Особые точки дифференциального уравнения устойчивость

Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Решение , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям , называется устойчивым no Ляпунову при , если для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> существует 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> такое, что для всякого решения , системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям

имеют место неравенства

Если при сколь угодно малом 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> хотя бы для одного решения , неравенства (3) не выполняются, то решение называется неустойчивым .

Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие

то решение , называется асимптотически устойчивым .

Исследование на устойчивость решения , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения , некоторой системы, аналогичной системе (1),

Говорят, что точка , есть точка покоя системы (1′).

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя , устойчива по Ляпунову , если, каково бы ни было 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» />, можно найти такое 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» />, что для любого решения , начальные данные которого , удовлетворят условию

Для случая геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус цилиндра с осью , в плоскости найдется δ-окрестность точки такая, что все интегральные кривые , выходящие из этой окрестности, для всех будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).

Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие , то устойчивость асимптотическая .

Точка покоя , неустойчива , если при сколь угодно малом 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> хотя бы для одного решения , условие (3′) не выполняется.

Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее решение . Начальному условию удовлетворяет решение

уравнения (5). Начальному условию удовлетворяет решение

Рассмотрим разность решений (7) и (6) уравнения (5) и запишем ее так:

Отсюда видно, что для всякого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> существует 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> (например, ) такое, что для всякого решения уравнения (5), начальные значения которого удовлетворяют условию , выполняется неравенство

для всех . Следовательно, решение является устойчивым. Более того, поскольку

решение является асимптотически устойчивым.

Это решение является неограниченным при .

Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.

Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения

Решение. Оно имеет очевидные решения

Интегрируем уравнение (8): , или , откуда

Все решения (9) и (10) ограничены на . Однако решение неустойчиво при , так как при любом имеем (рис.31).

Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения , вообще говоря, не следует их устойчивости . Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.

Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы, удовлетворяющее начальным условиям , устойчиво

Решение. Решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям, есть . Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям , имеет вид

Возьмем произвольное 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> и покажем, что существует 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> такое, что при имеют место неравенства

Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову. Имеем, очевидно,

для всех . Поэтому, если то и подавно

Следовательно, если, например, взять , то при и в силу (12) будут иметь место неравенства (13) для всех , т.е. действительно нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову , но эта устойчивость не асимптотическая.

Теорема. Решения системы линейных дифференциальных уравнений

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Это предложение не верно для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.

Пример 4. Исследовать на устойчивость решение нелинейного уравнения

Решение. Оно имеет очевидные решения и .

Решение этого уравнения неустойчиво, а решение является асимптотически устойчивым. В самом деле, при все решения уравнения (14)

Теория устойчивости дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Пусть дана задача Коши

Если функция f(t, х) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную в некоторой области изменения t, х, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно. Если изменять значения t0 и хо, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется малопригодной для описания реального процесса.

Справедлива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.

Теорема:

Если правая часть f(t, х) дифференциального уравнения

непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную в некоторой области G изменения t , х, то решение

удовлетворяющее начальному условию непрерывно зависит от начальных данных.

Иными словами, пусть через точку проходит решение x(t) уравнения (1), определенное на отрезке Тогда для любого найдется такое решение уравнения (1), проходящее через точку существует на отрезке и отличается там от x(t) меньше чем на

Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений

При выполнении условий теоремы (1) решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезок [а, b] изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость решения от начальных данных в бесконечном промежутке Переход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым.

Остановимся вкратце на понятии о продолжаемости решения. Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

где t — независимая переменная (время); искомые функции; функции, определенные для из некоторой области Если функции

в их области определения непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по то для системы (3) справедлива локальная теорема существования:

для каждой системы значений

существует единственное решение

системы (3), определенное в некотором интервале изменения t и удовлетворяющее начальным условиям

Введем следующее понятие. Пусть

— решение задачи Коши (3)-(4), определенное на некотором интервале I = (t1,t2). Это решение может бьггь продолжено, вообще говоря, на больший интервал времени. Решение

называется продолжением решения если оно определено на большем интервале и совпадает с при Решение называется неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вправо или влево), если его можно продолжить на всю ось (на полуось или соответственно).

Для дальнейших рассмотрений важен вопрос о существовании решения хi(t), (глобальная теорема существования). Этим свойством обладает линейная система

где — непрерывные функции на Для нее каждое решение существует на (неограниченно продолжаемо вправо) и единственно.

Не все системы обладают таким свойством. Например, для скалярного уравнения

непрерывна и имеет производные всех порядков по х. Нетрудно проверить, что функция

является решением задачи

Однако это решение существует только в интервале зависящем от начального условия, и не-продолжаемо на полуинтервал

Уравнение (5) есть уравнение сверхбыстрого размножения, когда прирост пропорционален числу всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).

