Плоская задача теории упругости в полярных координатах
При решении плоской задачи в полярных координатах ряд инженерных задач удается решить путем непосредственного интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Ориентация и обозначение напряжений в полярной системе координат показаны на рисунке 3.
Основные уравнения плоской задачи теории упругости в полярных координатах имеют вид:
(8)
уравнение совместности деформаций в напряжениях:
(9)
где Ñ 2 — гармонический оператор Лапласа в полярных координатах:
, (10)
соотношения Эри и бигармоническое уравнение:
(11)
(12)
Несмотря на более громоздкий вид уравнений плоской задачи в полярных координатах для ряда инженерных задач удается найти решение в замкнутом виде.
Одной из таких задач является задача о простом радиальном напряженном состоянии, когда при интегрировании уравнений (8) и (9) получают следующее напряженное состояние:
; . (13)
Этому состоянию соответствует задача о клине, нагруженном силой в вершине (рисунок 4).
Значения постоянных k и q0, можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:
(14)
; (15)
где a — угол полураствора клина и b — угол отклонения силы Р от биссектрисы угла.
Большое инженерное решение имеет частный случай — задача Фламана о действии силы на полуплоскость (рисунок 5).
В этом случае угол полураствора клина равен a = 90°, угол b = 0°.
Постоянные: k =
Выражение для напряжений принимает вид:
Рассмотрим напряженное состояние полуплоскости на разных глубинах. Для этого удобнее перейти к декартовым координатам.
Воспользуемся выражениями для напряжений по наклонным площадкам:
(16)
(17)
(18)
На рисунках 6 – 8 показаны эпюры напряжений в слое, отстоящем от поверхности полуплоскости на расстоянии а.
Изгиб прямоугольной пластинки
При решении задач изгиба прямоугольной пластинки (рисунок 9) функцию прогиба w(x,y) находят путем интегрирования бигармонического уравнения изгиба пластинки:
(19)
Как было указано во введении, основная и наиболее трудоемкая часть задачи расчета жесткой пластинки заключается в определении функции w(x,y) как решения бигармонического уравнения Софии Жермен — Лагранжа (19), удовлетворяющего заданной нагрузке и условиям опирания пластинки. Здесь q(x,y) –поверхностная нагрузка на пластинку; – цилиндрическая жесткость пластинки; h – толщина пластинки.
Внутренние усилия (рисунок 10) и напряжения в пластинке связаны с перемещениями следующими зависимостями.
(20)
(21)
(22)
Согласно принятой в теории изгиба пластинок гипотезы Бернулли – Кирхгофа о жесткой нормали, напряжения, создающие изгибающие моменты Mx, My, определяются по формулам сопротивления материалов:
, (23)
где W = 1·h 2 /6 – момент сопротивления элемента поперечного сечения пластинки единичной ширины.
Таким образом, если известна функция w(x,y), то, вычислив максимальный прогиб, можно проверить условие жесткости. Далее, определив внутренние усилия по выражениям (20) и (21), можно найти их максимальные значения и по формулам (23) вычислить наибольшие напряжения и дать оценку прочности пластинки.
Уравнение (19) имеет множество решений и для отыскания своего решения необходимо воспользоваться граничными условиями – условиями опирания пластинки.
Запись условий опирания.
В теории пластинок приняты три основных вида опирания – защемление, свободное (шарнирное) опирание и свободный неопертый край.
Пусть левый край пластинки 0-1 с координатами х = 0, 0 ≤ у ≤ b защемлен (рисунок 11). В этом случае граничные условия принимают вид:
2) угол поворота левой грани
Если защемлены верхний или нижний края пластинки, условия опирания имеют аналогичные выражения:
1) прогиб w = 0, 2) угол поворота нижней (верхней) грани
Верхний край 0 — 2 с координатами 0 ≤ x ≤ a, y = 0 шарнирно оперт. Тогда граничные условия записываются как:
Изгибающий момент на грани My = 0. Поскольку производная по х на верхней опертой грани второе условие принимает вид:
2) My =
Если шарнирно оперты боковые грани, то условия опирания имеют вид:
1) w = 0, 2) Mx =
Пусть нижний край 1-3 (0 ≤ x ≤ a, y = b ) неоперт. В этом случае w ≠ 0, а нулю должны быть равны усилия (реакции) на свободном неопертом крае. Т. е.
