Метод итераций
Правила ввода функции
- Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).
Достаточные условия сходимости метода итерации
Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:
- Получить шаблон с омощью этого сервиса.
- Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
- Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).
Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .
Итерационное уточнение корней.
На этапе отделения корней решается задача отыскания возможно более узких отрезков , в которых содержится один и только один корень уравнения.
Этап уточнения корня имеет своей целью вычисление приближенного значения корня с заданной точностью. При этом применяются итерационные методы вычисления последовательных приближений к корню: x0, x1, . xn, …, в которых каждое последующее приближение xn+1вычисляется на основании предыдущего xn. Каждый шаг называется итерацией. Если последовательность x0, x1, . xn, …при n ® ¥ имеет предел, равный значению корня , то говорят, что итерационный процесс сходится.
Существуют различные способы отделения и уточнения корней, которые мы рассмотрим ниже.
Отделение корней
Корень уравнения f(x)=0считается отделенным (локализованным) на отрезке , если на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения, необходимо разбить область допустимых значений функции f(x) на достаточно узкие отрезки, в каждом их которых содержится только один корень. Существуют графический и аналитический способы отделения корней.
Графическое отделение корней
Графическое отделение корнейосновано на графическом способе решения уравнений – отыскании точек, в которых функция f(x)пересекает ось 0Х.
Пример 1.2.2-1. Отделить корни уравнения ln (x-1) 2 – 0.5 = 0.
На рис. 1.2.2-1 изображен график функции y = ln (x-1) 2 – 0.5, из которого следует, что уравнение имеет два действительных корня [-1;0] и [2;3].
В некоторых случаях удобно вначале преобразовать функцию f(x) к виду f(x)=g1(x)— g2(x), из которого, при условии f(x)=0, следует, что g1(x)=g2(x). При построении графиков y1=g1(x)и y2=g2(x)находят отрезки, содержащие точки пересечения этих графиков.
Пример 1.2.2-2. Отделить корни уравнения сos(x) – x + 1 = 0.
Приведем исходное уравнение к виду сos(x)= x – 1. Построив графики функций y1 = сos(x) и y2 = х – 1 (рис. 1.2.2), выделим отрезок, содержащий корень [1;2].
Аналитическое отделение корней
Аналитическое отделениекорней основано на следующей теореме.
Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на отрезке [a;b] содержится один корень уравнения f(x)=0.
Действительно, если условия теоремы выполнены, как это имеет место на отрезке [a;b] (рис. 1.2.2-3), то есть f(a)∙f(b) 0 для xÎ [a;b], то график функции пересекает ось 0Х только один раз и, следовательно, на отрезке [a;b] имеется один корень уравнения f(x) = 0.
Аналогично можно доказать единственность корня на отрезке [c;d], на[d;e]и т.д
Таким образом, для отделения корней нелинейного уравнения необходимо найти отрезки, в пределах которых функция монотонна и изменяет свой знак. Принимая во внимание, что непрерывная функция монотонна в интервалах между критическими точками, при аналитическом отделении корней уравнения можно рекомендовать следующий порядок действий:
1)установить область определения функции;
2)определить критические точки функции, решив уравнение f¢(x)=0;
3)составить таблицу знаков функции f(x) в критических точках и на границах области определения;
4)определить интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков.
Пример 1.2.2-3. Отделить корни уравнения x — ln(x+2) = 0.
Область допустимых значений функции f(x) = x — ln(x+2) лежит в интервале (-2; ∞), найденных из условия x+2>0. Приравняв производную f¢(x)=1-1/(x+2) к нулю, найдем критическую точку хk= -1. Эти данные сведены в табл. 1.2.2-1 и табл. 1.2.2-2 знаков функции f(x).
Таблица 1.2.2-1 Таблица 1.2.2-.2
x | x→-2 | -1 | x→∞ | x | -1.9 | -1.1 | -0.9 | 2.0 |
Sign(f(x)) | + | — | + | Sign(f(x)) | + | — | — | + |
Уравнение x — ln(x+2) = 0 имеет два корня (-2;-1]и [-1; ∞) . Проверка знака функции внутри каждого из полученных полуинтервалов (табл.1.2.2) позволяет отделить корни уравнения на достаточно узких отрезках [-1.9;-1.1]и [-0.9;2.0].
Уточнение корней
Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке [a;b], состоит в нахождении такого приближенного значения корня , для которого справедливо неравенство .Если уравнение имеет не один, а несколько корней, то этап уточнения проводится для каждого отделенного корня.
Метод половинного деления
Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна.
Метод половинного деления позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков [a1;b1], [a2;b2], …,[ai;bi],…, [an;bn], таких что f(ai).f(bi) 3 +x-1=0 с точностью =0.1, который локализован на отрезке [0;1].