Задача:

Показать, что решения уравнения

нельзя продолжить неограниченно ни вправо, ни влево.

Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

где функция f(t,x) определена и непрерывна для и х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную . Пусть функция

есть решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

Пусть, далее, функция

есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию

Предполагается, что решения определены для всех неограниченно продолжаемы вправо.

Определение:

Решение уравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого такое, что для всякого решения х = x(t) этого уравнения из неравенства

для всех (всегда можно считать, что

Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению остаются близкими и при всех Геометрически это означает следующее. Решение

уравнения (1) устойчиво, если, какой бы узкой ни была е-полоска, содержащая кривую , все достаточно близкие к ней в начальный момент интегральные кривые х = x(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске при всех (рис. 1).

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения х = x(t) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение этого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при

Определение:

Решение уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если

1) решение устойчиво;

2) существует такое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию имеем

Это означает, что все решения х = x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению , не только остаются близкими к нему при , но и неограниченно сближаются с ним при

Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение

Решение , очевидно, удовлетворяет начальному условию

Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию

Легко видеть (рис. 2), что, какова бы ни была -полоска вокруг интегральной кривой х = 0, существует , например, такое, что любая интегральная кривая для которой целиком содержится в указанной полоске для всех Следовательно, решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку решение при не стремится к прямой х = 0.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения

Решение уравнения (**), удовлетворяющее начальному условию

Возьмем любое > 0 и рассмотрим разность решений

Поскольку для всех , из выражения (***) следует, что существует например, такое, что при имеем

Согласно определению (1) это означает, что решение уравнения (**) устойчиво. Кроме того, имеем

поэтому решение асимптотически устойчиво (рис. 3).

Пример:

Показать, что решение

В самом деле, при сколь угодно малом решение

этого уравнения не удовлетворяет условию

при достаточно больших t > to. Более того, при любых имеем

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

где функции fi определены для из некоторой области D изменения и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (4) неограниченно продолжаемы вправо при

Определение:

системы (4) называется устойчивым по Ляпунову при если для любого > 0 существует такое, что для всякого решения той же системы, начальные значения которого удовлетворяют условию

для всех т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения не все неравенства (5) выполняются, то решение называется неустойчивым.

Определение:

системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение это устойчиво;

2) существует такое, что всякое решение системы, для которого

Пример:

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы

удовлетворяющее начальным условиям

устойчиво.

Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть

Решение этой системы, удовлетворяющее условиям имеет вид

Возьмем произвольное > 0 и покажем, что существует такое, что при выполняются неравенства

для всех Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение системы (*) устойчиво по Ляпунову. Очевидно, имеем:

то при будут иметь место неравенства

для всех т.е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.

Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим, например, уравнение

Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х(0) = 0, является функция

Решение, удовлетворяющее начальному условию имеет вид

Геометрически очевидно (рис.5), что для всякого существует например такое, что любое решение x(t) уравнения, для которого верно неравенство удовлетворяет условию Последнее означает, что решение устойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при

Из ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений.
Рассмотрим уравнение

Оно имеет очевидные решения

Интегрируя уравнение (6), находим

Все решения (7) и (8) ограничены на Однако решение неустойчиво при так как при любом имеем

Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.

Замечание:

Исследуемое на устойчивость решение

системы (4) всегда можно преобразовать в тривиальное решение

другой системы заменой

В самом деле, пусть имеем (для простоты) одно дифференциальное уравнение

и пусть требуется исследовать на устойчивость какое-либо решение этого уравнения. Положим, что

(величину называют возмущением). Тогда

и подстановка в (*) приводит к равенству

Но — решение уравнения (*), поэтому

Обозначив здесь правую часть через F(t, у), получим

Это уравнение имеет решение так как при его левая и правая части тождественно по t равны нулю:

Таким образом, вопрос об устойчивости решения уравнения (*) приводится к вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.

Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя

Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части fi не зависят явно от t, т. е. если она имеет вид

Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть имеем автономную систему

и пусть (а1, a2, …, аn) — такая совокупность чисел, что

Тогда система функций

будет решением системы (1). Точку фазового пространства (x1, x2,…, хn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рассмотрим автономную систему (1) , для которой

есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар

и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Определение:

Будем говорить, что точка покоя

системы (1) устойчива, если для любого существует такое что любая траектория системы, начинающаяся в начальный момент все время затем остается в шаре Точка покоя асимптотически устойчива, если:

1) она устойчива;

2) существует такое что каждая траектория системы, начинающаяся в точке Mо области стремится к началу координат, когда время t неограниченно растет (рис. 7).

Поясним это определение примерами.

Пример:

Траектории здесь — концентрические окружности

с центром в начале координат — единственной точкой покоя системы. Если взять то любая траектория, начинающаяся в круге , остается все время внутри , а следовательно, и внутри , так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат при и точка покоя не является асимптотически устойчивой.

