Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях
Класс: 10
Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10
Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики
ВВЕДЕНИЕ
Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).
Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.
Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.
Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.
I РАЗДЕЛ (теоретический)
Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?
- Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
- Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
- Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.
Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.
Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.
Задачи:
- познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
- изучить соответствующую литературу;
- научиться решать тригонометрические уравнения;
- найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
- научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
- подготовиться к ЕГЭ по математике.
Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.
При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.
Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.
Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.
Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.
Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.
II РАЗДЕЛ (практический)
Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:
sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]
sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;
sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;
Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим
Вернемся к замене:
б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .
1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:
2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:
3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.
Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
- Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
- С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
- Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.
урок в 10 классе «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя свойство периодичности тригонометрических функций»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме
Тема урока «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений,
используя свойство периодичности тригонометрических
функций» .
Цель урока: познакомить учащихся с методом отбора корней при решении тригонометрических уравнений, используя свойство периодичности тригонометрических функций.
Задачи урока :
— обобщение знаний свойств тригонометрических функций с использованием
— применение данного метода при решении задач;
— развитие навыка самостоятельности в работе.
Оборудование : интерактивная доска, слайды.
Урок по алгебре и началам анализа на тему «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» (10класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
МБОУ «Ташлинская средняя общеобразовательная школа»
Отбор корней в тригонометрических уравнениях
Урок по алгебре и началам анализа
Учитель первой категории
Самсонова Ирина Анатольевна
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Название УМК «А. Г. Мордкович» Предмет алгебра и начала анализа Класс 10
Тема урока Отбор корней в тригонометрических уравнениях
Место и роль урока в изучаемой теме: раздел «Методы решения тригонометрических уравнений», подготовка к единому государственному экзамену
Тип урока Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности
ЦЕЛЬ: рассмотреть применение арифметического, геометрического, алгебраического способов отбора корней в тригонометрических уравнениях (задания С1 ЕГЭ)
обобщить, систематизировать и углубить знания о разнообразии способов отбора корней в тригонометрических уравнениях;
развивать логическое мышление учащихся, потребность к самообразованию; воспитание познавательной активности, уверенности в себе
Литература: «Первое сентября», журнал «Математика»
Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.
2. Актуализация опорных знаний
1. Расставьте в порядке убывания числа:
3 ; ; ; ; 2,5; .
2. Расставьте в порядке возрастания числа:
— ; — ; — ; — ; — 2.
3. Какие частные случаи существуют при решении простейших тригонометрических уравнений?
4.Когда уравнение sin x = a не имеет решений?
Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.
Тема нашего урока « Отбор корней в тригонометрических уравнениях в заданиях типа С1 . Сформулируйте цель урока. Какие задачи для себя на уроке поставим?
Изучения новых знаний и способов деятельности, закрепления изученного.
Учитель. Какие способы вы примените к отбору корней в следующих задачах?
+2 sin x = 0.
Найти все решения уравнения sin 2 x = cosx , принадлежащие отрезку [- ; ].
3. Определить количество корней уравнения
ctg 3 x sin 6 x – cos 6 x – cos 12 x = 0 на промежутке [0; 2
Способы разрешения проблемы
Ученики предлагают свои версии.
Пример 1. 1 СПОСОБ (арифметический)
Решение. Перепишем уравнение в виде
= — 2 sin x .
Это уравнение равносильно системе
Решим уравнение системы:
5 cos x – (2 cos 2 x – 1) = 4(1 – cos 2 x ),
2 cos 2 x + 5 cosx – 3 = 0.
Отсюда cosx = 0,5 или cos x = — 3 (нет корней).
Из уравнения cosx = 0,5получим:
x = + 2 n , n Z , или x = — + 2 n , n Z .
Проверим для полученных значений x выполнение условия
Для первой серии получаем:
sin ( + 2 n ) = sin = 0.
Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем
sin ( + 2 n ) = — sin = — 0.
Следовательно, все числа второй серии решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.
Ответ: — + 2 n , n Z .
Учитель. Нахождение значений тригонометрического выражения непосредственно подстановкой при проверке корней ( Пример 1.) и перебор значений целочисленного параметра относятся к арифметическому способу
отбора корней в тригонометрических уравнениях.
А если последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических, входящих в серии решений не являются табличными?
Пример 2. 1 СПОСОБ (алгебраический)
Решение. Приведем уравнение к виду
cos x (2sin x – 1) = 0.
cos x = 0 и sin x = 0, 5.
cos x = 0, x = + n , n Z . Так как решения должны удовлетворять неравенству — + n ≤ , то, сократив на , получим:
-1 ≤ + n ≤ или — ≤ n ≤ .
С учетом того, что n Z , получаем два значения: n = -1 и n = 0. Если n = 0, то x = , если n = -1, то x = .
x = или x = , n Z
Так как должно выполняться условие — x ≤ , то для первой серии имеем:
— ≤ ,
— ≤
— n ,
следовательно, n = 0.
Отсюда получаем: x = .
Для второй серии имеем:
— ≤ ,
— ≤
— n .
Последнее неравенство не имеет целочисленных решений.
Ответ: ; .
В этом примере мы применили решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра n и вычислении корней – это алгебраический способ отбора корней.
Снятие напряжения – «Тряпочная кукла»
«Кто быстрее?» с разрезанием листа Мёбиуса.
4. Применения изученного, обобщение и систематизация
(Самостоятельная работа учащихся)
Учитель. Какие идеи у вас имеются для решения Примера 3?
Ученики выполняют самостоятельно, затем делают вывод, что в данном задании удобно использовать при отборе корней числовую окружность.
Учитель. Так как длина промежутка не превосходит 2 этот способ эффективнее, он относится к геометрическим способам отбора корней в тригонометрических уравнениях.
Решение. Умножая обе части уравнения на sin 3 x ≠ 0, получаем:
sin3x – sin3x cos12x = 0,
sin3x (1 – cos12x) = 0.
n , k Z .
Функции cos 12 x и sin 3 x , входящие в уравнение, имеют основной период, не превосходящий 2 , поэтому проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Для этого полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на тригонометрической окружности ( на Макете ) и в ответ запишем количество точек серии решений, не совпавших с точками серии ограничений.
5. Информация о домашнем задании
1. Дифференцированные задания для каждого ученика
2. Из различных сборников заданий для подготовки к ЕГЭ 2012 выбрать три задачи, в которых можно применить: С1
способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и решить одну из них.
6. Подведение итогов
С какими способами отбора корней в тригонометрических уравнениях мы познакомились на уроке?
Ученики высказывают свои мнения об оптимальности применения различных способов отбора корней при выполнении заданий.
Оценки учителя и самооценка каждого ученика работы на уроке.
Свою деятельность на уроке прошу вас оценить
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/12/25/urok-v-10-klasse-otbor-korney-pri-reshenii-trigonometricheskikh
http://infourok.ru/urok-po-algebre-i-nachalam-analiza-na-temu-otbor-korney-v-trigonometricheskih-uravneniyah-klass-917383.html