Основные виды уравнений способы их решения

«Виды уравнений и способы их решения»

Содержимое публикации

Актуальность темы: Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений. Исходя из этого я хочу помочь систематизировать знания для студентов и сделать картотеку с решением различных уравнений.

Цель проекта: изучить различные виды уравнений и понять способы их решения

1. Изучить литературу и интернет-ресурсы по данному вопросу.

2. Выбрать и разобрать более распространенные виды уравнений.

3. Создать картотеку с решением различных видов уравнений.

Математические уравнения, их виды, способы их решения.

Изучение, анализ, практическое применение полученных знаний.

Практическая значимость проекта:

1. Мой продукт будет полезен для учеников и студентов при подготовке к экзаменам;

2. Привлечения внимания студентов к математике, повышение их заинтересованность в данном предмете и успеваемость.

Глава 1. Теоретические основы применения математических уравнений, их виды и способы решения

Математика — удивительнейшая наука, без которой не может существовать человечество. В ней интересно абсолютно всё — от арифметических действий и решения различных задач до её истории.

Но историей люди зачастую пренебрегают, ссылаясь на то, что математика и история — науки совершенно противоположные. Позвольте разрушить этот стереотип, доказав, что изучать историю очень интересно и, к тому же, важно для знания и понимания самой математики, царицы всех наук.

Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:

«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе.

Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х²= 16, мы получаем два числа: 4, –4.

Разумеется, в задаче египтян мы приняли бы X = 4, так как длина поля может быть только положительной величиной.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает, по существу, с современным, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!».

Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В его «Арифметике» нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате «Ариа-бхатиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m и др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение, которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5,y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру,x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19,x+6·(x+6·(x−8))=3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y.

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменнойx, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a+1=5 мы заменим букву числом 2, то равенство станет неверным, а если 4, то получится верное равенство 4+1=5.

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0·x=5. Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0.

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x−2=4 есть только один корень – шесть, в x2=9 два корня – три и минус три, вx·(x−1)·(x−2) =0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x+y=7, которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4, то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как(3,4).

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Глава 2 Картотека математических уравнений

2.1. Линейное уравнение

Линейнымуравнением называется уравнение вида ax+b=0, в котором a и b — действительные числа.

Решение линейного уравнения в зависимости от параметра

1. Если a не является 0, у уравнения — один корень.

Например, если 2x−4=0, то x=2.

2. Если a=0, но b не равно 0, у уравнения нет корней.

Например, 0x=3 — нет такого значения x, при умножении которого на 0 можно получить 3.

3. Если a=0 и b=0, то корень уравнения — любое число.

Например, 0x=0 — умножив ноль на любое число, получим 0.

2.2. Степенное уравнение

В показательных уравнениях, которые часто называют степенными, в основании находятся исключительно числа. Переменная же есть только в показателе.

Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная величина находится в показателе степени.

Для решения необходимо опираться на следующие свойства и правила:
1. Любое положительное число, возведенное в степень, равную единице, равно самому себе, то есть 91 = 9. Если же возвести число в степень ноль, то результат всегда будет одинаковым, а именно, равным единице: 90 = 1. 2. Если математическое выражение возводится в отрицательное значение, то его можно заменить дробью, где числитель – единица, а знаменатель первоначальное выражение, но уже в положительной степени. Числитель – значение, находящееся над чертой, знаменатель – под ней. Математически правило записывается в следующем виде:

3. Чтобы возвести число в степень, нужно умножить его на себя такое количество раз, которое равно ее значению, то есть р5 = р·р·р·р·р.

4. Если нужно умножить два положительных числа, отличных от единицы и равных между собой, то нужно сложить их показатели и возвести в полученное значение основание: p5·p3= p5+3 = p8.

5. Когда требуется разделить одно число на другое, имеющие отличные показатели, нужно вычесть из одного другой и возвести в полученное значение неизменное основание: p9/p3= p9-3 = p6.

