Оценка качества регулирования по корням характеристического уравнения

12.1. Корневой метод оценки качества управления

Это косвенный метод, основанный на определении границ области расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, что дает возможность приблизительно оценить качество управления.

Пусть имеется дифференциальное уравнение замкнутой САУ:

Передаточная функция САУ

m — нули передаточной функции, p 1 , p 2 . p n — полюса передаточной функции.

Переходный процесс зависит как от полюсов, так и от нулей, то есть определяется как левой, так и правой частями дифференциального уравнения. Это существенно усложняет анализ.

Поэтому рассмотрим частный, но весьма распространенный случай, когда передаточная функция замкнутой САУ не имеет нулей:

Тогда уравнение динамики приобретает вид:

Общее решение данного уравнения имеет вид:

y(t) = y св + y вын = åA _i e pit + bо/a _n .

Время переходного процесса t пп определяется длительностью свободного процесса, который представляет собой сумму n экспоненциально затухающих составляющих (рис.88). Затухание каждой из составляющих определяется вещественной частью соответствующего плюса pi, которая для устойчивых систем должна быть отрицательна. Длительность переходного процесса определяется в основном свободной составляющей, имеющей наименьшее затухание, то есть наименьшее абсолютное значение вещественной части соответствующего полюса.

Если изобразить все полюса в комплексной плоскости корней (рис.89), то данный полюс (или пара комплексно сопряженных полюсов) будет наиболее близко расположен к мнимой оси.

Для приблизительной оценки качества САУ на плоскости корней выделяется область в виде трапеции, на сторонах которой находится хотя бы по одному корню, все остальные корни — внутри данной области. Эта область характеризуется параметрами: h — степень устойчивости (равна расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня или пары комплексно сопряженных корней); m = tg(j) — колебательность (характеризует колебательность переходного процесса и величину перерегулирования); x — своего названия не имеет, равна вещественной части наиболее удаленного от мнимой оси корня.

По степени устойчивости h можно приблизительно вычислить время переходного процесса, которое определяется по моменту, когда свободная составляющая с наименьшим затуханием уменьшится до величины A _i , где A _i — начальное значение данной составляющей, то на рис.84:

y св ₃ (t) = A ₃ = A ₃ = > .

В общем случае, когда передаточная функция замкнутой САУ имеет нули, то использование данного метода может дать большую ошибку. Однако всегда качество управления будет тем лучше, чем больше h и меньше m , поэтому данный метод имеет смысл для любых САУ, но приближенно.

Зная значения h, x, m можно оценить область, за которую кривая переходного процесса выходить не будет (рис.90). Для этого строятся две кривые: u(t,h) — миноранта и v(t,h) — мажоранта, ограничивающая кривую переходного процесса соответственно снизу и сверху так, что u(t,h) e(t) v(t,h) , где e(t) = y _o -y(t) . Формулы для определения миноранты и мажоранты берутся в справочниках для конкретных случаев.

12.2. Интегральные критерии качества

Интегральные критерии позволяют судить о качестве управления путем вычисления интегралов от некоторых функций управляемой величины. Эта функция выбирается таким путем, чтобы значение определенного интеграла от этой функции по времени от 0 до + было однозначно связано с качеством переходного процесса. В то же время данный интеграл должен сравнительно просто вычисляться через коэффициенты уравнений исследуемой системы.

Например, если переходная характеристика является монотонной, то можно утверждать, что качество переходного процесса тем лучше, чем меньше площадь, ограниченная данной кривой и установившимся значением управляемой величины (рис.91). Она равна площади, ограниченной кривой изменения свободной составляющей управляемой величины и осью абсцисс.

Если система устойчива, то свободная составляющая управляемой величины в пределе стремится к нулю, поэтому площадь ограниченная данной кривой имеет конечное значение и определяется по формуле:

J_oo = .

Величина J_oo представляет собой линейную оценку качества управления .

