Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Электростатика Максвелла

Вы будете перенаправлены на Автор24

Электростатика получила новый шанс на развитие только во второй половине 19 века, когда опубликовал ряд научных работы известный британский ученый Джеймс Максвелл. Тогда он смог истолковать и переложить на математический язык формул ранние изыскания Фарадея, которые были представлены еще за век до этого события. В основу работ Максвелла по электростатике легли представления как о науке, изучающей закон взаимодействия частиц в электромагнитном поле.

Рисунок 1. Уравнения Максвелла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ученый сформулировал ряд основных уравнений, которые в полной мере сегодня дают представление и описывают любые электромагнитные поля. Они стали также отправной точкой для дальнейших работ в области теоретической физики и формирования новых математических моделей, основанных на релятивистской механике. К определенным выводам позже пришел гений науки Альберт Эйнштейн. Он смог создать известную общую теорию относительности. В эту теорию попали и ряд формул Максвелла.

Уравнения Максвелла помогли многим прорывным открытиям того времени. Так на основе его исследований были открыты радиоволны. Он смог создать такую систему уравнений, которая логически привела к новым обнаружениям физических явлений. Отмечается, что далеко не все ученые того времени одерживали работы Максвелла. Критики в частности подверглась теория тока смещения, однако позже опыты Герца показали, что и здесь Максвелл был прав.

Структура уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла прочно вошли в ассоциативный ряд с квантовой механикой. Они стали основой для зарождения нового раздела физики – квантовой электродинамики. С тех пор не нашлось ни одного доказательства того, что британский ученый в своих размышлениях в чем-то ошибся. Он создал универсальную модель формул, которые могут применяться в квантовой механике, а также теории относительности. Это оказалось актуальным даже тогда, когда квантовая механика и теория относительности обнаружили в себе взаимные противоречия. Пока ученые безуспешно пытаются воедино соединить ряд теорий, уравнения Максвелла продолжают действовать безотказно. Они справляются со своей задачей при объяснении:

Готовые работы на аналогичную тему

• квантового микромира;
• теории относительности;
• формируют представление об устройстве мира.

Все уравнения Максвелла имеют две формы выражения:

Суть уравнений Максвелла

Первое уравнение Максвелла представляет собой закон Гаусса. Он говорит о том, что вихревое электрическое поле порождается магнитным полем, которое изменяется во времени. Максвелл взял старые постулаты и теоремы и записал их в дифференциальной форме. Оно выглядит следующим образом:

В таком написании $∇$ – знак оператора потока, $E$ – векторное электрическое поле, $ρ$ – суммарный заряд, а $εo$ – это диэлектрическая постоянная вакуума. Она имеет определенное значение. Его измеряют экспериментальным способом и учитывают силу притяжения между различными зарядами.

Это уравнение предполагает, что поток электрического поля $Е$, проходя через любую замкнутую поверхность будет лежать в зависимости от суммарного электрического заряда внутри подобной поверхности. На основе этого уравнения формируются знания о процессе, который получил названии дивергенции.

Второе уравнение представляет собой закон, сформулированный еще Фарадеем. В дифференциальной форме оно будет выглядеть следующим образом:

$∇$ – знак оператора вихря, а частная производная $\frac<∂B><∂t>t$ – частная производная изменяется по времени. Это означает, что магнитное поле в принципе изменяется во времени и пространстве, однако частный случай рассматривает только конкретное изменения во времени.

Подобное уравнение вводит понятие интеграла по замкнутому контуру. Эту величину также называют ротором. Считается, что ротор электрического поля $E$ будет равняться потоку магнитного поля, проходящего через этот контур. Поток — это есть скорость изменения во времени.

Процессы, которые демонстрирует нам эта формула можно представить у себя в ванной комнате. Все видели, как вода уходит в сливное отверстие ванны. От суммы векторов угловых скоростей, которые крутятся по замкнутому контуру, будет зависеть скорость слива воды.

