Основные уравнения равновесия произвольной системы сил

iSopromat.ru

Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, M_O=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

Формы условий равновесия

Первая форма

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Вторая форма

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

Третья форма

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Другие условия равновесия

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

и два уравнения для плоской системы:

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Условия и уравнения равновесия твердого тела: плоской и пространственной системы сил

Условия равновесия произвольной системы сил

Еще Ньютон говорил, что если геометрическая сумма сил, действующая на тело, равна нулю, то тело:

• либо находится в состоянии покоя;
• либо движется равномерно прямолинейно.

Из теоретической механики известно, что действие нескольких сил, просуммировав, можно заменить равнодействующей силой:

Тогда обязательное условие равновесия можно записать так:

Однако для полного равновесия, часто, этого условия недостаточно, если тело имеет возможность вращаться относительно какой-то точки или оси, то для равновесия такой системы, необходимо, чтобы выполнялось условие:

где M — главные момент системы, который эквивалентен сумме моментов системы относительно некоторого центра.

Условия равновесия плоской системы сил

Выше описанные условия означают, что система будет находится в равновесии, когда все силы, действующие на систему, будут взаимно уравновешиваться и момент относительно любой произвольной точки будет равен нулю, отсюда вытекает первая и основная форма условий равновесия для плоской системы сил:

Вторая форма условий равновесия записывается следующим образом:

Важно! Ось не должна быть перпендикулярна прямой AB.

И, наконец, третья форма условий равновесия выглядит так:

Из данной системы уравнений следует, что для равновесия системы достаточно равенства нулю суммы моментов относительно трех точек.

Важно! Точки, относительно которых записываются уравнения не должны лежать на одной прямой.

Уравнения равновесия для плоской системы сил

Рассмотрим на примере плоской балки, как записываются уравнения равновесия. Использовать будет классическую (первую) форму условия равновесия:

Сумма моментов относительно точки A:

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (y):

Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось(x):

Условие равновесия пространственной системы сил

Для пространственной системы сил условие равновесие выглядит вот так:

Таким образом, пространственная система будет находиться в равновесии, если суммы проекций сил на координатные оси, а также суммы моментов относительно осей будут равны нулю.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил

В качестве примера рассмотрим пространственную раму, закруженную сосредоточенными силами. Составим для нее шесть уравнений равновесия:

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Уравнения равновесия плоской системы сил

Всякая система произвольно расположенных в плоско­сти сил может быть приведена к главному вектору и глав­ному моменту (см. — здесь).

Для равновесия системы сил, произвольно рас­положенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Величину главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы.

Для равновесия необходимо, чтобы главный вектор был равен нулю.

Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы глав­ный момент также был равен нулю.

Таким образом, имеем уравнения:

ΣP_x = 0 (сумма проекций всех сил на ось X равна 0);

ΣP_y = 0 (сумма проекций всех сил на ось Y равна 0);

ΣM_o =0 (сумма моментов относительно любой точки равна 0)

Данные уравнения являются уравнениями равно­весия тела, находящегося под воздействием системы сил, произвольно расположенных в плоскости.