Чем она меньше, тем выше быстродействие системы. При выборе параметров системы стремятся обеспечить минимум J_oo . Если имеется какой то варьируемы параметр A , то можно построить кривую J_oo = f(A) (рис.92). Ее минимум, определяемый из условия dJ_oo/dA = 0 , даст оптимальное значение A .

Пусть дано уравнение динамики замкнутой САУ:

Свободный процесс описывается однородным дифференциальным уравнением:

(a ₀ p n + a ₁ p n-1 + . + a _n )y св = 0,

y св =

J_oo = св(t)dt = .

Пусть при t = 0 САУ имела следующие начальные условия:

y св (0) = y ₀ , = y ₀ ’, . = y ₀ (n-1) .

y св () = 0,() = 0. () = 0,

так как процесс затухает и при t свободная составляющая и все производные становятся равны нулю. Подставляя эти значение, получаем:

То есть линейную оценку качества регулирования можно легко вычислить, зная начальные условия и коэффициенты дифференциального уравнения. Возможны и другие линейные оценки качества, но они используются реже, например:

J ₀₁ = св(t)tdt;

J 0n = св(t)t n dt.

Линейные оценки качества неприменимы при колебательном процессе. Так как площади, ограниченные кривой y св (t) и осью абсцисс складываются с учетом знака, то минимальному значению J_oo может соответствовать процесс с большим числом колебаний и малым быстродействием (рис.93). В этом случае более эффективны квадратичные оценки качества , например,

J 20 = y св 2 (t)dt .

Значение этого интеграла соответствует площади под кривой y св ₂ (t) и осью абсцисс, которая всегда положительна (рис.94).

Выбирая параметры САУ по минимуму J 20 мы приближаем кривую y св (t) к осям координат, что приводит к уменьшению времени регулирования (рис.95). Вывод формулы для вычисления этой оценки сложен, поэтому ограничимся замечанием, что значение вычисляется через коэффициенты дифференциального уравнения a ₀ . a _n ,b ₀ . b _m . При вычислении слагаемых в этой формуле используются определители Гурвица, так что даже расчет по ней сопряжен с определенными трудностями и требует использования ЭВМ или специальных таблиц.

При выборе параметров САУ по минимуму J 20 часто получают нежелательную колебательность процесса, так как приближение y св (t) к оси ординат вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь может вызвать большое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости. Для того, чтобы обеспечить плавность протекания процесса, в квадратичную оценку качества добавляется слагаемое, зависящее от скорости изменения регулируемого параметра y св ’(t). Получаем критерий качества

J ₂₁ = св ₂ (t) + t ₂ (y св ’(t)) ₂ ]dt,

где — некоторая наперед заданная постоянная времени, определяющая весовое соотношение между оценкой по y св и по y св ’. При малых значениях уменьшение колебательности будет незначительным. Завышение увеличит время переходного процесса так, что ее выбор определяется конкретными условиями.

Этот интеграл имеет наименьшее значение, если переходный процесс соответствует экспоненте с постоянной времени (рис.96). Другими словами, по соображениям качества управления следует стремиться к тому, чтобы переходная характеристика замкнутой САУ как можно меньше отличалась от характеристики инерционного звена первого порядка, имеющего наперед заданную постоянную времени , значение которой определяются техническими условиями.

Задача выбора параметров САУ по минимуму J ₂₀ и J 21 решается аналитически только в случае невысокого порядка дифференциального уравнения. Иначе используют ЭВМ.

Как влияет на качество управления близость корня характеристического полинома САУ к мнимой оси комплексной плоскости?
Как влияет на качество управления угол раскрытия трапеции области корней?
Как определить степень устойчивости САУ?
Как определить колебательность САУ?
Как можно вычислить время переходного процесса, зная как расположены корни характеристического полинома на комплексной плоскости?
Как построить мажоранту и миноранту, ограничивающую кривую переходного процесса САУ?
Что называется интегральными критериями качества САУ?
Как определить линейную и квадратичную оценки качества управления?
В чем недостатки линейной и квадратичной оценок качества управления?
Как выглядит оценка качества управления, способствующая приближению кривой переходного процесса к экспоненте?