Третье уравнение Максвелла представляет собой закон Гаусса. Он записал его в дифференциальной форме.

$∇ • B = 0$, где $B$ – векторное магнитное поле

Для четвертого уравнения Максвелл взял теорию Андре Ампера и связал постоянный ток и магнитное поле, которое существует вокруг него. В дифференциальной форме оно приобрела примерный вид $∇ • B =\frac< j><\sin<2>>$. Помимо уже знакомых величин он ввел значения тока ($j$) и скорости света ($c$). Ранее ученые называли эту величину электромагнитной постоянной.

Подобный закон рассказывает, что ротор магнитного поля будет равен току, который течет через такой контур. Однако он не будет абсолютно равен. Для этого вводятся дополнительные коэффициенты. Их также называют магнитной постоянной вакуума. Его применяют для упрощения записи математических уравнений. Иными словами, вокруг провода, где течет ток, можно заметить кольцевое магнитное поле.

Значение уравнений для электростатики

Максвелл сделал очень масштабную компиляцию ранее опубликованных трудов многих ученых. Он собрал все известные на тот момент законы магнетизма, электричества и записал их в математической форме дифференциальных уравнений. Они легки в основу новых исследований и до сих пор применяются на практике. Известно, что он не пользовался векторными обозначениями, что привело к тому, что уравнения Максвелла имела весьма громоздкий и неудобный вид. Компонентный вид придавал им систему из многочисленных скалярных уравнений с неизвестными показателями. Позже появились символы и понятие дивергенции, что значительно смогли упростить уравнения. Их дорабатывали ряд ученых, в том числе Генрих Герц, Джозайя Гиббс и Оливер Хевисайд. Они смогли переписать систему уравнений Максвелла на современной основе, чтобы можно было успешно их использовать при анализе.

Электростатика Максвелла

Электростатика берёт своё начало с формул Фарадея, ещё в XVIII столетии. Однако второе дыхание электростатика получила через столетие, после написания некоторого количества научных статей именитым английским учёным Джеймсом Максвеллом. Он разъяснил толкования Фарадея, и математически объяснил все уравнения, выведенные Фарадеем. Базисом для научных трудов Джеймса Максвелла по электрической статике стали его взгляды как о науке, которая изучает принципы взаимного действия элементарных частиц в электромагнитном поле.

Джеймс Максвелл определил некоторое количество формул, полностью дающих в нынешнее время понятия, а также производят описание всех электромагнитных полей. Данные формулы оказались начальной координатой отправки для последующего развития в сфере теории физики, а также развития новейших математических образов, которые основаны на релятивистской механике.

Благодаря открытиям Максвелла к некоторым открытиям существенно позже пришёл великий учёный Альберт Эйнштейн. Формулы и уравнения Максвелла помогли Эйнштейну осуществить открытие общеизвестной теории относительности. Данные уравнения присутствуют в теории относительности. Благодаря формулам Максвелла был осуществлён прорыв в исследованиях того времени по многим направлениям физики. Одним из значительных открытий на исследовательской базе Максвелла было открытие радиоволн. Джеймс Максвелл сумел открыть такую систему уравнений, приводящую к новейшим открытиям в физике. Хочется отметить, что многие учёные в те времена не поддерживали труды Джеймса. Было критическое отношение к теории тока смещения. Но эксперименты Герца со временем подтвердили правоту Джеймса Максвелла.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Система уравнений Джеймса Максвелла

Формулы Джеймса Максвелла убедительно заняли место в сочетательном ряду с квантовой механикой, и образовали базу для рождения новейшего, на то время, подраздела физики – квантовой электрической динамики. С того времени нет ни одного опровержения, что английский учёный был не прав в собственных расчётах и выводах. Максвелл открыл многофункциональный образ уравнений, применяемых в нынешнее время в квантовой механике, в том числе в теории относительности. Как не удивительно, но данное стало актуально при том, что обе эти науки выяснили между собой общие несоответствия. В то время как учёные делают безуспешные попытки объединить вместе некоторое количество теорий, формулы Джеймса Максвелла функционируют исправно и усердно. Данные формулы управляются с поставленной целью, объясняя новые открытия и явления:

• Существование и функционирование квантового микромира.
• Теорию относительности Эйнштейна.
• Образовывают принципы и взгляды на обустройство мира.

