Оценить свойства наблюдаемости сау заданной уравнениями состояния

Управляемость и наблюдаемость САУ

Рассмотрим случай, когда все переменные состояния могут быть измерены, а результаты этих действий могут быть использованы для управления системой. Однако такой случай не всегда технически реализуем. Поэтому для систем автоматического управления вводится понятие управляемости.

Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами:

(1)

где – матрицы с постоянными коэффициентами.

При этом управление полагается скалярным, т.е. управление объектом осуществляется по одной координате.

Заданы начальная и конечная точка , и . Задача состоит в том, чтобы перевести систему из заданного начального положения в некоторую точку, совпадающую с началом координат. При этом никаких ограничений на величину управляющего воздействия и время регулирования не накладывается. Если такая задача решается при любых начальных и конечных условиях, то такая система является управляемой.

Система называется управляемой, если существует такое управление, которое из любого начального состояния в любое конечное положение. При каких условиях система является управляемой. Попытаемся выяснить причины неуправляемости. Это удобно сделать с помощью геометрического представления движения системы. Как отмечалось выше решение линейного однородного уравнения имеет вид:

Если какой-нибудь из коэффициентов , а остальные отличны от нуля, то движение происходит в инвариантном подпространстве матрицы . С геометрической точки зрения все траектории лежат в плоскости S, т.е. вектор также направлен вдоль этой плоскости. Предположим, что вектор тоже лежит в плоскости . Очевидно, что добавка к вектору величины оставляет вектор в той же плоскости, хотя и деформирует траекторию движения вектора состояния. Следовательно, если начальная точка лежит в плоскости , а конечная — нет, то попасть в точку с заданными координатами нельзя, так как не существует управления, которое переводит состояние системы с заданными параметрами из начальной точки в конечную. Такая система неуправляема по определению.

Условия управляемости в терминах исходной системы получены Калманом и имеют вид:

Для управляемости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие вида

(2)

Это условие выполняется, если матрица U вида

имеет ранг, равный N.

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее определителя, отличный от нуля.

Рассмотрим поведение системы в пространстве состояний собственных векторов матрицы А (для простоты будем полагать, что собственные значения матрицы А — действительные и различные). Как мы убедимся в дальнейшем, в этом пространстве условия управляемости становятся практически очевидными. Введем неособое преобразование вида

(3)

где .

Выше отмечалось, что и существует. Поэтому вектора X и Y связаны однозначной зависимостью. Следовательно, задачи об управляемости в пространствах этих переменных эквивалентны.

В пространстве новых переменных поведение САУ описывается уравнением

(4)

Рассмотрим произведение

так как , то

Следовательно, уравнение (4) приводится к виду

(5)

— вектор столбец с компонентами .

Так как матрица Р диагональная, то

, где .

и если хотя бы одно , то координата — неуправляема. Поэтому можно предположить, что, если все , то система управляема.

Рассмотрим n-мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат .

Пусть в пространстве состояния заданы два множества и . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление , определенное на конечном интервале времени , которое переводит изображающую точку в пространстве Х из подобласти в подобласть .

Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояний Х в начало координат. Система будет управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

От пространства состояний Х перейдем к другому пространству посредством неособого преобразования , причем , где — матрица коэффициентов .

Тогда вместо уравнения вида

(6)

где j — матрица возмущающих и задающих воздействий,

u — матрица-столбец управляющий величин,

y — матрица-столбец регулируемых величин,

x- матрица-столбец фазовых координат,

(7)

Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:

, , , и .

Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования приводит к эквивалентным системам различной структуры. При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (7) или часть фазовых координат не участвует в формирование вектора выходного сигнала . В первом случае система не будет полностью управляемой, а во втором — полностью наблюдаемой.

В случае не полностью управляемой системы ее исходное уравнение могут быть представлены в виде

Это иллюстрирует рис. 7. Набор фазовых координат соответствует управляемой части фазовых координат, а набор — неуправляемой части.

Рис. 7. Пример не полностью управляемой системы

Калманом был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность управляющей части системы, то есть порядок первой группы уравнений (7) совпадает с рангом матрицы

где k — размерность управляющего вектора.

При система полностью управляема, при — система не полностью управляема, при — система полностью не управляема.

Рис. 8. Структура исходной системы.

На рис. 8 представлен простейший пример. Если рассматривать выходную величину при нулевых начальных условиях, то можно записать

где определяются начальными условиям до приложения входного сигнала , а — вынужденная составляющая. Система устойчива при .