Два последних условия можно объединить в одно и граничные условия примут вид:
1)
2) .
Если неоперты правый или левый край, то граничные условия запишутся как:
1)
2) .
Лекция 1. Основы теории упругости
1.1 Основные положения, допущения и обозначения
Теория упругости имеет целью аналитическое изучение напряженно-деформированного состояния упругого тела. С помощью теории упругости могут быть проверены решения, полученные с использованием допущений сопротивления материалов, и установлены границы применимости этих решений. Иногда разделы теории упругости, в которых, как и в сопротивлении материалов, рассматривается вопрос о пригодности детали, но с использованием достаточно сложного математического аппарата (расчет пластин, оболочек, массивов), относят к прикладной теории упругости.
В настоящей главе изложены основные понятия математической линейной теории упругости. Применение математики к описанию физических явлений требует их схематизации. В математической теории упругости задачи решаются с возможно меньшим числом допущений, что усложняет математические приемы, применяемые для решения. В линейной теории упругости предполагается существование линейной зависимости между составляющими напряжениями и деформациями. Для ряда материалов (резина, некоторые сорта чугуна) такая зависимость даже при малых деформациях не может быть принята: диаграмма s — e в пределах упругости имеет одинаковые очертания как при нагружении , так и при разгрузке, но в обоих случаях криволинейна. При исследовании таких материалов необходимо пользоваться зависимостями нелинейной теории упругости.
В математической линейной теории упругости исходят из следующих допущений:
1. О непрерывности ( сплошности ) среды. При этом атомистическая структура вещества или наличие каких-либо пустот не учитывается.
2. О естественном состоянии, на основании которого начальное напряженное (деформированное) состояние тела, возникшее до приложения силовых воздействий, не учитывается, т. е. предполагается, что в момент нагружения тела деформации и напряжения в любой его точке равны нулю. При наличии начальных напряжений это допущение будет справедливым, если только к результирующим напряжениям (сумме начальных и возникших от них из воздействий) могут быть применены зависимости линейной теории упругости.
3. Об однородности, на основании которого предполагается, что состав тела одинаков во всех точках. Если применительно к металлам это допущение не дает больших погрешностей, то в отношении бетона при рассмотрении малых объемов оно может привести к значительным погрешностям.
4. О шаровой изотропности , на основании которого считается, что механические свойства материала одинаковы по всем направлениям. Кристаллы металла не обладают таким свойством, но для металла в целом, состоящего из большого числа мелких кристаллов, можно считать, что эта гипотеза справедлива. Для материалов, обладающих различными механическими свойствами в разных направлениях, как, например, для слоистых пластиков, разработана теория упругости ортотропных и анизотропных материалов.
5. Об идеальной упругости, на основании которого предполагается полное исчезновение деформации после снятия нагрузки. Как известно, в реальных телах при любом нагружении возникает остаточная деформация. Поэтому допущение следует считать применимым, если остаточная деформация не превышает условно заданной нормы.
6. О линейной зависимости между составляющими деформациями и напряжениями.
7. О малости деформаций, на основании которого предполагается, что относительные линейные и угловые деформации малы по сравнению с единицей. Для таких материалов, как резина, или таких элементов, как спиральные пружины, создана теория больших упругих деформаций.
При решении задач теории упругости пользуются теоремой о единственности решения: если заданные внешние поверхностные и объемные силы находятся в равновесии, им соответствует одна единственная система напряжений и перемещений. Положен ие о е динственности решения справедливо, если только справедливы допущение о естественном состоянии тела (иначе возможно бесчисленное количество решений) и допущение о линейной зависимости между деформациями и внешними силами.
