Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью окружности

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Класс: 10

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

• Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
• Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
• Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

• познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
• изучить соответствующую литературу;
• научиться решать тригонометрические уравнения;
• найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
• научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
• подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]

sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;

sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
3. С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Отбор корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Пискарева Раиса Ивановна Piskar yo va Raisa Ivanovna

муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №1»

Россия, Курская область, г. Железногорск

» Gymnasium №1″ Russia , Kursk Region , Zheleznogorsk

Отбор корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности.

The selection of the roots in trigonometric equations using numerical circle.

Тригонометрические уравнения; отбор корней; числовая окружность.

Trigonometric equations; selection; roots; numeric circumference.

Пискарева Раиса Ивановна. Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью числовой окружности.

Данная статья будет интересна учителям математики и учащимся 10 – 11 классов при подготовки к ЕГЭ по математике. В статье рассматривается, когда удобно отбирать корни тригонометрического уравнения с помощью числовой окружности. Приводится схема отбора корней, рассматриваются примеры, делается вывод об эффективности применения этого метода. Автор предлагает задания для самостоятельной работы с ответами.

Piskareva Raisa Ivanovna. The selection of the roots of trigonometric equations using numerical circle.

This article will be of interest to mathematics teachers and students 10 – 11 classes to prepare for the exam in mathematics. The article presents the scheme of selection of roots, examples of a conclusion about the effectiveness of this method and the easiest way to select the roots of trigonometric equations using numerical circle. The author gives tasks for independent operation with answers.

ЕГЭ по математике направлен на контроль сформированности математических компетенций, предусмотренных требованиями

Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике (2004 г.)

Варианты КИМ для проведения ЕГЭ по математике составлены на основе кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений. Некоторые задания №13 ЕГЭ по математике (профильный уровень) представляют собой тригонометрическое уравнение. В последние годы составители заданий ЕГЭ по математике в качестве задания №13 предлагают несложные тригонометрические уравнения, в демоверсии по математики 2017 года (профильный уровень), задание №13 имеет следующее содержание:

а) Решите уравнение — )

б) Найти все корни этого уравнения принадлежащие промежутку

Задания имеют некоторые особенности. Особенности этого задания в том, что требуется во-первых, решить (то есть, найти все решения) во вторых, осуществит отбор решений по тому или иному ограничению.

При отборе можно проверить знания основных разделов школьной математики, уровень логического мышления, навыки исследовательской деятельности.

Выполнение второй части задания №13 — это отбор корней принадлежащих заданному промежутку.

Существуют разные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях:

Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

Отбор корней с помощью неравенств.

Функционально — графический способ.

Отбор корней тригонометрического уравнения, на числовой прямой.

Отбор корней тригонометрического уравнения с помощью числовой окружности.

В процессе обучения решению задач, в которых требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, следует обсудить разные способы выполнения этого задания. Во-первых, в этом случае выпускники начинают применять знания в нестандартной ситуации, развивается логическое мышление, формируются навыки исследовательской работы.

Во – вторых, ученик научится выяснять случаи, когда тот или иной способ может оказаться наиболее удобным или наоборот непригодным.

Рассмотрим отбор корней тригонометрического уравнения с помощью числовой окружности.

Когда удобно применять этот метод.

Этот метод удобно применять, если уравнение имеет несколько корней, объединить которые в один корень невозможно.

Когда корни тригонометрического уравнения, содержат обратные тригонометрические функции.

Что надо уметь и знать, чтобы отобрать корни по числовой окружности.

Движение начинается от нуля, если корень положительный , то против часовой стрелки, если отрицательный , то по часовой стрелки.

Числовая окружность по положительному направлению 2

По отрицательному направлению -2

Поэтому, если дают числовой промежуток , его надо записать в другом виде или если предлагают промежуток

Знать главные точки числовой окружности по положительному направлению: 0;π; ,

по отрицательному 0;

Знать точки первой четверти, обозначим их буквой t , это табличные значения: ; , если это не табличные значения , arcsin a ; arccos a ; arctg a ; arcctg a , где а

Уметь через точку первой четверти вычислить симметричные точки в остальных четвертях.

Покажем это на круге по положительному направлению

Обратим внимание на то, что точки симметричные точке первой четверти расположенные на окружности являются вершинами прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат, что позволяет вычислить точку любой четверти, через точку первой четверти.

По отрицательному направлению.

Ели точка будет больше чем 2π, 4π и т. д, то надо к этим значениям прибавить: t , π- t , π+ t или 2π- t , также по отрицательному направлению.

Как отбирают корни уравнения с помощью числовой окружности.

Изобразить числовую окружность и на ней чёрными точками отметить все корни тригонометрического уравнения.

Изобразить числовую прямую, на ней отметить промежуток, которому должны принадлежать корни уравнения (его обязательно заштриховать), обратить внимание на изображение концов промежутка.

Отметить ноль, его расположение зависит от отмеченного промежутка (он может располагаться справа от промежутка, слева и находится внутри промежутка)

От нуля отмети 2π, 4π, 6π и т, д. или -2π, -4π, -6π и т , д. до конца промежутка.

Начинаем одновременно двигаться от нуля по числовой прямой и по окружности, если на числовой прямой участок по которому движемся не заштрихован, то точки (корни уравнения не принадлежат промежутку), если корень попадает в заштрихованный промежуток, то его записываем рядом с точкой изображающей корень уравнения на окружности.

Если корень принадлежит промежутку меньше 2π то, вычисляем этот корень через точку первой четверти.

Если корень больше 2π или 4π и т. д. то, надо к этим значениям прибавить: t ; π, в зависимости от того в какой четверти находится точка, соответствующая корню уравнения, аналогично по отрицательному направлению.

Приведем примеры выполнения заданий №13 (профильный уровень) в которых:

а) Решить тригонометрическое уравнение.

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие заданному промежутку