Овсянников групповые свойства дифференциальных уравнений

Овсянников групповые свойства дифференциальных уравнений

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX века Софуса Ли (1842–1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений — была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.

Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 1958–1962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, — описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп — обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований (см. книги [7], [9] и обзор [10]). Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.

К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. Странность положения усугубляется тем, что в настоящее время разработаны и ждут применения новые мощные методы группового анализа. Поэтому знакомство с классическими его основами и современными методами становится важным элементом математической культуры для тех, кто имеет дело с построением и изучением математических моделей задач естествознания. Для этого наряду с имеющимися монографиями по групповому анализу нужен учебник, рассчитанный на широкую аудиторию и пригодный для первоначального ознакомления с предметом.

Данная брошюра, по замыслу автора, и должна сыграть роль такого учебника. При её чтении рекомендуется тщательно разобрать примеры и прорешать предлагаемые упражнения, так как групповой анализ относится к одной из тех областей, которые необходимо изучать на примерах. Сюда в полной мере относятся слова И. Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила». Недостаточно лишь формально знать теорию групп, ею надо овладевать творчески, решая многочисленные упражнения и нестандартные задачи.

При работе над этой брошюрой основным источником послужили работы С. Ли, в частности его книга [8]. Хорошее представление о работах Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям и о его манере мышления можно получить по статье [5] Л. Диксона — одного из бывших слушателей

Поучительный пример. Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двухмерной алгебры. Пример реализации алгоритма. Cherchez le groupe. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки линеаризуемости. Заключительные замечания Определение и примеры. Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи. Сферические функции. Групповой штрих к методу Римана ОПЫТ Предисловие 3 Глава первая . Исходные понятия и алгоритмы 3 Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли Глава вторая . Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу 12 Глава третья . Групповая классификация уравнений второго порядка 21 Глава четвертая . Инвариантные решения 28 Литература 42 Приложение 43

Эта брошюра является продолжением «Азбуки группового анализа» и связана с ней единством замысла — дать общедоступное изложение теории Ли дифференциальных уравнений. Я стремился свести до минимума подготовительные теоретические построения и привести читателя к методам решения дифференциальных уравнений кратчайшим путём. Ибо как начинающему купальщику невозможно нырнуть вместе с надувным кругом, так отягощённое трактатностью и подчёркнутой строгостью изложение мало способствует погружению в необычный мир группового анализа.

Для первоначального ознакомления с предметом достаточно прочесть первые две главы. В первой главе собраны ключевые понятия группового анализа и сформулированы в виде теорем те факты, которые лежат в основе используемых алгоритмов. Этот раздел поможет читателю быстро научиться вычислять допускаемую группу и освоиться с другими простыми приёмами группового анализа. Во второй главе изложена основная схема Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений методом теории групп. Ограничение уравнениями второго порядка вызвано не существом метода, а стремлением сосредоточиться на конкретном материале и привести к исчерпывающим результатам.

Остальные главы предназначены для желающих углубиться в предмет. Заинтересовавшийся читатель может перейти далее к изучению специальной литературы, указанной в библиографии.

которая поможет заинтересованному читателю более подробно ознакомиться с теоретическими вопросами группового анализа, многообразием приложений и современным развитием, а также с биографией Софуса Ли.

1. Э.Л.Айнс . Обыкновенные дифференциальные уравнения . — Харьков: ОНТИ, 1939. — Гл. IV. — С. 127–153.
2. В.А.Байков , Р.К.Газизов , Н.X.Ибрагимов . Приближённые симметрии // Матем. сб. — 1988. — Т. 136. — Вып. 4. — С. 435–450.
3. В.А.Галактионов , В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин , С.П.Курдюмов , А.А.Самарский . Квазилинейное уравнение с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1987. — Т. 28. — С. 95–205.
4. Э.Гурса . Курс математического анализа . — М.—Л.: ГТТИ, 1933. — Т. II. — Ч. II. гл. XIX. — Разд. IV. — С. 92–104.
5. L.E.Dickson . Differential equations from the group standpoint // Annals of Math. — 1924. — V. 25. — P. 287–378. назад к тексту
6. В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин . Симметрия в решениях уравнений математической физики . — М.: Знание, 1984. — 64 с. См. также сб.: Компьютеры и нелинейные явления. — М.: Наука, 1988. — С. 123–191.
7. Н.X.Ибрагимов . Группы преобразований в математической физике . — М.: Наука, 1983.— 280 с. назад к тексту
8. S.Lie . Vorlesungen über continuierliche Gruppen . — Leipzig: Teubner, 1893. — 805 c. назад к тексту
9. Л.В.Овсянников .
   1. Групповые свойства дифференциальных уравнений . — Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. — 240 с.
   2. Групповой анализ дифференциальных уравнений . — М.: Наука, 1978. — 400 с. назад к тексту