Пример:

Пусть дана система

поэтому траекториями являются лучи, входящие в начало координат (рис.8). Можно снова выбрать Любая точка траектории, находившаяся в начальный момент внутри , остается все время в круге и, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при Следовательно, наблюдается асимптотическая устойчивость.

Пример:

Возьмем, наконец, систему

и траекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от примера 2 движение по лучам происходит в направлении от центра. Точка покоя неустойчива.

Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Решение будем искать в виде

Для определения получаем характеристическое уравнение

Величины с точностью до постоянного множителя определяются из системы

Возможны следующие случаи.

А. Корни характеристического уравнения (3) — действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид

1. Пусть Точка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей все точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент в произвольной окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой, окрестности начала координат, а при стремятся к этому началу. Такая точка покоя называется устойчивым узлом

При С2 = 0 из (4) получаем

и траекториями являются два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Аналогично, при С1 = 0 получаем еще два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Пусть теперь и (для определенности) Тогда в силу (4)

т. е. все траектории (исключая лучи в окрестности точки покоя О(0,0) имеют направление луча

2. Если то расположение траекторий такое же, как и в предыдущем случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом (рис. 10).

Пример:

Для нее точка О(0,0) — точка покоя. Характеристическое уравнение

имеет корни так что налицо неустойчивый узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению

Оно имеет решения

так что траекториями системы будут лучи падающие с координатными полуосями, семейство парабол, касающихся оси Oх в начале координат (рис. 11)

3. Пусть теперь тогда точка покоя неустойчива.

При С2 = 0 получаем решение

С возрастанием t точка этой траектории движется по лучу

в направлении от начала неограниченно удаляясь от него. При С1 = 0 имеем:

Отсюда видно, что при возрастании t точка движется по лучу

в направлении к началу координат . Если так и при траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 12).

Пример:

Исследуем характер точки покоя О(0,0) системы

Характеристическое уравнение системы

имеет корни Перейдем к одному уравнению

интегрируя которое получаем

Уравнение (6) имеет также решения

Таким образом, интегральные кривые этого уравнения (траектории системы (5)) — равнобочные гиперболы и лучи, совпадающие с координатными полуосями.

Б. Корни характеристического уравнения — комплексные: Общее решение системы (2) можно представить в виде

где C1 и C2 — произвольные постоянные, а — некоторые линейные комбинации этих постоянных

1. Пусть в этом случае множитель стремится к нулю при а вторые множители в (7) — ограниченные периодические функции. Траектории — спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом (рис. 13).,
2. Если то этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
3. Если же то решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение

не стремится к нулю при

Пример. Рассмотрим систему уравнений

Характеристическое уравнение системы

имеет комплексные корни

Перейдем от системы к одному уравнению

и введем полярные координаты Тогда

Используя уравнение (9), находим, что

Эти интегральные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начало координат, которое достигается в пределе при в зависимости от того, будет ли а 0. Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а = 0, уравнение (9) принимает вид

Интегральные кривые этого уравнения — окружности с центром в начале координат, которое при а = 0 является точкой покоя системы (8) типа центра.

В. Корни характеристического уравнения кратные: Случай этот — скорее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов системы разрушает его. Применяя метод исключения, находим, что общее решение системы уравнений (2) имеет вид

( — некоторые линейные комбинации С1, С2).

1. Если то из-за наличия множителя решения х(t), y(t) стремятся к нулю при Точка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым вырожденным узлам (рис. 15). Он отличается от узла в случае А. 1 (там одна из траекторий имела касательную, отличную от всех остальных). Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
2. При замена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.

Пример:

Для системы уравнений

имеет кратные корни Деля второе уравнение системы на первое, найдем

Поэтому все интегральные кривые проходят через начало координат, и все они имеют там ось Оу общей касательной.

Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай исключен условием

Пример:

Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.

Уравнение малых колебаний маятника в этом случае имеет вид

где x — угол малого отклонения маятника от вертикали, к — коэффициент трения. Заменим уравнение (*) эквивалентной системой

Характеристическое уравнение для системы (**)

Если 0

— частота колебаний, а величины А, а определяются из начальных условий.

График решения и фазовая кривая при 0

Сформулируем результаты, касающиеся устойчивости решений системы п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим для системы (10) характеристическое уравнение

Справедливы следующие предложения:

1) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то все решения системы (10) асимптотически устойчивы. Действительно, в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители стремящиеся к нулю при

2) если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы неустойчивы;

3) если характеристическое уравнение имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. чисто мнимые или равные нулю корни), а остальные корни, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, та все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет.

Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо устойчивы, либо неустойчивы одновременна

Теорема:

Решения Системы линейных дифференциальных уравнений

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Преобразуем произвольное частное решение

системы (11) в тривиальное с помощью замены

Система (11) преобразуется при этом в линейную однородную систему относительно yi(t):

Следовательно, все частные решения системы (11) в смысле устойчивости ведут себя одинаково, а именно как тривиальное решение однородной системы (12).

В самом деле, пусть тривиальное решение

системы (12) устойчиво. Это значит, что для любого такое, что для всякого другого решения системы из условия следует, что

Замечая, что получаем, что из условия

для всякого решения исходной системы (11). Согласно определению, это означает устойчивость решения этой системы.

Это предложение не имеет места для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.

Пример:

Рассмотрим нелинейное уравнение

Оно имеет очевидные решения

Решение x(t) = -1 неустойчиво, а решение x(t) = 1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при все решения

стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение x(t) = 1 асимптотически устойчиво.

Замечание:

Как и в случае n = 2, можно исследовать расположение траекторий в окрестности точки покоя О(0,0,0) системы (10). Для n = 3 возможны так называемые узлофокусы (рис. 17), седлофокусы (рис. 18) и т. д.

Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функции — так называемой функции Ляпунова, причем делается это без предварительного построения решения системы; в этом неоценимое преимущество метода.

Ограничимся рассмотрением автономных систем

для которых Xi = 0, i = 1, 2,…, n, есть точка покоя.

Идея метода состоит в следующем. Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя системы (1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы. Действительно, если р — расстояние от точки траектории до начала координат

(производная вдоль траектории): Правая часть в (2) есть известная функция от х1, х2,…, хn, и можно исследовать ее знак. Если окажется, что то точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании t и точка покоя хi = 0, i = 1, 2,…, n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае, когда траектории — эллипсы). Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассматривал функции v (x1, x2, … , хn), являющиеся в некотором смысле «обобщенным расстоянием» от начала координат.

Определение:

Функция v(x1, х2, … xn), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной), если в области G

где h — достаточно малое положительное число, она может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при

Так, в случае n = 3 функции

будут знакоположительными, причем здесь величина h > 0 может быть взята сколь угодно большой.

Определение:

Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области G может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию v(x1, x2, x3) можно представить так:

отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при а именно при X3 = 0 и любых, x1, х2 таких, что х1 = -х2.

Пусть — дифференцируемая функция своих аргументов, и пусть

являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции v повремени имеем

Определение:

Величина определяемая формулой (3), называется полной производной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений (1).

Определение:

Функций обладающую свойствами:

1) дифференцируема в некоторой окрестности начала координат;

2) определенно-положительна в и

3) полная производная функции , составленная в силу системы (1),

всюду в , называют функцией Ляпунова.

Теорема:

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая знакоопределенная функция , полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть знакопостоянная функция (знака, противоположного с v) или тождественно обращается в ноль, то тонка покоя системы (1) устойчива.

Приведем идею доказательства. Пусть для определенности есть знакоположительная функция, для которой Так как

причем v = 0 лишь при то начало координат есть точка строгого минимума функции В окрестности начала координат поверхности уровня

функции v являются, Как можно показать, замкнутыми поверхностями, внутри которых находится начало координат. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае n = 2. Так как только для то поверхность

в общих чертах напоминает параболоид, вогнутый Вверх (рис. 19).

Линии уровня представляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. При этом если то линия уровня целиком лежит внутри области, ограниченной линией Зададим При достаточно малом С > 0 линия уровня v = С целиком лежит в е-окрестности начала координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать такое, что окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной линией v = С, причем в этой окрестности v

существует дифференцируемая знакоопределенная функция полная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также знакоопределенная функция знака, противоположного с v, то тонка покоя системы (1) асимптотически устойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Выберем в качестве функции v(x, y) функцию

Эта функция знакоположительная. В силу системы (*) найдем

Из теоремы 3 следует, что точка покоя О(0,0) системы (*) устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет, так как траектория системы (*) — окружности.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Таким образом, есть знакоотрицательная функция. В силу теоремы 4 точка покоя О(0,0) системы (**) устойчива асимптотически.

Теорема:

О неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений

существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция такая, что v(0,0,…, 0) = 0. Если ее полная производная составленная в силу системы (4), есть знакоположительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положительные значения, то точка покоя системы (4) неустойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Для нее функция

знакоположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v > 0 (например, вдоль прямой у = 0), то выполнены все условия теоремы 5 и точка покоя О(0,0) неустойчива (седло).

Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным для широкого круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно общего конструктивного способа построения функций Ляпунова пока нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде

Устойчивость по первому (линейному) приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

и пусть есть точка покоя системы, т. е.