Выведенные формулы Джеймса Максвелла обладают интегральным и дифференциальным видом проявления.

Суть формул Джеймса Максвелла

Теорема Гаусса для электрической индукции является один из ключевых законов электрической динамики. Данная теорема входит в систему уравнений Джеймса Максвелла. Эта теорема показывает связанность меж потоком напряженности электрического поля через ограниченную поверхность свободной формы и математической суммой зарядов, которые расположены в объеме, локализованного данной поверхностью. Используется самостоятельно для расчёта электростатических полей.

В дифференциальной форме уравнение Максвелла выглядит таким образом – \(∇•E = <ρ \over εo>\) . Где, \(∇\) – векторный дифференциальный оператор, \(E\) – векторное электрическое поле, \(ρ\) – объемная плотность заряда, а \(εo\) –электрическая постоянная. На базе данной формулы основываются познания о явлении, получившем наименование дивергенции.

Вторая формула Максвелла демонстрирует закон, который сформулировал ещё Фарадей. Дифференциально данное уравнение представляется в таком виде:

Где \(∇\) – знак оператора вихря, \(Е\) – электрическое поле, \(B\) – плотность магнитного потока, а \(<∂B \over ∂t>\) – частная производная, которая меняется по времени.

Это значит, что магнитное поле подлежит изменению во времени и пространстве, но данная ситуация наблюдает исключительно определённое преобразование во времени. Аналогичная формула включает представление интеграла по ограниченному контуру. Данную величину \(∇\) ещё именуют ротором.

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Ротор электрического поля приравнивается плотности магнитного потока, который проходит сквозь данный контур. Явления, демонстрируемые данным уравнением возможно увидеть в ванной, так как, все наблюдали, как стекает вода в слив. От сложения значений векторов угловых скоростей, крутящихся по ограниченному контуру, будет находиться в зависимости скорость сливания воды.

Третья формула Джеймса Максвелла демонстрирует теорему Гаусса для магнитной индукции. Дифференциально данное уравнение представляется в таком виде: \(∇•B=0\) , где \(B\) – плотность магнитного потока.

В четвёртой формуле Джеймса Максвелла использовал закон Ампера, и согласовал постоянный ток и магнитное поле, существующее кругом него. В дифференциальном виде в данное уравнение введена электромагнитная постоянная.

Данная теорема показывает, что ротор магнитного поля приравнивается току, протекающему сквозь контур. Но не абсолютно равен, а с вспомогательным коэффициентом. Их именуют магнитной постоянной вакуума, и используют для простоты записывания формул. Другими словами, по проводнику, где течёт ток, возможно установить магнитное поле.

Роль формул для электрической статики

Джеймс Максвелл проделал довольно значительную компоновку раньше изданных научных исследований большого количества учёных. После чего, подобрал самые популярные в то время теоремы магнетизма, электричества и произвёл их запись в форме дифференциальных и интегральных формул. Данные формулы являются базой новейших экспериментов и исследовательских практических опытов в нынешнее время.

Общеизвестно, что Максвелл не использовал векторные символы, и это приводило к громоздкости и неудобства в чтении формул Джеймса Максвелла. Многокомпонентный вид привносил им структуру множественных скалярных формул с неопределёнными параметрами. Со временем возникли определённая символика, а также термин дивергенции. Это существенно облегчило отражение формул.

Данные формулы и уравнение были доработаны большим количеством учёных, к которым относятся Генрих Герц, Джозайя Гиббс и Оливер Хевисайд. Эти учёные сумели перезаписать систему уравнений Джеймса Максвелла на нынешней базе знаний. Сегодня данные уравнения удачно применяются при различных исследованиях и анализах в научной деятельности.