Отбор корней в тригонометрических уравнениях
Практика приемных экзаменов в вузы показывает, что при решении тригонометрических уравнений абитуриенты нередко затрудняются как в выборе способа решения уравнения, так и при отборе его корней.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Надо ли исключать повторяющиеся корни решения или этого можно не делать?
С понятием пересечения множеств связан и еще один важный вопрос: в ответе не должно быть значений переменной, при которых выражения в левой или правой частях уравнения не определены. Такие значения надо исключить. Для этого надо уметь находить пересечение различных серий.
В предлагаемой работе на конкретных примерах рассматриваются различные способы и приемы при выборе ответа. Надеемся, что данная работа поможет учителям старших классов и самим учащимся при подготовке к вступительным экзаменам в вузы.
1. Отбор чисел на тригонометрическом круге
Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием, на наш взгляд, более наглядный и убедительный.
Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1.
2sin x sin 2x – 2sin 2 x = 0,
.
Из рис. 1 видно, что серия x3(*) включает в себя один из корней серии x1( · ).
Ответ:
Пример 2. tg x + tg 2x – tg 3x = 0.
Серия x2(*) не удовлетворяет ОДЗ (рис. 2). Серия x1( o ) входит в серию x3( · ), поэтому ответ можно записать одной формулой:
Пример 3.
sin 2x (2cos 2x cos x + cos 7x) = 0,
sin 2x (cos 3x + cos x + cos 7x) = 0,
sin 2x (cos 3x + 2cos 4x cos 3x) = 0,
sin 2x cos 3x (1 + 2cos 4x) = 0,
Объединяя все три серии корней, ответ можно записать так:
Пример 4. sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x.
– (cos 2x + cos 4x) + 1 + cos 6x = 0,
– 2cos 3x cos x + 2cos2 3x = 0,
cos 3x (cos 3x – cos x) = 0,
cos 3x sin 2x sin x = 0,
Серия корней x2 содержится в серии x1 и x3, в чем легко убедиться, изобразив их различными точками на круге, поэтому
ответ:
Пример 5. sin x + sin 7x – cos 5x + cos (3x – 2 p ) = 0.
2sin 4x cos 3x + 2sin 4x sin x = 0,
sin 4x (cos 3x + sin x) = 0,
Серия x2 содержится в серии корней x1, а на круге (рис. 4) изобразим точками серии x1( · ) и x3(О), которые не совпадают.
Пример 6. ctg 2x + 2ctg x – tg 2x = sin 5x.
ОДЗ
Учитывая ОДЗ, получим
Пример 7.
Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет.
Нанесем на тригонометрический круг (рис. 6) все числа серии
и выбросим корни, удовлетворяющие условию
Оставшиеся решения из серии x1 можно объединить в формулу
2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом
Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2 p .
Пример 8. sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 5x = 2.
cos 4x + cos 6x + cos 8x + cos 10x = 0,
2cos 5x cos x + 2cos 9x cos x = 0,
cos x cos 2x cos 7x = 0.
«Период» серий равен p. Рассмотрим те корни из серий x1, x2, x3, которые попадают в промежуток [0; p ]. Это будут:
Сразу видно, что серия x1 содержится в серии x3, а серии x2 и x3 не пересекаются. Значит, ответ можно записать в виде .
Способ алгебраический. Общим знаменателем в сериях x1 и x2 будет 4:
Если x1 = x2, то 2 + 4k = 1 + 2l, но слева – четное число, а справа – нечетное. Равенство невозможно, серии x1 и x2 не пересекаются. Аналогично получаем, что серии х3 и х2 тоже не пересекаются, а вот для серий x1 и x3 получаются формулы
Из равенства 7 + 14k = 1 + 2m получаем m = 7k + 3. Это означает, что для всякого k найдется целое m такое, что будет выполняться равенство 7 + 14k = 1 + 2m, т. е. всякий корень из серии x1 встретится и в серии x3, поэтому серия x1 содержится в серии x3, и в ответе писать ее не надо.
При решении некоторых тригонометрических уравнений их заменяют эквивалентной системой уравнений, а затем находят пересечение множеств решений. Эти пересечения часто найти легко. Но иногда для нахождения решений необходимо решать диафантово уравнение (ax + by = c).
Пример 9.
В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдем такие целые k, при которых x = p + 2 p k имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x № 3 p n, n О Z. Пусть p + 2 p k = 3 p n; 1 + 2k = 3n. Отсюда n = 2m + 1 Ю k = 3m + 1. Итак, посторонние корни в серии x = p + 2 p k будет при k = 3m + 1, m О Z.
Пример 10. cos 7x (sin 5x – 1) = 0.
Пересекаются ли эти серии? Из равенства
следует 5k = 14n + 1. Выразим ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине:
– целое число.