Будем предполагать, что функции дифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим функции fi по х в окрестности качала координат

а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно Система дифференциальных уравнений (1) примет вид

Так как понятие устойчивости точки покоя O(0,0,…, 0) связано с малой окрестностью начала координа’т в- фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения (1) будет определяться главными линейными членами разложения функций fi по х. Поэтому наряду с системой (3) рассмотрим систему

называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).

Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет. Рассмотрим, например, уравнение

Здесь f(x) = 0; линеаризированное уравнение для уравнения (5) имеет вид

Решение уравнения (6) является устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравнения (5), не является для него устойчивым. В самом деле, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию имеет вид и перестает существовать при (решение не продолжаемо вправо).

Теорема:

Если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные действительные части, то точка покоя системы (4) и системы (3) асимптотически устойчива.

При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема:

Если хотя бы один корень характеристического уравнения (7) имеет положительную действительную часть, то точка покоя Xi= 0 системы (4) и системы (3) неустойчива.

В этом случае также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.

Пусть для простоты корни характеристического уравнения (7) — действительные и различные. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т с постоянными элементами, что матрица будет диагональной:

где — матрица из коэффициентов системы (4). Положим

и система (4) преобразуется к виду

или, в силу выбора матрицы Т,

Система (3) при том же преобразовании перейдет в систему

причем в опять входят члены не ниже второго порядка малости относительно Yi при

Рассмотрим следующие возможности:

1. Все корни — отрицательные. Положим

тогда производная в силу системы (8) будет иметь вид

где малая более высокого порядка, чем квадратичная форма

Таким образом, в достаточно малой окрестности точки O(0, 0,…, 0) функция у(y1,y2, …, yn) знакоположительна, а производная знакоотрицательна, и, значит, точка покоя O (0,0,…, 0) асимптотически устойчива.

2. Некоторые из корней положительные, а остальные — отрицательные. Положим

Отсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых Что касается производной то, поскольку отрицательны, производная — знакоположительная функция. В силу теоремы 5 точка покоя O (0,0,…, 0) неустойчива.

В критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять нелинейные члены Ri и исследование на устойчивость по первому приближению становится невозможным.

Пример:

Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 системы

Система первого приближения имеет вид

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок не меньше 2. Составляем характеристическое уравнение для системы (**):

Корни характеристического уравнения нулевое решение системы (*) неустойчиво.

Пример:

Исследуем на устойчивость точку покоя О(0, 0) системы

Точка покоя х = 0, у = 0 системы (*) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция Ляпунова

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,

В то же время точка покоя х = 0, у = 0 системы

В самом деле, для функции в силу системы (**) имеем

т.е. — функция знакоположительная. Сколь угодно близко от начала координат 0(0,0) имеются точки, в которых

В силу теоремы 5 заключаем о неустойчивости точки покоя О(0,0) системы (**).

Для системы (*) и (**) система первого приближения одна и та же:

для системы (***) имеет чисто мнимые корни — критический случай (действительные части корней характеристического уравнения равны нулю). Для системы первого приближения (***) начало координат является устойчивой точкой покоя — центром. Системы (*) и (**) получаются малым возмущением правых частей (***) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что для системы (*) точка покоя О(0,0) становится асимптотически устойчивой, а для системы (**) неустойчивой.

Этот пример показывает, что в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.

Задача. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

где функция f(х,у) разлагается в сходящийся отеленной ряд и f(0,0) = 0.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

ЛЕКЦИЯ 4

Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.

Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Пример: химические реакции первого порядка.

Наиболее интересные результаты по качественному моделированию свойств биологических систем получены на моделях из двух дифференциальных уравнений, которые допускают качественное исследование с помощью метода фазовой плоскости. Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида

(4.1)

P(x,y), Q(x,y) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости ( x,y ‑ декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. Если переменные x, y имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численности видов) чаще всего область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости:

Концентрации веществ или численности видов также могут быть ограничены сверху объемом сосуда или площадью ареала обитания. Тогда область значений переменных имеет вид:

Переменные x, y во времени изменяются в соответствии с системой уравнений (4.1), так что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных ( x, y) .

Изображающая точка на фазовой плоскости

Обратно, каждой паре переменных ( x, y) соответствует определенное состояние системы.

Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных x,y. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(x,y) называется изображающей или представляющей точкой.

Пусть в начальный момент времени t=t₀ координаты изображающей точки М₀( x( t₀) , y( t₀)) . В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x( t) , y( t) . Совокупность точек М( x( t) , y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), y(t) согласно уравнениям (4.1), называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый «портрет» системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x, y без знания аналитических решений исходной системы уравнений (4.1).

Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задавая приращение D t>0, получим соответствующие приращения D x и D y из выражений:

Направление вектора dy/dx в точке ( x, y) зависит от знака функций P(x, y), Q(x, y) и может быть задано таблицей:

Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде. Для этого разделим второе из уравнений системы (4.1) на первое:

. (4.2)

Решение этого уравнения y = y( x, c) , или в неявном виде F( x,y) =c, где с – постоянная интегрирования, дает семейство интегральных кривых уравнения (4.2) ‑ фазовых траекторий системы (4.1) на плоскости x, y.

Для построения фазового портрета пользуются методом изоклин – на фазовой плоскости наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Уравнение изоклин легко получить из (4.2). Положим

где А – определенная постоянная величина. Значение А представляет собой тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории и может принимать значения от – ¥ до + ¥ . Подставляя вместо dy/dx в (4.2) величину А получим уравнение изоклин:

. (4.3)

Уравнение (4.3) определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой за исключением точки, где P (x,y) = 0, Q ( x,y) = 0, в которой направление касательной становится неопределенным, так как при этом становится неопределенным значение производной:

.

Эта точка является точкой пересечения всех изоклин – особой точкой. В ней одновременно обращаются в нуль производные по времени переменных x и y.

Таким образом, в особой точке скорости изменения переменных равны нулю. Следовательно, особая точка дифференциальных уравнений фазовых траекторий (4.2) соответствует стационарному состоянию системы (4.1), а ее координаты – суть стационарные значения переменных x, y.

Особый интерес представляют главные изоклины:

dy/dx=0, P ( x,y) =0 – изоклина горизонтальных касательных и

dy/dx= ¥ , Q ( x,y) =0 – изоклина вертикальных касательных.

Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (x,y), координаты которой удовлетворяют условиям:

мы найдем тем самым точку пересечения всех изоклин фазовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым траекториям неопределенно. Это – особая точка, которая соответствует стационарному состоянию системы (рис. 4.2).

Система (4.1) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости.

Каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга только началом отсчета времени.

Рис. 4.2. Пересечение главных изоклин на фазовой плоскости.

Таким образом, фазовые траектории системы – это проекции интегральных кривых в пространстве всех трех измерений x, y, t на плоскость x, y (рис.4.3).

Рис. 4.3. Траектории системы в пространстве ( x, y, t).

Если условия теоремы Коши выполнены, то через каждую точку пространства x, y, t проходит единственная интегральная кривая. То же справедливо, благодаря автономности, для фазовых траекторий: через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория.

Устойчивость стационарного состояния

Пусть система находится в состоянии равновесия.

Тогда изображающая точка находится в одной из особых точек системы, в которых по определению:

.

Устойчива или нет особая точка, определяется тем, уйдет или нет изображающая точка при малом отклонении от стационарного состояния. Применительно к системе из двух уравнений определение устойчивости на языке e , d выглядит следующим образом.

Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области отклонений от состояния равновесия ( e ) можно указать область d ( e ) , окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одна траектория, которая начинается внутри области d , никогда не достигнет границы e . (рис. 4.4)

Иллюстрация к определению устойчивости области e и d на плоскости ( x,y)

Для большого класса систем – грубых систем – характер поведения которых не меняется при малом изменении вида уравнений, информацию о типе поведения в окрестности стационарного состояния можно получить, исследуя не исходную, а упрощенную линеаризованную систему.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений:

. (4.4)

Здесь a, b, c, d — константы, x, y ‑ декартовы координаты на фазовой плоскости.

Общее решение будем искать в виде:

. (4.5)

Подставим эти выражения в (4.4) и сократим на e l t :

(4.6)

Алгебраическая система уравнений (4.6) с неизвестными A, B имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:

.

Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы:

. (4.7)

Решение этого уравнения дает значения показателя l _1,2 , при которых возможны ненулевые для A и B решения уравнения (4.6). Эти значения суть

. (4.8)

Если подкоренное выражение отрицательно, то l _1,2 комплексно сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения (4.7) имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы (4.4) можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями l ₁ , l ₂ :

_(4.9)

Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскости используем линейное однородное преобразование координат, которое позволит привести систему к каноническому виду:

, (4.10)

допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (4.4). Введем новые координаты ξ , η по формулам:

(4.1)

Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства нулю действительных частей l ₁ , l ₂ исходную систему (4.4) при помощи преобразований (4.11) всегда можно преобразовать к каноническому виду (4.10) и изучать ее поведение на фазовой плоскости ξ , η . Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться.

Корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и одного знака

В этом случае коэффициенты преобразования действительны, мы переходим от действительной плоскости x,y к действительной плоскости ξ, η. Разделив второе из уравнений (4.10) на первое, получим :

. (4.12)

Интегрируя это уравнение, находим :

, где . (4.13)

Условимся понимать под λ ₂ корень характеристического уравнения с большим модулем, что не нарушает общности нашего рассуждения. Тогда, поскольку в рассматриваемом случае корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и одного знака, a >1 , и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа.

