Отделение и уточнение корней уравнений

Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в пакете MathCAD

Решение нелинейных уравнений

Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:

· уточнение корней до заданной точности.

Рассмотрим эти два этапа подробно.

Отделение корней нелинейного уравнения

Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD , в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

.

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

.

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рисунке приведен график функции , построенный в MathCAD . Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨

Уточнение корней нелинейного уравнения

Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и многие другие.

Функция root . В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root , которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где – имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, – границы интервала локализации корня.

Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.

Заметим, что для вычисления всех трех корней использовался прием понижения порядка алгебраического уравнения, рассмотренный в п. 8.1.1. ¨

Функция root с двумя аргументами требует задания (до обращения к функции) переменной начального значения корня из интервала локализации.

Пример 8.1.5. Используя функцию root , вычислить изменения корня нелинейного уравнения при изменении коэффициента а от 1 до 10 с шагом 1.

Функция polyroots . Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка (не выше 5) рекомендуется использовать функцию polyroots . Обращение к этой функции имеет вид polyroots (v) , где v – вектор, состоящий из n +1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.

Пример. Используя функцию polyroots , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных

Блок Given . При уточнении корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительный блок Given , имеющий следующую структуру:

Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры Логичес­кий .

Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.

Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr ( x ), которая возвращает приближенное значение корня.

Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find ( x ) и в появившемся контекстном меню (см. рисунок) выбрать подходящий алгоритм.

Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr ( x ).

Использование численных методов в функциях Find ( x ), Minerr ( x ) требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения.

Пример. Используя блок Given , вычислите корень уравнения в интервале отделения .

Решение систем уравнений

В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:

· алгебраические системы уравнений;

· трансцендентные системы уравнений.

Среди алгебраических систем уравнений особое место занимают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

В матричном виде систему можно записать как

,

где – матрица размерности , – вектор с проекциями.

Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve , обращение к которой имеет вид: lsolve (А, b ), где А – матрица системы, – вектор правой части.

Решение систем нелинейных уравнений

MathCAD дает возможность находить решение системы уравнений численными методами, при этом максимальное число уравнений в MathCAD 2001 i доведено до 200.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.

Задание начального приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. При небольшом числе неизвестных этот этап можно выполнить графически, как показано в примере.

Пример. Дана система уравнений:

Определить начальные приближения для решений этой системы.

Видно, что система имеет два решения: для первого решения в качестве начального приближения может быть принята точка (-2, 2), а для второго решения – точка (5, 20). ¨

Вычисление решения системы уравнений с заданной точностью . Для этого используется уже известный вычислительный блок Given .

Функция Find вычисляет решение системы уравнений с заданной точностью, и вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – список переменных, по которым ищется решение. Начальные значения этим переменным задаются в блоке . Число аргументов функции должно быть равно числу неизвестных.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

· ограничения со знаком ¹ ;

· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;

· блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (или Minerr ).

Пример. Используя блок Given , вычислить все решения системы предыдущего примера. Выполнить проверку найденных решений.

Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений

Численные методы решения нелинейных уравнений

Если законы функционирования модели нелинейны, а моделируемые процесс или система обладают одной степенью свободы (т.е. имеют одну независимую переменную), то такая модель, как правило, описывается одним нелинейным уравнением.

Необходимость отыскания корней нелинейных уравнений встречается в расчетах систем автоматического управления и регулирования, собственных колебаний машин и конструкций, в задачах кинематического анализа и синтеза, плоских и пространственных механизмов и других задачах.

Дано нелинейное уравнение:

( 4.1)

Необходимо решить это уравнение, т. е. найти его корень .

Если функция имеет вид многочлена степени m,

где a_i — коэффициенты многочлена, , то уравнение f(x)=0 имеет m корней (рис. 4.2).

Если функция f(x) включает в себя тригонометрические или экспоненциальные функции от некоторого аргумента x , то уравнение (4.1) называется трансцендентным уравнением .

Такие уравнения обычно имеют бесконечное множество решений.