Ответ можно записать в виде
.
Пример 11.
Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе
Решением уравнения является пересечение серий x1 и x2, т. е. нам надо решить уравнение
Из него получаем уравнение, имеющее решение k = 8t, n = 3t.
Пример 12.
Решением уравнения является пересечение серий x1 и x2;
,
где – целое число;
Пример 13.
sin 2x sin 4x = 2sin x sin 3x cos x,
sin 2x sin 4x = sin 2x sin 3x,
sin 2x (sin 4x – sin 3x) = 0,
Остается проверить, лежат ли они в области x О R,
Серию x1 проверить легко: поскольку ,
а при n, кратных 8, n = 8l (l О Z), получается как раз x № 2 p l, вся серия x1 исключается. Сложнее обстоит дело с серией x2. Здесь надо выяснить, при каких целых k найдется такое n, что выполняется равенство ,
и исключить такие k. Последнее уравнение приводится к виду 8k + 4 = 7n, причем решать это уравнение надо в целых числах. Из него следует, что n = 4l, поскольку левая часть уравнения делится на 4. Подставляя n = 4l в уравнение, получаем 8k + 4 = 28l, откуда 2k + 1 = 7l. Далее, l должно быть нечетно, l = 2t + 1; поэтому 2k + 1 = 14t + 7, k = 7t + 3. Вот решение и получилось:
Ответ:
3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями
Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.
Пример 14. Найти корни уравнения sin 2x = cos x | cos x |,
удовлетворяющие условию x О [0; 2 p ].
Условию cos x і 0 удовлетворяют
из серии
из серии
Наконец,
Пример 15. Найти все решения уравнения
удовлетворяющие условию
так как то
Пример 16. Найти все решения уравнения
принадлежащие отрезку .
Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге (рис. 9):
Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно .
Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:
1 + sin 2x = 2cos 2 3x Ю sin 2x = cos 6x,
Из серии при n = 2 имеем
Из серии при n = 5 имеем
Пример 17.
Ответ:
Пример 18. Найти все корни уравнения
которые удовлетворяют условию .
10sin 2 x = – cos 2x + 3 Ю 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3,
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из серии
При
при .
Аналогично выберем корни, удовлетворяющие условию задачи, из второй серии. Это будут .
Пример 19.
sin x и cos x должны быть одинакового знака, а, учитывая первое неравенство, только при sin x > 0 и cos x > 0 система совместна. Значит, x оканчивается в первой четверти. Имеем
1 + 2sin x cos x = 4sin x cos x Ю sin 2x = 1,
Ответ:
Пример 20.
Ответ:
Пример 21.
а)
Но ctg x 0. Решений нет.
б)
Ответ:
.
Примеры для самостоятельного решения
7. Найти все решения уравнения, принадлежащие указанным промежуткам:
Л. Максименко,
Р. Зинченко,
г. АнгарскСистема повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» для 11 класса
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Система повторения по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»
учителя МОУ Октябрьская СОШ Радищевского района Ульяновской области
Волик Татьяны Геннадьевны
Примерное планирование учебного времени при организации повторения темы «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» (проведено на занятиях кружка «Готовимся к ЕГЭ по математике» в 11 классе)
Простейшие тригонометрические уравнения
Повторить общие и частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений, опираясь на единичную окружность. Деление множеств корней уравнений sinx=a и cosx=a на две группы с целью упрощения дальнейшего отбора.
Виды тригонометрических уравнений и методы их решения
Повторение основных методов решения тригонометрических уравнений: однородных 1 и 2 степеней – делением на степень косинуса; вынесением общего множителя за скобки; применением формул приведения, двойного угла, понижения степени и т.д.
Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
Повторение алгоритмов отбора корней в тригонометрических уравнениях: по единичной окружности; непосредственным перебором; аналитически с помощью решения неравенств; графически.
Проверочная работа по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
Проверка умений решать задания ЕГЭ типа С1.
План-конспект урока-обобщения по теме
«Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»
— повторить основные тригонометрические формулы и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;
-развивать вычислительные навыки, логическое мышление, навыки контроля и самоконтроля, умение работать с компьютерной презентацией;
-воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов;
-рассмотреть основные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений:
аналитический, графический, по единичной окружности, перебором целых значений.Девиз урока: «Не бойтесь формул!
Учитесь владеть этим инструментом
В формулах заключено величие и могущество
Тип урока: обобщающий
Оборудование: дидактические карточки, мультимедийная аппаратура.
Проверка знаний учащимися тригонометрических формул.
У доски 3 уч-ся записывают тригонометрические формулы:
1 уч.: Формулы, которые устанавливают соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.
2 уч.: Формулы сложения.
