Открытые уроки по логарифмическим уравнениям

Доброе утро, ребята!

Сегодня мы с вами вернемся в мир удивительный и прекрасный – в мир математических уравнений.

Еще в курсе начальной школы перед вами возникали проблемы: как найти неизвестный множитель, если известно произведение и второй множитель? Как найти длину диагонали, если еще Пифагор доказал, что она не соизмерима со стороной? На протяжении 10 лет обучения в школе нам на помощь приходили уравнения. Самые различные виды уравнений изучались вами на уроках математики.

Какие виды уравнений знаете вы? (рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные)

11 класс – это ответственный этап жизненного пути, год окончания школы, и конечно же, год когда подводятся итоги самых важных тем изучаемых вами на уроках алгебры.

И мы сегодня урок посвятим решению логарифмических уравнений.

Нашей задачей с вами будет: СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

ответ

Что значит решить уравнение?(найти все значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство или доказать, что таких значений нет.)

Что такое корень уравнения? ( значение переменной, при которой уравнение обращается в верное числовое равенство)

Какие уравнения называют логарифмическим? (уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма, называют логарифмическими)

Какие методы решения логарифмических уравнений вы уже рассматривали на уроках алгебры (1. метод решения с помощью определения; 2. метод потенцирования; 3. метод введения вспомогательной переменной)

Рассмотрим более подробно каждый из методов

Решим устно несколько уравнений используя определение логарифма, но прежде вспомним определение логарифма. (Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а, называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b ).

Log ₄ x = 2 (x = 16 )

Log ₅ x = — 2 (x = 1/25 )

Log _0,5 x = 2 (x = 1/4 )

Log _x 4 = 2 (x = 2 )

Log _x 5 = 1 (x = 5 )

Log _x ( — 4) = (- 4) ( решений нет )

Log _x 1 = 0 (x – любое положительное, х больше или равно 1 )

пример проектируется на проектор

устное решение, ответ

вопрос

ответ

Выполним небольшую самостоятельную работу. Перед вами карты с логарифмическими уравнениями. Решив их найдите на маленьких карточках корень уравнения или сумму корней, накройте уравнение карточкой, в результате этой работы у каждой группы получится слово. Распределяйте уравнения соответственно тому уровню с которым каждый из вас может справиться. Работа групповая, эффективно распределяя роли в группе, вы сможете выполнить эту работу быстрее других команд. Максимум отведенного времени 10 минут.

Какие ключевые слова получились у вас? (ЮПИТЕР, САТУРН, ВЕНЕРА, ПЛУТОН).

Какими методами вы решали уравнения?

Как вы думаете, почему при решении логарифмических уравнений получились именно такие ключевые слова, показывающие правильность вашего решения?

(Открытие Логарифма было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в XVI в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок).

Поэтому, ребята, в век развития космического строения, развития компьютерной техники изучение темы “Логарифмические уравнения” очень актуально.

3 мин

ответ

Однако, не только для космических расчетов мы изучаем эту тему. Очевидные трудности возникнут и в других областях, если мы не будем уметь решать логарифмические уравнения, таких как финансовое и страховое дело.

Ваше домашнее задание будет найти области применения логарифмов и решения логарифмических уравнений.

А также упражнения из сборника экзаменационных работ № 4.89, 4.90

№ 6.7, 6.8

Сегодня на уроке мы рассматривали различные методы решения логарифмических уравнений, решение которых от вас, ребята, требует хороших теоретических знаний, умений применять их не практике, требует внимания, трудолюбия и сообразительности. Именно по этой причине логарифмические уравнения, неравенства и системы логарифмических уравнений (вы будете их решать на следующих уроках), выносятся на вступительные экзамены в ВУЗы.

А сейчас, мне бы хотелось прочитать стихотворение.