Результаты удобно представить с помощью таблицы 1.2.3-3.
k | a | b | f(a) | f(b) | (a+b)/2 | f((a+b)/2) | a k | b k |
-1 | 0.5 | -0.375 | 0.5 | |||||
0.5 | -0.375 | 0.75 | 0.172 | 0.5 | 0.75 | |||
0.5 | 0.75 | -0.375 | 0.172 | 0.625 | -0.131 | 0.625 | 0.75 | |
0.625 | 0.75 | -0.131 | 0.172 | 0.688 | 0.0136 | 0.625 | 0.688 |
После четвертой итерации длина отрезка |b4-a4| = |0.688-0.625| = 0.063 стала меньше величины e, следовательно, за приближенное значение корня можно принять значение середины данного отрезка: x = (a4+b4)/2 = 0.656.
Значение функции f(x) в точке x = 0.656 равно f(0.656) = -0.062.
Метод итерации
Метод итераций предполагает замену уравнения f(x)=0 равносильным уравнением x=j(x). Если корень уравнения отделен на отрезке [a;b], то исходя из начального приближения x0Î[a;b], можно получить последовательность приближений к корню
x1 = j(x0), x2 = j(x1), …, , (1.2.3-3)
где функция j(x) называется итерирующей функцией.
Условие сходимости метода простой итерации определяется следующей теоремой.
Пусть корень х* уравнения x=j(x) отделен на отрезке [a;b]и построена последовательность приближений по правилу xn=j(xn-1). Тогда, если все члены последовательности xn=j(xn-1) Î [a;b] и существует такое q (0 -1. Таким образом, очевидно, что если |j’(x)| 1. На рис. 1.2.3-4а показан случай, когда j’(x)>1, а на рис. 1.2.3-4b – когда j’(x)
Метод половинного деления. Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления
Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b) 0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).
4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0.
Полагая f(x)= x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3, имеем f’(x)=4x 3 -3x 2 -4x+3.
Найдем нули производной: 4x 3 -3x 2 -4x+3=0; 4x(x 2 -1)-3(x 2 -1)=0;(x 2 -1)(4x-3)=0;
Составим таблицу знаков функции f(x):
x | -∞ | -1 | 3/4 | +∞ | |
f(x) | + | — | — | — | + |
Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x1 (-∞;-1) и x2 (1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:
x | -2 | -1 | ||
f(x) | + | — | — | + |
Следовательно, x1 (-2;-1) и x2 (1;2).
Уточним один из корней, например, x1, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:
Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.
2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.
Перепишем уравнение в виде . Обозначим , и построим графики этих функций:
Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].
Уточним корень на отрезке [2;3]:
Задания
1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.
1. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0
2. 2x 3 -9x 2 -60x+1=0
5. 3x 4 +3x 3 +6x 2 -10=0
7. x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0
8. x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0
9. 3x 4 +4x 3 -12x 2 +1=0
10. 3x 4 -8x 3 -18x 2 +2=0
11. 2x 4 -3x 3 +8x 2 -1=0
12. 2x 4 +8x 3 +3x 2 -1=0
13. x 4 -4x 3 -8x 2 +1=0
14. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0
15. 2x 3 -8x 2 -30x+1=0
17. 2x 4 -2x 2 -7=0
18. 3x 4 +8x 3 +6x 2 -10=0
19. x 4 -18x 2 +6=0
20. x 4 +4x 3 -3x-7=0
21. x 4 -2x 3 -x 2 +3x-3=0
22. 3x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0
23. 2x 4 -5x 3 -12x 2 +2=0
24. 3x 4 +9x 3 -14x 2 +1=0
25. x 4 +2x 3 -x-1=0
26. x 4 +8x 3 -6x 2 -72x=0
28. x 4 -3x 2 +75x-10000=0
2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.
Лабораторная работа №3
Решение нелинейных уравнений методом хорд
Краткая теория
Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):
Здесь ξ — точный корень уравнения (1), x — начальное приближение к корню, x -точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x ] и получается второе приближение к корню — x . В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x ,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x =b,
x =a- (2)
Для случая неподвижного конца b используется формула: x =a,
x =x — (3)
Правило определения неподвижного конца хорды:
Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе — конец a.
Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка:
1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x другой конец отрезка.
2. Вычислить новое приближение к корню x по формуле (2) или (3).
3. Если длина отрезка [x , x ] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x или x , иначе идти к п.2
Решение одного варианта
1.Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x .
Отделим корень графически. Построим графики функций
y =tg(0.5x+0.1) и y =x :
Таким образом, уравнение имеет два корня
x [0.5; 1] и x [-0.5; 0]
Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x на промежутке [0.5;1]. Имеем
f ‘(x)=0.5/cos (0.5x+0.1)-2x;
3.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. x lgx — 1.2 = 0
14. 1.8x 2 – sin10x = 0
15. ctgx – x / 4 = 0
16. tg(0.3x + 0.4) = x 2
17. x – 20sinx = 0
18. ctgx – x / 3 = 0
19. tg(0.47x + 0.2) = x 2
20. x 2 + 4sinx = 0
21. ctgx – x / 2 = 0
22. 2x – lgx – 7 = 0
24. 3x – cosx – 1 = 0
26. 10cosx-0,1x 2 =0
2)Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001:
http://lektsia.com/3x5f9b.html
http://megaobuchalka.ru/11/35984.html