Отделить корни алгебраического уравнения графическим методом

Реферат: Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

Кафедра автоматизации технологических процессов

по предмету: “ Моделирование систем”

на тему: ”Отделение корней. Графический и аналитический методыотделения корней”

Содержание

1. Отделение корней. 3

2. Графический метод. 4

3. Аналитический метод (табличный или шаговый). 5

4. Метод половинного деления (Дихотомии). 9

1. Отделение корней

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на

известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на

концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b) 3 -6x+2=0 видим, что при при что уже свидетельствует о наличии хотя бы одного корня.

Для уравнения видим, что Обнаружив, что устанавливаем факт наличия единственного корня, и остается лишь найти его (как говорится, за немногим стало дело).

Если предварительный анализ функции затруднителен, можно “пойти в лобовую атаку”. При уверенности в том, что все корни различны, выбираем некоторый диапазон возможного существования корней (никаких универсальных рецептов!) и производим “прогулку” по этому интервалу с некоторым шагом, вычисляя значения f(x) и фиксируя перемены знаков. При выборе шага приходится брать его по возможности большим для минимизации объема вычислений, но достаточно малым, чтобы не пропустить перемену знаков.

2. Графический метод

Этот метод основан на построении графика функции y=f(x). Если построить график данной функции, то искомым отрезком [a,b], содержащим корень уравнения (1), будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика с этой осью. Иногда выгоднее функцию f(x) представить в виде разности двух более простых функций, т.е. и строить графики функций и . Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться корнем уравнения (1), а отрезок на оси абсцисс которому принадлежит данный корень, будет являться интервалом изоляции. Этот метод отделения корней хорошо работает только в том случае, если исходное уравнение не имеет близких корней. Данный метод дает тем точнее результат, чем мельче берется сетка по оси Ох.

Пример. Графически решить уравнение .

Решение. Запишем исходное уравнение в виде: , т.е. и .

Таким образом, корни данного уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения кривых и .

Теперь построим графики функций и определим интервал изоляции корня.

3. Аналитический метод (табличный или шаговый).

Для отделения корней полезно помнить следующие известные теоремы:

1) если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)f(b) 0, значит корня на отрезке [0;0.5] нет.

f(0.5)f(1) 0, значит корня на отрезке [0.5;0.75] нет.

Графическое отделение корней

Графическое отделение корнейосновано на графическом способе решения уравнений – отыскании точек, в которых функция f(x)пересекает ось 0Х.

Пример 1.2.2-1. Отделить корни уравнения ln (x-1) 2 – 0.5 = 0.

На рис. 1.2.2-1 изображен график функции y = ln (x-1) 2 – 0.5, из которого следует, что уравнение имеет два действительных корня [-1;0] и [2;3].

В некоторых случаях удобно вначале преобразовать функцию f(x) к виду f(x)=g₁(x)— g₂(x), из которого, при условии f(x)=0, следует, что g₁(x)=g₂(x). При построении графиков y₁=g₁(x)и y₂=g₂(x)находят отрезки, содержащие точки пересечения этих графиков.

Пример 1.2.2-2. Отделить корни уравнения сos(x) – x + 1 = 0.

Приведем исходное уравнение к виду сos(x)= x – 1. Построив графики функций y₁ = сos(x) и y₂ = х – 1 (рис. 1.2.2), выделим отрезок, содержащий корень [1;2].

Аналитическое отделение корней

Аналитическое отделениекорней основано на следующей теореме.

Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на отрезке [a;b] содержится один корень уравнения f(x)=0.

Действительно, если условия теоремы выполнены, как это имеет место на отрезке [a;b] (рис. 1.2.2-3), то есть f(a)∙f(b) 0 для xÎ [a;b], то график функции пересекает ось 0Х только один раз и, следовательно, на отрезке [a;b] имеется один корень уравнения f(x) = 0.