Математика – основа и царица всех наук,
И тебе с ней подружиться я советую, мой друг.
Ее мудрые законы, если будешь выполнять,
Свои знанья приумножишь,
Станешь ты их применять.
Сможешь по морю ты плавать,
Сможешь в космосе летать.
Дом построить людям сможешь:
Будет он сто лет стоять.
Не ленись, трудись, старайся,
Познавая соль наук
Все доказывать пытайся,
Но не покладая рук.
Станет пусть бином Ньютона
Для тебя, как друг родной,
Как в футболе Марадонна,
В алгебре он основной.
Синус, косинус и тангенс
Должен знать ты на зубок.
И конечно же котангенс,–
Это точно, мой дружок.
Если это все изучишь,
Если твердо будешь знать,
То, возможно, ты сумеешь
Звезды в небе сосчитать

Сегодня на уроке все очень хорошо работали.

Открытый урок по теме «Логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования и науки Хабаровского края

краевое государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение № 16 имени Героя Советского Союза А. С. Панова

по учебной дисциплине ОУД.03 МАТЕМАТИКА

тема: « Логарифмические уравнения »

преподаватель математики Н. В. Максименко

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у обучающихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Поэтому ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приёмов, которые активизировали бы мысль обучающихся, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Для этого в открытом уроке используются объяснения преподавателя в сочетании с авторской презентацией, раздаточным материалом (опорный конспект урока, лист самоанализа обучающегося), необычная система оценивания – использование жетонов разных цветов, физкультминутка. Доклад, подготовленный одним из обучающихся, позволяет увидеть роль данной темы в других науках (реальной жизни). В ходе урока преподаватель подключает обучающихся к «открытию новых знаний», тем самым вызывает их интерес к данной теме и к математике в целом, создавая при этом «ситуацию успеха» («Отлично!», «Верно!», «Молодцы!»).

Теме «Логарифмические уравнения» согласно перспективно-тематическому планированию (ПТП) отведено пять уроков. В данной методической разработке разработан открытый урок по данной теме, являющийся первым в ПТП. Он посвящён простейшим видам логарифмических уравнений и способам их решения.

Данная тема является сложной для понимания, т. к. для успешного решения логарифмических уравнений требуется много математических знаний, пройденных ранее. И от того, как подан материал обучающимся, зависит способность решать простейшие и более сложные логарифмические уравнения.

Изучению уравнений в программе общеобразовательной учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» отводится особое место – линия уравнений и неравенств, как одна из основных содержательных линий курса алгебры.

В выпускном экзамене даются задания на решение уравнений, в том числе и логарифмических.

Выше сказанным я объясняю актуальность выбранной мною темы для открытого урока.

Данная методическая разработка открытого мероприятия (урока усвоения новых знаний) по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» составлена для преподавателей математики студентов не только специальностей социально-экономического профиля, но и других учебных заведений в плане обмена опытом. Представленная методическая разработка создана на основе практического опыта преподавателя.

Возникновение интереса к математике у значительного числа обучающихся зависит в большей степени от методики её преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа, как показано применение математики в реальном мире, созданная преподавателем «ситуация успеха».

Логарифмические уравнения осваиваются обучающимися хуже, так как на их рассмотрение отводится незначительное количество часов, а при их решении обучающемуся необходимо владеть комплексом умений, полученных ранее, а также новыми знаниями, связанными с каждым из новых видов уравнений. Поэтому преподавателю необходимо продумывать варианты повторения базовых понятий по данной теме и изучения нового материала.

Цель данного урока – ф ормирование основных приёмов решения простейших логарифмических уравнений.

Задачи поставлены образовательные, развивающие и воспитательные.

Представленная методическая разработка содержит сам разработанный урок по теме «Логарифмические уравнения» и пять приложений: авторскую презентацию, опорный конспект урока и лист с необходимыми понятиями (как раздаточный материал для обучающихся), доклад, лист самоанализа деятельности обучающегося.

Урок усвоения новых знаний по теме «Логарифмические уравнения»

«Уравнение – это золотой ключ,

открывающий все математические сезамы».
Современный польский математик С. Коваль

1) Организационный этап.

2) Актуализация опорных знаний и мотивация учебной деятельности обучающихся.

3) Первичное усвоение новых знаний.

4) Первичная проверка понимания.

5) Первичное закрепление.

