Оценка параметров линейных уравнений регрессии
Спецификация модели
+наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов
-раздел экономической теории, связанный с анализом статистической информации
-специальный раздел математики, посвященный анализу экономической информации
-наука, которая осуществляет качественный анализ взаимосвязей экономических явлений и процессов
#Основной задачей эконометрики является…
+исследование взаимосвязей экономических явлений и процессов
-отражение особенностей социального развития общества
-установление связей между различными процессами в обществе и технических процессом
— анализ технического прогресса на примере социально–экономических показателей
#При выборе спецификации модели парная регрессия используется в случае, когда …
+среди множества факторов, влияющих на результат можно выделить доминирующий фактор
-среди множества факторов, влияющих на результат нельзя выделить доминирующий фактор
-среди множества факторов, влияющих на результат можно выделить несколько факторов
-среди множества факторов, влияющих на результат можно выделить лишь случайные факторы
#Объем выборки должен превышать число рассчитываемых параметров при исследуемых факторах …
#К ошибкам спецификации относится …
+неправильный выбор той или иной математической функции
-однородность выбранной совокупности
-учет в модели случайных факторов
— учет в модели существенных факторов
#Относительно формы зависимости различают …
+линейную и нелинейную регрессии
-простую и множественную регрессии
-непосредственную и косвенную регрессии
-положительную и отрицательную регрессии
#Относительно количества факторов, включенных в уравнение регрессии различают …
+простую и множественную регрессии
-линейную и нелинейную регрессии
-непосредственную и косвенную регрессии
— множественную и многофакторную регрессии
#Простая линейная регрессия предполагает …
+наличие одного фактора и линейность уравнения регрессии
-наличие двух и более факторов и линейность уравнения регрессии
-наличие одного фактора и нелинейность уравнения регрессии
-наличие двух и более факторов и нелинейность уравнения регрессии
#Объем выборки определяется …
+числом параметров при независимых переменных
-числом результативных переменных
-объемом генеральной совокупности
-числовыми значениями переменных отбираемых в выборку
#Дано уравнение регрессии . Определите спецификацию модели.
+линейное уравнение множественной регрессии
-линейное уравнение простой регрессии
-полиномиальное уравнение множественной регрессии
— полиномиальное уравнение парной регрессии
#Выбор формы зависимости экономических показателей и определение количества факторов в модели называется _____________ эконометрической модели.
#Коэффициент парной корреляции характеризует …
+тесноту линейной связи между двумя переменными
-тесноту нелинейной связи между двумя переменными
-тесноту линейной связи между несколькими переменными
-тесноту нелинейной связи между несколькими переменными
#Мультиколлинеарность факторов эконометрической модели подразумевает …
+наличие линейной зависимости между более чем двумя факторами
-наличие линейной зависимости между двумя факторами
-отсутствие зависимости между факторами
-наличие нелинейной зависимости между двумя факторами
#Взаимодействие факторов эконометрической модели означает, что …
+факторы дублируют влияние друг друга на результат
-влияние одного из факторов на результирующий признак не зависит от значений другого фактора
-влияние факторов на результирующий признак усиливается, начиная с определенного уровня значений факторов
— влияние факторов на результирующий признак зависит от значений другого неколлинеарного им фактора
#Отбор факторов в модель множественной регрессии при помощи метода включения основан на сравнении значений …
+остаточной дисперсии до и после включения фактора в модель
-общей дисперсии до и после включения фактора в модель
-дисперсии до и после включения результата в модель
-остаточной дисперсии до и после включения случайных факторов в модель
#Величина остаточной дисперсии при включении существенного фактора в модель …
— будет равна нулю
#В матрице парных коэффициентов корреляции отображены значения парных коэффициентов линейной корреляции между …
-параметрами и переменными
