Параболические уравнения с переменными к

Устойчивость решений уравнений параболического типа с медленно меняющимися коэффициентами Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кащенко С.А., Логинов Д.О.

Рассматривается вопрос об устойчивости решений линейных систем уравнений параболического типа. Основное внимание уделено изучению устойчивости решений с медленно меняющимися почти периодическими коэффициентами и с переменной областью определения. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости и разработан эффективный алгоритм исследования задач устойчивости решений. Кроме этого рассмотрены подобные задачи для систем параболических уравнений с большими коэффициентами диффузии и для систем с быстро осциллирующими по пространственной переменной коэффициентами.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кащенко С.А., Логинов Д.О.

Stability of solutions of parabolic equations with slowly varying coefficients

The question of the stability of solutions of linear systems of parabolic equations is considered. The main attention is paid to the study of the stability of solutions with slowly varying almost periodic coefficients and with a variable domain of definition. Critical cases in the problem of stability are identified and an effective algorithm for studying problems of solution stability is developed. In addition, similar problems for systems of parabolic equations with large diffusion coefficients and for systems with coefficients rapidly oscillating in spatial variable are considered.

Текст научной работы на тему «Устойчивость решений уравнений параболического типа с медленно меняющимися коэффициентами»

Динамические системы, 2018, том 8(36), №3, 245-262

Устойчивость решений уравнений параболического типа с медленно меняющимися коэффициентами1

С. А. Кащенко* **, Д. О. Логинов*

* Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова, Ярославль 150003,

**Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Москва 115409.

E-mail: kasch@uniyar.ac.ru, dimonlMinbox.ru

Аннотация. Рассматривается вопрос об устойчивости решений линейных систем уравнений параболического типа. Основное внимание уделено изучению устойчивости решений с медленно меняющимися почти периодическими коэффициентами и с переменной областью определения. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости и разработан эффективный алгоритм исследования задач устойчивости решений. Кроме этого рассмотрены подобные задачи для систем параболических уравнений с большими коэффициентами диффузии и для систем с быстро осциллирующими по пространственной переменной коэффициентами.

Ключевые слова: параболические системы, устойчивость, критические случаи, асимптотика.

Stability of solutions of parabolic equations with slowly varying coefficients

S. A. Kaschenko, D. O. Loginov

P. G.Demidov Yaroslavl State University, Yaroslavl 150003 National Research Nuclear University MEPhI, Moscow 115409.

Abstract. The question of the stability of solutions of linear systems of parabolic equations is considered. The main attention is paid to the study of the stability of solutions with slowly varying almost periodic coefficients and with a variable domain of definition. Critical cases in the problem of stability are identified and an effective algorithm for studying problems of solution stability is developed. In addition, similar problems for systems of parabolic equations with large diffusion coefficients and for systems with coefficients rapidly oscillating in spatial variable are considered. Keywords: parabolic systems, stability, critical cases, asymptotics. MSC 2010: 47D99

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №1829-10043

© С. А. КАЩЕНКО, Д. О. ЛОГИНОВ

1. Критерий равномерной регулярности

На отрезке 0 0 не зависит от f (Ь,х) Е С. Оператор Н(е) называют равномерно регулярным, если найдется такое е0 > 0, что при всех е Е (0, е0) он регулярен и выполнена оценка (4), в которой постоянная N > 0 не зависит от е.

Введем в рассмотрение семейство эллиптических операторов Ь(т), зависящих от параметра т Е (—ж, ж) :

Ь(т)у = Б(т)у» + Аг(т, х)У + А2(т, х)у,

(у’ + В1(т)у)\х=о= (V + В2(т )у)\х=!= 0.

Будем говорить, что спектр операторов Ь(т) отделен от мнимой оси, если при всех т Е (—ж, ж) собственные значения этого оператора лежат в части комплексной плоскости, выделяемой неравенством

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений имеет место следующий результат.

Теорема 1. Для того, чтобы оператор H(е) был равномерно регулярным необходимо и достаточно, чтобы спектр операторов L(t) был отделен от мнимой оси.

Для параболических краевых задач вида (1), (2) справедливы общие утверждения работы [11] (с помощью простых замен, не меняющих вида уравнения (1), удается сделать автономными краевые условия). Поэтому при условии от-деленности от мнимой оси спектров операторов L(t) и при достаточно малых е для краевой задачи (1), (2) имеет место экспоненциальная дихотомия решений. Пространство C(0,i) начальных условий в произвольный момент времени t расщепляется в прямую сумму таких подпространств Е+(т,е) и Е-(т,е), что решения u+(t, т, x, е) с начальными условиями при t = т из E+(t,e) определены при t > т, принадлежат подпространству Е+^,е) и экспоненциально затухают (по норме C(0i1) ) при t ^ то, а решения п-^,т,х,е) с начальными условиями (при t = т) из Е-(т,е) определены при t Е (-то, то), принадлежат Е-^,е) и экспоненциально растут при t ^ то. Показатели экспоненциального роста и убывания норм решений п±^,т,х,е) отделены от нуля при е ^ 0. Подпространство Е-^,е) конечномерно и размерность его совпадает с количеством собственных значений операторов L(t), имеющих положительные вещественные части. Проекторы Р±(т,е), осуществляющие расщепление C(0>1) на Е±(т,е), почти периодичны по т. Как и для случая обыкновенных дифференциальных уравнений можно показать, что на каждом элементе ф(х) Е C(0>1) выполнено равенство

lim sup \\(Р±(т,е) — Р±(тШхЦа^ = 0, (6)

где Р+(т) (Р-(т)) — проектор на корневое подпространство оператора L(t), отвечающее собственным значениям с отрицательными (положительными) вещественными частями. Отсюда, в частности, вытекает, что при условии отделенности от мнимой оси спектров операторов L(t) необходимым и достаточным условием устойчивости решений (1), (2) является требование, чтобы все собственные значения L(t) имели отрицательные вещественные части.

