Отметьте правильную формулу линейного уравнения регрессии

Корреляция и регрессия

Линейное уравнение регрессии имеет вид y=bx+a+ε
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 68.16, a = 11.17

Уравнение регрессии:
y = 68.16 x — 11.17

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 Y фактором X весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 68.16 x -11.17
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент уравнения регрессии показывает, на сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.
Коэффициент b = 68.16 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у ) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 68.16.
Коэффициент a = -11.17 формально показывает прогнозируемый уровень у , но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x , можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.

1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета — коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами — Х существенно влияет на Y.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего Y на 0.9796 среднеквадратичного отклонения этого показателя.

1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.98 2 = 0.9596, т.е. в 95.96 % случаев изменения x приводят к изменению у . Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая. Остальные 4.04 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим t_крит:
t_крит = (7;0.05) = 1.895
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим
В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 _y = 94.6484 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S_y = 9.7287 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S _a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bx_p ± ε) где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X _p = 1 (-11.17 + 68.16*1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bx _i ± ε)
где

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.
t_крит = (7;0.05) = 1.895

Поскольку 12.8866 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 2.0914 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
(68.1618 — 1.895 • 5.2894; 68.1618 + 1.895 • 5.2894)
(58.1385;78.1852)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a — t_a)
(-11.1744 — 1.895 • 5.3429; -11.1744 + 1.895 • 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fkp = 5.59
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e_i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e_i от e_i-1.

Основы линейной регрессии

Что такое регрессия?

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение, если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x, причём изменения в y вызываются именно изменениями в x, мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова «регрессия» исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей «регрессировал» и «двигался вспять» к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y – зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x, т.е. это «предсказанное значение y»

• a – свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y, когда x=0 (Рис.1).
• b – угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
• a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b.

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия.

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b – выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y – предсказанный y, Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

• Между и существует линейное соотношение: для любых пар данные должны аппроксимировать прямую линию. Если нанести на двумерный график остатки, то мы должны наблюдать случайное рассеяние точек, а не какую-либо систематическую картину.

• Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

• Остатки имеют одну и ту же вариабельность (постоянную дисперсию) для всех предсказанных величин Если нанести остатки против предсказанных величин от мы должны наблюдать случайное рассеяние точек. Если график рассеяния остатков увеличивается или уменьшается с увеличением то это допущение не выполняется;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

«Влиятельное» наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть «влиятельным» наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для «влиятельных» наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

,

— оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

Можно рассчитать 95% доверительный интервал для генерального углового коэффициента :

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации, обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Подобным образом можно рассчитать более широкую область, внутри которой, как мы ожидаем, лежит наибольшее число (обычно 95%) наблюдений.

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b 0 + b 1 P 2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 ( Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 ( Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на .40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на .65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся «внутри диапазона.»

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию ( -.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p .

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.

Решаем уравнение простой линейной регрессии

В статье рассматривается несколько способов определения математического уравнения линии простой (парной) регрессии.

Все рассматриваемые здесь способы решения уравнения основаны на методе наименьших квадратов. Обозначим способы следующим образом:

• Аналитическое решение
• Градиентный спуск
• Стохастический градиентный спуск

Для каждого из способов решения уравнения прямой, в статье приведены различные функции, которые в основном делятся на те, которые написаны без использования библиотеки NumPy и те, которые для проведения расчетов применяют NumPy. Считается, что умелое использование NumPy позволит сократить затраты на вычисления.

Весь код, приведенный в статье, написан на языке python 2.7 с использованием Jupyter Notebook. Исходный код и файл с данными выборки выложен на гитхабе

Статья в большей степени ориентирована как на начинающих, так и на тех, кто уже понемногу начал осваивать изучение весьма обширного раздела в искусственном интеллекте — машинного обучения.

Для иллюстрации материала используем очень простой пример.

Условия примера

У нас есть пять значений, которые характеризуют зависимость Y от X (Таблица №1):

Таблица №1 «Условия примера»

Будем считать, что значения — это месяц года, а — выручка в этом месяце. Другими словами, выручка зависит от месяца года, а — единственный признак, от которого зависит выручка.

Пример так себе, как с точки зрения условной зависимости выручки от месяца года, так и с точки зрения количества значений — их очень мало. Однако такое упрощение позволит, что называется на пальцах, объяснить, не всегда с легкостью, усваиваемый новичками материал. А также простота чисел позволит без весомых трудозатрат, желающим, порешать пример на «бумаге».