Если начальные условия до приложения управляющего сигнала были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции

В этом случае переходный процесс в системе определяется как

Как следует из последнего выражения, во втором случае система описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при .

Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается , а .

При введении второй составляющей управления система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточный функций по управлению

В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде

Эти уравнения отличаются от (7) тем, что фазовые координаты группы не входят ни в выражения для и , ни в первое уравнение, куда входят фазовые координаты группы . Группа фазовых координат относится к ненаблюдаемым.

Калманом показано, что порядок первой группы уравнений совпадает с рангом матрицы V вида

При система полностью наблюдаема, при — система не полностью наблюдаема, при — система полностью ненаблюдаемая.

На рис. 9 изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.

Рис. 9. Пример не полностью наблюдаемой системы

В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат:

· управляемую, но ненаблюдаемую часть ,

· управляемую и наблюдаемую часть ,

· неуправляемую и ненаблюдаемую часть ,

· неуправляемую но наблюдаемую част .

Исходные уравнения системы (7) можно для самого общего случая записать следующим образом:

Левая часть характеристического уравнения

где Е — единичная матрица размера , системы в этом случае содержит четыре сомножителя:

Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть измерены датчиками различных типов.

\|	следующая лекция ==>
Трехточечные схемы автогенераторов гармонических колебаний	\|	Работа САУ при случайных воздействиях

Дата добавления: 2016-06-02 ; просмотров: 1161 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Тел. 89038734025

МОДУЛЬ 5

Филонович А.В. кафедра электроснабжения

Тел. 89038734025

1.Линеаризовать уравнение характеристики элемента умножения y=x₁x₂ в точке y₀=x₀₁x₀₂.

2. Найти уравнение Коши состояния САУ, описываемой дифференциальным уравнением , где g — входная величина; y — выходная величина.

3. Найти уравнение выхода САУ, описываемой дифференциальным уравнением , где g — входная величина; y — выходная величина.

4. . Определить критический коэффициент усиления Ккр системы, разомкнутая передаточная функция которой .
К_кр=2.

5. Определить количество правых корней m системы третьего порядка, годограф Михайлова которой имеет вид

6. Определить порядки астатизма по управляющему g(t) и возмущающему f(t) воздействиям САУ, структурная схема которой приведена на рисунке.

астатизм равен 1.

7. Определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия обеспечения абсолютной устойчивости нелинейной системы, передаточная функция линейной части которой

8. .Дать заключение об устойчивости импульсной системы, характеристическое уравнение которой D(z)=10z 3 +4z 2 +6z+2+0.
импульсная система устойчива.

9. Оценить свойства управляемости САУ, заданной уравнениями состояния

где:

САУ полностью управляема

10. Оценить свойства наблюдаемости САУ, заданной уравнениями состояния

где:

11. Определить управляемость САУ третьего порядка n=3 с одним управляющим воздействием m=1, представленных уравнениями состояния x=Ax + Bu с матрицами системы А и В вида

САУ полностью управляема

12. Найти уравнение Коши состояния САУ, описываемой дифференциальным уравнением , где g — входная величина; y — выходная величина.

;

13. Найти уравнение выхода САУ, описываемой дифференциальным уравнением , где g — входная величина; y — выходная величина.

14. Найти уравнение Коши состояния САУ, описываемой дифференциальным уравнением , где u — входная величина; Z — выходная величина

15. Найти уравнение выхода САУ, описываемой дифференциальным уравнением , , где u — входная величина; Z — выходная величина

16. Написать уравнения состояния САУ, имеющей матрицы состояния:

; C= .

В соответствии с матрицами А,В и С уравнения состояния запишем в виде:

17. Характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет 3 порядок 1+W(р)=0,

Т₁Т₂р 3 +(Т₁+Т₂)р 2 +р+К=а₀р 3 +а₁р 2 +а₂р+а₃=0. Определить устойчивость САУ для следующих параметров: К=80, Т₁=0,12с., Т₂=0,05с. Условие устойчивости не выполняется, САУ будет устойчивой при К=К_кр=28.

18. Оценить устойчивость САУ третьего порядка с характеристическим уравнением Т₁Т₂р 3 +(Т₁+Т₂)р 2 +р+К=а₀р 3 +а₁р 2 +а₂р+а₃=0. Определить устойчивость САУ для следующих параметров: К=80, Т₁=0,12с., Т₂=0,05с. С использованием частотного критерия Михайлова

Построим годограф Михайлова для V=0 и U=0. Получим, что условие устойчивости не выполняется, САУ будет устойчивой при К=К_кр=28.

19. Для заданных воздействий: скоростное V=20мм/с., постоянное ускорение =3мм/с 2 , гармоническое с амплитудой Х_мах=4мм и период Т_п=8с. Определить ошибку САУ с передаточной функцией W(р)=К/Р(Т₁Р+1)(Т₂Р+1), где к=6,6, Т1=0,12с., Т2=0,05с. Чувствительность двигателя U_тр=6В.

20. Оценить устойчивость САУ третьего порядка с характеристическим уравнением Т₁Т₂р 3 +(Т₁+Т₂)р 2 +р+К=а₀р 3 +а₁р 2 +а₂р+а₃=0. Определить устойчивость САУ для следующих параметров: К_кр=28, Т₁=0,12с., Т₂=0,05с. С использованием частотного критерия Найквиста. Построить годограф Найквиста и определить устойчивость САУ.

Контрольная работа по теории автоматического управления с решением

Готовые контрольные работы по теории автоматического управления (ТАУ).

Современная теория управления занимает одно из ведущих мест в технических науках и в то же время относится к одной из отраслей прикладной математики. С другой стороны, теория и практика автоматического управления связаны с вычислительной техникой.

ТАУ является теоретической базой в цикле специальных дисциплин, раскрывающих теоретические основы и методы расчета, анализа и синтеза средств и систем автоматизации управления техническими системами.

Задачи курса ТА У состоят в изучении методов построения технических систем управления, овладении студентами методами анализа и синтеза систем и приобретении навыка расчета основных качественных показателей динамики автоматических средств контроля и управления.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Теория автоматического управления

Теория автоматического управления (ТАУ) — это наука, которая изучает процессы управления и проектирования автоматических систем, работающих по замкнутому циклу. Иначе говоря, она изучает любые системы с обратной связью.

Контрольная работа №1.

Линеаризовать уравнение характеристики элемента умножения в точке .

Решение:

В соответствии с малыми приращениями

пренебрегая малыми высшего порядка. Тогда вычитая значение из левой и правой частей, получим

т.е. элемент умножения может быть приближенно представлен в виде сумматора и двух усилителей (линейных звеньев).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Контрольная работа №2.

Написать уравнения состояния и построить электронную модель системы, имеющей матрицы состояния:

Решение:

В соответствии с матрицами и уравнения состояния запишем в виде:

Тогда электронная модель с использованием идеальных интеграторов и усилителей будет иметь вид:

Контрольная работа №3.

Начертить блок-схему и написать уравнения состояния системы, описываемой дифференциальным уравнением , где — входная величина; — выходная величина.

Решение:

Разрешим уравнение относительно старшей производной — и составим блок- схему ее получения рис.1

В соответствии с выбранными переменными состояния на рис.2.8 запишем уравнения в нормальной форме

Контрольная работа №4.

Построить л.а.х. и л.ф.х. системы, описываемой передаточной функцией

Решение:

Представим передаточную функцию в виде произведения элементарных звеньев

Низкочастотный участок л.а.х. пойдет с наклоном 0 дБ/дек на уровне 20 100= 40 дБ. Частоты сопряжения для апериодических составляющих будут соответственно и . Фазочастотная характеристика строится в соответствии с уравнением . Ниже представлены графики л.а.х. и л.ф.х., соответствующие заданной передаточной функции.

Контрольная работа №5.

Определить передаточную функцию минимально-фазового устройства, л.а.х. которого представлена ниже

Решение:

Двигаясь по л.а.х. в направлении возрастания частоты определяем, что звено принадлежит к дифференцирующему типу, т.к. наклон низкочастотного участка равен +20дБ/дек (+1). Передаточная функция равна . При частоте излома л.а.х. наклон меняется на -20дБ/дек (-1). Очевидно добавлены два звена с передаточной функцией

Тогда суммарная передаточная функция, соответствующая заданной л.а.х. будет иметь вид

Контрольная работа №6.

Пользуясь правилами структурных преобразований привести представленную на рис.3.4. структурную схему замкнутой многоконтурной системы к одноконтурной и найти передаточные функции:

Решение:

Перед тем, как находить передаточные функции необходимо освободиться от перекрестных связей 1 и 2 на рис.3.4, для чего необходимо перенести или узел, или сумматор с добавлением соответствующих звеньев. Кроме того, целесообразно привести возмущающее воздействие ко входу САУ. Тогда получим схему на рис.3.5.

Пользуясь правилами структурных преобразований свернем внутренние контура и получим одноконтурную замкнутую САУ на рис.3.

Тогда требуемые передаточные функции замкнутой САУ запишем в виде:

Найденные с помощью правил структурных преобразований передаточные функции позволяют достаточно просто определить временные и частотные характеристики, а так же получить качественные и количественные оценки динамики и статики САУ.

Контрольная работа №7.

Определить критический коэффициент усиления Ккр системы, разомкнутая передаточная функция которой

Решение:

Найдем характеристическое уравнение замкнутой системы

Для системы третьего порядка граница устойчивости из определителя (минора) определятся правилом: произведение средних членов характеристического уравнения равно произведению крайних при положительном первом члене, т.е. . Откуда .

Контрольная работа №8.

Определить количество правых корней системы третьего порядка, годограф Михайлова которой имеет вид

Peшeние. Из рисунка видно, что при изменении частоты от 0 до суммарный угол поворота годографа Михайлова равен —. Тогда в соответствии с формулой (4.3)

Откуда число положительных корней = 2.

Контрольная работа №9.

Определить порядки астатизма по управляющему и возмущающему воздействиям САУ, структурная схема которой приведена на рис.5.11.

Решение:

Сначала необходимо привести исходную структурную схеме к одноконтурной, как показано на рис.5.12.

Из рис. 5.12 видно, что при охвате идеального интегратора отрицательной обратной связью получается апериодическое звено 1-го порядка. Поэтому пользуясь правилом определения порядка астатизма, приведенным выше, можно заключить, и по управляющему, и по возмущающему воздействию астатизм равен 1.

Контрольная работа №10.

Определить предельное значение коэффициента передачи нелинейного элемента из условия обеспечения абсолютной устойчивости нелинейной системы, передаточная функция линейной части которой

Решение:

Амплитудно-фазовая характеристика линейной части

Тогда видоизмененная частотная характеристика

Изменяя частоту от 0 до построим видоизмененную частотную характеристику (рис.7.4).

Вся характеристика располагается во втором квадранте, поэтому линию (прямую) Попова предельную (наиболее близко подходящую к началу координат) можно провести через начало координат. В этом случае будет выполнятся условие, что вся видоизмененная а.ф.х. будет

находится справа от прямой Попова. И предельный коэффициент нелинейного элемента находится из условия , т.е. нелинейность для обеспечения абсолютной устойчивости может располагаться в угле .

Контрольная работа №11.

Определить возможную частоту автоколебаний при введении в САУ, имеющей ЛЧХ вида (рис.1), однозначной нелинейности в виде двухпозиционного реле.

Решение:

Известно, что характеристика — однозначного нелинейного элемента (двухпозиционного реле) полностью располагается на отрицательной действительной полуоси, поэтому а.ф.х. линейной части может ее пересечь только при угле -180°. Частота возможных автоколебаний определяется по , а л.ф.х. (рис.7.8) показывает, что фазовый угол сдвига -180° происходит на частоте = 300 рад/с. Это и есть возможная частота автоколебаний при введении в САУ однозначной нелинейности.

Контрольная работа №12.

Изобразить фазовые траектории для нелинейной системы с тремя различными нелинейностями — двухпозиционное реле, трехпозиционное реле с зоной нечувствительности (±0,2) и двухпозиционное реле с гистерезисом (±0,1), если линейная часть имеет передаточную функцию

примем для всех нелинейностей величину сигнала на выходе реле ±2.

Решение:

В соответствии с заданием модель нелинейной системы можно представить в виде рис.7.10.

Модель нелинейной САУ Тогда уравнения состояния (7.9) запишутся в виде

Разделив второе из уравнений на первое, получим уравнение фазовой траектории

В зависимости от того, с какой стороны от линии переключения реле находится изображающая точка, решения дифференциального уравнения будут следующие [2]:

справа от линии переключения при

слева от линии переключения при

для трехпозиционного реле движение изображающей точки в пределах зоны нечувствительности

где — постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. На рис. 7.11 изображены фазовые траектории нелинейной САУ с различными нелинейными элементами. Припасовывание или сшивание участков фазовых траекторий происходит по линиям переключений.

Контрольная работа №13.

На рис.7.13 представлены . Кроме того в нее вводится звено чистого запаздывания. Определить критическое время чистого запаздывания, при котором в нелинейной системе возникают автоколебания.

Решение:

Известно, что звено чистого запаздывания меняет только фазовый сдвиг и не меняет амплитуду сигнала. Ближайшее расстояние АФХ обратной передаточной функции нелинейного элемента от начала координат равно (-1). Модуль АФХ линейной части, равный единице, приобретает свое значение на частоте . Запас по фазе равен . Тогда .

Анализируя фазовые траектории, можно сделать следующие выводы:

при взятых начальных условиях все системы устойчивы. Причем системы с двухпозиционными реле устойчивы «в большом»;
у систем с двухпозиционными реле наблюдаются устойчивые колебания. Абсцисса предельного цикла определяет амплитуду колебаний , а частота может быть определена из ординаты предельного цикла ;
система с трехпозиционным реле с зоной нечувствительности имеет «особый отрезок». Система может после прохождения переходного процесса занять любое значение внутри зоны нечувствительности, как показано на рис.7.11.

Контрольная работа №14.

Определить дискретную передаточную функцию системы, непрерывная часть которой состоит из ПИ — регулятора и нейтрального объекта

а в качестве импульсного элемента используется экстраполятор нулевого порядка и экстраполятор с АИМ 1-го рода. Принять период дискретности , общий коэффициент усиления , постоянную времени , импульсы длительности .

Решение:

В соответствии с формулой (8.7) передаточная функция цифровой системы (экстраполятор нулевого порядка)

В соответствии с таблицами — преобразований [2,6] находим

В соответствии с формулой (8.10) передаточная функция импульсной системы (экстраполятор с АИМ 1-го рода)

В соответствии с таблицами — преобразований находим

Как видим, передаточные функции импульсной системы в значительной степени зависят от вида и параметров экстраполяторов, что необходимо

Контрольная работа №15.

Построить логарифмические частотные характеристики импульсной системы с экстраполятором нулевого порядка, период дискретности которой , а передаточная функция непрерывной части

Решение:

Выбираем частоту среза . В соответствии с заданными постоянными времени для непрерывной части определяем сопрягающую частоту -низкочастотный диапазон.

В соответствии с уравнением (8.18) передаточная функция от псевдочастоты будет иметь вид:

В соответствии с уравнением (8.19) фазочастотная характеристика будет иметь вид:

На рис.8.9 представлены асимптотические ЛЧХ, соответствующие

Коэффициент усиления может быть выбран из условия прохождения среднечастотного участка через с наклоном -20 дБ/дек.

Контрольная работа №16.

Дать заключение об устойчивости импульсной системы, характеристическое уравнение которой

Решение:

Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся билинейным преобразованием, т.е. сделаем подстановку в характеристическое уравнение (8.11)

Тогда получим характеристическое уравнение от

Используя критерий Гурвица на основании линейной ТАУ для системы третьего порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является произведение средних членов характеристического уравнения должно быть больше произведения крайних, т.е. 1113 — 511 = 88>0. Таким образом импульсная система устойчива.

Контрольная работа №17.

Написать разностное уравнение, связывающее выходную координату и входное воздействие импульсной системы, передаточная функция которой

Решение:

В соответствии с дискретной передаточной функцией первоначально надо составить структурную схему в виде одной из форм рис.1. Представим заданную в форме 1

Домножим числитель и знаменатель на . В результате получим

Разностное уравнение имеет вид:

Тогда выходная переменная может быть получена, как (при нулевых начальных условиях)

В соответствии с последним уравнением расчетная структурная схема представлена на рис.8.14

Контрольная работа №18.

Определить скоростную ошибку регулирования импульсной системы при подаче на вход управляющего воздействия если ее разомкнутая передаточная функция

Период квантования .

Решение:

В соответствии с формулой (8.22) и таблицей — преобразований для линейно нарастающего сигнала, получим

Этот результат вполне закономерен, так как система обладает астатизмом второго порядка.

Контрольная работа №19.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы . На САУ подается полезный сигнал и помеха «белый шум» со спектральной плотностью . Определить систематическую ошибку и среднеквадратическую ошибку . Структурная схема представлена на рис.1.

Систематическая ошибка определяется с применением коэффициентов ошибок

Дисперсия ошибки по формуле (9.20)

Для системы второго порядка величина интеграла вычисляется по формуле [2,19]

Из полученных результатов следует, что увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой цепи системы к с одной стороны ведет уменьшению установившегося значения систематической ошибки системы . В тоже время, для уменьшения дисперсии ошибки, вызванной помехой на входе, необходимо, чтобы значение общего коэффициента передачи разомкнутой цепи системы к было минимально.