Как известно, не всякое уравнение может быть решено точно. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений .

Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решать произвольные алгебраические уравнения степени, выше четвертой.

Однако точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задачу отыскания корней уравнения можно считать практически решенной, если мы сумеем найти корни уравнения с заданной степенью точности . Для этого используются приближенные (численные) методы решения.

Большинство употребляющихся приближенных методов решения уравнений являются, по существу, способами уточнения корней. Для их применения необходимо знание интервала изоляции [a,b] , в котором лежит уточняемый корень уравнения (рис. 4.3).

Процесс определения интервала изоляции [a,b] , содержащего только один из корней уравнения, называется отделением этого корня.

Процесс отделения корней проводят исходя из физического смысла прикладной задачи, графически, с помощью таблиц значений функции f(x) или при помощи специальной программы отделения корней. Процедура отделения корней основана на известном свойстве непрерывных функций: если функция непрерывна на замкнутом интервале [a,b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)f(b) , то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения (1). Если при этом знак функции f'(x) на отрезке [a,b] не меняется, то корень является единственным на этом отрезке.

Процесс определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений состоит из 2 этапов:

1. отделение корней, — т.е. определение интервалов изоляции [a,b] , внутри которого лежит каждый корень уравнения;
2. уточнение корней, — т.е. сужение интервала [a,b] до величины равной заданной степени точности .

Для алгебраических и трансцендентных уравнений пригодны одни и те же методы уточнения приближенных значений действительных корней:

Решение нелинейных уравнений

Содержание

· Решение нелинейных уравнений

Отделение корней

Уточнение корней до заданной точности

Решение нелинейных уравнений

Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD, в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.

Дано алгебраическое уравнение

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

Чтобы решить задачу предварительной локализацией корней, в самых простых случаях можно использовать графическое представление f(x).

Понятно, что в случае многомерных систем такой способ практически неприменим. Если требуется исследовать определенную область определения переменных уравнения на наличие корней, определив их примерное положение, то обычно применяют весьма расточительный способ, называемый сканированием. Оно состоит в последовательном поиске корня, начиная из множества подобных точек, покрывающих расчетную область.

Пример организации упрощенного варианта сканирования по одной переменной приведен на рисунке 5.6. График функции, корни которой подлежат определению, показан в его верхней части. Затем осуществляется решение уравнения при помощи функции root, для нескольких последовательно расположенных узлов. Результат выдается в последней строке листинга в виде таблицы, из которой видно, что на рассматриваемом интервале уравнение имеет три корня.

Решение нелинейных уравнений

(Уточнение корней до заданной точности)

Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных и многие другие.

Функция root.В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения введена функция root, которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. root(f(x),x) или root(f(x),x,a,b), где f(x)-имя функции или арифметическое выражение, х-скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, a,b-границы интервала локализации корня

Пример (В MathCAD)

Решить уравнение с точностью

1. Сначала вводиться функция , соответствующая левой части уравнения

2. Задается точность

3. Графически находится приближенное решение уравнения (можно использовать трассировку)

4. При помощи функции выполняется нахождение решения уравнения с заданной точностью

5. Выполняется проверка найденного решения

Функция polyroots.Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка n (не выше 5) рекомендуется использовать функциюpolyroots. Обращение к этой функции имеет вид polyroots(v),где v-вектор, состоящий из n+1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.

Пример (В MathCAD)

Решить уравнение

Блок Given.При уточнение корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительные блок Given, имеющий следующую структуру:

(Вызов функции Find или Minerr)

Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно. Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.

Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find(х), где х-переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr(х), которая возвращает приближенное значение корня.

Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find(х) и в появившемся контекстном меню выбрать подходящий алгоритм.

Если заданно уравнение f(x)=0, то его можно решить следующим образом с помощью блока Given-Find:

1. Задать начальное приближение

2. Ввести служебное слово

3. Записать уравнение, используя знак жирное равно

4. Написать функцию find с неизвестной переменной в качестве параметра

5. В результате после знака равно выведется найденный корень

Решить уравнение