10. Л.В.Овсянников , Н.X.Ибрагимов . Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники: Общая механика. — М.: ВИНИТИ, 1975. — Т. 2. — С. 5–52. назад к тексту
11. Е.М.Полищук . Софус Ли . — Л.: Наука, 1983. — 214 с.
12. Н.Г.Чеботарев . Теория групп Ли . — М.—Л.: ГИТТЛ, 1940. — 396 с.

Добавлю сюда ещё одну книгу — П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (М., Мир, 1989), — которую, благодаря достаточно недавнему (по сравнению с другими книгами) году выпуска, объёму в 600 с лишним страниц и ясности изложения, можно поставить в начало этого списка.

Alib.ru > Автор книги: овсянников. Название: групповые свойства дифференциальных уравнений

BS-9732719 подборки книг в подарки!

Все книги в продаже (3793434) Загрузка книг проводится ежедневно в 9 и 23ч.

Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, Сибирское отделение АН СССР, 1962г. 239 с. Мягкая изд обложка, формат: 20,5 х 14,5 см.
(Читайте описание продавца BS — books-777, Москва.) Цена: 1500 руб. Купить
Общая проблема исследования групповых свойств дифференциальных уравнений была поставлена и изучена во второй половине прошлого столетия норвежским математиком Софусом Ли. Само понятие непрерывной группы преобразований первоначально возникло у Ли в связи с изучением методов интегрирования отдельных классов обыкновенных дифференциальных уравнений. Ли и его учениками был разработан аналитический аппарат и изучен широкий круг приложений теории непрерывных групп преобразований. Эти исследования суммированы в фундаментальной трехтомной монографии Ли и Энгеля `Theorie der Transformait onsgruppen` и в ряде других работ Ли, опубликованных в 1885-1895 гг. Применительно к дифференциальным уравнениям некоторые идеи Ли развивал Вессио. К сожалению, в дальнейшем этот раздел математики оказался забытым и остался в стороне от главных путей развития теории дифференциальных уравнений. Это было вызвано, по-видимому, следующими обстоятельствами. Прежде всего оказывается, что `произвольная` система дифференциальных уравнений с частными производными не допускает никакой нетривиальной группы (не состоящей из одного тождественного преобразования). Далее, хотя обыкновенные дифференциальные уравнения всегда допускают нетривиальную группу, задача отыскания этой группы оказывается равносильной задаче интегрирования самой системы. Наконец, вся теория Ли групповых свойств дифференциальных уравнений является, по существу, локальной теорией, неспособной непосредственно исследовать решения конкретных задач с произвольными дополнительными условиями. Эта теория изучает в основном только групповую структуру совокупности всех решений системы S в окрестности некоторой точки. Вместе с тем имеется целый ряд вопросов, в которых эта теория оказывается плодотворной. В прикладных областях, как правило, имеют дело с дифференциальными уравнениями конкретного вида, допускающими нетривиальную группу. Таковы например, уравнения гидродинамики, теории упругости и пластичности, теории горения и детонации, магнитной гидродинамики и других прикладных физических теорий. Трудность решения конкретных задач в этих теориях обусловлена главным образом либо нелинейностью уравнений, либо большим числом переменных. Поэтому получили широкое распространение исследования, опирающиеся на знание отдельных классов частных решений.
Состояние: хорошее, давнишняя подклейка корешка скотчем.

Copyright &#169 1999 — 2022, Ведущий и K&#176. Все права защищены.
Вопросы, предложения пишите в книгу

Музей истории МФТИ

Материалы из фонда Музея МФТИ:

ЛЕВ ВАСИЛЬЕВИЧ ОВСЯННИКОВ

(К девяностолетию со дня рождения)

22 апреля 2009 года исполнилось 90 лет выдающемуся российскому ученому академику Льву Васильевичу Овсянникову. В его трудах развиты важные научные направления в механике жидкости и газа, введен ряд новых понятий, обогативших математический аппарат механики, создана научная школа, насчитывающая несколько поколений. Методы группового анализа дифференциальных уравнений, разработанные Л.В. Овсянниковым, востребованы специалистами по механике и физике сплошной среды во всем мире. Неоценима его роль в развитии академической науки в Сибири и в создании Новосибирского государственного университета.