6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

7) Рефлексия (подведение итогов занятия).

Формирование основных приёмов решения простейших логарифмических уравнений.

1) Повторение понятия логарифма числа, свойств логарифмов и области определения логарифмической функции .

2) Изучение основных способов решения простейших логарифмических уравнений.

3) Предоставление каждому обучающемуся возможности проверить свои знания и повысить их уровень.

4) Развитие культуры вычислительной техники.

5) Активизация работы обучающихся через разные формы работы.

1) Развитие математической речи.

2) Развитие навыков самоконтроля.

3) Развитие логического мышления: способности к анализу информации и аргументированному, логически выстроенному доказательству своих выводов.
4) Способствовать развитию математического кругозора, математического мышления.

1) Повышение коммуникативной активности обучающихся, их эмоциональной включенности в учебный процесс.

2) Создание благоприятных условий для проявления индивидуальности.

3) Воспитание ответственного отношения к труду, воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

4) Создание эмоционально-положительного комфорта (ситуацию успеха).

Урок усвоения новых знаний .

Урок (традиционно сложившаяся форма классно-урочного учебного занятия).

Формы организации учебной деятельности:

Ноутбук, мультимедийный проектор, авторская презентация, плакаты, опорный конспект урока.

Словесный, наглядно-демонстрационный, объяснительно-иллюстративный (основное назначение – организация усвоения знаний) , практический.

Модульная, традиционная (классно-урочная система), проблемное обучение.

1.Организационный этап (1 мин)

Приветствие. Слайд № 2.

Зачитать эпиграф. Слайд № 3 .

Преподаватель : Вспомним, что такое сезамы?

Предполагаемый ответ : В сказках слышали.

Преподаватель : Да, в арабских сказках мы помним фразу: « Сезам , откройся !». Это заклинание, силою которого мгновенно раскрывалась тайная сокровищница. На этом уроке нам откроются «двери» в мир логарифмических уравнений.

2.Актуализация опорных знаний и мотивация учебной деятельности обучающихся (12 мин)

Давайте будем на уроке активными, внимательными! Знания, полученные на этом уроке, нам понадобятся для успешного выполнения контрольной работы, а в дальнейшем и успешной сдачи экзамена. И я хочу вам в этом помочь!

Сегодня на уроке выставление оценок будет организовано следующим образом: у меня в руке жетоны трёх цветов. При каждом ответе я буду давать их в зависимости от правильности и полноты ответа. А именно: красный цвет – ответ полный, зелёный цвет – ответ неполный и жёлтый цвет – небольшая часть правильного ответа. В конце урока посмотрим на результаты работы.

Преподаватель : Вспомните тему предыдущего урока.

Предполагаемый ответ : Логарифмы и их свойства.

Преподаватель : Что такое логарифм числа? (одновременно с ответом Слайд № 4 )

Преподаватель : А зачем они нужны?

Предполагаемый ответ : Логарифмы облегчают и ускоряют вычисления.

Преподаватель : А кто их изобрёл? Где применяются? Давайте послушаем доклад!

Доклад : Логарифмы изобрели двое учёных независимо друг от друга в начале 16 века. Это шотландский математик Джон Непер – изобретатель таблицы логарифмов и Йост Бю́рги – швейцарский и немецкий математик , астроном , известен как автор логарифмических таблиц. Их цель была одна — желание дать новое удобное средство арифметических вычислений.

Учёный и изобретатель, основоположник современной космонавтики Константин Эдуардович Циолковский применил логарифмы для расчёта скорости ракеты.

Логарифмы есть в музыке. Оказывается, каждая клавиша рояля есть логарифмы числа колебаний соответствующего звука.

Используются в биологии для определения точного возраста ископаемых пород и животных.

Даже в спорте используются логарифмы. Число кругов игры по олимпийской системе рассчитывается с помощью логарифмов.

Преподаватель : Хорошее выступление! Оказывается, что логарифмы применяются в разных областях!

