Открытый урок по теме тригонометрические уравнения 10 класс

Открытый урок по теме «Решение тригонометрических уравнений»
методическая разработка (алгебра, 10 класс) по теме

Данный план — конспект открытого урока рассчитан на обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических уравнений» — 10 класс, по учебнику Колмогорова А.Н.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ СОШ № 3 имени С. А. Красовского

ТЕМА: « РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ».

(Урок алгебры и начала анализа в 10 классе с использованием модульной технологии.)

ПОС МОНИНО – 2009 ГОД

Модульная педагогическая технология конструируется на основе ряда целей. Важнейшими из них являются:

— создание комфортного темпа работы каждого обучающегося;

-определение каждым обучающимся своих возможностей в обучении;

-гибкое построение содержания учебного материала;

-интеграция различных видов и форм обучения.

Самым главным отличием технологии является применение принципа планирования совместной деятельности учителя и обучающегося от начала до конечной учебной цели. Опыт использования такой технологии позволяет сделать вывод, что при обучении создаётся ситуация успеха для обучающихся, которая способствует преодолению страха перед их ответом у доски.

Использование таких занятий помогает осуществлять индивидуальный подход к обучающимся, включать каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать её, успешно решать учебные и коррекционно-развивающие задачи. Эта технология предполагает, необходимое условие формирования навыков самообучения и самоорганизации, что обеспечивает постепенный переход от пассивно-воспринимающей позиции к позиции сотрудничества ученик и учитель. Использование этой технологии способствует достижению основной цели обучения

— саморазвитию обучающихся , поэтому её можно применять как в классах повышенного уровня подготовки, так и в классах КРО.

Открытый урок по теме «Методы решения тригонометрических уравнений». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

• Образовательные : повторить, обобщить, систематизировать и углубить знания о методах решения тригонометрических уравнений.
• Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, расширять кругозор.
• Воспитательные: воспитание ответственности, активности, побуждению интереса к математике, самостоятельности, умение работать в коллективе.

Тип урока: урок повторения и обобщения.

Оборудование: Мультимедийный проектор – 2, экран – 2, компьютер – 11, принтер, бейджики, презентации, справочный материал, тест по теории, тест с выбором ответа, карточки для дифференцированной работы, маркеры, ватманы, оценочные листы, флешки, диски, планшеты – 4.

1. Организационный момент.
2. Математический диктант.
3. Устная работа.
4. Физкультминутка (здоровьесберегающий элемент урока).
5. Работа в группах.
6. Проверочный тест.
7. Домашнее задание.
8. Итог урока.
9. Рефлексия.

1. Здравствуйте! Я очень рада вас всех видеть, надеюсь, что это взаимно.

Итак. Начнем урок. Тема нашего урока : “Методы решения тригонометрических уравнений”

К этому уроку вами была проделана огромная работа. Вы должны были изучить много дополнительной литературы, собирали материал по теме : “Тригонометрические уравнения” из разных источников.

Как вы думаете чем мы будем сегодня заниматься на уроке?

Цели нашего урока: повторить, обобщить, систематизировать и углубить знания по данной теме.

В конце урока мне бы хотелось, чтобы вы, ребята,ответили на вопрос: “Зачем мы изучаем тригонометрические уравнения?”

2. Повторим теоретический материал по теме. Математический диктант (на компьютере, работа в парах). (Взаимопроверка.)

3. Устная работа.

б) Установи соответствие.

4. Физкультминутка и релаксация.

(Здоровьесберегающий элемент урока.)

Ребята, прежде чем начать и правильно настроиться на работу, выполним простое упражнение.

– Сядьте поудобнее на стуле, запрокиньте ногу на колено, придержите ее руками, закройте глаза. Это поза бесконечности. Сосредоточьтесь над знаком бесконечность – вытянутая горизонтальная восьмерка. Она находиться над вашим теменем, плавно колеблется над вашей головой. Вы это ярко представили. Постарайтесь удержать это изображение в вашем мысленном образе в течении нескольких секунд. (Пауза – молчание в течении 5 секунд). Спасибо! Откройте глаза, ребята. Когда человек сталкивается с бесконечностью, он невольно задумывается о своем здоровье.

5. Работа в группах. Ребята, чтобы вы хотели узнать еще по теме: “Тригонометрические уравнения”?

Применение тригонометрии в жизни, связана ли геометрия с тригонометрическими уравнениями, решаются ли графически тригонометрические уравнения, есть ли решение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.

Хорошо, вот мы с вами и обозначали темы наших проектов.

Итак, работаем как обычно, в группах. У нас 4 группы. Руководители групп подойдите,выберете тему, озвучьте еЕ .Каждая группа ставит цель своего проекта., руководители групп распределите роли в группе.

Готовность групп к выступлению.

Каждая группа называет цель своего проекта.

Выступает 1-я группа . Тема: “Применение тригонометрических уравнений при решении геометрических задач” (презентация, рассказывает на экране). Обсуждение, вопросы.

Выступает 2-я группа. Тема: “Решение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ”

– Выход в интернет. Учащиеся решают задание из диагностической работы. (1 ученик у доски.)