Оценка качества процессов регулирования

Система может быть устойчивой, т. е. ее переходный процесс носит затухающий характер, но время затухания настолько велико или ошибка в установившемся режиме настолько большая, что практически данная система не может быть использована. Поэтому система должна быть не только устойчивой, но и иметь определенный переходный процесс, а ее ошибки в установившихся режимах не должны превышать допустимых.

Для сравнительного анализа различных автоматических систем необходимо иметь некоторые числовые характеристики этих систем, позволяющие оценивать, какая из них будет более эффективной. Эти числовые характеристики и называются критериями качества.

Критерии качества позволяют дать количественную оценку различным автоматическим системам и тем самым обоснованно подойти к выбору системы и ее закона управления, удовлетворяющему выбранному критерию качества.

Комплекс требований, определяющих поведение автоматической системы в установившихся и переходных процессах отработки заданного воздействия, определяется понятием «качество процесса регулирования» или «качество автоматической системы».

Автоматическая система называется качественной, если она удовлетворяет определенным технологическим требованиям: например, как будет меняться реакция автоматической системы, если на ее вход действуют различного рода возмущения как по каналу управления, так по каналу возмущения, т. е. обеспечивается ли принципиальная возможность прихода автоматической системы в некоторое установившееся состояние. Такое понятие качества автоматической системы охватывает ее статические и динамические свойства, выраженные в количественной форме и получившие название показателей качества автоматического регулирования.

Учитывая большое разнообразие автоматических систем и объектов регулирования, в настоящее время разработано большое число различных критериев, которые, с одной стороны, включают взаимоисключающие требования, а с другой — между показателями качества существует тесная взаимосвязь, поэтому стремление улучшить какой-либо из них может привести к ухудшению другого. Так, например, стремление уменьшить ошибку автоматического регулирования приводит к уменьшению запаса устойчивости и быстродействия и наоборот, или повышение надежности автоматической системы неизбежно приводит к увеличению ее стоимости.

Мы уже знаем, что автоматическая система прежде всего должна быть устойчивой, однако это необходимое, но недостаточное условие для эффективной работы автоматической системы. В устойчивой системе переходный процесс затухает. Однако для практики вовсе не безразличен характер затухания переходного процесса. Так, например, если переходный процесс затухает медленно, и система долго входит в новый установившийся режим, то она обладает недостаточным быстродействием, и, следовательно, ее применение будет ограничено. Поэтому устойчивость является необходимым, но недостаточным условием работоспособности автоматических систем. Достаточным условием является качество процессов регулирования, которое оценивается качеством переходных процессов и ошибками в установившихся режимах.

Оценки качества работы автоматических систем, полученные непосредственно по кривым переходного процесса, называют прямыми. Вычисление всех этих критериев основывается на использовании математического аппарата управления, причем наиболее часто при вычислении критериев качества используются временные и частотные характеристики автоматических систем. Анализ переходных процессов сводится к отысканию общего решения неоднородного дифференциального уравнения, описывающего физические процессы в автоматической системе при заданных начальных условиях и известных внешних воздействиях, а также к анализу влияния изменения параметров автоматической системы на вид этого решения. Следует отметить, что аналитическое решение уравнений требует вычисления корней характеристического уравнения и вычисления постоянных интегрирования, что для уравнений выше третьего порядка невозможно.

Поэтому применяют приближенные методы анализа переходных процессов, не требующие, так же как и при исследовании устойчивости автоматических систем, непосредственного решения дифференциальных уравнений. Чаще всего при анализе качества работы автоматических систем требуется лишь установить, находится ли переходный процесс внутри области допустимых значений регулируемой величины или выходит за ее пределы. Оценки, получаемые этим методом, называют косвенными.