Давайте снова обратимся к определению логарифма. ( Слайд № 4)

А теперь несколько заданий для устного счёта, будьте внимательны! ( Слайд № 5 )

Преподаватель: Сегодня мы с вами вернёмся в мир математических уравнений . Какие виды уравнений вы знаете?

1) линейные уравнения,

2) квадратные уравнения,

3) уравнения, приводимые к квадратным,

4) тригонометрические уравнения,

5) иррациональные уравнения,

6) показательные уравнения.

Преподаватель: Вспомним, в каком виде из перечисленных уравнений мы использовали логарифм?

Предполагаемый ответ : В показательных уравнениях.

Преподаватель: Верно! Обратим внимание на слайд, где приведён пример показательного уравнения, решаемого с помощью логарифма. ( Слайд № 6)

Преподаватель: Как вы думаете, с каким видом уравнений мы сегодня познакомимся? Подумайте, какая тема урока будет у нас сегодня?

Предполагаемый ответ : «Логарифмические уравнения».

Преподаватель: Правильно! Мы познакомимся с новым для вас видом уравнений – логарифмическим и способами их решения. Перед вами лист – опорный конспект урока. В ходе урока будем его заполнять недостающими понятиями.

Преподаватель: Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (После ответа Слайд № 7 )

Предполагаемый ответ : Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма .

Преподаватель: Отлично! Запишем в опорном конспекте. ( Слайд № 7 )

Логарифмические уравнения бывают: простейшими и сводящимися к квадратным. ( Слайд № 8 )

На этом уроке мы рассмотрим с вами простейшие логарифмические уравнения и способы их решения. Сегодня мы научимся решать самые простые логарифмические уравнения, где не требуются сложные преобразования. Если научиться решать такие уравнения, дальше будет намного проще.

Прежде чем приступить к изучению логарифмических уравнений, вспомним, что значит решить уравнение?

Предполагаемый ответ : Решить уравнение – означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Преподаватель: Верно! При решении логарифмических уравнений пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции. Какова область определения логарифмической функции?

Предполагаемый ответ : Область определения логарифмической функции (ООФ) – множество всех положительных чисел.

3.Первичное усвоение новых знаний (17 мин.)

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причём положительное. То есть оно имеет единственное решение f ( x ) = a b , основанное на определении логарифма. Запишем в опорном конспекте! ( Слайд № 10 )

Обратим внимание на слайд! Здесь приведены примеры простейших логарифмических уравнений. Запишем в опорном конспекте! ( Слайд № 11 )

Этот способ решения называется потенцированием – переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. Запишем в опорном конспекте! ( Слайд № 12 )

На слайде № 13 приведены примеры логарифмических уравнений такого вида. Допишите в опорном конспекте несколько примеров.

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется в один шаг. Потому и простейшие!

Любые другие логарифмические уравнения сводятся к простейшим путём преобразований с помощью свойств логарифма. Более сложные логарифмические уравнения будут рассмотрены на следующих уроках.

Я хочу обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна. Здесь возможны два подхода:

1.Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

2.Нахождение области допустимых значений функции (ОДЗ) или ООФ . Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области. ( Слайд № 14 )

При решении уравнений на этом уроке я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится (считаете более удобным). Запишем в опорном конспекте!

Можем выделить этапы решения логарифмических уравнений. ( Слайд № 15 )

Физкультминутка(1 мин) Слайд № 16

Рассмотрим на конкретных примерах решение простейших логарифмических уравнений. (Преподаватель на доске оформляет решение примера).

Пример 1. Решить уравнение

Как вы предлагаете его решать?

Предполагаемый ответ : По определению логарифма .

Преподаватель: Верно! Первым нашим действием будет нахождение ОДЗ.

Вторым действием решим данное уравнение на основании определения логарифма.

Число 21 удовлетворяет ОДЗ (21 > – 4), значит 21 – корень исходного уравнения. Запишем ответ: х = 21.

Перейдём к решению второго примера.

Пример 2. Решить уравнение

Преподаватель: Какую особенность вы заметили?

Предполагаемый ответ : Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны .

Преподаватель: Верно! Каким способом будем решать данное уравнение?

Предполагаемый ответ : Способом потенцирования.

