Отбор корней в тригонометрических уравнениях конспект урока

Урок по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

• дидактические: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме « Решение тригонометрических уравнений» ; закрепление основных понятий; систематизация умений и навыков по применению способов отбора корней в тригонометрических уравнениях.
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

I. Организационный момент. Сформулировать цели и задачи урока.

II. Актуализация знаний учащихся.

Учитель : Давайте повторим основные типы уравнений и методы их решения, а также решения простейших уравнений в ходе следующих устных упражнений:

2. Назовите вид уравнения и изложите грамотно способ его решения.

а) 2cos 2 х — cos x — 5 = 0

б) sin 2 х + cos x — 8 = 0

в) cos х + sin x = 0

г) sin х — cos x = 1

д) 3cos x — 4sin x = 0 (или 5)

е) 5 sin 2 х — 8sin x cos x + cos 2 x = 0 (или 2)

ж) sin 2х — cosx = 0

з) cos 3х = cos х

Назовите несколько чисел из множества чисел вида:

III. Переход к изучению нового.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа. Для нас важность этой темы связана с тем, что тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ; это задание С1 с дополнительным условием.

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.
● Арифметический способ:
а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся

ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

● Алгебраический способ:
а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;
б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.

● Геометрический способ:
а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;
б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

Выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции

Сегодня на уроке мы остановимся на наиболее часто применяемых способах отбора корней

и тех способах с которыми мы еще не сталкивались.

IV. Разбор примеров. Решение задач.

№1. . Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом .

Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2 .

Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

где целое число.

№2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности (геометрический).

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный.

Пример 1 . cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1.

cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x ) = 0,

2sin x sin 2 x – 2sin 2 x = 0,

2sin x (sin 2 x – sin x ) = 0,

Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в себя корни второй серии, а третья серия включает в себя числа вида из корней первой серии.

№ 3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями.

Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.

Пример 1. Найти корни уравнения

sin 2 x = cos x | cos x | , удовлетворяющие

sin 2 x = cos x | cos x |;

2sin x · cos x — cos x | cos x |=0;

cos x (2sin x — | cos x |)=0;

Определим решения систем с помощью числовой окружности.

Условию x [0; 2 ] удовлетворяют числа (для первой системы) и (для второй системы).

Пример 2. Найти все решения уравнения

Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:

Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно .

Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:

1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ;

sin 2 x = cos 6 x ;

sin 2 x — cos 6 x =0;

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.

Из первой серии:

Следовательно n=2, то есть

Из второй серии:

Следовательно n=5, то есть

Итак, мы разобрали различные виды задач, где необходим отбор корней, рассмотрели несколько способов такого отбора. Вы в дальнейшем можете применять любой из них. Урок показал, что вы хорошо умеете решать уравнения различных типов (учитель выставляет оценки учащимся, работавшим у доски, наиболее активным учащимся)

VII. Домашнее задание .

Закрепить дома виды задач.

1) Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку

a) cos 2x + sin x = cos 2 x на [0;2π]

б) sin x + cos x = 0 на [-π;π]

2) Найдите число корней уравнения из [-π;π]

3) Решите уравнение:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Роль данного раздела математики на ЕГЭ исключительно велика. Одновременно с этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе ма.

Урок в 10 классе по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Геометрический метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

Методы отбора корней при решении тригонометрических уравнений

Данный материал поможет учителям математики, работающим в 10-11 классах подготовить обучающихся к выполнению задания С1 в ЕГЭ.

урок в 10 классе «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя свойство периодичности тригонометрических функций»

Тема урока «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений.

Разработка урока по теме: «Основные методы решения тригонометрических уравнений»

Разработка урока по теме: «Основные методы решения тригонометрических уравнений». Приложения.

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Методы отбора корней тригонометрических уравнений.

Открытый урок в 10 классе «Методы решения тригонометрических уравнений»

Открытый урок в 10 классе «Методы решения тригонометрических уравнений».

КОНСПЕКТ УРОКА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ОТБОР КОРНЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока в 10 классе.

Тема урока: «Тригонометрические уравнения. Отбор корней при решении тригонометрических уравнений».

Тип урока: систематизация и обобщение знаний и умений.

Формы организации деятельности : индивидуальная, фронтальная, групповая.

Предметные: совершенствовать навыки решения тригонометрических уравнений с помощью применения различных приёмов; систематизировать умения и навыки по применению трёх, известных способов отбора корней при решении тригонометри-ческих уравнений, научиться выделять наиболее рациональный в каждом конкретном случае; научиться выполнять отбор корней тригонометрического уравнения функционально-графическим способом.

Познавательные УУД: поиск и выделение необходимой информации, моделирование, логические — решение проблемы, построение логической цепи рассуждений, выдвижение гипотез и их обоснование, развитие познавательного интереса.

Личностные УУД: самоопределение, стремление к речевому самосовершенствова-нию, способность к самооценке своих действий, самостоятельное выделение проблемы; установление значения результата деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов, самоконтроль.

Регулятивные УУД: целеполагание, планирование, саморегуляция, выделение и осознание обучающимися того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить; постановка задачи на основе соотнесение того, что уже известно и неизвестно.

Коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, соблюдение правил речевого поведения, умение с достаточной полнотой выражать мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, применять правила делового сотрудничества.

Организационный этап. ( приветствие обучающихся — приветствие учителя, проверка готовности — демонстрация готовности к уроку).

Постановка целей и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся .

Учитель: Наш урок я бы хотела начать словами гениального физика Альберта Эйнштейна: « Мне приходиться делить своё время между политикой и уравнениями.

Однако уравнения, по–моему, гораздо важнее, потому, что политика существует

только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Сегодня у нас с вами заключительный урок по теме: « Тригонометрические уравнения. Отбор корней при решении тригонометрических уравнений». Наша задача повторить и привести в систему изученные виды уравнений, методы их решения, систематизировать умения и навыки по применению трёх, известных вам способов отбора корней при решении тригонометрических уравнений, а также выяснить, существуют ли ещё какие-либо способы отбора корней.

Свою работу вы будете оценивать сами, используя лист контроля, который лежит перед вами.

Методы решения тригонометричес-ких уравнений

Б) разложение на множители

В) однородное ур. второй степени

Г) универсальная подстановка

Д) метод оценки левой и правой частей уравнения

(Лист контроля заполняют учащиеся по ходу урока)

Актуализация знаний учащихся.

На экране проецируется задание.

Учитель: Каждому выражению поставьте в соответствие его значение.

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

На экране проецируются ответы:

Учитель: Посмотрите на уравнения и их корни. Выясните, нет ли ошибок. Если есть, то исправьте их и запишите правильные ответы в лист контроля.

sin х = 1 б) cos х = 0 в) tg х = 3

х= x = ± x = arctg 3 + πk,k

г) sin x = 2 д) cos x = -1

х = arcsin 2 + π k , k x =

( Учащиеся в лист контроля записывают ответы, затем проверяют. За каждый

правильный ответ- 1 балл.)

Учитель: Ребята, давайте вспомним, какие методы решения тригонометри-ческих уравнений вы знаете? (На доске проецируются уравнения)

Посмотрите на уравнения и запишите в лист контроля каким из перечисленных методов можно их решить.

А) cos 2 x — 5 cos x +4= 0 (квадратное уравнение)

Б) sin 2 x — =0 (разложение на множители)

В) sin 2 x -2 sin x cos x = 3 cos 2 x (однородное уравнение 2-й степени)

Г) 5 cos x + 12 sin x =13 (универсальная подстановка)

Д) sin 2 2 x + sin 2 3 x + sin 2 4 x + sin 2 5 x = 0 (метод оценки левой и правой частей

(Учащиеся в лист контроля записывают ответы, затем проверяют. За каждый правильный ответ- 1 балл).

Обобщение и систематизация знаний.

Учитель: Сама задача решения уравнений порой бывает менее важна, чем нахождение частных уравнений, удовлетворяющих некоторому условию (принадлежащие заданному отрезку). Часто возникает п роблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригоно-метрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа. Для нас важность этой темы связана с тем, что тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тестах ЕГЭ.

Ребята, давайте ещё раз обозначим при каких условиях, в каких уравнениях приходится выполнять отбор корней?

Учащиеся: 1. В дробно-рациональных уравнениях относительно тригонометри-ческих величин.

2. В уравнениях, содержащих тригонометрические выражения под знаком корня чётной степени.

3. В тригонометрических уравнениях с модулем.

Учитель: Какие способы отбора корней вы знаете?

Учащиеся: Арифметический, алгебраический и геометрический.

Учитель: Охарактеризуйте каждый из способов.

Учащиеся: Арифметический способ связан с вычислением корней при переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений тригонометри-ческих выражений непосредственной подстановкой при проверке корней.

Алгебраический способ наиболее эффективен в случае, когда промежуток для отбора корней достаточно большой; значения обратных тригонометрических функций, входящих в серии решений, не являющихся табличными, и при решении задач с дополнительными условиями.

Геометрический способ основан на использовании тригонометрической окруж-ности. Тригонометрическая окружность удобна в случае, когда речь идет об отборе корней на промежутке, длина которого не пре восходит 2П, или если требуется найти наибольший отрицатель ный или наименьший положительный корень уравнения.

Учитель: Я предлагаю вам решить несколько тригонометрических уравнений и произвести отбор корней с помощью наиболее рационального способа.

(Один ученик работает у доски).

Учитель: Какой системе равносильно исходное уравнение?

Решим уравнение системы:

Учитель: Какие преобразования необходимо сделать?

Ученик: Применим формулу синуса двойного угла.

Учитель: Каким известным вам способом можно решить полученное

Ученик: С помощью метода разложения на множители.

или (однородное уравнение

х= первой степени)

Учитель: Каким способом можно проверить условие

Если n =2 m , то + 2)=10 не удовлетворяет условию.

Если n =2 m +1, то + 2)= + 2)= -10

+ 2)=0 удовлетворяет условию.

+ 2)=0 не удовлетворяет условию.

Учитель: Каким способом можно решить данное уравнение?

Ученик: Методом оценки левой и правой частей уравнения.

Учитель: В каком случае возможно равенство?

Ученик: Поскольку наибольшее значение функции y = cos х равно 1,

уравнение равносильно системе :

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить

Учитель: Каким способом можно решить это уравнение?

Ученик: Применить тригонометрические формулы.

cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x ) = 0

— 2sin x sin x ) – 2sin 2 x )= 0

2sin 2 x sin x – 2sin 2 x = 0

2sin x (sin 2 x – sin x ) = 0

Учитель: Каким способом удобнее произвести отбор корней?

Ученик: С помощью единичной окружности.

Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия

включает в себя корни второй серии , а третья серия включает в себя числа

вида из корней первой серии .

Применение знаний и умений в новой ситуации.

Учитель: Итак, мы с вами повторили три способа отбора корней в тригонометри-

ческих уравнениях. Как вы думаете, существуют ли ещё какие-либо способы

Учащиеся: Можно попробовать отобрать корни с помощью графика простейшей

Учитель: Правильно. Этот способ называется функционально-графический.

(Далее р абота в группах. Класс учителем делится на группы.)

Представители групп вытаскивают карточку с заданием. Группа приступает к,

выполнению задания, оформляет решение на ватмане, и один ученик от группы

защищает решение у доски.

Задание для первой группы.

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а) (квадратное уравнение)

Запишем решение уравнения в виде:

б) Рассмотрим отбор корней на отрезке

Корни, принадлежащие отрезку [- π; 2π], отберем по графику y = sin x .