Доказательство теоремы 1 и равенства (6) проходит по использованной в [3] схеме, основанной на теории экспоненциальной дихотомии [11] и на результате работы [12]. Подробнее на обосновании не останавливаемся.

2. Устойчивость решений в критический случаях «простых чисто мнимых собственных значений»

Предполагаем здесь, что операторы L(t) имеют m0 (0 0. Ясно, что все функции Uj (т) почти периодичны вместе со своими производными и каждой из них отвечают собственные функции aj (т,х) и bj (т,х) операторов L(t) и —L*(t), соответственно. Здесь

L*(t)v = D*(t, x)v» + [2D*(t, x)’ — Л\(т, x)]v’ + (Л*(т, x) — Л\(т, x)’ + D*(t, x)»)v,

(D*(t, x)v’ + (Б*1(т)D*(t, x) — A*1(t,x)) — D*(t, x)’)v|ж=о= 0, (D*(t, x)v’ + (Б*(т)D*(t, x) — A\(t,x)) — D*(t, x)’)v|x=1= 0. Без потери общности можно считать, что max \\aj(T,x)^Rm > v0 > 0 и

(aj(т, x), bj(т, x)) = l, (aj(т, x),bj(t,x)) = 0 (j = l. m0), где

Ыг^Мг.*» = f Ыт,х),Цт,х)) 0 такое, ‘что при е € (0,£о) решения краевой задачи (1), (2) экспоненциально устойчивы. Если же первый ненулевой коэффициент, хотя бы одного из рядов положителен, то найдется такое е0 > 0, что при е € (0,е0) решения (1), (2) неустойчивы.

3. Обоснование теоремы 2

Сформулируем сначала в виде лемм два результата, из которых и будет следовать утверждение теоремы. Положим

а^к (е) = еап +——+ ек а^к,

(т, х, е) = (т)аз (т, х) +——+ ека^к(т, х).

Лемма 1. Для каждого номера к найдется такой линейный относительно и(т, х) почти периодический по т и ограниченный равномерно относительно т, х, е оператор Вк (т,х,е): С(0>1) ^ С(0,1), что функции

(изк(т,х,е)) являются решениями краевой задачи

К(е)и = и — (Ь(т)и + екВк(т, х, е, и)) = 0, (16)

(и’ + В1 (т )и)\х=0 = (и’ + В2(т)и)\х=1 = 0. (17)

Предположим затем, что ни один из рядов (15) не состоит из одних нулей. Пусть И,е аз кз — первый отличный от нуля коэффициент этого ряда. Положим к0 = тах кз. Имеет место следующее утверждение.

Лемма 2. Существует такое е0 > 0, что при е € (0,е0) оператор К(е) регулярен и для решения Uf (Ь,х) € С краевой задачи К(е)и = У (Ь,х) и (17) (У (Ь,х) € С) имеет место оценка

и(г,х)\о 0 не зависит от У(Ь,х) € С и от е.

Покажем теперь, как с помощью лемм 1 и 2 завершить обоснование теоремы, а затем докажем эти леммы.

Предположим сначала, что не все коэффициенты каждого из рядов (15) нулевые. Положим к = к0 + 1 и с краевыми условиями (17) рассмотрим выражение

где ¡1 Е [0,1]. Из оценки (18) сразу получаем, что при всех ¡1 Е [0,1] оператор Нк(£, регулярен при £ Е (0,£о), где £о > 0 и не зависит от ц. Так как свойства устойчивости при всех ц Е [0,1] одинаковы, то отсюда получаем обоснование первой части теоремы 2.

Осталось разобрать тот случай, когда среди рядов (9) есть такие, которые могут состоять из одних нулей, а первый отличный от нуля коэффициент хотя бы одного из рассматриваемых рядов положителен. Обозначим его порядковый номер в соответствующем ряду через к0. Выполним в (1), (2) замену

где а > 0. Очевидно, что выражения, аналогичные (15) для получающейся краевой задачи отличаются от рядов (15) на слагаемое —а£к +1. За счет подходящего выбора а можно сделать так, чтобы (к0 + 1)-ые члены всех этих рядов будут ненулевые. Остается лишь положить к0 = к0 + 2 и воспользоваться предыдущими рассуждениями. Отметим, наконец, что из неустойчивости решений краевой задачи

П = (Ь(т) — а£к°+1)п, (п! + В1(т)п)\х=0 = (п! + В2(т)п)\х=1 = 0

тем более следует неустойчивость решений (1), (2). Теорема 2 доказана.

Осталось обосновать леммы 1 и 2. Для доказательства леммы 1 рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Здесь штрих у знака суммы озачает, что при четком т0 отсутствует слагаемое, отвечающее ] = 0 (т. е. — нулевому собственному значению). Индекс г принимает те же значения, что и ]. Кроме того, Vjk(т,х,£) = Vjk(т,x,£), Ь](т,х) = Ь](т,х). Из определения Vjk(т,х,£) и Ь](т,х) сразу заключаем, что решения ](т,х,£) системы (19) — линейные почти периодические (по т) функционалы, ограниченные и непрерывные по £ равномерно относительно т, причем

Учитывая в этой формуле равенства (19), заключаем, что Вк+1(т,х,£,и) удовлетворяет всем сформулированным в лемме 1 требованиям.

