От чего зависит количество корней рационального уравнения

От чего зависит количество корней квадратного уравнения

Скачать
презентациюВычисли дискриминант и определи количество корней >>

Ответ: От знака D — дискриминанта. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Слайд 10 из презентации ««Квадратные уравнения» алгебра 8 класс». Размер архива с презентацией 147 КБ.

Алгебра 8 класс

«Рациональные уравнения» — Помогите товарищу. Представить выражение в виде несократимой дроби. Я математикой гармонию проверю. 1 строчка – рациональное уравнение. Рациональные уравнения. Уравнение. Прочтите в книге определение рационального уравнения. Представить в виде дроби выражение. Сенкан. Вычислить. Самостоятельно закончите схему решения данного уравнения. Предложите план решения. Предложите свои варианты уравнений по схемам.

«Графическое решение квадратных уравнений» — Части уравнения. Решить уравнение. Графическое решение квадратных уравнений. Графики функций. Уравнение. Историческая справка. Парабола. Четыре способа. Преобразуем уравнение. Учиться нелегко, но интересно.

«Арифметический квадратный корень и его свойства» — Пример. Ошибкам тебя точно не догнать. Применение. Преобразование. Крошка Ро. Теорема. Тест. Твой путь был нелёгок. Ученик. Я огорчён твоими знаниями. Решай снова. Свойства. Свойства арифметических квадратных корней. Пройди тест.

«Свойства квадратного корня» — Вариант. Ответы. План урока. Подведение итогов. Самостоятельно. Устная работа. Решение упражнений. Литература. Свойства квадратных корней. Вычислите.

«Понятие квадратного уравнения» — Если в уравнении ах2+вх+с=0 в=0, или с=0, или в=0 и с=0, то уравнение называется неполным. Какие из уравнений являются квадратными. Запишите три вида неполных квадратных уравнений. Уравнение вида ах2+вх+с=0, где а,в,с – числа, а?0, называется квадратным. Какие из данных уравнений являются неполными, какие приведенными. Какое уравнение называется неполным квадратным? Приведите уравнение к виду ах2+вх+с=0.

««Квадратные корни» 8 класс» — Оценочный лист. Слово алгебра. Найдите неизвестный объект. Лаборатория раскрытия тайн. Устная разминка. Цели урока. Сегодня на уроке мы. Возведение в квадрат целого числа с половиной. Девиз урока. Математические фокусы. Лаборатория теоретиков. Арифметический квадратный корень. Слово — загадка. Лаборатория исследований. Раскрытие тайны. Корень квадратный из числа.

Всего в теме «Алгебра 8 класс» 43 презентации

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Алгебраические и трансцендентные числа

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

Алгебраические и трансцендентные числа

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

Прежде, чем дать общую формулировку теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами , решим следующую задачу.

Задача . Найти все корни уравнения

Решение . Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет корень, являющийся рациональным числом. Тогда, поскольку каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

,

где m – число целое, а n – число натуральное, то выполняется равенство:

Умножая это равенство на n 3 , получаем равенство:

Теперь преобразуем равенство (1):

Отсюда вытекает, что число 2m 3 нацело делится на число n . А из этого, в свою очередь, следует, что, поскольку числа m и n не имеют общих простых делителей, то число n является делителем числа 2 . Таким образом, число n равно 1 или 2 .

Теперь преобразуем равенство (1) по-другому:

Значит, число 3n 3 нацело делится на число m . А из этого, в свою очередь, следует, что, так как числа m и n не имеют общих простых делителей, то число m является делителем числа 3. Таким образом, число m может быть равно: – 1, 1, – 3 или 3 .

Далее, рассматривая все возможные комбинации чисел m и n , получаем, что дробь

может принимать только следующие значения:

Таким образом, если у исходного уравнения и есть рациональный корень, то искать его нужно среди полученных шести чисел. Других рациональных корней у исходного уравнения быть не может.

Подставляя поочередно каждое из этих чисел в исходное уравнение, получаем, что корнем уравнения является лишь число .

Оставляя читателю проверку того, что другие числа корнями исходного уравнения не являются, покажем, что число действительно является его корнем:

Ответ . Число является единственным рациональным корнем исходного уравнения.

Замечание . Для того, чтобы найти все остальные корни исходного уравнения, нужно, воспользовавшись теоремой Безу, разделить многочлен

В результате деления получится квадратный трехчлен

Теорема . Если рациональное число (несократимая дробь)

,

где m – число целое, а n – число натуральное, является корнем многочлена k -ой степени

которого являются целыми числами, то числитель дроби m является делителем коэффициента a_k , а знаменатель дроби n является делителем коэффициента a₀ .

Коэффициент a₀ называют старшим коэффициентом многочлена, а коэффициент a_k – свободным членом многочлена.

Алгебраические и трансцендентные числа

Определение . Действительное число называют действительным алгебраическим числом , если существует многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого это число является. Если же такой многочлен не существует, то указанное число называют действительным трансцендентным числом .

Замечание . Числа π и e – наиболее известные примеры действительных трансцендентных чисел.

Утверждение . Каждое рациональное число является алгебраическим числом.

Доказательство . Каждое рациональное число представимо в виде несократимой дроби

,

где m – число целое, а n – число натуральное. Но указанная дробь является корнем уравнения первой степени

что и требовалось доказать.

Следствие . Каждое действительное трансцендентное число является иррациональным числом.

Нахождение рациональных корней

Содержание:

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство:

Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на :

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель , то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Задача пример №8

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение:

свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент ±1 и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Задача пример №9

Найдите корни многочлена .

Решение:

по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как , то, решив квадратное уравнение , получим другие корни: . Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня: —.

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми.

Например, для нахождения корней многочлена надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное уравнение .

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия:

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т.е. определяется двучлен , на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: ; . Значит, многочленах не имеет рациональных корней.

Исследование:

1) Перепишите примеры в тетрадь и проведите обсуждение.

a) Многочлен первой степени имеет один корень:

b) Многочлен второй степени имеет два корня: , ;

c) Многочлен третьей степени имеет три корня:

d) Многочлен четвертой степени имеет четыре корня:

e) Принимая во внимание, что уравнение имеет кратные корни, получим 5 корней:

2) Укажите степень и найдите корни многочленов, разложение на множители которых имеет вид .

3) Равна ли степень произвольного многочлена количеству его корней?

Покажем на примере, что многочлен n-ой степени имеет n корней.

Задача пример №10

Найдите все корни многочлена .

Решение:

рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

.

Значит, является корнем данного многочлена . Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда ; . Решим уравнение ; ; (корень кратности 2); ;

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение n-ой степени всегда имеет n корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.