Предположим, что приведенная в примере зависимость, может быть достаточно хорошо аппроксимирована математическим уравнением линии простой (парной) регрессии вида:

где — это месяц, в котором была получена выручка, — выручка, соответствующая месяцу, и — коэффициенты регрессии оцененной линии.

Отметим, что коэффициент часто называют угловым коэффициентом или градиентом оцененной линии; представляет собой величину, на которую изменится при изменении .

Очевидно, что наша задача в примере — подобрать в уравнении такие коэффициенты и , при которых отклонения наших расчетных значений выручки по месяцам от истинных ответов, т.е. значений, представленных в выборке, будут минимальны.

Метод наименьших квадратов

В соответствии с методом наименьших квадратов, отклонение стоит рассчитывать, возводя его в квадрат. Подобный прием позволяет избежать взаимного погашения отклонений, в том случае, если они имеют противоположные знаки. Например, если в одном случае, отклонение составляет +5 (плюс пять), а в другом -5 (минус пять), то сумма отклонений взаимно погасится и составит 0 (ноль). Можно и не возводить отклонение в квадрат, а воспользоваться свойством модуля и тогда у нас все отклонения будут положительными и будут накапливаться. Мы не будем останавливаться на этом моменте подробно, а просто обозначим, что для удобства расчетов, принято возводить отклонение в квадрат.

Вот так выглядит формула, с помощью которой мы определим наименьшую сумму квадратов отклонений (ошибки):

где — это функция аппроксимации истинных ответов (то есть посчитанная нами выручка),

— это истинные ответы (предоставленная в выборке выручка),

— это индекс выборки (номер месяца, в котором происходит определение отклонения)

Продифференцируем функцию, определим уравнения частных производных и будем готовы перейти к аналитическому решению. Но для начала проведем небольшой экскурс о том, что такое дифференцирование и вспомним геометрический смысл производной.

Дифференцирование

Дифференцированием называется операция по нахождению производной функции.

Для чего нужна производная? Производная функции характеризует скорость изменения функции и указывает нам ее направление. Если производная в заданной точке положительна, то функция возрастает, в обратном случае — функция убывает. И чем больше значение производной по модулю, тем выше скорость изменения значений функции, а также круче угол наклона графика функции.

Например, в условиях декартовой системы координат, значение производной в точке M(0,0) равное +25 означает, что в заданной точке, при смещении значения вправо на условную единицу, значение возрастает на 25 условных единиц. На графике это выглядит, как достаточно крутой угол подъема значений с заданной точки.

Другой пример. Значение производной равное -0,1 означает, что при смещении на одну условную единицу, значение убывает всего лишь на 0,1 условную единицу. При этом, на графике функции, мы можем наблюдать едва заметный наклон вниз. Проводя аналогию с горой, то мы как будто очень медленно спускаемся по пологому склону с горы, в отличие от предыдущего примера, где нам приходилось брать очень крутые вершины:)

Таким образом, проведя дифференцирование функции по коэффициентам и , определим уравнения частных производных 1-го порядка. После определения уравнений, мы получим систему из двух уравнений, решив которую мы сможем подобрать такие значения коэффициентов и , при которых значения соответствующих производных в заданных точках изменяются на очень и очень малую величину, а в случае с аналитическим решением не изменяются вовсе. Другими словами, функция ошибки при найденных коэффициентах достигнет минимума, так как значения частных производных в этих точках будут равны нулю.

Итак, по правилам дифференцирования уравнение частной производной 1-го порядка по коэффициенту примет вид:

уравнение частной производной 1-го порядка по примет вид:

В итоге мы получили систему уравнений, которая имеет достаточно простое аналитическое решение:

\begin
\begin
na + b\sum\limits_^nx_i — \sum\limits_^ny_i = 0
\\
\sum\limits_^nx_i(a +b\sum\limits_^nx_i — \sum\limits_^ny_i) = 0
\end
\end

Прежде чем решать уравнение, предварительно загрузим, проверим правильность загрузки и отформатируем данные.

Загрузка и форматирование данных

Необходимо отметить, что в связи с тем, что для аналитического решения, а в дальнейшем для градиентного и стохастического градиентного спуска, мы будем применять код в двух вариациях: с использованием библиотеки NumPy и без её использования, то нам потребуется соответствующее форматирование данных (см. код).