Перейдем к доказательству леммы 2. Рассмотрим краевую задачу

й = Ь(т )и + £к Ви (т,х,£,и), (21)

(и’ + В\ (т )и)\х=о = (и’ + В2(т)и)\х=1 = 0. (22)

Из результатов, приведенных в предыдущем пункте, вытекает, что пространство начальных условий этой краевой задачи расщепляется при каждом Ь и достаточно малых £ в прямую сумму двух инвариантных относительно решений (21), (22) подпространств Е+(Ь, £) и Е-(Ь, £), причем Е-(Ь, £) — т0-мерно, а для решений и(Ь,х) с начальными условиями из Е+(в,£) справедливо неравенство

\\и(Ь,х,£)\\о(0А) у+(Ь — 5)]|и(5,х)|С(0,1) — ГО 0, что

\\Р1(Ь,£)и(Ь,х)\\с(01) в I — и (Ь,в,£)Р2(в,£), при Ь 0 выполнены условия а = М(а11(т) + а22(т)) 0; что при £ € (0,£о) решения краевой задачи (26), (27) устойчивы. Если же а > 0 или а21(т) > 5, ‘то найдется такое £о > 0, что при £ € (0,£о) решения (26), (27) неустойчивы.

В следующем утверждении предполагается, что коэффициенты краевой задачи (26), (27) периодические.

Теорема 4. Пусть а 3 и ему отвечает однопараметрическая группа собственных векторов. В этом случае (в предположении типа общности положения) при малых £ решения (1), (2) неустойчивы. Этот же вывод справедлив и тогда, когда Ь(т) имеет чисто мнимое собственное значение кратности больше 1 с однопараметрической группой решений.

5. Устойчивость решений краевых задач с «большим: коэффициентом диффузии

Рассмотрим краевую задачу

где и £ Ят, — положительно определенная равномерно относительно Ь £

(—ж, ж) матрица, элементы матриц и А^(Ь,х), ] = 1, 2, являются тригонометрическими по Ь многочленами с частотами, не зависящими от х. Элементы матриц А^ (Ь,х) достаточно гладкие относительно х. Исследуем вопрос об устойчивости решений краевой задачи (29), (30) при больших А ^ 1.

Введем в рассмотрение обыкновенное дифференциальное уравнение

Теорема 5. Пусть для уравнения (31) имеет место экспоненциальная дихотомия решений. Тогда найдется такое А0; что при А > А0 для краевой задачи (29), (30) имеет место экспоненциальная дихотомия решений, причем размерности подпространств экспоненциально растущих (по соответствующим нормам Ят и О(0,1)(Ят)) при Ь ^ ж решений уравнения (31) и краевой задачи (29), (30) совпадают.

Для обоснования этой теоремы достаточно воспользоваться приведенной в разделе 6 схемой, считая при этом фигурирующий там номер равным 1. Отметим, что теорема 5 остается верной и в том случае, когда вместо матрицы стоит более сложная матрица ^(Ь, х)Б(Ь) с теми же, что и выше свойствами, а почти периодическая по Ь и гладкая по Ь и х скалярная функция 7(Ь, х) положительна и отделена от нуля. Для случая еще более общей матрицы Б(Ь,х) теорема 5 перестает, вообще говоря, быть верной.

5.1. Изучение критического случая

При исследовании устойчивости в ситуации, когда для уравнения (31) не имеет место экспоненциальная дихотомия, применимы построения из §§1 — 5. В качестве модельного рассмотрим здесь случай, когда матрица А20(Ь) автономна, т.е. А20(Ь) = А20, и А20 имеет пару чисто мнимых собственных значений ±г$0($0 > 0), а все остальные ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Обозначим через а0 и Ь0 собственные векторы А20 и —А^ соответственно, отвечающие собственному значению г50, причем

(ao,bo) = 1, (ao,bo) = 0.

Введем в рассмотрение формальный ряд

u0(t, x, е) = a(t, x, е) exp(iö0 + a(e))t, (32)

а(е) = \-lai + А-2а2 +—-, (33)

a(t, x, е) = a0 + A-1a1(t, x) + A-2a2(t, x) + • • • . (34)

Здесь aj — скалярные величины, а aj(t,x) — векторные тригонометрические по t многочлены. Покажем, что все элементы из (33), (34) определяются из формального тождества

uu0(t, x, е) = \D(t)u’0(t, x, е) + A1(t, x)U0(t, x, е) + A2(t, x)u0(t, x, е), (35)

U0(t, 0, е) = U0(t, 1,е) = 0. (36)

Коэффициент при первой степени А в (35) нулевой. Собирая слагаемые, стоящие множителем при А0, приходим к равенствам

D(t)a’l = -A2(t,x)a0 + i50a,a’1(t, 0) = a[(t, 1) = 0. (37)

Отсюда вытекает, что ai(t,x) — ci\(t, x) + aw(t), где

a1(t, x) = D-1(t) J(x — s)(i50I — A2(t, s))a0ds, 0

а a\0(t) — произвольный почти периодический тригонометрический многочлен. На следующем шаге, собирая коэффициенты при А-1, получим равенства

D(t)a’2 = ä 1(t, x) + a 10(t) + i50(a1(t, x) + a10(t)) + a1a0 —

—A1(t, x)ä [(t, x) — A2(t, x)a1(t, x) — A2(t, x)a10(t), (38)

a’2(t, 0) = a’2(t, 1) = 0. (39)

Из условия разрешимости краевой задачи (38), (39) получаем соотношение

a w(t) + (iÖ0l — A20)aw(t) = —aa + f (t), (40)

f (t) = J [A1(t,x)ä’1(t,x)ä1(t,x) — a 1(t,x) — iS0a1 (t,x)]dx. 0

Значение a1 определяется из условия разрешимости (40) в классе тригонометрических многочленов:

После того, как a1 найдено, из (40) определяем a10(t), а из (8.10), (8.11)- a2(t,x)(= ä2(t,x) + a20(t)) и т.д.

Теорема 6. Предположим, что формальный ряд

не состоит из одних нулей. Обозначим через Явак первый ненулевой коэффициент этого ряда. Найдется такое А0, ‘что при А > А0 решения краевой задачи (29), (30) экспоненциально устойчивы (неустойчивы), если Явак 0).

Схема обоснования этого результата полностью повторяет схему доказательства теоремы 2 (и 1).

6. Исследование устойчивости параболических краевых задач с быстро осциллирующими по пространственной переменной коэффициентами

Результаты этого раздела тесно примыкают к утверждениям, сформулированным в предыдущем параграфе. Рассмотрим краевую задачу

и = В(г)и» + А1(Ь, шх)и’ + А2(Ь, шх)и, (41)

и’ 1х=0 = и’ 1х=1 = 0, (42)

где и £ Ят, матрица та же, что и в разделе 4,

Аз (Ь,0= У А]к(Ь)ехр гакС

(] = 1, 2, а0 = 0, а-к = —Ок, АЧк(Ь) = А^(Ь)),

элементами матриц А^к(Ь)(] = 1, 2, к = —п, • • • ,п) являются тригонометрические по Ь многочлены. Поставим вопрос об устойчивости решений краевой задачи (41), (42) при условии, когда коэффициенты быстро осциллируют по пространственной переменной, т.е. ш ^ 1.

Введем в рассмотрение усредненную краевую задачу

ь = Б(гу + Аю(г)у’ + А20(г)у, (43)

V |х=0 = V’ 1х=1 = 0. (44)

Сформулируем основной результат, простое обоснование которого получается на том же пути, что и обоснование теоремы 5.

Теорема 7. Пусть для решения краевой задачи (43), (44) имеет место экспоненциальная дихотомия решений. Тогда найдется такое ш0, что при всех ш > ш0 имеет место экспоненциальная дихотомия решений краевой задачи (41), (42), и размерности подпространств экспоненциально растущих при Ь ^ ж решений обеих краевых задач совпадают.

6.1. Устойчивость в критическом случае

Пусть коэффициенты (43) от Ь не зависят, т.е. В(Ь) = В, Л1о(Ь) = Л1о, Л2о(Ь) = Л2о и пусть оператор

Иь = Вь» + Люь’ + Л2о,ь’ (0) = ь’ (1) = 0

имеет пару чисто мнимых значений ±г5о, 5о > 0, а все остальные его собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Через ао(х) и Ьо(х) обозначим собственные функции оператора И и сопряженного к нему оператора И2, отвечающие собственным значениям г5о и —г5о, соответственно. Удобно считать, что

(a0(x),b0(x)) = 1, (a0(x),b0(x)) = 0

Подобно формулам (32)-(34) составим формальный ряд и(Ь, х, и) = а(Ь, х, и) ехр(г5о + а(и))Ь,

а(Ь, х, и) = ао(х) + и-1а1(Ь, х) + и-2а2(Ь, х, £) + • • • = их, а (и) = и-1а1(и) + и-2а2(и) + • • • .

Вектор-функция а^ (Ь,х,£) является тригонометрическим многочленом по Ь и а скалярная функция (и) почти периодически зависит от параметра и. Для определения всех фигурирующих в (46), (47) величин подставим выражение (45) в (41), (42) и в получившемся формальное тождестве будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях и-1. На первом шаге, собирая коэффициенты при ио, получим выражения

+ a’0 (x)) + A1(t,£)a’0 (x) + A2 (t,t )a0(x) = iÖ0a0 (x),

Усредняя в (48) по для определения ао(х) получим равенства Иао(х) = i50a0(х), ао(0) = ао(1), которые выполняются в силу выбора ао(х). После этого для нахождения а2 = а2(Ь,х) из (48), (49) получим краевую задачу

nd2a2 . с, da2 = f1(t,x,t)

h(t,x,t) = (A10 — A1 (t,t ))a0(x) + (A20 — A2(t,t ))a0(x).

Эта краевая задача, вообще говоря, не имеет решения, поэтому рассмотрим другую краевую задачу

которая отличается от (50) слагаемым порядка ш-1. Из (51) сразу получаем, что а2(Ь,х,С) = а,2(Ь,х,С) + а20(Ь,х), где

а2(Ь,х,С) = J (!1(г,х,п) — Ш У /1(Ь,х,8№)(С — ‘n)d’n, 00

а тригонометрический по Ь многочлен а20(Ь,х) — произволен. Собирая на втором шаге коэффициенты при ш-1 в введенном выше формальном тождестве, получим соотношения

+ Ai(t,0(a’i(t,x) + + Ä2(t,0ai(t,x) + j fi(t,x,V)dV, (52)

Усредняя в (52) по С, приходим к краевой задаче относительно

а 1 + 180а1 — На1 = —а1(ш)а0(х) + ! ¡1(Ь,х,п)^+

+ Нт Ц А1(Ь,п) йъ&^П аЦх=0 = аЦх=1 = 0. (54)

Осталось воспользоваться условием разрешимости (54) в классе тригонометрических многочленов. Отсюда сразу получаем выражение для почти периодической функции а1(ш):

и т Г 1 [ л , \да2(Ь,х,п) а1(ш) = (у >1(Ь,х,п)ап + Т^ ^ А^ц)-—-^^(х)>.

После этого из (54) определяем а1(Ь,х), потом из (52), (53) находим а3(Ь,х,С) = аз(Ь, х, С) + аз0(Ь, х) и т. д.