Все интегральные кривые (кроме оси η, которой соответствует ) касаются в начале координат оси ξ, которая также является интегральной кривой уравнения (4.11). Начало координат является особой точкой.

Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовых траекторий. Если λ ₁ , λ ₂ – отрицательны, то, как видно из уравнений (4.10), |ξ|, |η| убывают с течением времени. Изображающая точка приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая его. В противном случае это противоречило бы теореме Коши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория.

Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол проходит через начало координат, носит название узла (рис. 4.5)

Рис. 4.5. Особая точка типа узел на плоскости канонических координат ξ, η

Состояние равновесия типа узел при λ ₁ , λ ₂ 0 устойчиво по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Это устойчивый узел. Если же λ ₁ , λ ₂ > 0, то |ξ|, |η| возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат. В этом случае особая точка – неустойчивый узел .

На фазовой плоскости x, y общий качественный характер поведения интегральных кривых сохранится, но касательные к интегральным кривым не будут совпадать с осями координат. Угол наклона этих касательных будет определяться соотношением коэффициентов α , β , γ , δ в уравнениях (4.11).

Корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и разных знаков.

Преобразование от координат x,y к координатам ξ, η опять действительное. Уравнения для канонических переменных снова имеют вид (4.10), но теперь знаки λ ₁ , λ ₂ различны. Уравнение фазовых траекторий имеет вид :

где , (4.14)

Интегрируя (4.14), находим

(4.15)

Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обе оси координат – асимптоты (при a=1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол) . Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми – это будут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат. Каждая из них состоит из трех фазовых траекторий : из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия. Все остальные интегральные кривые – суть гиперболы, не проходящие через начало координат (рис. 4.6) Такая особая точка носит название «седло ». Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя подобно фазовым траекториям в окрестности седла.

Рис. 4.6. Особая точка типа седло на плоскости канонических координат ξ , η

Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, λ ₁ >0 , λ ₂ . Тогда изображающая точка, помещенная на оси ξ, будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси η – будет неограниченно приближаться к началу координат , не достигая его за конечное время . Где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте η =0), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особой точке .

Очевидно, что особая точка типа седла всегда неустойчива . Только при специально выбранных начальных условиях на асимптоте η =0 система будет приближаться к состоянию равновесия. Однако это не противоречит утверждению о неустойчивости системы. Если считать , что все начальные состояния системы на фазовой плоскости равновероятны, то вероятность такого начального состояния, которое соответствует движению по направлению к особой точке, равна нулю. Поэтому всякое реальное движение будет удалять систему от состояния равновесия. Переходя обратно к координатам x,y, мы получим ту же качественную картину характера движения траекторий вокруг начала координат.

Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из характеристических показателей, например λ ₁ , обращается в нуль, что имеет место, когда определитель системы – выражение ad-bc=0 (см. формулу 4.8 ). В этом случае коэффициенты правых частей уравнений (4.4) пропорциональны друг другу :

и система имеет своими состояниями равновесия все точки прямой :

Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом , по которым изображающие точки либо приближаются к состоянию равновесия, либо удаляются от него в зависимости от знака второго корня характеристического уравнения λ ₂ = a+d. (Рис.4. 7 ) В этом случае координаты состояния равновесия зависят от начального значения переменных.

Рис. 4.7. Фазовый портрет системы, один из характеристических корней которой равен нулю, а второй отрицателен.

В этом случае при действительных x и y мы будем иметь комплексные сопряженные ξ , η ( 4.10) . Однако , вводя еще одно промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положим :

(4.16)

где a,b, и u,v – действительные величины. Можно показать, что преобразование от x,y к u,v является при наших предположениях действительным, линейным, однородным с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (4.10, 4.16) имеем :

(4.17)

Разделив второе из уравнений на первое , получим :

которое легче интегрируется , если перейти к полярной системе координат ( r, φ ) . После подстановки получим , откуда :

. (4.18)

Таким образом, на фазовой плоскости u, v мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей , вложенных друг в друга, называется фокусом ( рис.4.8 ) .

Рис. 4.8. Фазовый портрет системы в окрестности особой точки типа фокус на плоскости координат u, v .

Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (4.17) на u , а второе на v и складывая , получаем :

где

Пусть a ₁ 0 ( a ₁ = Re λ ) . Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его в конечное время. Это означает, что фазовые траектории представляют собой скручивающиеся спирали и соответствуют затухающим колебаниям переменных. Это – устойчивый фокус .

В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, выполнено не только условие Ляпунова, но и более жесткое требование. Именно, при любых начальных отклонениях система по прошествии времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такая устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но затухают, стремясь к нулю, называют абсолютной устойчивостью .