Преподаватель: Приступим к решению .

С одной стороны, имеем верное равенство, но под знаком логарифма получили число «– 1», какой вывод можем сделать?

Предполагаемый ответ : Под знаком логарифма получили отрицательное число. Но мы знаем, что под знаком логарифма могут стоять только положительные числа.

Преподаватель: Да, так как область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел, то x = – 2 не является корнем данного уравнения. И в ответе запишем, что корней нет.

4.Первичная проверка понимания (6 мин.)

Преподаватель: Таким образом, мы рассмотрели на конкретных примерах решение простейших логарифмических уравнений разными способами. Какие способы использовали?

Предполагаемый ответ : На основании определения логарифма и способ потенцирования.

Преподаватель: Верно! Каким образом мы проверяли, являются ли найденные значения корнями данного уравнения?

Предполагаемый ответ : В первом примере находили ОДЗ, а во втором примере делали проверку.

Преподаватель: Верно! Можно пользоваться одним из этих подходов, который вам больше понравился.

Кто желает выйти к доске решить следующий пример? Отлично! (если не будет желающих, вызывает преподаватель).

При выполнении решения уравнения каждое действие будем проговаривать!

А мы с вами также включаемся в работу и, в случае затруднений, будем помогать.

Пример 3. Решить уравнение

Каким способом будем решать данное уравнение?

Предполагаемый ответ : Способом потенцирования.

Получаем верное числовое равенство и под знаком логарифма – положительное число. Поэтому x = 6 является корнем данного уравнения и записываем ответ.

5.Первичное закрепление (5 мин.)

Преподаватель: Сделаем выводы. На этом уроке мы: получили новые знания, заполняли опорный конспект, отвечали на вопросы. Познакомились с новым видом уравнений. Каким?

Предполагаемый ответ : Логарифмическими уравнениями.

Преподаватель: С какими видами логарифмических уравнений мы с вами сегодня на уроке познакомились?

Преподаватель: Какими способами решали простейшие логарифмические уравнения?

Предполагаемый ответ : На основании определения логарифма и способ потенцирования.

Преподаватель: За урок мы решили три логарифмических уравнений.

В первом уравнении решение начали с нахождения ОДЗ. Вторым шагом было решение данного простейшего логарифмического уравнения способом, основанном на определении логарифма. И третий шаг – проверяли, является ли найденное значение корнем уравнения в соответствии с ОДЗ. ( Слайд № 17 )

Второе и третье уравнения – способом потенцирования. Т. к. основания логарифмов в обеих частях данных уравнений равны, то приравняли выражения, стоящие под знаком логарифмов, согласно способу «потенцирование». В этих логарифмических уравнениях проверка соответствия полученных решений произведена путём подстановки в исходное уравнение. И получили, что во втором уравнении проверка показала, что найденное решение является посторонним, то есть, корней нет. ( Слайд № 18 )

А в третьем уравнении проверка показала, что найденное значение является корнем данного логарифмического уравнения. ( Слайд № 19 )

Сделаем выводы – Слайд № 20 .

На следующих уроках полученные сегодня знания пригодятся для решения более сложных уравнений!

6.Оценки. Сообщение домашнего задания, инструктаж по его выполнению (1 мин.)

Сегодня вы молодцы, активно работали! Выставим оценки, для этого покажите, какие жетоны вы получили в течение занятия.

Примечание: Преподаватель выставляет оценки и озвучивает их.

Для отработки навыков решения логарифмических уравнений, я вам предлагаю домашнее задание, которое дано в опорном конспекте. Оно состоит из трёх уравнений разной сложности, которые решаются изученными способами. На следующем уроке посмотрим, кто справится, будут ли сложности в его выполнении.

7.Рефлексия (подведение итогов занятия) (2 мин.)

И в конце урока давайте оценим ваши впечатления. Что узнали нового? Было ли интересно, познавательно? Какие возникли трудности в усвоении нового материала? Сложно ли было вам включиться в учебный процесс?

Для этого я предлагаю заполнить «лист самоанализа деятельности обучающегося».