Обозначим через 7(ш) наибольший характеристический показатель (экспоненциального роста) решений краевой задачи (41), (42).

Теорема 8. Для каждого номера k имеет место асимптотическое равенство

Y(ш) — (u-1Reai(u) +——+ ш-кReak(ш)) = о(ш-к).

Отличие рассмотренного здесь случая от соответствующих результатов предыдущего параграфа (теорема 7) состоит в том, что при ш ^ го здесь возможен (даже в предположениях типа общности положения) неограниченный процесс смены устойчивости решений краевой задачи (41), (42). Путь обоснования теоремы 8 тот же, что и теоремы 7.

Рассмотрены вопросы устойчивости важных для приложений решений линейных сингулярно возмущенных систем параболического типа. В первой части изучается система с медленно меняющимися почти периодическими коэффициентами. Сформулирован ответ на вопрос об устойчивости решений в так называемом регулярном случае. При рассмотрении критических случаев разработан эффективный алгоритм исследования устойчивости. Особо отметим, что рассмотрены критические случаи для изолированных и для кратных корней характеристического уравнения.

Во втором разделе рассматриваются параболические системы с большим коэффициентом диффузии. Показано, что ответ на вопрос об устойчивости решений сводится к исследованию специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В третьем разделе исследованы системы с быстро осциллирующими по пространственной переменной коэффициентами. Выделены критические случаи и разработан алгоритм последовательного вычисления показателей, отвечающих за устойчивость решений.

Список цитируемых источников

1. Климушев А. И., Красовский И. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // При-кл. матем. и мех. — 1961. — Т.25, №4. — С. 680-690.

Klimushev A. I., Krasovsky I. N. Uniform asymptotic stability of systems of differential equations with a small parameter for derivatives. Appl. math, and mech. 25:4, 680-690 (1961). (in Russian)

2. Разумихин Б. С. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с малым множителем при производных // Сиб. матем. журн. — 1963. — Т.4, №1. — C. 206-211.

RazumihinB. S. On the stability of solutions of systems of differential equations with a small multiplier for derivatives. Sib. Matemat. Zhurnal 4:1, 206-211 (1963). (in Russian)

3. Чаплыгин В. Ф. Общие свойства равномерно регулярных пп-операторов с малым множителем при производных // Вестник Яросл. ун-та. — 1973. — Вып.5. — С. 152163.

Chapligin V. F. General properties of uniformly regular pp-operators with a small multiplier for derivatives. Vestnik YSU, issue 5, 152-163 (1973). (in Russian)

4. Chang K. W. Almost periodic solutions of singulary perturbed systems of differential equations //J. Differential Eqs. — 1968. — Vol.4. — P. 300-307.

5. Coppel W. A. Dichotomies and reducibility. In: Dichotomies in Stability Theory. Lecture Notes in Mathematics, vol 629, (1978) Springer, Berlin, Heidelberg, 38-46

6. Далецкий Д. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Москва: Наука, 1970. — 534 с.

DaleckiyD. L., KreynM.G. Stability of solutions of differential equations in Banach spaces. Moscow: Nauka, 1970. (in Russian)

7. Крейн М. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Москва: Наука, 1967. — 464 с.

KreynM.G. Linear differential equations in Banach space. Moscow: Nauka, 1967. (in Russian)

8. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966. — 249 c.

Feshchenko, S. F.; Shkil’, N. I.; Nikolenko, L. D. Asymptotic methods in the theory of linear differential equations. Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics. 10. New York: American Elsevier Publishing Company, Inc., 1967.

9. L. Flatto, N. Levinson, Periodic solutions of singularly perturbed systems, Matematika, 2:2 (1958), 61-68; J. Rat. Mech. and Analysis, 4 (1955), 943-950.

10. Левитан Б.М., ЖиковВ.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. Москва: МГУ, 1978. — 204 c.

Levitan, B. M.; Zhikov, V. V. Almost periodic functions and differential equations. Cambridge etc.: Cambridge University Press, 1982.

11. Колесов Ю. С. Об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений параболического типа с почти-периодическими коэффициентами // Труды ММО. — 1978. — Т.36. — C. 3-27.

Kolesov, Yu. S. On the stability of solutions of linear differential equations of parabolic type with almost periodic coefficients. Trans. Mosc. Math. Soc. 36, 1-25 (1979).

12. Мухамадиев Э. М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на всей оси функций // ДАН СССР. — 1971. — Т.196, №1. — С. 47-49.

Mukhamadiev, Eh. On invertibility of differential operators in the space of continuous functions bounded on the real axis. Sov. Math. Dokl. 12, 49-52 (1971).

13. Кащенко С. А. Об устойчивости решений линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с почтипериодическими коэффициентами в случае резо-нансов // Исследования по устойчивости и теории колебаний / Под ред. Колесова Ю. С. — Ярославль: 1980. — С. 25-34.

Kaschenko S. A. On the stability of solutions of linear singularly perturbed differential equations with almost periodic coefficients in the case of resonances. In Kolesov Yu.S. (Eds.) Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (pp. 25-34). Yaroslavl: Izdat. Yaroslavl Univ., 1980. (in Russian)

14. Кащенко С. А. Асимптотические законы распределения собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка с точками поворота // Исследования по устойчивости и теории колебаний / Под ред. Колесова Ю. С. — Ярославль: 1976. — С. 95-113.

Квадратичная функция. Построение параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D 0,то график выглядит так:

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

1. Координаты вершины параболы:

1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
   2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить y = x 2 ,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

1. Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Курсовая работа: Решение параболических уравнений

Реферат

В курсовой работе рассматривается метод сеток решения параболических уравнений. Теоретическая часть включает описание общих принципов метода, его применение к решению параболических уравнений, исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. В практической части разрабатывается программа для численного решения поставленной задачи. В приложении представлен текст программы и результаты выполнения тестовых расчетов.

Объем курсовой работы: 33 с.

Ключевые слова: параболическое уравнение, уравнение теплопроводности, метод сеток, краевая задача, конечные разности.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа

1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравненийпараболического типа

1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток

1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы

2. Реализация метода

2.1 Разработка программного модуля

2.2 Описание логики программного модуля

2.3 Пример работы программы

К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных. В общем случае такое уравнение записывается следующим образом:

.

Заметим, что численными методами приходится решать и нелинейные уравнения, но находить их решение много труднее, чем решение линейных уравнений.

введем в рассмотрение величину . В том случае, когда уравнение называется параболическим. В случае, когда величина не сохраняет знак, имеем смешанный тип дифференциального уравнения. Следует отметить, что в дифференциальном уравнении все функции являются известными, и они определены в области , в которой мы ищем решение.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа

Для решения дифференциальных уравнений параболического типа существует несколько методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.Пусть дано дифференциальное уравнение

. (1.1)

Требуется найти функцию в области с границей при заданных краевых условиях. Согласно методу сеток в плоской области строится сеточная область , состоящая из одинаковых ячеек. При этом область должна как можно лучше приближать область . Сеточная область (то есть сетка) состоит из изолированных точек, которые называются узлами сетки. Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки : чем меньше , тем больше узлов содержит сетка. Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области , а все соседние узлы принадлежат сетке . В противном случае он называется граничным. Совокупность граничных узлов образует границу сеточной области .

Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Замена дифференциального уравнения разностным может быть осуществлена разными способами. Один из способов аппроксимации состоит в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. Различные формулы численного дифференцирования имеют разную точность, поэтому от выбора формул аппроксимации зависит качество аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением.

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности, являющееся частным случаем уравнений параболического типа:

, (1.2)

– известная функция.

Будем искать решение этого уравнения в области

Заметим, что эту полуполосу всегда можно привести к полуполосе, когда . Уравнение (1.2) будем решать с начальными условиями:

, (1.3)

– известная функция, и краевыми условиями:

(1.4)

где – известные функции переменной .

Для решения задачи область покроем сеткой .

Узлы сетки, лежащие на прямых , и будут граничными. Все остальные узлы будут внутренними. Для каждого внутреннего узла дифференциальное уравнения (1.2) заменим разностным. При этом для производной воспользуемся следующей формулой:

.

Для производной запишем следующие формулы:

,

,

.

Можем получить три вида разностных уравнений:

, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

.

Разностные уравнения (1.5) аппроксимируют уравнение (1.2) с погрешностью , уравнение (1.6) – с такой же погрешностью, а уравнение (1.7) уже аппроксимирует уравнение (1.2) с погрешностью .

В разностной схеме (1.5) задействованы 4 узла. Конфигурация схемы (1.5) имеет вид:

В схеме (1.6) также участвуют 4 узла, и эта схема имеет вид:

В схеме (1.7) участвуют 5 узлов, и эта схема имеет вид:

Первая и третья схемы – явные, вторая схема неявная. В случае явных схем значения функции в узле очередного слоя можно найти, зная значения в узлах предыдущих слоев. В случае неявных схем для нахождения значений решения в узлах очередного слоя приходится решать систему уравнений.

Для узлов начального (нулевого) слоя значения решения выписываются с помощью начального условия (1.3):

(1.8)

Для граничных узлов, лежащих на прямых и , заменив производные по формулам численного дифференцирования, получаем из граничных условий (1.4) следующие уравнения:

(1.9)

Уравнения (1.9) аппроксимируют граничные условия (1.4) с погрешностью , так как используем односторонние формулы численного дифференцирования. Погрешность аппроксимации можно понизить, если использовать более точные односторонние (с тремя узлами) формулы численного дифференцирования.

Присоединяя к системе разностных уравнений, записанных для внутренних узлов, начальные и граничные условия (1.8) и (1.9) для разностной задачи получим полные разностные схемы трех видов. Для проведения вычислений самой простой схемой оказывается первая: достаточно на основании начального условия найти значения функции в узлах слоя , чтобы в дальнейшем последовательно определять значения решения в узлах слоев и т.д.

Третья схема также весьма проста для проведения вычислений, но при ее использовании необходимо кроме значений решения в узлах слоя найти каким-то образом значения функции и в слое . Далее вычислительный процесс легко организовывается. В случае второй схемы, которая является неявной, обязательно приходится решать систему уравнений для нахождения решения сеточной задачи.

С точки зрения точечной аппроксимации третья схема самая точная.

Введем в рассмотрение параметр . Тогда наши разностные схемы можно переписать, вводя указанный параметр. При этом самый простой их вид будет при .

В любом случае согласно методу сеток будем иметь столько уравнений, сколько имеется неизвестных (значения искомой функции в узлах). Число неизвестных равно числу всех узлов сетки. Решая систему уравнений, получаем решение поставленной задачи.

Разрешимость этой системы для явных схем вопросов не вызывает, так как все действия выполняются в явно определенной последовательности. В случае неявных схем разрешимость системы следует исследовать в каждом конкретном случае. Важным вопросом является вопрос о том, на сколько найденные решения хорошо (адекватно) отражают точные решения, и можно ли неограниченно сгущая сетку (уменьшая шаг по осям) получить приближенные решения, сколь угодно близкие к точным решениям? Это вопрос о сходимости метода сеток.