При решении задач теории упругости часто пользуются принципом Сен-Венана: если внешние силы, приложенные на небольшом участке упругого тела, заменить действующей на том же участке статически эквивалентной системой сил (имеющей тот же главный вектор и тот же главный момент), то эта замена вызовет лишь изменение местных деформаций.
В точках, достаточно удаленных от мест приложения внешних нагрузок, напряжения мало зависят от способа их приложения. Нагрузка, которая в курсе сопротивления материалов схематически выражалась на основании принципа Сен-Венана в виде силы или сосредоточенного момента, на самом деле представляет собой нормальные и касательные напряжения, распределенные тем или иным способом на определенном участке поверхности тела. При этом одной и той же силе или паре сил может соответствовать различное распределение напряжений. На основании принципа Сен-Венана можно считать, что изменение усилий на участке поверхности тела почти не отражается на напряжениях в точках, удаленных на достаточно большое расстояние от места приложения этих усилий (по сравнению с линейными размерами нагруженного участка).
Положение исследуемой площадки, выделенной в теле (рис. 1), определяется направляющими косинусами нормали N к площадке в выбранной системе прямоугольных осей координат х , у и z .
Если Р — равнодействующая внутренних сил, действующих по элементарной площадке , выделенной у точки А , то полное напряжение р N в этой точке по площадке с нормалью N определяется как предел отношения в следующей форме:
.
Вектор р N можно разложить в пространстве на три взаимно перпендикулярные составляющие.
1. На составляющие р Nx , р Ny и р Nz по направлениям трех осей (рис. 1, а). Эти составляющие положительны, если совпадают по направлению с положительными направлениями соответствующих осей. Согласно рис. 1, а
. (1.1,а)
2. На составляющие , и по направлениям нормали к площадке (нормальное напряжение) и двух взаимно перпендикулярных осей s и t (рис. 1,б), лежащих в плоскости площадки (касательные напряжения). Согласно рис.1, б
. (1.1,б)
Если сечение тела или площадка параллельны одной из плоскостей координат, например у0 z (рис. 2), то нормалью к этой площадке будет третья ось координат х и составляющие напряжения будут иметь обозначения , и .
Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, и отрицательно, если оно сжимающее. Знак касательного напряжения определяется с помощью следующего правила: если положительное (растягивающее) нормальное напряжение по площадке дает положительную проекцию, то касательное напряжение по той же площадке считается положительным при условии, что оно тоже дает положительную проекцию на соответствующую ось; если же растягивающее нормальное напряжение дает отрицательную проекцию, то положительное касательное напряжение тоже должно давать отрицательную проекцию на соответствующую ось.
На рис. 3, например, все составляющие напряжения, действующие по граням элементарного параллелепипеда, совпадающим с плоскостями координат, положительны.
Чтобы определить напряженное состояние в точке упругого тела, необходимо знать полные напряжения р N по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через эту точку. Так как каждое полное напряжение можно разложить на три составляющие, напряженное состояние будет определено, если будут известны девять составляющих напряжений. Эти составляющие можно записать в виде матрицы
,
называемой матрицей компонентов тензора напряжений в точке.
В каждой горизонтальной строчке матрицы записаны три составляющих напряжения, действующих по одной площадке, так как первые значки (название нормали) у них одинаковые. В каждом вертикальном столбце тензора записаны три напряжения, параллельных одной и той же оси, так как вторые значки (название оси, параллельно которой действует напряжение) у них одинаковые.
1.2 Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда и элементарного тетраэдра
Выделим у исследуемой точки А (с координатами х , у и z ) напряженного упругого тела тремя взаимно перпендикулярными парами плоскостей элементарный параллелепипед с размерами ребер dx , dy и dz (рис. 2). По каждой из трех взаимно перпендикулярных граней, примыкающих к точке А (ближайших к плоскостям координат), будут действовать три составляющих напряжения — нормальное и два касательных. Считаем, что по граням, примыкающим к точке А , они положительны.
