От чего зависит количество корней полного квадратного уравнения

От чего зависит количество корней квадратного уравнения

Скачать
презентациюВычисли дискриминант и определи количество корней >>

Ответ: От знака D — дискриминанта. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Слайд 10 из презентации ««Квадратные уравнения» алгебра 8 класс». Размер архива с презентацией 147 КБ.

Алгебра 8 класс

«Рациональные уравнения» — Помогите товарищу. Представить выражение в виде несократимой дроби. Я математикой гармонию проверю. 1 строчка – рациональное уравнение. Рациональные уравнения. Уравнение. Прочтите в книге определение рационального уравнения. Представить в виде дроби выражение. Сенкан. Вычислить. Самостоятельно закончите схему решения данного уравнения. Предложите план решения. Предложите свои варианты уравнений по схемам.

«Графическое решение квадратных уравнений» — Части уравнения. Решить уравнение. Графическое решение квадратных уравнений. Графики функций. Уравнение. Историческая справка. Парабола. Четыре способа. Преобразуем уравнение. Учиться нелегко, но интересно.

«Арифметический квадратный корень и его свойства» — Пример. Ошибкам тебя точно не догнать. Применение. Преобразование. Крошка Ро. Теорема. Тест. Твой путь был нелёгок. Ученик. Я огорчён твоими знаниями. Решай снова. Свойства. Свойства арифметических квадратных корней. Пройди тест.

«Свойства квадратного корня» — Вариант. Ответы. План урока. Подведение итогов. Самостоятельно. Устная работа. Решение упражнений. Литература. Свойства квадратных корней. Вычислите.

«Понятие квадратного уравнения» — Если в уравнении ах2+вх+с=0 в=0, или с=0, или в=0 и с=0, то уравнение называется неполным. Какие из уравнений являются квадратными. Запишите три вида неполных квадратных уравнений. Уравнение вида ах2+вх+с=0, где а,в,с – числа, а?0, называется квадратным. Какие из данных уравнений являются неполными, какие приведенными. Какое уравнение называется неполным квадратным? Приведите уравнение к виду ах2+вх+с=0.

««Квадратные корни» 8 класс» — Оценочный лист. Слово алгебра. Найдите неизвестный объект. Лаборатория раскрытия тайн. Устная разминка. Цели урока. Сегодня на уроке мы. Возведение в квадрат целого числа с половиной. Девиз урока. Математические фокусы. Лаборатория теоретиков. Арифметический квадратный корень. Слово — загадка. Лаборатория исследований. Раскрытие тайны. Корень квадратный из числа.

Всего в теме «Алгебра 8 класс» 43 презентации

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

3) Если D

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

Если знаки a и с разные (например, a>0, c

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Если -a 0, обе части уравнения делим на -a

и получаем то же уравнение

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим: