Отметьте уравнение которое имеет более одного рационального решения

Отметьте уравнение которое имеет более одного рационального решения

Вопрос по алгебре:

Укажите уравнение , которое имеет более одного целочисленного решения
1)p2=0
2)p2=-100
3)p2=49
4)p2=39
Пожалуйста можно поподробнее . Заранее спасибо .

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

1) одно решение р=0
2) решений нет
3)два корня р=-7 р=7
4)два корня р=-√39 р=√39
ответ: 3)

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Решение рациональных уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.

Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $\frac$, при этом $m$ и $n$ — целые числа и $n$ не может быть равно нулю. К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $\frac<2><3>$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.

Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.

Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.

Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.

Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.

Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.

Дробно-рациональные уравнения примеры: $\frac<3x-2>+\frac<1><2>=\frac<5>$; $\frac<7><2y-3>=5$;

Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.

Как решать рациональные уравнения?

В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.

Алгоритм решения целых рациональных уравнений

1. В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
2. Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
3. Следующий этап — приведение к общему знаменателю всего равенства.
4. Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.

Готовые работы на аналогичную тему

Сначала найдём общий множитель — в данном случае это число $4$. Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac<2><2>$, получаем:

$10x+18=x$ — полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.

Решите дробно-рациональное уравнение: $\frac+\frac<1>=\frac$

Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x \cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:

Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:

Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:

$\begin x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end$

Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:

$\frac<3><14>=\frac<3><14>$ — следовательно, корень $x_2=-2$ — верный.

Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ — посторонний.

Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби. Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае. Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.

В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:

Для упрощения решения введём переменную $t= x^2+3x$:

Общий знаменатель здесь $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:

Через дискриминант вычислим корни:

Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.

Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:

По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_<1,2>=\frac<-3±\sqrt<\frac<67><7>>><2>$.

Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_<3,4>=\frac<-3±\sqrt<\frac<67><7>>><2>$.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.

Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.

Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.

Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:

• Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
• Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:

• Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
• Избавление от знаменателей, содержащих переменную;

Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.

Решение рациональных уравнений со степенями больше двух

Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.

Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.

Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ — многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0. P_n(x)=0$.

Решите уравнение: $x^3+2x^2+3x+6=0$

Вынесем общие множители:

После разложения на множители нужно решить уравнения $x+2=0$ и $x^2+3=0$. Корень первого $x=-2$, второе уравнение корней не имеет, поэтому $x=-2$ — в данном случае окончательный ответ.

Уравнения, в которых коэффициент при переменной со старшей степенью равен единице, называются приведёнными.

Для приведённых уравнений справедливо следующее:

Если такое уравнение с целыми коэффициентами при переменных имеет рациональный корень, то этот корень непременно является целым числом.

Благодаря такому свойству этих уравнений их можно решать перебором целых делителей свободного члена.

Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения — это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.

Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.

Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.

Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax^4+bx^2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x^2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay^2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.

Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным. Такие уравнения выглядят так: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 03 2021

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то