6. Если необходимо возвести одну степень в другую, то нужно их перемножить. Само основание при этом остается без изменений. Его нужно возвести в полученное после арифметических действий значение: (p3)4 = p3*4 = p12.

Применение свойств и правил помогает упростить выражения, быстрее произвести вычисления и получить результат. Закрепить материал помогут подробные объяснения при решении показательных уравнений. Разъяснения на практике помогут изучить сложные моменты и облегчат усвоение знаний.

Упростить и решить уравнение:

В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится:

Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот:

2.3. Дробное уравнение

Дробные рациональные уравнения — вид: Рациональное уравнение — это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень. Любое рациональное уравнение сводится к алгебраическому

Например, вот такое уравнение:

В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:

1) Все слагаемые переносим в одну сторону.

2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).

3) После упрощения решаем уравнение типа « дробь равна нулю ».

В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

Решить дробно-рациональные уравнения:

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

Это — квадратное уравнение. Его корни

Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4. Ответ: 5; -6.

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

— при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

Из двух корней квадратного уравнения

— второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

2.4. Иррациональное уравнение

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.

Если а 1 не имеет решений.

При|a|≤1 имеет бесконечное число решений.

2. Уравнение cosx=a

При|a|>1 — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При|a|≤1 имеет бесконечное множество решений.

3. Уравнение tgx=a

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.

4. Уравнение ctgx=actgx=a

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa

Проанализировав собранную информацию о линейном, степенном, дробном, иррациональном и тригонометрическом уравнениях, все данные я соберу в самодельную картотеку. В ней будут находится данные виды уравнений и способы их решения с примерами. Эта картотека будет выступать продуктом в моей работе.

После сбора информации, я подготовила необходимые материалы для создания продукта. (Приложение А)

Затем сделала фон будущих страниц картотеки. (Приложение Б)

После того как страницы высохли, я перенесла нужную информацию, отталкиваясь на содержание картотеки. (Приложение В)

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XXI век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

Работа была выполнена в соответствии с поставленными задачами. Я изучила литературу и интернет-ресурсы по своей теме. Из всех видов уравнений я выбрала наиболее распространенные и создала картотеку с их решением.

В ходе работы, пока я создавала свою картотеку, я разобралась в решении уравнений таких видов как: линейное, степенное, дробное, иррациональное и тригонометрическое уравнение. Я надеюсь, что мой доклад может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений.

Также мой продукт поможет студентам и школьникам при подготовке к экзаменам. Ведь, видя перед собой наглядный пример уравнений с их решением и примерами, понимать и запоминать информацию намного легче.

Список использованных источников

Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.

Бурцева У. А. Системы линейных уравнений. — Волгоград: гос. техн. ун-т. — 2005. — 23 с.

Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.

Калягин Ю.М., Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физико-математических педагогических институтов. М.: Просвещение, 1985 г. — 462 с.

Фридман Л.М., Е.Н. Турецкий Как научиться решать задачи. Книга для учащихся старших классов средней школы. Москва «Просвещение», 1998 г. — 192 с.

Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

«Виды уравнений и способы их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Доклад по математике на тему:

«Виды уравнений и способы их решения»

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположила материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попыталась показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стала ограничиваться только действительным решением, но и указала комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто не законченно. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений.

Математика. выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

1. УРАВНЕНИЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .

Пример: 5 *7 – 6 = 20 + 9

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: ,,c, . – или теми же буквами, снабженными индексами:, , . или , , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита:x, y, z. По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными

Решением уравнения называют такой буквенный или числовой набор неизвестных, которые обращает его в тождество (соответственно числовое или буквенное). Часто решение уравнения называют его также его корнем.

1.1. Линейное уравнение

Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

ax + b = c, где a ≠ 0

Это уравнение имеет единственное решение:

1.2 Квадратное уравнение

Квадратным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

a + bx + c = 0, где a ≠ 0

Дискриминантом квадратного уравнения называют число D =

Справедливы следующие утверждения

1. Если D 0 , то уравнение решений не имеет

2. Если D = 0 , то уравнение имеет единственное решение

3. Если D 0, то уравнение имеет 2 решения

1.2.1 Неполное квадратное уравнение

Неполным квадратным уравнением называют квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

При c =0, уравнение принимает вид:

a+ bx = 0 или x (ax + b) = 0

т.е. либо х=0, либо ax + b = 0, откуда х=0,

При b =0, уравнение принимает вид: a+ c = 0

если выражение 0, то уравнение решений не имеет

если с=0, то уравнение имеет единственное решение: х=0

если выражение, 0,то решений два:

1.2.2 Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета

Приведённым квадратным уравнением называют уравнение вида

т.е. квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице.

Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым. Для этого достаточно каждый коэффициент данного уравнения разделить на первый коэффициент, т.е. на а

Теорема Виета : Если приведённое квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –p, а их произведение- свободному члену q.

Теорема, обратная теореме Виета : Если сумма двух чисел и равна числу –p, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведённого квадратного уравнения + px + q =0

Пример: Используя теорему, обратную теореме Виета, найти корни уравнения

Это уравнение имеет целые корни, Корни легко угадать: это действительно: (-1) * (-2) = 2 и (-1) +(-2) = -3. Значит, числа -1 и -2 являются корнями данного уравнения.

3. Биквадратное уравнение

Уравнение вида a + b + c = 0 называют биквадратным

Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Заметим что t ≥ 0, так как t = исходное уравнение имеет вид

Т.е. является обыкновенной квадратным уравнением, которое решается по приведенной выше схеме.

Пусть и – корни полученного квадратного уравнения. Если > 0 и , исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

Если одно из чисел или отрицательно, а другое неотрицательно, то имеем два корня, либо один (x = 0).

Введение нового переменного – наиболее распространенный метод решения самых разных уравнений.

Решение. Обозначим и заметим, что t ≥ 0

Тогда исходное уравнение примет вид:

Так как D > 0, то полученное квадратное уравнение имеет два корня

Оба эти корня удовлетворяют условию (*) следовательно, уравнение имеет четыре действительных решения

3. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Из теоремы Виета следует очень важное утверждение:

теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители.

Если квадратное уравнение a + bx + c = 0, где a ≠ 0 имеет действительные корни то квадратный трёхчлен

a + bx + c = 0 раскладывается на множители следующим образом: a + bx + c = а ( х- ) ( х — )

Пример: Разложить н множители выражение 3 + 5x

Решение: Найдём корни уравнения 3 + 5x = 0

_{По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:}

3. Уравнение, содержащие переменную под знаком модуля

Модулем числа называют само это число, если оно неотрицательно, либо число — | |.

Формальная запись этого определения такова:

При решении уравнений, содержащих переменную плд знаком модуля, используется определение модуля.

пример: решить уравнение: | |=

решение: по определению модуля:

Говорят, что выражение модулем меняет свой знак в точке x=1, поэтому все множество чисел разбивается на два числовых промежутка.

а) При x ≥ 1 исходное уравнение принимает вид:

3. Иррациональные уравнения

1. Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени

Возведение обеих частей уравнения в степень

При возведении обеих частей уравнения в четную степень (в частности, в квадрат) получается уравнение, неравносильному исходному.

Кроме корней исходного уравнения могут появиться посторонние корни, т.е. числа, являющиеся решениями возведенного в четную степень уравнения, но не являющимися корнями исходного уравнения.

Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляет в начальное уравнение и проверяют, верное ли получается числовое неравенство.

Пример. Решить уравнение

Решение возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

Проверка. При но 1 ≠ -1 следовательно корень x=-1 посторонний

При x = 2; так как 2=2, то проверяемое число действительно является корнем исходного уравнения

1.7 Тригонометрические уравнения

Решение: так как то уравнение можно переписать следующим образом:

2 ( 1 — ) + 7 — 5 = 0, т.е. 27

Полагая, что = y, приходим к квадратному уравнению

2 – 7 y + 3 = 0, откуда = = 3, и получаем совокупность двух простейших уравнений

Первое из них имеет решение

, а второе решений не имеет

1.8 Системы уравнений

Система уравнений состоит из двух и более алгебраических уравнений.

Решением системы называют такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

2. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим несколько способов решения систем уравнений

2.1 Графический способ решения системы уравнений

Решение. Каждое уравнение системы задаёт линейную функцию. Построим графики этих уравнений в одной системе координат. Координаты пересечений графиков обращают оба уравнения системы в верные равенства. Решением системы является пара значений переменных: х=1,у=1. Ответ можно записать так: ( 1; 1 )

Графический способ решения систем уравнения состоит в следующем:

1. Строятся графики каждого уравнения системы

2. Определяются точки пересечения графиков

3. Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков.

2.2 Метод подстановки

Решение: Из первого уравнения выразим x через y:

Подставив полученное выражение во второе уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным

Подставив это число в выражение

Получим ответ: x = 3

Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки

1. Из одного уравнения системы одна переменная выражается через другую.

2. Полученное выражение подставляется во второе уравнение системы.

3. Решается полученное после подстановки уравнение

4. Полученное решение подставляется в выражение из п.1

5. Если при решении последнего уравнения получается тождество 0=0, то это означает, что исходная система имеет бесконечное множество решений вида (х, у), каждое из которых удовлетворяет первому уравнению системы. Если же при тождественных преобразованиях последнего уравнения получится неверное числовое равенство, то система решений не имеет.

2.3 Метод сложения

Решение: Домножим первое уравнение системы на 2, а второе — на 3. Сложим получившиеся уравнения почленно и запишем результат вместо второго уравнения системы.

Числа, на которые домножают уравнения перед сложением, выбирают так, чтобы при суммировании коэффициент перед одной из переменных стал равен нулю.

В результате преобразований уравнений системы и замены одного из уравнений результатом суммирования других получены равносильные системы.

Две системы называют равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой системы и наоборот.

2.4 Метод введения новой переменной

При решении систем нелинейных уравнений, как правило, применя-ются различные комбинации нескольких методов решения систем.

Решение. Преобразуем второе уравнение системы воспользовавшись формулой сокращенного умножения

Из первого уравнения системы x-y =1; подставим 1 во второе уравнение. Запишем получившуюся систему:

К этой системе уже вполне применим метод – выразить одно неизвестное из первого уравнения системы и подставить во второе:

В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мой доклад может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного доклада я не ставила себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.

На основании всего выше изложенного можно сделать вывод, что уравнения необходимы в современном мире не только для решения практических задач, но и в качестве научного инструмента. Поэтому так много ученых изучали этот вопрос и продолжают изучать.

1. Большой справочник для школьников, поступающие в вузы

П.И. Алтынов, И. И. Баврин, Е. М. Бойченко и др. – М. Дрофа, 2016-840 с.

2. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.

Виды уравнений и способы их решения

Презентация к уроку

Цели урока:

Обучающие:

Обобщить знания по всем видам уравнений, подчеркнуть значимость всех способов, применяемых при решении уравнений.
Активизирование работы учащихся за счет, разнообразных приемов на уроке.
Проверить теоретические и практические навыки при решении уравнений.
Заострить внимание на том, что, одно уравнение можно решить несколькими способами

Развивающие:

Повысить интерес учащихся к предмету, через использование ИКТ.
Ознакомление учащихся с историческим материалом по теме.
Развитие мыслительной деятельности при определении вида уравнения и способов его решения.

Воспитательные:

Воспитать дисциплину на уроке.
Развитие способности к восприятию прекрасного, в себе самом, в другом человеке и в окружающем мире.

Тип урока:

Урок обобщения и систематизации знаний.

Вид урока:

Комбинированный.

Материально-техническое оснащение:

Компьютер
Экран
Проектор
Диск с презентацией темы

Методы и приемы:

Использование презентации
Фронтальная беседа
Устная работа
Игровые моменты
Работа в парах
Работа у доски
Работа в тетрадях

План урока:

Организационный момент (1минуты)
Расшифровка темы урока (3минуты)
Сообщение темы и цели урока (1минута)
Теоретическая разминка (3минут)
Исторический экскурс (3минуты)
Игра “Убери лишнее” (2минуты)
Творческая работа (2минуты)
Задание “Найди ошибку” (2минуты)
Решение одного уравнения несколькими способами (на слайде) (3минуты)
Решение одного уравнения несколькими способами (у доски) (24 минут)
Самостоятельная работа в парах с последующим объяснением (5минут)
Индивидуальное домашнее задание(1минуты)
Итог урока рефлексия (1минута)

Эпиграф урока:

“Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”.
А.Франс

Конспект урока

Организационная часть

Проверяю готовность учащихся к уроку, отмечаю отсутствующих на уроке. Ребята, Французский писатель 19 века А.Франс однажды заметил “ Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом”. Так давайте на нашем уроке следовать совету, писателя и переваривать знания с большим аппетитом, ведь они пригодятся в нашей жизни.

Расшифровка темы урока

Для того, чтобы перейти к более сложном заданием, давайте разомнем свои мозги простыми заданиями. Тема нашего урока зашифрована, решив устные задания и найдя к ним ответ, зная, что каждый ответ имеет свою букву, мы раскроем тему урока. Презентация слайд 3

Сообщение темы и цели урока

Вы, сегодня сами назвали тему урока

“Виды уравнений и способы их решения”. Презентация слайд 4

Цель: Вспомнить и обобщить все виды уравнений и способы их решения. Решить одно уравнение всеми способами. Презентация слайд 5 Прочитать высказывание Эйнштейна Презентация слайд 5

Теоретическая разминка

Вопросы Презентация слайд 7

Ответы

Равенство, содержащее переменную величину, обозначенную какой-то буквой.
Это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.
Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
После этого определения прочесть стихотворение об уравнении Презентация слайд 12,13,14

Ответы на 2 последних вопроса Презентация слайд 9,10,11

Исторический экскурс

Историческая справка, о том “Кто и когда придумал уравнение” Презентация слайд 15

Представим себе, что первобытная мама по имени. впрочем, у неё, наверно, и имени то не было, сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать каждому из своих 4 детей. Вероятно, она не умела считать не только до 12, но и до четырёх, и уж несомненно не умела делить 12 на 4.А яблоки она поделила, наверно, так: сначала дала каждому ребёнку по яблоку, потом ещё по яблоку, потом ещё по одному и тут увидела, что яблок больше нет и дети довольны. Если записать эти действия на современном математическом языке, то получается х4=12, то есть мама решила задачу на составление уравнение. По-видимому, ответить на поставленный выше вопрос невозможно. Задачи, приводящие к решению уравнений, люди решили на основе здравого смысла с того времени, как они стали людьми. Ещё за 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых и приёмы решения были не похожи на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитие учения об уравнениях достиг греческий учёный Диофант(III век), о котором писали:

Он уйму всяких разрешил проблем.
И запахи предсказывал, и ливни.
Поистине, его познанья дивны.

Большой вклад в решение уравнений внёс среднеазиатский математик Мухаммед ал Хорезми (IХ век). Его знаменитая книга ал-Хорезми посвящена решению уравнений. Она называется “Китаб ал-джебр вал-мукабала”, т. е. “Книга о восполнении и противопоставлении”. Эта книга стала известна европейцам, а от слова “ал-джебр” из ее заглавия произошло слово “алгебра” – название одной из главных частей математики. В дальнейшем многие математики занимались проблемами уравнений. Общее правило решений квадратных уравнений приведённых к виду х2+вх=0 было сформулировано немецким математиком Штифелем, проживавшим в ХV веке. После трудов нидерландского математика Жирара (ХVI век), а также Декарта и Ньютона, способ решения принял современный вид. Формулы, выражающие зависимости корней уравнения от его коэффициентов была введена Виетом. Франсуа Виет жил в ХVI веке. Он внёс большой вклад в изучение различных проблем в математике и астрономии; в частности, он ввёл буквенные обозначения коэффициентов уравнения. А сейчас познакомимся с интересным эпизодом из его жизни. Громкую славу Виет получил при короле Генрихе III, вовремя франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись, благодаря которой испанцы вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции.