-переменными и случайными факторами
#Матрица парных коэффициентов корреляции строится для выявления коллинеарных и мультиколлинеарных …
#Факторы эконометрической модели являются коллинеарными, если коэффициент …
+корреляции между ними по модулю больше 0,7
-детерминации между ними по модулю больше 0,7
-корреляции между ними по модулю меньше 0,7
-детерминации между ними по модулю меньше 0,7
#Из пары коллинеарных факторов в эконометрическую модель включается тот фактор …
+который при достаточно тесной связи с результатом имеет меньшую связь с другими факторами
-который при который при отсутствии связи с результатом имеет меньшую связь с другими факторами
-который при отсутствии связи с результатом имеет максимальную связь с другими факторами
-который при достаточно тесной связи с результатом имеет наибольшую связь с другими факторами
#Величина коэффициента детерминации при включении существенного фактора в эконометрическую модель …
-существенно не изменится
— будет равна нулю
#Основным требованием к факторам, включаемым в модель множественной регрессии, является …
+отсутствие взаимосвязи между факторами
-наличие тесной взаимосвязи между факторами
-отсутствие взаимосвязи между результатом и фактором
-отсутствие линейной взаимосвязи между факторами
#Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются …
+качественные переменные, преобразованные в количественные
-дополнительные количественные переменные, улучшающие решение
-комбинации из включенных в уравнение регрессии факторов, повышающие адекватность модели
-переменные, представляющие простейшие функции от уже включенных в модель переменных
#В качестве фиктивных переменных в модель множественной регрессии включаются факторы, …
+не имеющие количественных значений
-имеющие количественные значения
-не имеющие качественных значений
— имеющие вероятностные значения
#При включении фиктивных переменных в модель им присваиваются …
#Исходные значения фиктивных переменных предполагают значения …
#Проводится исследование зависимости выработки работника предприятия от ряда факторов. Примером фиктивной переменной в данной модели будет являться ____________ работника
#Строится модель зависимости спроса от ряда факторов. Фиктивной переменной в данном уравнении множественной регрессии не является __________ потребителя
#Факторные переменные уравнения множественной регрессии, преобразованные из качественных в количественные называются …
#Фиктивные переменные включаются в уравнение множественной регрессии для учета действия на результат признаков …
#Фиктивные переменные включаются в уравнения __________ регрессии
#Одним из методов присвоения числовых значений фиктивным переменным является …
-нахождение среднего значения
-выравнивание числовых значений по убыванию
-выравнивание числовых значений по возрастанию
#Методом присвоения числовых значений фиктивным переменным не является …
+нахождение среднего значения
-присвоение цифровых меток
-присвоение количественных значений
#Величина коэффициента регрессии показывает …
+среднее изменение результата при изменении фактора на одну единицу
-характер связи между фактором и результатом
-тесноту связи между фактором и результатом
-тесноту связи между исследуемыми факторами
#Величина параметра a в уравнении парной линейной регрессии характеризует значение…
+результирующей переменной при нулевом значении фактора
-факторной переменной при нулевом значении результата
-результирующей переменной при нулевом значении случайной величины
-факторной переменной при нулевом значении случайного фактора
#Уравнение регрессии, которое связывает результирующий признак с одним из факторов при зафиксированном на среднем уровне значении других переменных называется …
#В линейном уравнении парной регрессии коэффициентом регрессии является значение…
#Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид . Определите какой из факторов или оказывает более сильное влияние на у.
+по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как коэффициенты регрессии несравнимы между собой
— , так как 2,5 > -3,7
— , так как 3,7 > 2,5
-оказывают одинаковое влияние
#В стандартизованном уравнении множественной регрессии ; . Определите какой из факторов х1 или х2 оказывает более сильное влияние на у.