Если в формуле (4.18) a₁ >0 , то изображающая точка удаляется от начала координат, и мы имеем дело с неустойчивым фокусом . При переходе от плоскости u,v к фазовой плоскости x , y спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы.

Рассмотрим теперь случай, когда a ₁ =0 . Фазовыми траекториями на плоскости u, v будут окружности которым на плоскости x,y соответствуют эллипсы :

Таким образом, при a₁ =0 через особую точку x= 0 , y=0 не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности, эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром.

Таким образом, возможны шесть типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4.7). Вид фазовых траекторий на плоскости x, y для этих шести случаев изображен на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системы линейных уравнений (4.4).

Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (4.4). При этом малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка. Шестое состояние равновесия – центр – негрубое. При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус.

Бифуркационная диаграмма

. (4.11)

Тогда характеристическое уравнение запишется в виде:

. (4.12)

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами s , D и отметим на ней области, соответствующие тому или иному типу состояния равновесия, который определяется характером корней характеристического уравнения

. (4.13)

Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательной действительной части у l ₁ и l ₂ . Необходимое и достаточное условие этого – выполнение неравенств s > 0, D > 0 . На диаграмме (4.15) этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти плоскости параметров. Особая точка будет фокусом, если l ₁ и l ₂ комплексны. Этому условию соответствуют те точки плоскости, для которых , т.е. точки между двумя ветвями параболы s 2 = 4 D . Точки полуоси s = 0, D >0, соответствуют состояниям равновесия типа центр. Аналогично, l ₁ и l ₂ — действительны, но разных знаков, т.е. особая точка будет седлом, если D , и т.д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров s , D , на области, соответствующие различным типам состояния равновесия.

Рис. 4.10. Бифуркационная диаграмма

для системы линейных уравнений 4.4

Если коэффициенты линейной системы a, b, c, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться и величины s , D . При переходе через границы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными – по разные стороны от границы система имеет два топологически различных фазовых портрета и, соответственно два разных типа поведения.

На диаграмме видно, как могут проходить такие изменения. Если исключить особые случаи – начало координат, – то легко видеть, что седло может переходить в узел, устойчивый или неустойчивый при пересечении оси ординат. Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т.д. Отметим, что переходы устойчивый узел – устойчивый фокус и неустойчивый узел – неустойчивый фокус не являются бифуркационными, так как топология фазового пространства при этом не меняется. Более подробно мы поговорим о топологии фазового пространства и бифуркационных переходах в лекции 6.

При бифуркационных переходах меняется характер устойчивости особой точки. Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. Эта бифуркация называется бифуркацией Андронова-Хопфа по именам исследовавших ее ученых. При этой бифуркации в нелинейных системах происходит рождение предельного цикла, и система становится автоколебательной (см. лекцию 8).

Пример. Система линейных химических реакций

Вещество Х притекает извне с постоянной скоростью, превращается в вещество Y и со скоростью, пропорциональной концентрации вещества Y, выводится из сферы реакции. Все реакции имеют первый порядок, за исключением притока вещества извне, имеющего нулевой порядок. Схема реакций имеет вид:

(4.14)

и описывается системой уравнений:

(4.15)

Стационарные концентрации получим, приравняв правые части нулю:

. (4.16)

Рассмотрим фазовый портрет системы. Разделим второе уравнение системы (4.16) на первое. Получим:

. (4.17)

Уравнение (4.17) определяет поведение переменных на фазовой плоскости. Построим фазовый портрет этой системы. Сначала нарисуем главные изоклины на фазовой плоскости. Уравнение изоклины вертикальных касательных:

Уравнение изоклины горизонтальных касательных:

Особая точка (стационарное состояние) лежит на пересечении главных изоклин.

Теперь определим, под каким углом пересекаются координатные оси интегральными кривыми.

Если x=0, то .

Таким образом, тангенс угла наклона касательной к интегральным кривым y=y(x), пересекающим ось ординат x=0, отрицателен в верхней полуплоскости (вспомним, что переменные x, y имеют значения концентраций, и поэтому нас интересует только правый верхний квадрант фазовой плоскости). При этом величина тангенса угла наклона касательной увеличивается с удалением от начала координат.

Рассмотрим ось y=0 . В месте пересечения этой оси интегральными кривыми они описываются уравнением

.

При тангенс угла наклона интегральных кривых, пересекающих ось абсцисс, положителен и увеличивается от нуля до бесконечности с увеличением x.

при .

Затем при дальнейшем увеличении тангенс угла наклона уменьшается по абсолютной величине, оставаясь отрицательным и стремится к -1 при x ® ¥ . Зная направление касательных к интегральным кривым на главных изоклинах и на осях координат, легко построить всю картину фазовых траекторий.

Рис. 4.12. Фазовый портрет системы линейных химических реакций (4.15)