Напрасно французы пытались найти ключ к шифру, и тогда король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет нашёл за две недели непрерывной работы ключ к шифру, после чего, неожиданно для Испании, Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Будучи уверенным, что шифр разгадать не возможно, испанцы обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиции и вошёл в историю как великий математик.

Игра “Убери лишнее”

Цель игры ориентирование в видах уравнений.

У нас даны три столбика уравнений ,в каждом из них, уравнения определены по какому-то признаку ,но одно из них лишнее ваша задача его найти и охарактеризовать. Презентация слайд 16

Творческая работа

Цель этого задания: Восприятие на слух математической речи ориентировании детей в видах уравнений .

На экране вы видите 9 уравнений. Каждое уравнение имеет свой номер, я буду называть вид этого уравнения, а вы должны найти уравнение этого вида, и поставить только номер, под которым оно стоит, в результате вы получите 9-значное число Презентация слайд 17

Приведенное квадратное уравнение.
Дробно-рациональное уравнение
Кубическое уравнение
Логарифмическое уравнение
Линейное уравнение
Неполное квадратное уравнение
Показательное уравнение
Иррациональное уравнение
Тригонометрическое уравнение

Задание “Найди ошибку”

Один ученик решал уравнения, но весь класс смеялся, в каждом уравнении он допустил ошибку, ваша задача найти ее и исправить. Презентация слайд 18

Решение одного уравнения несколькими способами

А теперь решим одно уравнение всеми возможными способами, для экономии времени на уроке одно уравнение на экране. Сейчас вы назовете вид этого уравнения, и объясните какой способ используется , при решении этого уравнения Презентация слайды 19-27

Решение одного уравнения несколькими способами (у доски)

Мы посмотрели пример, а теперь давайте решим уравнение у доски всевозможными способами.

=x-2 — иррациональное уравнение

Возведем в квадрат обе части уравнения.

Решаем это уравнение у доски 9 способами.

Самостоятельная работа в парах с последующим объяснением у доски

А сейчас вы поработаете в парах, на парту я даю уравнение, ваша задача определить вид уравнения, перечислить все способы решения этого уравнения, решить 1-2 наиболее рациональными для вас способами. (2 минуты)

Задания для работы в парах

Решите уравнение

=x-2
=6
3 6-x =3 3x-2
9 x -83 x -9=0
23 x+1 -3 x =15
= 4

После самостоятельной работы в парах один представитель выходит к доске представляет свое уравнение, решает одним способом

Индивидуальное домашнее задание (дифференцируемо)

Решите уравнение

=x-2
=6
3 6-x =3 3x-2
9 x -83 x -9=0
23 x+1 -3 x =15
=4
3x 5 =96
|x+2|=

(определить вид уравнения, решить всеми способами на отдельном листе)

Итог урока рефлексия.

Подвожу итог урока, заостряю внимание на том, что одно уравнение можно решить многими способами, выставляю оценки, делаю вывод, кто был активным кому надо быть поактивнее. Зачитываю высказывание Калинина Презентация слайд 28

Посмотрите внимательно на те цели которые мы с вами поставили для сегодняшнего урока:

Что на ваш взгляд нам удалось сделать?
Что получилось не очень хорошо?
Что вам особенно понравилось и запомнилось?
Сегодня я узнал новое.
На уроке мне пригодились знания.
Для меня было сложно.
На уроке мне понравилось.

Литература.

Дорофеев Г.В. “Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы” — М.: Дрофа, 2006.
Гарнер Мартин. Математические головоломки и развлечения.
Ивлев Б.М., Саакян С.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 кл., 11 кл. М.: Просвещение. 2002.

источники:

http://infourok.ru/vidy-uravnenij-i-sposoby-ih-resheniya-5061319.html

http://urok.1sept.ru/articles/641020