+ , так как 2,1 > 0,3
— , так как 0,3 > -2,1
-по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как стандартизованные коэффициенты регрессии несравнимы между собой
-по этому уравнению нельзя ответить на поставленный вопрос, так как неизвестны значения «чистых» коэффициентов регрессии
#Построена модель парной регрессии зависимости предложения от цены . Влияние случайных факторов на величину предложения в этой модели учтено посредством …
+случайной величины ε
-посредством константы ε
-случайной величины x
-посредством параметра b
#Для модели зависимости дохода населения (р.) от объема производства (млн. р.) получено уравнение у = 0,003х + 1200 + ε. При изменении объема производства на 1 млн. р. доход в среднем изменится на …
#В стандартизованном уравнении множественной регрессии переменными являются …
-средние значения исходных переменных
#Показатель, характеризующий на сколько сигм изменится в среднем результат при изменении соответствующего фактора на одну сигму, при неизменном уровне других факторов называется __________ коэффициентом регрессии
#В стандартизованном уравнении свободный член …
-равен коэффициенту множественной корреляции
-равен коэффициенту множественной детерминации
Оценка параметров линейных уравнений регрессии
#Метод наименьших квадратов используется для оценивания …
+параметров линейной регрессии
-величины коэффициента корреляции
-величины коэффициента детерминации
-средней ошибки аппроксимации
#Метод наименьших квадратов не применимдля …
+уравнений нелинейных по оцениваемым параметрам
-линейных уравнений множественной регрессии
-линейных уравнений парной регрессии
-полиномиальных уравнений множественной регрессии
#В основе метода наименьших квадратов лежит …
+минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений
-равенство нулю суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений
-максимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений
-минимизация суммы квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его средних значений
#Систему МНК, построенную для оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно решить …
-методом первых разностей
-методом скользящего среднего
#В исходном соотношении МНК сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений …
-приравнивается к нулю
-приравнивается к системе нормальных уравнений
#Метод наименьших квадратов позволяет оценить _____________ уравнений регрессии
-параметры и переменные
-переменные и случайные величины
#Оценки параметров уравнений регрессии при помощи метода наименьших квадратов находятся на основании решения …
+решения системы нормальных уравнений
-решения двойственной задачи
-решения уравнения регрессии
-решения системы нормальных неравенств
#Оценки параметров линейного уравнения множественной регрессии можно найти при помощи метода …
+метода наименьших квадратов
-метода наибольших квадратов
-метода средних квадратов
-метода нормальных квадратов
#Метод наименьших квадратов применяется для оценки …
+параметров линейных уравнений регрессии
-качества линейных уравнений регрессии
-уравнений регрессии, нелинейных по параметрам
-качества уравнений, нелинейных по параметрам
#Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов строится на основании …
+таблицы исходных данных
-предсказанных значений результативного признака
-отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений
-отклонений фактических значений объясняющей переменной от ее теоретических значений
#Требованием к уравнениям регрессии, параметры которых можно найти при помощи МНК является …
-равенство нулю средних значений результативной переменной
-равенство нулю средних значений факторного признака
#Несмещенность оценки характеризует …
+равенство нулю математического ожидания остатков
-наименьшую дисперсию остатков
-увеличение точности ее вычисления с увеличением объема выборки
-ее зависимость от объема выборки
#Если оценка параметра эффективна, то это означает …
+наименьшую дисперсию остатков
-равенство нулю математического ожидания остатков
-максимальную дисперсию остатков
-уменьшение точности с увеличением объема выборки
#Состоятельность оценки характеризуется .
+увеличением ее точности с увеличением объема выборки
-независимостью от объема выборки значения математического ожидания остатков
-уменьшением ее точности с увеличением объема выборки
-зависимостью от объема выборки значения математического ожидания остатков
#Несмещенность оценки на практике означает …
+что при большом числе выборочных оцениваний остатки не будут накапливаться
-что найденное значение коэффициента регрессии нельзя рассматривать как среднее значение из возможного большого количества несмещенных оценок
-невозможность перехода от точечного оценивания к интервальному
-уменьшение точности с увеличением объема выборки
#Эффективность оценки на практике характеризуется …
+возможностью перехода от точечного оценивания к интервальному
-отсутствием накапливания значений остатков при большом числе выборочных оцениваний
-невозможностью перехода от точечного оценивания к интервальному
-уменьшением точности с увеличением объема выборки
#Свойствами оценок МНК являются …
+эффективность, состоятельность и несмещенность
-эффективность, состоятельность и смещенность
-эффективность, несостоятельность и смещенность
-эффективность, несостоятельность и несмещенность
#Увеличение точности оценок с увеличением объема выборки описывает свойство _______ оценки.