– Одно и тоже уравнение учащиеся решают разными способами.

(2 учащихся решают одно и тоже уравнение 2-мя способами) на откидных досках, а весь класс решает самостоятельно.

Решение уравнений с параметром (учитель).

Защищает свой проект 3-я группа. Тема: “Графический способ решения тригонометрических уравнений”. Решение уравнений на компьютере в программе MS Exel.

А остальные группы решают это же уравнение аналитически. Делают выводы.

Выступает 4-я группа с презентацией по теме :“Применение тригонометрии в жизни” (презентация по теме).

6. Самостоятельная работа. 1 человек в группе выполняет тестовую работу с выбором ответа на компьютере, остальные получают карточки разного уровня, выполняют работу по выбору.

7. Домашнее задание вы найдете в электронном дневнике, я прикреплю файл с разными по степени сложности заданиями. Каждый выберет себе свое задание.

8. Итог урока. Итак, ребята, как же вы ответите на вопрос: “Зачем мы изучаем тригонометрические уравнения?”

Руководители групп оцените работу каждого участника своей группы. Оценки за урок.

2 группы нарисовать график настроения и впечатления на сегодняшнем уроке.

2 группы Продолжи предложение……..(на парте листочки в виде геометрических фигур), читаем и продолжаем.

Великий математик, физик и политик А. Эйнштейн заметил “Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.”

Я надеюсь, что сегодняшний урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении тригонометрических уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

Урок «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа №12

по алгебре и началам анализа

по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Образовательные — повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.

Развивающие –формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

Проверка домашней работы. Устная работа.

Работа в группах.

Систематизация теоретического материала. Объяснение нового.

Домашнее задание. Итог урока.

Сегодня заключительный урок по теме « Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ. Перед вами стоит задача — показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

Проверка домашней работы

Необходимо сдать домашние работы по группам.

Домашняя работа состояла в то, что все учащиеся класса были разбиты по группы (3 уровня сложности: легкий уровень, средний уровень и усложненный уровень). Задания учащиеся получили заранее до урока и оцениваются самими учащимися по готовым решения на интерактивной доске.

Задания легкого уровня.

Задания среднего уровня.

(2 tg x/2) / (1- tg 2 x/2)= 2 cos π /6

Сколько корней имеет уравнение sin x + sin 3 x =0 на отрезке [0; π ]

Задания усложненного уровня.

cos ( x+ π /4)= cos (2 x- π /3)

Найдите наименьший по абсолютной величине корень уравнения 4 cos 2 x + 3 sin x cos x — 2 sin 2 x = 2

Сколько корней имеет уравнение sin x /8 * cos x /8* cos x /4 * cos x /2= 1/16 на отрезке [ π /6; 13 π /6]

Найдите ординаты общих точек графиков функций у = 2 tg x и у= 1+с tg x

Устно (повторение изученного материала)

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x = a при | a | > 1 ? [Нет решения]

2) при каком значении а уравнения sin x = a , cos x = a имеют решения? [Если | a | ≤ 1]

3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x = a ,

cos x = a ? при условии | a | ≤ 1

4) назовите частные случаи решения уравнений sin x = a ,

5) чему равен ar с co s (- a ) ? [π- ar с co s a ]

6) в каком промежутке находится arctg a ? [-π/2; π/2] , чему равен arcctg (- a ) ? ( π — arcctg a )

7) какой формулой выражается решение уравнения tg x = a ?

8) в каком промежутке находится arc с tg a ? (0;π)

9) какой формулой выражается решение уравнений ctg x = a ? ( x= arcctg a + π n , n Z )

Б) В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

arcsin 45= √2/2 ( неопределенно )

arcos (-1/2) = -π/3 (2π/3 )

arcsin 3 = arcsin 1*3= π /4*3= 3 π /4 (не существует)

arctg 1= arctg π /4 (π /4 )

arctg (√3)= — π / 6 ( 3π /4 )

cos x =1/2 , х = ± π/6 + 2π к , к Z

Верно : cos x =1/2 , х = ± π/ 3 + 2π к , к Z

Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

2) sin x =√ 3/2 , x = π/3 + π к , к Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1) к π/3 + π к , к Z

Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x = a

3) cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/ 4 + 2 π к ; x = ± 3 π/ 4 + 2 π к /3, к Z

Верно : cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/4 + 2 π к ; x = ± 3π/4 + 6 π к , к Z

Ошибка в выполнении деления

4) sin 2 x =1/3, x = (-1/2) n arcsin1/3 + π n , n Z

Верно : sin 2 x =1/3 , x = (-1) n /2 arcsin1/3 + π n /2, n Z

5) cos x = -1/2, x = ±(- π /3) + 2 π m , m Z

Верно : cos x = -1/2, x = ±2 π /3 + 2 π m , m Z

По определению arc с o s ( — π /3) [0 ;π ]

6) cos x =√10/3, x = arc с o s √10/3 + 2 π n , n Z

x — не существует, так как √10/3 не удовлетворяет условию | cos x | ≤ 1

7) tg x = -1, x = — π / 4 + 2 π n , n Z

8) ctg x =-√3/3, x = — π/3 + π m , m Z

По определению arc с o s ( — π /3) [0 ;π ]

Работа в группах

А теперь выберите одно из предложенных уравнений и решите его.