Прямая y = пересекает график в двух точках, абсциссы которых принадлежат

отрезку [- π; 2π]. Так как период функции y = sin x равен 2π, то эти абсциссы

Отрезку [- π; 2π] принадлежат корни, .

Задание для второй группы.

а) Решите уравнение 2 sin 4 x + 3 cos 2 x + 1 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π ; 3 π ]

а) 2 sin 4 x + 3(1 – 2 sin 2 x ) +1 = 0

2 sin 4 x – 6 sin 2 x + 4 = 0

sin 4 x – 3 sin 2 x + 2 = 0, сделаем замену.

t 2 – 3 t 2 + 2 = 0

По теореме Виета

sin 2 x = 1 или sin 2 x = 2

sinx = ±1 или sinx = ± — уравнение корней не имеет

y = sin x, y = 1, y = — 1

Ответ: а) x = + π n , n ϵ Z

Самостоятельная работа с проверкой по эталону.

а) Решить уравнение: 1 —

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение для самопроверки:

1-2 sin 2 x = 1- sinx

2 sin 2 x- sinx =0

sinx=0 или sinx -= 0

х= π n , n ϵ Z х= + π

б) Корни, принадлежащие промежутку ; — отберём по графику

Прямая у=0 (ось Ох) пересекает график в единственной точке

(-2, абсцисса которой принадлежит промежутку ; —

Прямая у= пересекает график ровно в двух точках, абсциссы

которых принадлежат промежутку ; — Так как период

функции у= sinx равен 2, то эти абсциссы равны, соответственно,

В промежутке ; — содержатся три корня: ;

Ответ: а) х= π n ; х= + π б) ;

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свою работу согласно шкале,

запишите баллы в лист контроля.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Информация о домашнем задании.

Учитель: Дома я предлагаю вам решить уравнение и произвести отбор корней функционально-графическим способом.

Решите уравнение = 0.

( Решение (функционально-графический способ).

Данное уравнение равносильно системе:

Из рисунка видно, что на промежутке , длина которого 2, неравенству

удовлетворяет одно число . Следовательно, все числа вида ,

удовлетворяют данному уравнению.

Рефлексия. Подведение итогов урока.

Учитель: Какую цель мы ставили в начале урока?

Наша цель достигнута?

Какие способы отбора корней повторили?

О каком способе отбора корней узнали на уроке?

Какой способ вам кажется легче и понятнее? Почему?

А теперь оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили

4задания. Найдите среднее арифметическое всех выставленных баллов, округлите

результат, и эти оценки я вам выставлю в журнал.

Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”.

Урок-обобщение по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

1. Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении тригонометрических уравнений:
   отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.

Оборудование: Мультимедийная аппаратура.

1. Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
2. Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;
   решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.

Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).

Значения а	Уравнение	Формулы решения уравнений
	sinx=a
	sinx=a	уравнение решений не имеет
а=0	sinx=0
а=1	sinx= 1
а= -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	уравнение решений не имеет
а=0	cosx=0
а=1	cosx= 1
а= -1	cosx= -1
	tgx=a
	ctgx=a

При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.

Задача. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе

Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1)

Получаем, что не может быть решением исходного уравнения.

Ответ:

В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.

В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.

Задача 2. Решить уравнение.

Решение. Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.

Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)

Из рисунка хорошо видно, что – решение исходного уравнения.

Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

3sin2x = 10 cos 2 x – 2/

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.

В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т.е. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

, т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin 2 x+ cos 2 x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0/

Пусть tgx = t, тогда t 2 + 6t – 9 = 0, t₁ = 2,t₂ = –8.

tgx = 2 или tg = –8;

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.

1) .

Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1, то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2, то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .

Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку

Это

2)

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

Ответ:

Задача 4. Решить уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .

Решение. Приведем уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.

.

Откуда cos2x

Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства

Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.

При к=2 получим , при к=3 получим .

Ответ:

Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.

Задача 5. Решить уравнение

Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду

Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.

, 0 29.12.2009