#Математическое ожидание остатков равно нулю, если оценки параметров обладают свойством …
#Минимальная дисперсия остатков характерна для оценок, обладающих свойством …
#Переход от точечного оценивания к интервальному возможен, если оценки являются …
+ эффективными и несмещенными
-эффективными и несостоятельными
-неэффективными и состоятельными
-состоятельными и смещенными
#При примени метода наименьших квадратов исследуются свойства …
+оценок параметров уравнения регрессии
-оценок переменных уравнения регрессии
-оценок случайных величин уравнения регрессии
-оценок переменных и параметров уравнения регрессии
+одинаковую дисперсию остатков при каждом значении фактора
-рост дисперсии остатков с увеличением значения фактора
-уменьшение дисперсии остаток с уменьшением значения фактора
-максимальную дисперсию остатков при средних значениях фактора
#Предпосылкой метода наименьших квадратов является то, что…
+остаточные величины имеют случайный характер
-остаточные величины имеют неслучайный характер
-при увеличении моделируемых значений результативного признака значение остатка увеличивается
-при уменьшении моделируемых значений результативного признака значение остатка уменьшается
+зависимость дисперсии остатков от значения фактора
-постоянство дисперсии остатков независимо от значения фактора
-независимость математического ожидания остатков от значения фактора
-зависимость математического ожидания остатков от значения фактора
#Предпосылкой метода наименьших квадратов является то, что остатки…
+подчиняются закону нормального распределения
-не подчиняются закону нормального распределения
-подчиняются закону больших чисел
-не подчиняются закону больших чисел
#Предпосылки метода наименьших квадратов исследуют поведение …
-параметров уравнения регрессии
-переменных уравнения регрессии
#Предпосылкой метода наименьших квадратов является …
+отсутствие автокорреляции в остатках
-присутствие автокорреляции в остатках
-отсутствие корреляции между результатом и фактором
-присутствие автокорреляции между результатом и фактором
#Предпосылкой метода наименьших квадратов не является условие …
+неслучайного характера остатков
-отсутствия автокорреляции в остатках
-случайного характера остатков
#Случайный характер остатков предполагает …
+независимость остатков от величины предсказанных по модели значений результативного признака
-зависимость остатков от величины предсказанных по модели значений результативного признака
-зависимость предсказанных по модели значений результативного признака от значений факторного признака
-независимость предсказанных по модели значений результативного признака от значений факторного признака
#Отсутствие автокорреляции в остатках предполагает, что значения ______ не зависят друг от друга
#Оценки параметров, найденные при помощи метода наименьших квадратов обладают свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности, если предпосылки метода наименьших квадратов …
-можно не учитывать
#Если предпосылки метода наименьших квадратов нарушены, то …
+оценки параметров могут не обладать свойствами эффективности, состоятельности и несмещенности
-коэффициент регрессии является несущественным
-коэффициент корреляции является несущественным
-полученное уравнение статистически незначимо
#Обобщенный метод наименьших квадратов применяется в случае…
#Обобщенный метод наименьших квадратов используется для корректировки…
+гетероскедастичности остатков в уравнении регрессии
-автокорреляции между независимыми переменными
-параметров нелинейного уравнения регрессии
-точности определения коэффициента множественной корреляции
#Обобщенный метод наименьших квадратов подразумевает …
-линеаризацию уравнения регрессии
-двухэтапное применение метода наименьших квадратов
-переход от множественной регрессии к парной
#Обобщенный метод наименьших квадратов рекомендуется применять в случае …
-нормально распределенных остатков
-автокорреляции результативного признака
#При применении метода наименьших остатков уменьшить гетероскедастичность остатков удается путем …
-введения дополнительных факторов в модель
-введения дополнительных результатов в модель
#На основании преобразования переменных при помощи обобщенного метода наименьших квадратов получаем новое уравнение регрессии, которое представляет собой …
+взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами
-нелинейную регрессию, в которой переменные взяты с весами
-взвешенную регрессию, в которой переменные взяты с весами
-нелинейную регрессию, в которой переменные взяты с весами
#Обобщенный метод наименьших квадратов не используется для моделей с _______ остатками
-автокоррелярованными и гетероскедастичными
#Что преобразуется при применении обобщенного метода наименьших квадратов?
+исходные уровни переменных
-дисперсия результативного признака
-дисперсия факторного признака
-стандартизованные коэффициенты регрессии
#Обобщенный метод наименьших квадратов отличается от обычного МНК тем, что при применении ОМНК…
+преобразуются исходные уровни переменных
-уменьшается количество наблюдений
-остатки приравниваются к нулю
-остатки не изменяются
#После применения обобщенного метода наименьших квадратов удается избежать ______ остатков
-равенства нулю суммы
#Метод оценки параметров моделей с гетероскедастичными остатками называется …методом наименьших квадратов
Оценка параметров линейного регрессионного уравнения
Для оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности. Сущность данного метода заключается в нахождении параметров модели (α, β), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:
В итоге получаем систему нормальных уравнений:
Эту систему можно записать в виде:
Решая данную систему линейных уравнений с двумя неизвестными получаем оценки наименьших квадратов:
В уравнениях регрессии параметр α показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов, а параметр β – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу.
Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:
где – коэффициент регрессии в уравнении связи;
– среднее квадратическое отклонение соответствующего статистически существенного факторного признака.
Имеются следующие данные о размере страховой суммы и страховых возмещений на автотранспортные средства одной из страховых компаний.
Зависимость между размером страховых возмещений и страховой суммой на автотранспорт
Объем страхового возмещения (тыс.долл.), Yi
Стоимость застрахованного автомобиля (тыс.долл.), X i
Оценка параметров уравнения регреcсии. Пример
Задание:
По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматриваются функции издержек:
y = α + βx;
y = α x β ;
y = α β x ;
y = α + β / x;
где y – затраты на производство, тыс. д. е.
x – выпуск продукции, тыс. ед.
Требуется:
1. Построить уравнения парной регрессии y от x :
- линейное;
- степенное;
- показательное;
- равносторонней гиперболы.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и коэффициент детерминации. Сделать выводы.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом.
4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
5. Выполнить прогноз затрат на производство при прогнозном выпуске продукции, составляющем 195 % от среднего уровня.
6. Оценить точность прогноза, рассчитать ошибку прогноза и его доверительный интервал.
7. Оценить модель через среднюю ошибку аппроксимации.
1. Уравнение имеет вид y = α + βx
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения
Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая
Уравнение регрессии
Коэффициент детерминации
R 2 =0.94 2 = 0.89, т.е. в 88.9774 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая
x | y | x 2 | y 2 | x ∙ y | y(x) | (y- y ) 2 | (y-y(x)) 2 | (x-x p ) 2 |
78 | 133 | 6084 | 17689 | 10374 | 142.16 | 115.98 | 83.83 | 1 |
82 | 148 | 6724 | 21904 | 12136 | 148.61 | 17.9 | 0.37 | 9 |
87 | 134 | 7569 | 17956 | 11658 | 156.68 | 95.44 | 514.26 | 64 |
79 | 154 | 6241 | 23716 | 12166 | 143.77 | 104.67 | 104.67 | 0 |
89 | 162 | 7921 | 26244 | 14418 | 159.9 | 332.36 | 4.39 | 100 |
106 | 195 | 11236 | 38025 | 20670 | 187.33 | 2624.59 | 58.76 | 729 |
67 | 139 | 4489 | 19321 | 9313 | 124.41 | 22.75 | 212.95 | 144 |
88 | 158 | 7744 | 24964 | 13904 | 158.29 | 202.51 | 0.08 | 81 |
73 | 152 | 5329 | 23104 | 11096 | 134.09 | 67.75 | 320.84 | 36 |
87 | 162 | 7569 | 26244 | 14094 | 156.68 | 332.36 | 28.33 | 64 |
76 | 159 | 5776 | 25281 | 12084 | 138.93 | 231.98 | 402.86 | 9 |
115 | 173 | 13225 | 29929 | 19895 | 201.86 | 854.44 | 832.66 | 1296 |
0 | 0 | 0 | 16.3 | 20669.59 | 265.73 | 6241 | ||
1027 | 1869 | 89907 | 294377 | 161808 | 1869 | 25672.31 | 2829.74 | 8774 |
Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(1) = 4.01*1 + 99.18 = 103.19
y(2) = 4.01*2 + 99.18 = 107.2
. . .
2. Оценка параметров уравнения регрессии
Значимость коэффициента корреляции
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;α/2) = (11;0.05/2) = 1.796
Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически — значим.
Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии
S a = 0.1712
Доверительные интервалы для зависимой переменной
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 1
(-20.41;56.24)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика
Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается
Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими (tтабл=1.796):
(a — tтабл·Sa; a + tтабл·S a)
(1.306;1.921)
(b — tтабл·S b; b + tтабл·Sb)
(-9.2733;41.876)
где t = 1.796
2) F-статистики
Fkp = 4.84
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
http://einsteins.ru/subjects/statistika/teoriya-statistika/ocenka-parametrov
http://math.semestr.ru/corel/prim4.php