3 уч.: Формулы суммы и разности и разности тригонометрических функций.
В это время с остальными уч-ся провести устную разминку.
Устная разминка (задания на экране):
1.Какому выражению соответствует значение ?
а) sin 30; б) cos ; в) tg
2.Выбрать возможный вариант.
а) sin =; б) cos = -2; в) sin = -3,7.
3. Какой из углов является углом II четверти?
а) ; б) –145 ; в)
4.В каких четвертях sin и cos имеют разные знаки?
а) II , III и IV ; б) I и III ; в) I и IV .
5. Каким выражением можно заменить ?
а) cos ; б) sin ; в) — sin .
Задание: заполнить 3 столбец таблицы: формулы решения простейших тригонометрических уравнений .
Формулы решения уравнений
уравнение решений не имеет
уравнение решений не имеет
Учащиеся заполняют 3 столбец таблицы, проверка осуществляется сразу же по слайду на экране.
Учащимся предлагается выполнить задание С1:
а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
а) (один ученик у доски):
Так как (формула косинуса двойного угла), (формула приведения), то , , (вынесение за скобки общего множителя).Корни уравнения: , .
1 группа. Отбор корней по единичной окружности.
Корни уравнения изображаются точками А и В, а корни уравнения — точками C и D, промежуток изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и .
б)Ответ: .
2 группа. Отбор корней по графику.
б) Корни, принадлежащие промежутку, отберем по графику. Прямая (ось ) пересекает график в единственной точке, абсцисса которой принадлежит промежутку.Прямая пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат(см. рис.). Так как период функции равен , то эти абсциссы равны, соответственно, и .
В промежуткесодержатся три корня: .
3 группа. Отбор корней перебором значений.
б) Пусть . Подставляя , получаем . Промежутку принадлежит только .Пусть . Подставляя , получаем:
.
Промежутку принадлежат только .
Промежутку принадлежат корни: .
4 группа. Отбор корней аналитически с помощью неравенств.
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку.
Пусть . . Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Пусть Z .
Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Пусть Z .
Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Промежутку принадлежат корни: .
Каждая группа подробно рассказывает о процедуре отбора корней уравнения.
В каких случаях необходимо производить отбор корней в тригонометрических уравнениях?
Какими способами можно произвести отбор корней?
Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?
6 sin 2 x + cos x если x ∊ .
4 cos 2 x + 4cos ( если x ∊ .
cos 2x + 3 sin 2 x = 1,25, если x ∊ .
s in 2x = cos x|cosx|, удовлетворяющие условию x [0; 2].
Арккосинус. Решение уравнения cos x=a
п.1. Понятие арккосинуса
В записи \(y=cosx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb\); \(cosx=0\), то \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb \) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<5\pi><6>\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1п.2. График и свойства функции y=arccosx
1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\) . Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_=\pi\) достигается в точке x =-1
Минимальное значение \(y_=0\) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.п.3. Уравнение cosx=a
Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус? Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.
1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) — это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac<7\pi><3>\), косинус полученного угла \(cos\frac<7\pi><3>=\frac12\), т.е. \(\frac<7\pi><3>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)
Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках.
По определению верхняя точка – это угол, равный arccos0,8.
Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos0,8).
Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни.
Получаем ответ:
\(x=\pm arccos0,8+2\pi k\)п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента
Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).
По построению: $$ \begin \angle DA’O=\angle BAO=\angle CAO=90^<\circ>\\ OD=OB=OC=1\\ OA’=OA=a \end \Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) \begin \Delta DA’O=\Delta BAO=\Delta CAO\Rightarrow\\ \Rightarrow \angle DOC=\angle A’OA-\alpha+\alpha=\angle A’OA=180^<\circ>=\pi\\ -arccosa+\pi=arccos(-a) \end п.5. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.
Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.Пример 2. Решите уравнения:
a) \(cos x=-1\)
\(x=\pi+2\pi k\)б) \(cos x=\frac<\sqrt<2>><2>\)
\(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\)в) \(cos x=0\)
\(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\)г) \(cos x=\sqrt<2>\)
\(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\)
Решений нетд) \(cos x=0,7\)
\(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\)e) \(cos x=-0,2\)
\(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\)Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$
Способ 1. Решение с помощью числовой окружности Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\)
$$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arccosx\) Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$
Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \beginx^2-3x+3=cos0=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ: \(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begint_1=3\\ t_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arccosx=3\\ x=cos3 \end Ответ: cos3 \(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begint^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(\pi^2)-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt =\frac\pi3\\ \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi3\\ arccosx_2=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12\\ x_2=cos\left(\frac<2\pi><3>\right)=-\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\pm\frac12\right\>\)
источники:http://infourok.ru/material.html?mid=23409
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/arkkosinus-reshenie-uravneniya-cosx-a/