Парабола, ее каноническое уравнение, свойства и параметры
Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой. Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда из равенства r = d следует, что поскольку Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px , называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметромпараболы.
1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
2)Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.
Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение: Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e 1) или параболу (при е=1).
Парабола
Вы будете перенаправлены на Автор24
Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, равноудалённых от точки $F$, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.
Рисунок 1. Парабола в прямоугольной системе координат
Парабола наряду с окружностью, эллипсом и гиперболой является одним из сечений конуса.
Парабола симметрична относительно своей оси, и поэтому можно построить сначала одну половину параболы, а затем, отложив симметричные этой половине точки, уже другую.
Классическая парабола описывается уравнением, оно имеет следующий вид:
$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.
Это уравнение является каноническим уравнением параболы и описывает вид параболы в прямоугольной системе координат.
Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями параболы с вершиной, располагающейся не на пересечении осей координат, их общий вид представлен формулой: $y = ax^2 + bx + c$.
Кто придумал параболу
Парабола известна математикам уже очень давно, а название этой функции дал древнегреческий математик Аполлоний Пергский в III в. до н.э., изучавший свойства сечений конуса.
Также изучением параболы занимались Архимед и Папп Александрийский.
В дальнейшем разные учёные показали, что многие явления можно описать параболой, так, например, была открыта траектория движения снаряда.
Основные определения и строение параболы
Вершина параболы — это точка, находящаяся на минимальном расстоянии от директрисы параболы $d$.
Готовые работы на аналогичную тему
Фокус $F$ параболы — это точка, через которую проходит ось симметрии параболы, перпендикулярная прямой, находящаяся на расстоянии $d$. Фокус расположен на расстоянии $\frac
<2>$ от вершины. Координаты фокуса классической параболы можно определить из её уравнения.
Фокус и вершина являются основными точками, характеризующими параболу.
Параметр $p$ параболы иначе называется фокальным параметром и является расстоянием между фокусом и директрисой. Чтобы найти фокальный параметр параболы, нужно выразить $p$ из формулы канонического уравнения параболы:
$p = \frac
<2>;0)$.
Анализ уравнения и описание параболы
Сначала необходимо обратить внимание на коэффициент $a$ при $x^2$. Если он отрицательный, то парабола перевёрнутая по отношению к обычной и её ветви смотрят вниз, а если положительный – то её ветви смотрят вверх. Также модуль коэффициента $a$ влияет на степень пологости (ширину) параболы, чем меньше модуль $a$, тем парабола более широкая (пологая), и чем больше модуль $a$, тем она более узкая (крутая).
Далее необходимо посмотреть на коэффициент $c$. Коэффициент $c$ обозначает смещение по оси $OY$ относительно пересечения осей координат. Это легко проверить, если приравнять $x$ к нулю в имеющемся уравнении. Если коэффициент $c$ — положительный, то парабола смещена вверх относительно точки $(0;0)$, а если отрицательный – то вниз. В случае если $c=0$ — парабола проходит через точку начала координат.
Теперь можно найти вершину параболы, её координаты вычисляются по формуле:
$x = — \frac<2a>$ (1).
Чтобы найти $y$, нужно подставить полученный по формуле $x$ в уравнение.
Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 + 2x + 3$
Рисунок 2. Анализ уравнения параболы, график и примеры решения
- Коэффициент при $a$ положительный, значит, ветви параболы смотрят вверх.
- Теперь смотрим на коэффициент $c$, он равен 3, значит, парабола пересекается с осью ординат в точке $(0; 3)$.
- Найдём координату $x$ вершины параболы по формуле (1), она равна $x = — \frac<2><2>= -1$. Теперь найдём значение $y$, подставив значение $x$ в уравнение: $y = 1^2 +(-1) \cdot 2 + 3 = 2$. Координаты вершины равны $(-1; 2)$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 12 2021
Парабола
Парабола, её форма, фокус и директриса.
Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2px\label
$$
при условии \(p > 0\).
Из уравнения \eqref
Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции \(y=ax^<2>\). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством \(2p=a^<-1>\).
Фокусом параболы называется точка \(F\) с координатами \((p/2, 0)\) в канонической системе координат.
Директрисой параболы называется прямая с уравнением \(x=-p/2\) в канонической системе координат (\(PQ\) на рис. 8.11).
Рис. 8.11. Парабола.
Свойства параболы.
Расстояние от точки \(M(x, y)\), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+\frac
<2>.\label
$$
Вычислим квадрат расстояния от точки \(M(x, y)\) до фокуса по координатам этих точек: \(r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>\) и подставим сюда \(y^<2>\) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=\left(x-\frac
<2>\right)^<2>+2px=\left(x+\frac
<2>\right)^<2>.\nonumber
$$
Отсюда в силу \(x \geq 0\) следует равенство \eqref
Заметим, что расстояние от точки \(M\) до директрисы также равно
$$
d=x+\frac
<2>.\nonumber
$$
Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.
Для того чтобы точка \(M\) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.
Докажем достаточность. Пусть точка \(M(x, y)\) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
\sqrt<\left(x-\frac
<2>\right)^<2>+y^<2>>=x+\frac
<2>.\nonumber
$$
Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref
Параболе приписывается эксцентриситет \(\varepsilon=1\). В силу этого соглашения формула
$$
\frac
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.
Уравнение касательной к параболе.
Выведем уравнение касательной к параболе в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\), лежащей на ней. Пусть \(y_ <0>\neq 0\). Через точку \(M_<0>\) проходит график функции \(y=f(x)\), целиком лежащий на параболе. (Это \(y=\sqrt<2px>\) или же \(y=-\sqrt<2px>\), смотря по знаку \(y_<0>\).) Для функции \(f(x)\) выполнено тождество \((f(x))^<2>=2px\), дифференцируя которое имеем \(2f(x)f'(x)=2p\). Подставляя \(x=x_<0>\) и \(f(x_<0>)=y_<0>\), находим \(f'(x_<0>)=p/y_<0>\) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=\frac
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что \(y_<0>^<2>=2px_<0>\). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).\label
$$
Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив \(y_ <0>\neq 0\), уравнение \eqref
Касательная к параболе в точке \(M_<0>\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет \(M_<0>\) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).
Рассмотрим касательную в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\). Из уравнения \eqref
$$
(\overrightarrow
<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+\frac
<2>).\nonumber
$$
Но \(|\overrightarrow
Заметим, что \(|FN|=|FM_<0>|\) (см. рис. 8.12).
http://spravochnick.ru/matematika/parabola/
http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/parabola/