На практике следует применять сходящиеся разностные схемы, причем только те из них, которые являются устойчивыми, то есть при использовании которых небольшие ошибки в начальных или промежуточных результатах не приводят к большим отклонениям от точного решения. Всегда следует использовать устойчивые разностные схемы, проводя соответствующие исследования на устойчивость.

Первая из построенных выше разностных схем в случае первой краевой задачи будет устойчивой при . Вторая схема устойчива при всех значениях величины . Третья схема неустойчива для любых , что сводит на нет все ее преимущества и делает невозможной к применению на ЭВМ.

Явные схемы просты для организации вычислительного процесса, но имеют один весьма весомый недостаток: для их устойчивости приходится накладывать сильные ограничения на сетку. Неявные схемы свободны от этого недостатка, но есть другая трудность – надо решать системы уравнений большой размерности, что на практике при нахождении решения сложных уравнений в протяженной области с высокой степенью точности может потребовать больших объемов памяти ЭВМ и времени на ожидание конечного результата. К счастью, прогресс не стоит на месте и уже сейчас мощности современных ЭВМ вполне достаточно для решения поставленных перед ними задач.

1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравнений параболического типа

Рассмотрим частный случай задачи, поставленной в предыдущем разделе. В области

найти решение уравнения

(1.10)

с граничными условиями

(1.11)

и начальным условием

. (1.12)

Рассмотрим устойчивую вычислительную схему, для которой величина не является ограниченной сверху, а, значит, шаг по оси и может быть выбран достаточно крупным. Покроем область сеткой

Запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1.10) во всех внутренних узлах слоя . При этом будем использовать следующие формулы:

,

.

Эти формулы имеет погрешность . В результате уравнение (1.10) заменяется разностным:

(1.13)

Перепишем (1.13) в виде:

. (1.14)

Данная вычислительная схема имеет следующую конфигурацию:

(1.15)

(1.16)

Система (1.14) – (1.16) представляет собой разностную задачу, соответствующую краевой задаче (1.10) – (1.12).

За величину мы положили .

(1.14) – (1.16) есть система линейных алгебраических уравнений с 3-диагональной матрицей, поэтому ее резонно решать методом прогонки, так как он в несколько раз превосходит по скорости метод Гаусса.

. (1.17)

Здесь , – некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Заменив в (1.17) на будем иметь:

. (1.18)

Подставив уравнение (1.18) в (1.14) получим:

. (1.19)

Сравнив (1.17) и (1.19) найдем, что:

(1.20)

Положим в (1.14) и найдем из него :

,

.

(1.21)

Заметим, что во второй формуле (1.21) величина подлежит замене на согласно первому условию (1.15).

С помощью формул (1.21) и (1.20) проводим прогонку в прямом направлении. В результате находим величины

Затем осуществляем обратный ход. При этом воспользуемся второй из формул (1.15) и формулой (1.17). Получим следующую цепочку формул:

(1.22)

Таким образом, отправляясь от начального слоя , на котором известно решение, мы последовательно можем найти значения искомого решения во всех узлах стеки.

Итак, мы построили неявную схему решения дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток.

1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток

При решении задачи методом сеток мы допускаем погрешность, состоящую из погрешности метода и вычислительной погрешности.

Погрешность метода – это та погрешность, которая возникает в результате замены дифференциального уравнения разностным, а также погрешность, возникающая за счет сноса граничных условий с на .

Вычислительная погрешность – это погрешность, возникающая при решении системы разностных уравнений, за счет практически неизбежных машинных округлений.

Существуют специальные оценки погрешности для решения задач методом сеток. Однако эти оценки содержат максимумы модулей производных искомого решения, поэтому пользоваться ими крайне неудобно, однако эти теоретические оценки хороши тем, что из них видно: если неограниченно измельчать сетку, то последовательность решений будет сходиться равномерно к точному решению. Здесь мы столкнулись с проблемой сходимости метода сеток. При использовании метода сеток мы должны быть уверены, что, неограниченно сгущая сетку, можем получить решение, сколь угодно близкое к точному.

Итак, на примере решения краевой задачи для дифференциального уравнения параболического типа рассмотрим основные принципы метода сеток. Отметим, что если при решении разностной задачи небольшие ошибки в начальных и краевых условиях (или в промежуточных результатах) не могут привести к большим отклонениям искомого решения, то говорят, что задача поставлена корректно в смысле устойчивости по входным данным. Разностную схему называют устойчивой, если вычислительная погрешность неограниченно не возрастает. В противном случае схема называется неустойчивой.

1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы

Пусть есть решение уравнения (1.14), удовлетворяющее возмущенным начальным условиям

и граничным условиям

.

Здесь – некоторые начальные ошибки.

.

Погрешность будет удовлетворять уравнению

(1.23)

(в силу линейности уравнения (1.14)), а также следующими граничными и начальными условиями:

, (1.24)

. (1.25)

Частное решение уравнения (1.23) будем искать в виде

. (1.26)

Здесь числа и следует подобрать так, чтобы выражение (1.26) удовлетворяло уравнению (1.23) и граничным условиям (1.24).

При целом удовлетворяет уравнению (1.23) и условиям (1.24).

Подставим уравнение (1.26) в уравнение (1.24). При этом получим:

.

Выражение в квадратных скобках равно

.

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение вместо выражения в квадратных скобках и проводя сокращения на получим:

,

откуда находим :

.

Таким образом, согласно уравнению (1.26), получаем линейно-независимые решения уравнения (1.23) в виде

Заметим, что это частное решение удовлетворяет однородным краевым условиям (1.24). Линейная комбинация этих частных решений также является решением уравнения (1.23):

, (1.27)

причем , определенное в выражении (1.27), удовлетворяет для любых однородным граничным условиям (1.24). Коэффициенты подбираются исходя из того, что должны удовлетворять начальным условиям (1.25):

.

В результате получаем систему уравнений

,

содержащую уравнений с неизвестными . Решая построенную систему определяем неизвестные коэффициенты .

Для устойчивости исследуемой разностной схемы необходимо, чтобы при любых значениях коэффициентов , определяемое формулой (1.27), оставалось ограниченной величиной при . Для этого достаточно, чтобы для всех выполнялось неравенство

. (1.28)

Анализируя (1.28) видим, что это неравенство выполняется для любых значений параметра . При этом при или в крайнем случае, когда

,

остается ограниченным и при фиксированном не возрастает по модулю. Следовательно мы доказали, что рассматриваемая разностная схема устойчива для любых значений параметра .

2. Реализация метода

2.1 Разработка программного модуля

Поставлена цель: разработать программный продукт для нахождения приближенного решения параболического уравнения:

(1.29)

,

(1.30)

Разобьем область прямыми

– шаг по оси ,

– шаг по оси .

Заменив в каждом узле производные конечно-разностными отношениями по неявной схеме, получим систему вида:

. (1.31)

Преобразовав ее, получим:

, (1.32)

В граничных узлах

(1.33)

В начальный момент

. (1.34)

Эта разностная схема устойчива при любом . Будем решать систему уравнений (1.32), (1.33) и (1.34) методом прогонки. Для этого ищем значения функции в узле в виде

, (1.35)

где – пока неизвестные коэффициенты.

. (1.36)

Подставив значение (1.35) в (1.32) получим:

.

. (1.37)

Из сравнения (1.35) и (1.37) видно, что

. (1.38)

. (1.39)

Для из (1.32) имеем:

.

.

Откуда, используя (1.35), получим:

, (1.40)

. (1.41)

Используя данный метод, мы все вычисления проведем в следующем порядке для всех .

1) Зная значения функции на границе (1.33), найдем значения коэффициентов по (1.40) и по (1.38) для всех .

2) Найдем по (1.41), используя для начальное условие (1.34).

3) Найдем по формулам (1.39) для .

4) Найдем значения искомой функции на слое, начиная с :

2.2 Описание логики программного модуля

Листинг программы приведен в приложении 1. Ниже будут описаны функции программного модуля и их назначение.

Функция main() является базовой. Она реализует алгоритм метода сеток, описанного в предыдущих разделах работы.

Функция f (x, y) представляет собой свободную функцию двух переменных дифференциального уравнения (1.29). В качестве аргумента в нее передаются два вещественных числа с плавающей точкой типа float. На выходе функция возвращает значение функции , вычисленное в точке .

Функции mu_1 (t) и mu_2 (t) представляют собой краевые условия. В них передается по одному аргументу (t) вещественного типа (float).

Функция phi() является ответственной за начальный условия.

В функции main() определены следующие константы:

– правая граница по для области ;

– правая граница по для области ;

– шаг сетки по оси ;

– шаг сетки по оси ;

Варьируя и можно изменять точность полученного решения от менее точного к более точному. Выше было доказано, что используемая вычислительная схема устойчива для любых комбинаций параметров и , поэтому при устремлении их к нуля можем получить сколь угодно близкое к точному решение.

Программа снабжена тремя механизмами вывода результатов работы: на экран в виде таблицы, в текстовый файл, а также в файл списка математического пакета WaterlooMaple. Это позволяет наглядно представить полученное решение.

Программа написана на языке программирования высокого уровня Borland C++ 3.1 в виде приложения MS-DOS. Обеспечивается полная совместимость программы со всеми широко известными операционными системами корпорации Майкрософт: MS-DOS 5.x, 6.xx, 7.xx, 8.xx, Windows 9x/Me/2000/NT/XP.

2.3 Пример работы программы

В качестве примера рассмотрим численное решение следующего дифференциального уравнения параболического типа:

,

Задав прямоугольную сетку с шагом оси 0.1 и по оси 0.01, получим следующее решение:

2.10 1.91 1.76 1.63 1.53 1.44 1.37 1.31 1.26 1.22 1.18

2.11 1.75 1.23 1.20 1.15 1.10 1.07 1.04 1.04 1.07 1.21

2.12 1.61 0.95 0.96 0.93 0.91 0.90 0.90 0.94 1.03 1.24

2.13 1.51 0.79 0.81 0.81 0.80 0.81 0.83 0.89 1.03 1.27

2.14 1.45 0.69 0.73 0.74 0.74 0.76 0.80 0.88 1.04 1.31

2.15 1.41 0.64 0.69 0.70 0.71 0.74 0.79 0.89 1.05 1.34

В таблице ось x расположена горизонтально, а ось t расположена вертикально и направлена вниз.

На выполнение программы на среднестатистическом персональном компьютере тратится время, равное нескольким миллисекундам, что говорит о высокой скорости алгоритма.

Подробно выходной файл output.txt, содержащий таблицу значений функции представлен в приложении 3.

В работе был рассмотрен метод сеток решения параболических уравнений в частных производных. Раскрыты основные понятия метода, аппроксимация уравнения и граничных условий, исследована разрешимость и сходимость получаемой системы разностных уравнений.

На основании изученного теоретического материала была разработана программная реализация метода сеток, проанализирована ее сходимость и быстродействие, проведен тестовый расчет, построен графики полученного численного решения.

1. Березин И.С., Жидков Н.П.Методы вычислений. Т.2. – М.: Физматгиз, 1962.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А.Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

3. Пирумов У.Г.Численные методы. – М.: Издательство МАИ, 1998.

4. Калиткин Н.Н.Численные методы. – М.: Наука, 1976.