При переходе от грани, проходящей через точку А , к параллельной грани напряжения меняются и получают приращения. Например, если по грани CAD , проходящей через точку А , действуют составляющие напряжения = f 1 ( x , y , z ), = f 2 ( x , y , z ,), = f 3 ( x , y , z ,), то по параллельной грани, вследствие приращения только одной координаты х при переходе от одной грани к другой, будут действовать составляющие напряжения Можно определить напряжения на всех гранях элементарного параллелепипеда, как показано на рис. 3.
Кроме напряжений, приложенных к граням элементарного параллелепипеда, на него действуют объемные силы: силы веса, инерционные. Обозначим проекции этих сил, отнесенных к единице объема, на оси координат через X, У и Z. Если приравнять нулю сумму проекций на ось х всех нормальных, касательных и объемной сил, действующих на элементарный параллелепипед, то после сокращения на произведение dxdydz получим уравнение
.
Составив аналогичные уравнения проекций сил на оси у и z , напишем три дифференциальных уравнения равновесия элементарного параллелепипеда, полученных Коши,
. (1.2)
При уменьшении размеров параллелепипеда до нуля он превращается в точку, а и представляют собой составляющие напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через точку А.
Если приравнять нулю сумму моментов всех сил, действующих на элементарный параллелепипед, относительно оси x c , параллельной оси х и проходящей через его центр тяжести, получим уравнение
или, с учетом того, что второй и четвертый члены уравнения высшего порядка малости по сравнению с остальными, после сокращения на dxdydz
или .
Составив аналогичные уравнения моментов относительно центральных осей у c и zc , получим три уравнения закона парности касательных напряжений
, , . (1.3)
Этот закон формулируется так: касательные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам и направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине и одинаковы по знаку.
Таким образом, из девяти составляющих напряжений матрицы тензора шесть попарно равны друг другу, и для определения напряженного состояния в точке достаточно найти лишь следующие шесть составляющих напряжений:
.
Но составленные условия равновесия дали нам всего лишь три уравнения (1.2), из которых шесть неизвестных найдены быть не могут. Таким образом, прямая задача определения напряженного состояния в точке в общем случае статически неопределима. Для раскрытия этой статической неопределимости необходимы дополнительные геометрические и физические зависимости.
Рассечем элементарный параллелепипед у точки А плоскостью, наклоненной к его граням; пусть нормаль N к этой плоскости имеет направляющие косинусы l , т и п. Получившаяся геометрическая фигура (рис. 4) представляет собой пирамиду с треугольным основанием — элементарный тетраэдр. Будем считать, что точка А совпадает с началом координат, а три взаимно перпендикулярные грани тетраэдра — с плоскостями координат.
Составляющие напряжения, действующие по этим граням тетраэдра, будем считать положительными. Они показаны на рис. 4. Обозначим через и проекции полного напряжения pN , действующего по наклонной грани BCD тетраэдра, на оси х , у и z . Площадь наклонной грани BCD обозначим dF . Тогда площадь грани АВС будет dF , грани ACD — dF и грани А D В — dF .
Составим уравнение равновесия тетраэдра, спроектировав все силы, действующие по его граням, на ось х ; проекция объемной силы в уравнение проекций не входит, так как представляет собой величину высшего порядка малости по сравнению с проекциями поверхностных сил:
,
.
Составив уравнения проекции сил, действующих на тетраэдр, на оси у и z , получим еще два аналогичных уравнения. В результате будем иметь три уравнения равновесия элементарного тетраэдра
. (1.4)
По известным трем проекциям найдем полное напряжение
. (1.5)
Разделим пространственное тело произвольной формы системой взаимно перпендикулярных плоскостей хОу , y О z и хО z (рис. 5) на ряд элементарных параллелепипедов. У поверхности тела при этом образуются элементарные тетраэдры, (криволинейные участки поверхности ввиду их малости можно заменить плоскостями). В таком случае р N будет представлять нагрузку на поверхности, а уравнения (1.4) будут связывать эту нагрузку с напряжениями и в теле, т. е. будут представлять граничные условия задачи теории упругости. Условия, определяемые этими уравнениями, называют условиями на поверхности.
Следует отметить, что в теории упругости внешние нагрузки представляются нормальными и касательными напряжениями, приложенными по какому-либо закону к площадкам, совпадающим с поверхностью тела.
1.3 Нормальные и касательные напряжения по наклонной площадке
Рассмотрим элементарный тетраэдр ABCD , три грани которого параллельны координатным плоскостям, а нормаль N к четвертой грани составляет с координатными осями углы, косинусы которых равны l , т и п (рис. 6). Будем считать заданными составляющие нормальные и касательные напряжения, действующие по площадкам, лежащим в координатных плоскостях, и определим напряжения на площадке BCD . Выберем новую систему прямоугольных осей координат х 1 , y 1 и z 1, так чтобы ось х1 совпадала с нормалью N , а оси у1 и z 1 лежали в плоскости площадки BCD . Каждая из этих осей будет иметь в системе осей x , y , z свои направляющие косинусы, указанные в табл. 1.
Плоская задача теории упругости в полярных координатах
Автор: Леонид Савенков • Март 24, 2020 • Реферат • 2,290 Слов (10 Страниц) • 209 Просмотры
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ИМЕНИ И. М. ГУБКИНА»
Кафедра технической механики
по дисциплине: «Основы теории упругости, теории пластичности и механики разрушения»
на тему «Плоская задача теории упругости в полярных координатах»
- Введение…………………………………………………………………. 3
- Общие уравнения равновесия в полярных координатах……………………..………………………………………….4
- Основные уравнения равновесия…………………………………………5
- Геометрические уравнения ……………………………………………….8
- Физические уравнения…………………………………………………. 10
- Статические уравнения…………………………………………………. 11
- Соотношения, связанные с функцией напряжений……………………..13
- Заключение……………………………………………………………….. 15
- Список используемой литературы……………………………………….16
Плоская задача теории упругости в полярных координатах.
Теория упругости – раздел механики сплошных сред, изучающий деформации упругих твёрдых тел, их поведение при статических и динамических нагрузках. Главная задача теории упругости – выяснить, каковы будут деформации тела и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. [1]
Цель моего реферата — изучить плоскую задачу теории упругости в полярных координатах, вывести основные уравнения, закон Гука в полярных координатах, а также выяснить, когда задачу теории упругости удобнее решать в полярных координатах. Данная тема является актуальной и по сей день, поскольку ряд задач теории упругости удобно решать не в прямоугольных, декартовых координатах, а в полярной системе координат. Если тело имеет форму кругового цилиндра или ограничено радиальными и круговыми сечениями цилиндра, плоскую задачу проще решать не в прямоугольных, а в полярных координатах.
- Общие уравнения плоской задачи в полярных координатах
При решение плоской задачи встречаются тела, ограниченные поверхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плоскостями. В этих случаях переход от декартовой системы координат к полярной значительно упрощаем наше решение. В полярной системе координат положение абсолютно любой точки плоскости можно определить двумя величинами: радиус-вектором r и полярным углом [pic 2] (Рисунок 2.1). Совместим полюс полярной системы координат ( r , [pic 3] ) с началом декартовой системы координат (x,y), а полярную ось совместим с осью абсцисс Ox ( Рисунок 2.1). А теперь выясним связь между координатами т.М в полярной и декартовой системах координат:
x = rcos [pic 4] ; y = rsin [pic 5] . (2.1)
Обратные зависимости имеют вид:
r = ; cos [pic 7] = = ; sin [pic 10] = = (2.2) [pic 6][pic 8][pic 9][pic 11][pic 12]
- Основные уравнения равновесия
Вырежем из пластинки бесконечной малый элемент (Рисунок 3.1) двумя радиальными плоскостями, образующими угол d θ, и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r+ dr.
Введем обозначения для напряжений:
σ r — нормальные напряжения по направлению радиуса, или радиальные напряжения;
[pic 14] — нормальные напряжения в перпендикулярном направлении, или тангенциальные напряжения;
http://www.soprotmat.ru/lectuprugost1.htm
http://ru.essays.club/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B8/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8-%D1%83%D0%BF%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8-295984.html