Прямые показатели качества переходных процессов. Качество переходных процессов обычно оценивают по переходной функции, которая представляет собой реакцию автоматической системы на внешнее воздействие типа единичного скачка. На примере переходной функции познакомимся с основными показателями качества переходного процесса:
1. Ошибка регулирования;
2. Время регулирования;
3. Перерегулирование;
4. Степень колебательности;
5. Количество колебаний.

Использование того или иного показателя работы автоматической системы или их комбинации в виде критериев качества определяется удобством его применения в системах автоматического регулирования, а также, в известной мере, сложившимися традициями.

Ошибка регулирования равна разности между требуемым и действительным значениями регулируемой величины e (t) = x (t) — y (t). Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы объекта регулирования позволяет наиболее полно судить о свойствах автоматической системы. Однако в действительности, вследствие случайности задающего и возмущающего воздействий, такой подход не может быть реализован. В практике анализа автоматических систем используется метод исследования в различных типовых режимах.

В качестве первого из типовых режимов рассматривается установившееся состояние при постоянных значениях задающего и возмущающего воздействий. Ошибка автоматической системы в этом случае называется статической. Величина ошибки может быть найдена из общего выражения e (t) = x (t) — y (t).

Для статических автоматических систем определяется абсолютное e и относительное d значения ошибки регулирования. Относительное значение ошибки регулирования можно вычислить по выражению

Для астатических автоматических систем пользуются правилом, которое позволяет установить, устраняет ли астатический регулятор статическую ошибку от какого-либо либо возмущения. Для выполнения этого необходимо, чтобы интегрирующее звено было включено в цепь регулирования до места приложения данного возмущения. Это объясняет тот факт, что включение интегрирующих элементов и повышение степени астатизма не дает возможности устранить ошибку чувствительного элемента, которую можно рассматривать как возмущение.

В качестве второго типового режима используется режим движения с постоянной скоростью v = const, который будет наблюдаться в установившемся состоянии при задающем воздействии, изменяющимся по закону x (t) = v t и при постоянных значениях возмущающих воздействий. Этот режим преимущественно применяется в следящих системах и системах программного регулирования.

Третьим типовым режимом является установившееся движение с постоянным ускорением a = const. В этом случае задающее воздействие меняется по закону

Возмущающее воздействие принимается постоянным. Этот режим практически используется только в следящих системах и системах программного регулирования.

Четвертым типовым режимом является движение по гармоническому закону. Такой режим используется весьма часто, так как он позволяет наиболее полно оценить динамические свойства автоматической системы. Задающее воздействие изменяется по закону

В зависимости от конкретного вида автоматической системы возмущающие воздействия в рассматриваемом режиме могут оставаться постоянными или изменяться во времени.

Во всех режимах в зависимости от постоянства или изменения возмущающих воздействий появляется некоторая абсолютная e (t) или относительная d (t) постоянная ошибка. Более вероятным является случай, когда возмущающие воздействия при движении автоматической системы в этом режиме меняются во времени. то объясняется тем, что при движении по гармоническому закону непрерывно будет меняться направление движения автоматической системы, а следовательно, одновременно будет меняться напрявление действующих в автоматической системе сил сухого трения. Этот случай является довольно сложным, и он может рассматриваться только в приложении к конкретным автоматическим системам.

Время регулирования tp определяется длительностью переходного процесса. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, однако практически считают, что он заканчивается, как только отклонение регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать допустимых пределов |у (t) — ууст |

Оценка качества регулирования по корням характеристического уравнения

Корневые критерии качества переходных процессов

Эта группа критериев основана на оценке качества переходных процессов по значениям полюсов и нулей передаточной функции системы между интересующими нас входами и выходами системы.