Визуализация

Теперь, после того, как мы, во-первых, загрузили данные, во-вторых, проверили правильность загрузки и наконец отформатировали данные, проведем первую визуализацию. Часто для этого используют метод pairplot библиотеки Seaborn. В нашем примере, ввиду ограниченности цифр нет смысла применять библиотеку Seaborn. Мы воспользуемся обычной библиотекой Matplotlib и посмотрим только на диаграмму рассеяния.

График №1 «Зависимость выручки от месяца года»

Аналитическое решение

Воспользуемся самыми обычными инструментами в python и решим систему уравнений:

\begin
\begin
na + b\sum\limits_^nx_i — \sum\limits_^ny_i = 0
\\
\sum\limits_^nx_i(a +b\sum\limits_^nx_i — \sum\limits_^ny_i) = 0
\end
\end

По правилу Крамера найдем общий определитель, а также определители по и по , после чего, разделив определитель по на общий определитель — найдем коэффициент , аналогично найдем коэффициент .

Вот, что у нас получилось:

Итак, значения коэффициентов найдены, сумма квадратов отклонений установлена. Нарисуем на гистограмме рассеяния прямую линию в соответствии с найденными коэффициентами.

График №2 «Правильные и расчетные ответы»

Можно посмотреть на график отклонений за каждый месяц. В нашем случае, какой-либо значимой практической ценности мы из него не вынесем, но удовлетворим любопытство в том, насколько хорошо, уравнение простой линейной регрессии характеризует зависимость выручки от месяца года.

График №3 «Отклонения, %»

Не идеально, но нашу задачу мы выполнили.

Напишем функцию, которая для определения коэффициентов и использует библиотеку NumPy, точнее — напишем две функции: одну с использованием псевдообратной матрицы (не рекомендуется на практике, так как процесс вычислительно сложный и нестабильный), другую с использованием матричного уравнения.

Сравним время, которое было затрачено на определение коэффициентов и , в соответствии с 3-мя представленными способами.

На небольшом количестве данных, вперед выходит «самописная» функция, которая находит коэффициенты методом Крамера.

Теперь можно перейти к другим способам нахождения коэффициентов и .

Градиентный спуск

Для начала определим, что такое градиент. По-простому, градиент — это отрезок, который указывает направление максимального роста функции. По аналогии с подъемом в гору, то куда смотрит градиент, там и есть самый крутой подъем к вершине горы. Развивая пример с горой, вспоминаем, что на самом деле нам нужен самый крутой спуск, чтобы как можно быстрее достичь низины, то есть минимума — места где функция не возрастает и не убывает. В этом месте производная будет равна нулю. Следовательно, нам нужен не градиент, а антиградиент. Для нахождения антиградиента нужно всего лишь умножить градиент на -1 (минус один).

Обратим внимание на то, что функция может иметь несколько минимумов, и опустившись в один из них по предложенному далее алгоритму, мы не сможем найти другой минимум, который возможно находится ниже найденного. Расслабимся, нам это не грозит! В нашем случае мы имеем дело с единственным минимумом, так как наша функция на графике представляет собой обычную параболу. А как мы все должны прекрасно знать из школьного курса математики — у параболы существует только один минимум.

После того, как мы выяснили для чего нам потребовался градиент, а также то, что градиент — это отрезок, то есть вектор с заданными координатами, которые как раз являются теми самыми коэффициентами и мы можем реализовать градиентный спуск.

Перед запуском, предлагаю прочитать буквально несколько предложений об алгоритме спуска:

• Определяем псевдослучайным образом координаты коэффициентов и . В нашем примере, мы будем определять коэффициенты вблизи нуля. Это является распространённой практикой, однако для каждого случая может быть предусмотрена своя практика.
• От координаты вычитаем значение частной производной 1-го порядка в точке . Так, если производная будет положительная, то функция возрастает. Следовательно, отнимая значение производной, мы будем двигаться в обратную сторону роста, то есть в сторону спуска. Если производная отрицательна, значит функция в этой точке убывает и отнимая значение производной мы двигаемся в сторону спуска.
• Проводим аналогичную операцию с координатой : вычитаем значение частной производной в точке .
• Для того, чтобы не перескочить минимум и не улететь в далекий космос, необходимо установить размер шага в сторону спуска. В общем и целом, можно написать целую статью о том, как правильнее установить шаг и как его менять в процессе спуска, чтобы снизить затраты на вычисления. Но сейчас перед нами несколько иная задача, и мы научным методом «тыка» или как говорят в простонародье, эмпирическим путем, установим размер шага.
• После того, как мы из заданных координат и вычли значения производных, получаем новые координаты и . Делаем следующий шаг (вычитание), уже из рассчитанных координат. И так цикл запускается вновь и вновь, до тех пор, пока не будет достигнута требуемая сходимость.

Все! Теперь мы готовы отправиться на поиски самого глубокого ущелья Марианской впадины. Приступаем.

Мы погрузились на самое дно Марианской впадины и там обнаружили все те же значения коэффициентов и , что собственно и следовало ожидать.

Совершим еще одно погружение, только на этот раз, начинкой нашего глубоководного аппарата будут иные технологии, а именно библиотека NumPy.

Значения коэффициентов и неизменны.

Посмотрим на то, как изменялась ошибка при градиентном спуске, то есть как изменялась сумма квадратов отклонений с каждым шагом.

График №4 «Сумма квадратов отклонений при градиентном спуске»

На графике мы видим, что с каждым шагом ошибка уменьшается, а спустя какое-то количество итераций наблюдаем практически горизонтальную линию.

Напоследок оценим разницу во времени исполнения кода:

Возможно мы делаем что-то не то, но опять простая «самописная» функция, которая не использует библиотеку NumPy опережает по времени выполнения расчетов функцию, использующую библиотеку NumPy.

Но мы не стоим на месте, а двигаемся в сторону изучения еще одного увлекательного способа решения уравнения простой линейной регрессии. Встречайте!

Стохастический градиентный спуск

Для того, чтобы быстрее понять принцип работы стохастического градиентного спуска, лучше определить его отличия от обычного градиентного спуска. Мы, в случае с градиентным спуском, в уравнениях производных от и использовали суммы значений всех признаков и истинных ответов, имеющихся в выборке (то есть суммы всех и ). В стохастическом градиентном спуске мы не будем использовать все значения, имеющиеся в выборке, а вместо этого, псевдослучайным образом выберем так называемый индекс выборки и используем его значения.

Например, если индекс определился за номером 3 (три), то мы берем значения и , далее подставляем значения в уравнения производных и определяем новые координаты. Затем, определив координаты, мы опять псевдослучайным образом определяем индекс выборки, подставляем значения, соответствующие индексу в уравнения частных производных, по новому определяем координаты и и т.д. до позеленения сходимости. На первый взгляд, может показаться, как это вообще может работать, однако работает. Правда стоит отметить, что не с каждым шагом уменьшается ошибка, но тенденция безусловно имеется.

Каковы преимущества стохастического градиентного спуска перед обычным? В случае, если у нас размер выборки очень велик и измеряется десятками тысяч значений, то значительно проще обработать, допустим случайную тысячу из них, нежели всю выборку. Вот в этом случае и запускается стохастический градиентный спуск. В нашем случае мы конечно же большой разницы не заметим.

Смотрим внимательно на коэффициенты и ловим себя на вопросе «Как же так?». У нас получились другие значения коэффициентов и . Может быть стохастический градиентный спуск нашел более оптимальные параметры уравнения? Увы, нет. Достаточно посмотреть на сумму квадратов отклонений и увидеть, что при новых значениях коэффициентов, ошибка больше. Не спешим отчаиваться. Построим график изменения ошибки.

График №5 «Сумма квадратов отклонений при стохастическом градиентном спуске»

Посмотрев на график, все становится на свои места и сейчас мы все исправим.

Итак, что же произошло? Произошло следующее. Когда мы выбираем случайным образом месяц, то именно для выбранного месяца наш алгоритм стремится уменьшить ошибку в расчете выручки. Затем выбираем другой месяц и повторяем расчет, но ошибку уменьшаем уже для второго выбранного месяца. А теперь вспомним, что у нас первые два месяца существенно отклоняются от линии уравнения простой линейной регрессии. Это значит, что когда выбирается любой из этих двух месяцев, то уменьшая ошибку каждого из них, наш алгоритм серьезно увеличивает ошибку по всей выборке. Так что же делать? Ответ простой: надо уменьшить шаг спуска. Ведь уменьшив шаг спуска, ошибка так же перестанет «скакать» то вверх, то вниз. Вернее, ошибка «скакать» не перестанет, но будет это делать не так прытко:) Проверим.

График №6 «Сумма квадратов отклонений при стохастическом градиентном спуске (80 тыс. шагов)»

Значения коэффициентов улучшились, но все равно не идеальны. Гипотетически это можно поправить таким образом. Выбираем, например, на последних 1000 итерациях значения коэффициентов, с которыми была допущена минимальная ошибка. Правда нам для этого придется записывать еще и сами значения коэффициентов. Мы не будем этого делать, а лучше обратим внимание на график. Он выглядит гладким, и ошибка как будто уменьшается равномерно. На самом деле это не так. Посмотрим на первые 1000 итераций и сравним их с последними.

График №7 «Сумма квадратов отклонений SGD (первые 1000 шагов)»

График №8 «Сумма квадратов отклонений SGD (последние 1000 шагов)»

В самом начале спуска мы наблюдаем достаточно равномерное и крутое уменьшение ошибки. На последних итерациях мы видим, что ошибка ходит вокруг да около значения в 1,475 и в некоторые моменты даже равняется этому оптимальному значению, но потом все равно уходит ввысь… Повторюсь, можно записывать значения коэффициентов и , а потом выбрать те, при которых ошибка минимальна. Однако у нас возникла проблема посерьезнее: нам пришлось сделать 80 тыс. шагов (см. код), чтобы получить значения, близкие к оптимальным. А это, уже противоречит идее об экономии времени вычислений при стохастическом градиентном спуске относительно градиентного. Что можно поправить и улучшить? Не трудно заметить, что на первых итерациях мы уверенно идем вниз и, следовательно, нам стоит оставить большой шаг на первых итерациях и по мере продвижения вперед шаг уменьшать. Мы не будем этого делать в этой статье — она и так уже затянулась. Желающие могут и сами подумать, как это сделать, это не сложно 🙂

Теперь выполним стохастический градиентный спуск, используя библиотеку NumPy (и не будем спотыкаться о камни, которые мы выявили раннее)

Значения получились почти такими же, как и при спуске без использования NumPy. Впрочем, это логично.

Узнаем сколько же времени занимали у нас стохастические градиентные спуски.

Чем дальше в лес, тем темнее тучи: опять «самописная» формула показывает лучший результат. Все это наводит на мысли о том, что должны существовать еще более тонкие способы использования библиотеки NumPy, которые действительно ускоряют операции вычислений. В этой статье мы о них уже не узнаем. Будет о чем подумать на досуге:)

Резюмируем

Перед тем как резюмировать, хотелось бы ответить на вопрос, который скорее всего, возник у нашего дорогого читателя. Для чего, собственно, такие «мучения» со спусками, зачем нам ходить по горе вверх и вниз (преимущественно вниз), чтобы найти заветную низину, если в наших руках такой мощный и простой прибор, в виде аналитического решения, который мгновенно телепортирует нас в нужное место?

Ответ на этот вопрос лежит на поверхности. Сейчас мы разбирали очень простой пример, в котором истинный ответ зависит от одного признака . В жизни такое встретишь не часто, поэтому представим, что у нас признаков 2, 30, 50 или более. Добавим к этому тысячи, а то и десятки тысяч значений для каждого признака. В этом случае аналитическое решение может не выдержать испытания и дать сбой. В свою очередь градиентный спуск и его вариации будут медленно, но верно приближать нас к цели — минимуму функции. А на счет скорости не волнуйтесь — мы наверняка еще разберем способы, которые позволят нам задавать и регулировать длину шага (то есть скорость).

А теперь собственно краткое резюме.

Во-первых, надеюсь, что изложенный в статье материал, поможет начинающим «дата сайнтистам» в понимании того, как решать уравнения простой (и не только) линейной регрессии.

Во-вторых, мы рассмотрели несколько способов решения уравнения. Теперь, в зависимости от ситуации, мы можем выбрать тот, который лучше всего подходит для решения поставленной задачи.

В-третьих, мы увидели силу дополнительных настроек, а именно длины шага градиентного спуска. Этим параметром нельзя пренебрегать. Как было подмечено выше, с целью сокращения затрат на проведение вычислений, длину шага стоит изменять по ходу спуска.

В-четвертых, в нашем случае, «самописные» функции показали лучший временной результат вычислений. Вероятно, это связано с не самым профессиональным применением возможностей библиотеки NumPy. Но как бы то ни было, вывод напрашивается следующий. С одной стороны, иногда стоит подвергать сомнению устоявшиеся мнения, а с другой — не всегда стоит все усложнять — наоборот иногда эффективнее оказывается более простой способ решения задачи. А так как цель у нас была разобрать три подхода в решении уравнения простой линейной регрессии, то использование «самописных» функций нам вполне хватило.

Предыдущая работа автора — «Исследуем утверждение центральной предельной теоремы с помощью экспоненциального распределения»
Следующая работа автора — «Приводим уравнение линейной регрессии в матричный вид»