Л.В. Овсянников родился в приволжском городке Васильсурске. Его отец, Василий Захарович, работал землемером, а мать, Татьяна Васильевна, – учительницей. Вскоре семья переезжает в Москву. Интерес к науке привел Льва Васильевича в математический кружок при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (МГУ). Одна из предлагавшихся там задач звучала так: построить проекцию четырехмерного куба на трехмерную плоскость, проходящую через центр куба и перпендикулярную его главной диагонали. Он решил эту задачу и изготовил макет искомого тела, по верхность которого имеет самопересечения. Здесь проявилась замечательная геометрическая интуиция Льва Васильевича, пронизывающая все его научное творчество.

В 1937 г. Л.В. Овсянников поступает на механико-математический факультет МГУ. В те же годы там обучались будущие выдающиеся ученые К.И. Бабенко, И.И. Ворович, H.H. Моисеев, А.Д. Мышкис. Отношения дружбы, которые сложились с ними у Льва Васильевича, сохранились на долгие годы. Надо сказать, что уровень преподавания математики и механики в МГУ предвоенных лет был чрезвычайно высок. Так, Лев Васильевич и его сверстники были в числе первых слушателей курса “Уравнения математической физики”, который читал С.Л. Соболев и который лег в основу его знаменитого учебника. Научным руководителем Льва Васильевича был крупный специалист в области теории функций Д.Е. Меньшов.

Учебу Льва Васильевича прерывает война. Она унесла жизнь его отца, участника народного ополчения. Летом 1941 г. Лев Васильевич работает на строительстве оборонительных сооружений под Москвой. Той же осенью он оканчивает университет и направляется слушателем Ленинградской военно-воздушной инженерной Академии им. А.Ф. Можайского (ЛВВИА). С мая по сентябрь 1944 г. Лев Васильевич участвует в боевых действиях Ленинградского фронта. Производственная практика будущего авиационного инженера проходила на фронтовых аэродромах.

После окончания ЛВВИА в 1945 г. Лев Васильевич становится ее адъюнктом. Его научные интересы перемещаются в область газовой динамики, которая в послевоенные годы получила мощный импульс в связи с созданием сверхзвуковой авиации. В 1949 г. он защищает кандидатскую диссертацию “Исследование газовых течений с прямой линией перехода”. Его научным консультантом был С.В. Фалькович. В те же годы Лев Васильевич знакомится с С.А. Христиановичем, Ф.И. Франклем, С.В. Валлан-дером – учеными, трудами которых Советский Союз занял лидирующие позиции в исследовании газодинамических проблем.

В 1949-1953 гг. Л.В. Овсянников преподает в Ленинградской военно-воздушной инженерной академии им. А.Ф. Можайского и по совместительству – в Ленинградском государственном университете (ЛГУ). Среди его слушателей в ЛГУ были будущие академики Г.И. Марчук, А.С. Алексеев и Е.И. Шемякин. В 1953-1956 гг. Лев Васильевич работает в научно-исследовательском коллективе, руководимом академиком М.А. Лаврентьевым, над созданием ядерного заряда для артиллерийского снаряда. О работе этого коллектива подробно рассказано в статье В.М. Титова и А.П. Чупахина, посвященной 80-летию со дня рождения Л.В. Овсянникова и опубликованной в журнале ПММ (1999. Т. 63. Вып. 3).

В 1956-1959 гг. Л.В. Овсянников – доцент Московского физико-технического института, где, помимо преподавания общематематических дисциплин, он организует студенческий семинар по изучению теории групп Ли и ее приложений к дифференциальным уравнениям. Кроме того, он разрабатывает оригинальный курс газовой динамики и читает его студентам кафедры М.А. Лаврентьева. Выпускники этой кафедры были первыми сотрудниками Института гидродинамики СО АН СССР, куда Лев Васильевич перешел на работу в 1959 г. по приглашению М.А. Лаврентьева и стал одним из ближайших его соратников.