Как известна, переходная характеристика системы может быть определена следующим образом

где корни характеристического уравнения системы

Очевидно, что на характер переходного процесса оказывает влияние и числитель и знаменатель передаточной функции. Но, в большинстве случаев, при анализе систем по реакции на управляющее воздействие, не имеет корней, то есть передаточная функция не имеет нулей. Тогда характер переходного процесса можно оценить только по полюсам передаточной функции, подвергая тем самым анализу корни характеристического уравнения системы

В случае приближенной оценки качества по корням характеристического уравнения на комплексной плоскости выделяют область расположения корней, границы которой задаются по требованиям к качеству процессов, как это показано на рис. 1.

Границы области, показанной на рис. 1, задаются следующими параметрами:

критерий длительности переходного процесса,

колебательность переходного процесса, определяется по ,

максимальное удаление корня от мнимой оси.

Рассмотрим эти параметры.

Критерий длительности определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего действительного корня или ближайшей пары комплексно сопряженных корней.

Выясним, действительно ли этот параметр характеризует длительность переходного процесса? Возможны два случая расположения корней на границе области.

Пусть ближайшим к мнимой оси, то есть лежащий на границе области, будет действительный корень

тогда соответствующая ему компонента переходного процесса, в соответствии с (1) будет иметь вид

где — коэффициент разложения (1).

Если ближайшей к мнимой оси будет комплексно-сопряженная пара корней

тогда соответствующая им компонента переходного процесса, в соответствии с (1) будет иметь вид

где — частота колебаний.

Из (3) и (4) мы видим, что время затухание компоненты определяет сомножитель

где величина минимального действительного корня или минимальной действительной части корней, соответствующая , наибольшая постоянная времени. Таким образом, можно считать, что переходный процесс системы завершится не раньше, чем затухнет компонента . Следовательно, определяет длительность переходного процесса, будучи величиной, обратно пропорциональной времени регулирования. Зная , мы можем оценить время регулирования или переходного процесса по следующему соотношению

где половина ширины области, при попадании в которую переходной процесс считается завершенным. Если , а крайний корень действительный, то имеем

Критерий колебательности определяется по углу следующим образом

где соответственно действительная и мнимая части комплексно сопряженной пары корней расположенных на границе области (см. рис. 1). При увеличении возрастает колебательность системы.

Дальнюю от мнимой оси границу области , определяют корни, оказывающие предельно малое влияние на переходный процесс.

При прочих равных условиях от системы требую увеличения и снижения .

В качестве примера влияния расположения корней на характер переходных процессов покажем графики, представленные на рис. 2 и 3.

Рис. 2

Рис. 3

Если передаточная функция системы имеет нули, то оценка качества системы только по полюсам может дать существенную погрешность.

Чтобы пояснить характер влияния нулей на качество переходных процессов, представим систему следующим образом, как это показано на рис. 4.

Конкретизируем задачу, пусть

а имеет вид, показанный на рис. 5. При этом рассмотрим два варианта графика:

Из рассмотрения рис. 5 можно сделать вывод, что члены с положительными коэффициентами приводят к повышению колебательности и быстродействия, а отрицательные коэффициенты затягивают переходный процесс.

В тех случаях, когда требуется получить желаемый вид переходного процесса, используют методы, основанные на связи коэффициентов характеристического уравнения системы или его корней с видом переходного процесса, с заданными динамическими показателями.

Рассмотрим характеристическое уравнение вида

По формулам Виета определяется как сумма всех корней уравнения, сумма произведений всех пар корней, сумма произведений всех троек корней и т. д., а определяется как произведение всех корней уравнения

Теперь, если мы сможем задать расположение корней на комплексной плоскости, исходя из требований качества динамики, то по формулам Виета можно найти значения коэффициентов характеристического уравнения, которые связаны с параметрами системы.

Обратим особое внимание на коэффициент , чем больше , то, при прочих равных условиях, больше действительные части корней, следовательно, быстрее переходный процесс. Если корни действительные и кратные, тогда

где носит название среднегеометрического корня характеристического уравнения.

Тогда уравнение (6) с учетом (7) имеет вид

На комплексной площади расположения корней характеристического уравнения определяет точку на действительной оси геометрический центр всех корней системы, а коэффициенты определяют взаимное расположение корней. При этом легко показать, что определяют кривую переходного процесса в относительном времени , а величина определяет масштаб времени для этого процесса.