Аналогично можно доказать единственность корня на отрезке [c;d], на[d;e]и т.д

Таким образом, для отделения корней нелинейного уравнения необходимо найти отрезки, в пределах которых функция монотонна и изменяет свой знак. Принимая во внимание, что непрерывная функция монотонна в интервалах между критическими точками, при аналитическом отделении корней уравнения можно рекомендовать следующий порядок действий:

1)установить область определения функции;

2)определить критические точки функции, решив уравнение f¢(x)=0;

3)составить таблицу знаков функции f(x) в критических точках и на границах области определения;

4)определить интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков.

Пример 1.2.2-3. Отделить корни уравнения x — ln(x+2) = 0.

Область допустимых значений функции f(x) = x — ln(x+2) лежит в интервале (-2; ∞), найденных из условия x+2>0. Приравняв производную f¢(x)=1-1/(x+2) к нулю, найдем критическую точку х_k= -1. Эти данные сведены в табл. 1.2.2-1 и табл. 1.2.2-2 знаков функции f(x).

Таблица 1.2.2-1 Таблица 1.2.2-.2

Уравнение x — ln(x+2) = 0 имеет два корня (-2;-1]и [-1; ∞) . Проверка знака функции внутри каждого из полученных полуинтервалов (табл.1.2.2) позволяет отделить корни уравнения на достаточно узких отрезках [-1.9;-1.1]и [-0.9;2.0].

Уточнение корней

Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке [a;b], состоит в нахождении такого приближенного значения корня , для которого справедливо неравенство .Если уравнение имеет не один, а несколько корней, то этап уточнения проводится для каждого отделенного корня.

Графический способ отделения корней

Отделение корней

Постановка задачи

Решение уравнений с одной переменной

Рассмотрим уравнение вида F(x)=0, где F(x) – определенная и непрерывная на отрезке [a,b] функция.

Корнем уравнения F(x)=0 называется такое значение x * , которое обращает уравнение в верное равенство.

x * – корень уравнения F(x)=0 • x * – нуль функции y=F(x).

Решить уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти их значения с заданной степенью точности.

Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:

I. Отделение корней – выделение промежутков, содержащих ровно 1 корень.

II. Уточнение корней – нахождение корней с заданной степенью точности.

Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.

Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных знаков (т.е. F(a)F(b) 2 -x-1=0. Построим график функции y=x 2 -x-1 и укажем отрезки, содержащие точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Искомые промежутки: [-1; 0] [1; 2].

б) Иногда проще рассмотреть вместо уравнения y=F(x) равносильное ему уравнение f₁(x)=f₂(x). В этом случае требуется указать отрезок, содержащий абсциссу точки пересечения графиков функций y=f₁(x) и y=f₂(x).

Например, пусть требуется отделить корни уравнения x 2 -x-1=0. Рассмотрим равносильное ему уравнение x 2 =x+1. Тогда вместо отрезков, содержащих точки пересечения графика функции y=x 2 -x-1 с осью абсцисс, можно указать отрезки, содержащие точки пересечения графиков функций f₁(x)=x 2 и f₂(x)=x+1.

Искомые промежутки: [-2; 0] [1; 3].

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10577 – | 7333 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

По этому методу производят построение и последующий визуальный анализ графиков y = P(x) и y = Q(x) или графика в области существования корней. Абсциссы точек пересечения и точек касания графиков функций P(x) и Q(x) являются действительными корнями уравнения (рис.1, а), а абсциссы точек пересечения и касания графика с осью ОX – действительными корнями уравнения (рис.1,б).

Точки пересечения графиков y = P(x) и y = Q(x) или графика с осью ОX определяют простые (однократные) корни уравнения (см. ξ₁ на рис. 1), точки касания графиков – корни с четной кратностью (например, двукратные ξ₂ = ξ₃), а точки одновременного пересечения и касания графиков – корни нечетной кратности (см. ξ₄ = ξ₅ = ξ₆ на рис.1).

