, посвященного OpenGL и его библиотеке инструментов. В книге описаны все возможности OpenGL и самые значительные приложения, содержится описание базовых методов компьютерной графики, таких как построение и воспроизведение трехмерных моделей, интерактивный просмотр объектов с различных точек наблюдения, использование тонирования, освещения и эффектов текстурирования. Представлено углубленное описание дополнительных методов компьютерной графики: наложение текстур, сглаживание, «туман» и имитация других атмосферных эффектов, сплайны, конвейерная обработка изображений и другие ключевые темы, такие как повышение производительности программ, расширения OpenGL и создание кросс-платформных приложений).