На практике рассмотренный выше подход используют следующим образом:

Для конкретной системы определяют требуемый вид переходного процесса.

Для обеспечения заданных требований выбирают из имеющихся в справочной литературе предварительно рассчитанные значения коэффициентов характеристического уравнения, тем самым выбирается «желаемое» характеристическое уравнение

Определяют характеристическое уравнение по структуре и параметрам системы

где коэффициенты, функционально связанные с параметрами системы.

Получают систему алгебраических уравнений, приравняв коэффициенты уравнений (8) и (9) при одинаковых степенях оператора Лапласа

Решают систему (10) относительно изменяемых параметров системы (параметров регуляторов), что позволяет определить параметры, обеспечивающие заданный вид и качество переходного процесса.

Описанный выше алгоритм часто называют методом стандартных коэффициентов или стандартного расположения корней характеристического уравнения системы управления. Рассмотрим в качестве иллюстрации два стандартных расположения корней, которые наиболее распространенны в системах управления электромеханическими приводами различных установок.

Биномиальное распределение корней

Биномиальное распределение корней используют для обеспечения заданного быстродействия при монотонности переходных процессов. Стандартное биномиальное характеристическое уравнение имеет вид

В этом случае имеем кратных действительных корней с отрицательной действительной частью, равной . Вид переходных процессов для от 1 до 4 показан на рис. 6. Характеристические уравнения для этих случаев имеют вид

Корректным является сопоставление системы автоматического управления и идеальным фильтром низкой частоты (ФНЧ), когда для полосы пропускания системы (НЧ) требуют максимальной горизонтальности ЛАЧХ, что обеспечивает пропускание без искажений сигналов управления. Для диапазона высоких частот (ВЧ) требуют максимального подавления сигнала, так как это диапазон сигналов помех. Рис. 7 иллюстрирует приближение желаемой характеристики системы к характеристике «идеального» фильтра низкой частоты.

Распределение корней по Баттерворту обеспечивает компромисс между этими требованиями, достигая высокой равномерности в полосе пропускания НЧ при приемлемой крутизне характеристики в полосе подавления ВЧ.

При этом корни характеристического уравнения располагаются на комплексной плоскости, на окружности с радиусом и угловым расстоянием между корнями , симметрично относительно действительной оси, как это показано на рис. 8.

Вид переходных процессов для от 1 до 4 показан на рис. 9.

Характеристические уравнения и параметры переходного процесса для этих случаев имеют вид

Сравнение переходных характеристик показывает, что распределение Баттерворта обеспечивает более высокое, чем биномиальное распределение, быстродействие с малым перерегулированием и колебательностью.

Контрольные вопросы и задачи

Как объяснить влияние на переходные процессы корней характеристического уравнения?

Какую компоненту переходного процесса дает отрицательный действительный корень характеристического уравнения?

Какие компоненты переходного процесса дают комплексно сопряженные корни характеристического уравнения?

Что определяют корни характеристического уравнения ближе всего расположенные к мнимой оси комплексной плоскости?

Как связана с быстродействием системы величина среднегеометрического корня характеристического уравнения?

Какое влияние оказывает на переходный процесс нули передаточной функции?

В каких случаях следует использовать на настройки системы биномиальное распределение корней характеристического уравнения?

В каких случаях следует использовать на настройки системы распределение корней характеристического уравнения Баттерворта?

Определите коэффициенты характеристического уравнения с биномиальным распределением корней для системы управления третьего порядка, если требуемое время регулирования .

Желаемое характеристическое уравнение имеет вид

Определите коэффициенты характеристического уравнения с распределением корней по Баттерворту для системы управления четвертого порядка, если требуемое время регулирования .

Желаемое характеристическое уравнение имеет вид

источники:

http://pandia.ru/text/78/172/74713.php

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/20.html