Работа Л.В. Овсянникова в Институте гидродинамики началась в должности старшего научного сотрудника теоретического отдела, руководимого академиком И.Н. Векуа. В 1961 г. Лев Васильевич защищает докторскую диссертацию “Групповые свойства дифференциальных уравнений”. В том же году назначается заведующим теоретическим отделом, научное руководство которым осуществляет по настоящее время. В 1970-1975 гг. работает заместителем директора, а в 1976 г. избирается на должность директора Института гидродинамики и руководит им в течение 11 лет. В 1964 г. избирается членом-корреспондентом, а в 1987 г. – действительным членом АН СССР.

Отметим, что руководство Институтом не прервало активной научной работы Льва Васильевича. Именно в эти годы выходят его знаменитые книги “Групповой анализ дифференциальных уравнений” (1978 г.) и “Лекции по основам газовой дина мики” (1981 г.). Первая из них переведена на английский язык и опубликована в издательстве “Academic Press” (1982 г.), а вторая в существенно дополненном варианте переиздана в 2003 г.

В тот же период Л.В. Овсянников организует неформальный коллектив ученых -математиков, механиков и физиков – для изучения волновых движений однородной и стратифицированной жидкости. Итог его работы – издание под редакцией Л.В. Овсянникова коллективной монографии “Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн” (Новосибирск, Наука, 1985). Эта монография была удостоена 1-й премии на конкурсе фундаментальных работ СО АН СССР в 1987 г.

Когда в 1959 г. открылся Новосибирский государственный университет (НГУ), Л.В. Овсянников стал одним из первых его преподавателей. Он читал основные курсы алгебры, дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, газовой динамики, поставил на современном уровне курс “Введение в механику сплошной среды”. В 1966-1989 гг. Лев Васильевич заведовал кафедрой гидродинамики, а в 1967-1970 гг. был деканом механико-математического факультета НГУ и возглавил работу по созданию учебных программ отделения “Инженерная математика”. Будучи страстным поборником физтеховской системы обучения, Лев Васильевич внедрял ее принципы в своей работе в НГУ, который за короткое время превратился в один из ведущих российских университетов.

Л.В. Овсянников разработал и прочел курс математики для учащихся первой в СССР Новосибирской физико-математической школы. Отметим, что интерес к школьной математике возник у него еще раньше, когда вместе с В.Б. Лидским, А.Н. Тулайковым и М.И. Шабуниным он написал бестселлер “Задачи по элементарной математике”. Этот задачник, впервые опубликованный в 1960 г., выдержал семь изданий.

Отличительной особенностью Льва Васильевича как педагога является стремление довести читаемые ими курсы лекций до публикаций. Итог этой кропотливой работы -изданные в НГУ учебные пособия “Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений” (1966 г.), “Лекции по основам газовой динамики” (1967 г.), “Групповые свойства уравнений газовой динамики” (1968 г.), “Аналитические группы. Введение в теорию непрерывных групп преобразований” (1972 г.), “Введение в механику сплошных сред” (ч. 1, 1976 г.; ч. 2, 1977 г.), “Волновые движения сплошных сред” (1985 г.).

Л.В. Овсянников – создатель и руководитель крупной научной школы. Среди его прямых учеников – 4 члена-корреспондента РАН, 10 докторов и 12 кандидатов наук, а в числе его “научных внуков” – 18 докторов и десятки кандидатов наук. Многие ученые, слушавшие лекции Л.В. Овсянникова, работавшие в руководимых им семинарах, учившиеся на его статьях, монографиях и учебниках, по праву могут быть причислены к его школе, перешагнувшей границы России.

Научно-организационная деятельность Л.В. Овсянникова широка и многообразна. Он много лет был членом Президиума и заместителем председателя Объединенного ученого совета по математике и механике СО АН СССР, членом Бюро Отделения проблем машиностроения, механики и процессов управления АН СССР, председателем и членом ряда докторских диссертационных советов, председателем Библиотечного совета Сибирского отделения АН.

Вспоминается 1963 год – Сибирскому отделению АН СССР уже шесть лет, а его столица Новосибирск – до сих пор город, закрытый для иностранцев. М.А. Лаврентьев приложил огромные усилия, чтобы ликвидировать это несоответствие. Первыми зарубежными гостями Новосибирска стали 23 участника Советско-американского симпозиума по дифференциальным уравнениям с частными производными. США представляли такие выдающиеся ученые, как Р. Курант, К.О. Фридрихс, Л. Аль-форс, П. Лакс, И. Зингер. Симпозиум прошел на высочайшем уровне, в чем заслуга председателя Оргкомитета И.Н. Векуа и его заместителя Л.В. Овсянникова.