Учет кратности корня имеет большое значение не только для определения общего числа корней уравнения, но и для последующего процесса уточнения корня. В частности, некоторые методы уточнения эффективны только для простых корней, а при уточнении корней четной кратности приходится решать вспомогательное уравнение , где – производная функции .

После построения графиков функций P(x) и Q(x) или и визуального их анализа указываются числа a и b – границы отрезков, содержащих единственный (простой или кратный) корень.

Аналитический метод отделения корней

Применяется для отделения корней нечетной кратности уравнения вида . Основу метода составляет анализ условия существования и единственности корня на отрезке [α, β] выраженного в следующей теореме.

Границы действительных корней алгебраических уравнений. Если функция непрерывна на отрезке [α, β] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри отрезка существует, по крайней мере, один корень уравнения , т.е. найдется хотя бы одно число такое, что (рис. 2). Корень ξ заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α, β).

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в граничных точках x = a и x = b области существования корней уравнения .

Затем определяются знаки функции в промежуточных точках x = α₁, α₂, …, выбор которых учитывает особенности функции . Если окажется, что , то в силу теоремы существования корней, в интервале (α_k, α_k+1) имеется корень уравнения . Далее необходимо, исследуя поведение внутри интервала (α_k, α_k+1), убедиться, является ли этот корень единственным.

Наиболее просто отделение корней производится с помощью ЭВМ. Алгоритм отделения корня уравнения сочетает в себе элементы графического и аналитического методов решения данной задачи. Рассмотрим пример алгоритма отделения наименьшего корня.

Пусть из физических представлений известен интервал [a, b] в котором находится искомый корень. В общем случае в этом интервале может быть несколько корней. Необходимо отделить наименьший корень уравнения.

Алгоритм отделения наименьшего корня предполагает выполнение следующих этапов (рис. 3):

1. Задается шаг Δx отделения корня (блок 2).

2. Переменной x задается значение нижней границы отрезка [a, b], и вычисляется значение y₁ функции в этой точке (блок 4).

3. Вычисляется значение переменной x в следующей точке, отстоящей от предыдущей точки на шаг Δx отделения корня. Определяется значение y₂ функции в этой точке (блок 5).

4. Проверяется условие существования корня в текущем интервале длиной, равной шагу Δx отделения корня (блок 6).

5. Если знак функции не изменился ( ), т. е. корень уравнения не обнаружен, то величине y₁ присваивается значение y₂ (блок 7). Это исключает повторное вычисление функции в одной и той же точке x, являющейся одновременно правой границей проверяемого текущего интервала и левой границей следующего текущего интервала (рис. 4). Далее осуществляется переход к повторению вычислений, начиная с п.3 (блока 5).

6. Если знак функции изменился (условие соблюдается[2]), что указывает на наличие в данном текущем интервале корня, то производится вычисление границ этого текущего интервала [α, β] и ввод их значений (блоки 8, 9).

7. Если на исследуемом интервале [a, b] требуется отделить все корни уравнения то процесс вычисления функций продолжают в следующих точках исходного интервала до его полного прохождения с шагом Δx. Условием окончания процесса отделения корней в данном случае будет выполнение условия x > b.

Контрольные вопросы и упражнения для приобретения

Умений и навыков по теме 2

1. В каком виде могут быть записаны уравнения с одним неизвестным? На какие классы разделяются нелинейные уравнения с одним неизвестным?

2. Что значит термин «решить уравнение»? Что называют решением уравнения, а что – корнем уравнения?

3. Сколько корней имеет алгебраическое уравнение вида ? Какими они могут быть?

4. Привести к виду уравнения

.

5. Что означает утверждение «корень вычислен с заданной степенью точности»?

6. Как определяется область существования корней алгебраического уравнения? Определите области существования положительных и отрицательных корней алгебраического уравнения .

7. Какова методика определения области корней трансцендентного уравнения? Определите область существования корней уравнения

8. Какие подзадачи содержит в себе общая задача нахождения приближенного значения корня уравнения? Что значит «отделить корни уравнения»? Какие методы применяют для отделения корней уравнения?

9. Используя два способа, т. е. записывая нижеприведенное уравнение в виде в первом способе и как – во втором, графическим методом выполните отделение корней уравнения . Длину отрезка расположения каждого корня задать равной 0,5.

10. Какая теорема лежит в основе аналитического метода отделения корней уравнения? При каком условии отделенный на интервале (α, β) корень ξ является единственным?

11. Напишите в вербальной (словесной) форме последовательность отделения наибольшего корня уравнения , расположенного на интервале [0,25; 3,45].

[1] Дробно-рациональная функция содержит выражение, где переменная x является делителем или входит в состав делителя.

[2] Выполнение условия указывает, что искомый корень находится на границе текущего интервала.

Дата добавления: 2019-01-14 ; просмотров: 161 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Пусть дано уравнение вида (2.1), или (2.2),

Процесс численного решения уравнения разбивается на два этапа: отделение корней и уточнение корней.

Определение 2.2. Говорят, что корень Е, уравнения вида (2.1) или (2.2) отделен на данном промежутке, если он содержится в этом промежутке и других корней на том же промежутке нет.

Определение 2.3. Произвести полное отделение всех корней уравнения — значит разбить всю область допустимых значений на промежутки, в каждом из которых содержится только один корень или не содержится ни одного корня.

Для проверки существования корня уравнения на данном интервале применяют некоторые теоремы о свойствах непрерывных функций. Приведем некоторые из них.

Теорема 2.3 (первая теорема Больцано — Коши). Если функция/(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ъ] существует, по крайней мере, один корень уравнения Дх) = 0.

Рис. 2.5. К теореме 2.3

Заметим, что при выполнении условий теоремы 2.3 на отрезке [а; Ь] не следует, что на данном отрезке существует один или несколько корней (рис. 2.5). Важно иметь признак, по которому можно судить о наличии на отрезке [а; b] только одного корня. Этот признак выражается следующей теоремой (рис. 2.6).

Теорема 2.4. Если функция /(х) непрерывна и монотонна на отрезке [а; Ь] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения /(х) = 0, и притом единственный.

Рис. 2.6. К теореме 2.4

Вопрос о том, является ли функция монотонной, можно решить как элементарными методами, так и с помощью понятия производной, а именно: если функция Дх) непрерывна на отрезке [а; ?>] и имеет производную fix) внутри отрезка, то при fix) > 0 функция Дх) возрастает, а при/'(х) h(b), тогда внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения g(x) = hix), и притом единственный.

Рис. 2.7. К теореме 2.6

Отделение корней лучше всего произвести графически. Для этого необходимо построить либо графики функций g(x) и h(x) для уравнения вида(2.1), либо график функцииДх) для уравнения вида (2.2). Построив соответствующие графики, можно сделать предположение о том, в каких интервалах находятся корни уравнения. Это предположение затем следует проверить аналитически, применяя одну из теорем 2.3—2.6.

Отделите корни уравнения х 3 – бх 2 + 20 = 0.

Построим график функцииу(х) = х 3 – бх 2 -I- 20 (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Г рафик функции у(х) =х 3 – бх 2 + 20

На основе рис. 2.8 можно сделать предположение, что в каждом из отрезков [-2; -1], [2; 3], [5; 6] имеется по одному корню данного уравнения. Проверим это предположение для отрезка [2; 3]. На концах отрезка функция принимает значения

т.е. значения разных знаков. Производная

для всех х из интервала (2; 3), т.е. имеет постоянный знак. Следовательно, в силу теоремы 2.4 внутри отрезка [2; 3] уравнение х 3 – бх 2 + 20 = 0 имеет единственный корень.

Подобными рассуждениями можно доказать, что внутри каждого отрезка [-2; -1] и [5; 6] имеется по одному корню, в чем предлагаем убедиться читателю самостоятельно.