На экране проецируется задание.

2 cos 2 х + 5 sin х — 4=0

c os 2х + cos х =0

√ 2 sin ( x /2) + 1 = cos х

(-1) k π /6 + πk , k Z

3 sin x — 2 cos 2 x =0

cos 2x + sin x =0

√ 2 cos ( x /2) + 1= cos x

(-1) k π /6 + πk , k Z

(-1) k +1 π /6 + πn , n Z

Проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы

Систематизация теоретического материала.

Классификация тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения разных типов. Учащиеся должны определить тип и методы решения уравнений.

Это простейшие тригонометрические уравнения типа sin f ( x )= a , которые решаются сначала относительно f ( x ) , а затем полученные уравнения решаются относительно х по известным формулам.

2sin 2 x- 7 cos x -5=0

2 cos 2 3 x+ sin 3 x -1=0

Эти уравнения приводятся к алгебраическим путем введения новой переменной и сведению его к квадратному уравнению.

Данные уравнения решаются разложением на множители. При решении таких уравнений нужно пользоваться правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

4 sin 2 x+2 sin x cos x =3

Однородные уравнения первой (второй) степени. Они решаются делением обеих частей уравнения на cos x ( sin x ), cos 2 x ( sin 2 x )

cos 3x*cos 2x= sin3 x *sin 2x

Данный тип уравнений решается с помощью формул сложения, понижения степеней и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения вида a cos x + b sin x = c , где a ; b ; c 0. Решаются методом введения вспомогательного аргумента.

2 cos 3x+4 sin x/2=7

2 cos 3x+ cos x=-8

Данные уравнения решаются оценкой левой и правой частей

А сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1. Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

В положении стоя положите руки на бедра.

Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз .

Упражнение 2. Цель — укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и пред отвращения болей в области шеи .

Поза : сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой , а не вверх и не вниз .

Надавите указательным пальцем на подбородок .

Сделайте движение шеей назад .

Совет : совершая это движение , продолжайте смотреть прямо перед собой , не см отрите вверх или вниз . Для этого представьте , что кто — то , стоящий позади вас , тянет за нить , проходящую через ваш подбородок . Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд .
Повторите 10 раз .

К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = D , преобразуем данное уравнение А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = D ( sin 2 х + cos 2 х)

или (А – D ) sin 2 х + В sin х cos х + (С- D ) cos 2 х =0.

Уравнение A sin x + B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos 2 (x/2) — sin 2 (x/2) )= С (sin 2 (x/2) + cos 2 (x/2)). А теперь давайте решим следующее уравнение.

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2 x/2- sin 2 x/2= 2 sin 2 x/2+ 2 cos 2 x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2 x/2- sin 2 x/2- 2 sin 2 x/2- 2 cos 2 x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos 2 x/2- 3 sin 2 x/2= 0

Если cos x /2 =0 , то должно выполняться равенство sin 2 x /2 =0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos 2 x /2 и получить уравнение, равносильное данному

Пусть tg x /2=у, получим квадратное уравнение

Д =16-12=4, Д >0, уравнение имеет два различных корня

x /2= arctg 1 + π n , n Z x /2= arctg 1/3 + π к , к Z

x /2= π /4 + π n , n Z x = 2 arctg 1/3 +2 π к , к Z

x = π /2 +2 π n , n Z

Ответ: x = π /2 +2 π n , n Z , x = 2 arctg 1/3 +2 π к , к Z

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение, введение новой переменной)

На экране проецируется задание.

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin 2 х — 3 sin х cos х — 2 cos 2 х =0

3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0

5 sin 2 х + 2 sin х cos х — cos 2 х =1

2 sin x — 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos 2 х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin 2 х — 5 sin х cos х + cos 2 х =0

2 sin 2 x – sin x cosx =0

4 sin 2 х — 2 sin х cos х — 4 cos 2 х =1

2 sin x — 3 cos x = 4

2 sin 2 х — 2sin 2 х +1 =0

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы

«3»

— arctg 5/3+ πk , k Z .

π /4 + πk ; — arctg 0,4 + πn , k , n Z .

π /2 + πk ; — arctg 1,5 + πn , k , n Z .

π /4 + πk ; — arctg 0,5 + πn , k , n Z .

arctg ( — 1 ± √5) + πk , k Z .

π /4 + πk ; arctg 7 + πn , k , n Z .

— arctg 2/3+ πk , k Z .

arctg 1/3+ πk ; arctg 0,5 + πn , k , n Z .

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; — arctg 5/3 + πn, k, n Z.

arctg ( 2 ± √11 ) + πk, k Z.

π /4 + πk ; arctg 1/3 + πn , k, n Z.

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

— Что нового узнали на уроке?

— Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

— Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

— Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен.