Параболическое уравнение регрессии применяется если

Уравнение параболической регрессии

В некоторых случаях эмпирические данные статистической совокупности, изображенные наглядно с помощью координатной диаграммы, показывают, что увеличение фактора сопровождаются опережающим ростом результата. Для теоретического описания такого рода корреляционной взаимосвязи признаков можно взять уравнение параболической регрессии второго порядка:

(11.16)

где , – параметр, показывающий среднее значение результативного признака при условии полной изоляции влияния фактора (х=0); – коэффициент пропорциональности изменения результата при условии абсолютного прироста признака-фактора на каждую его единицу; с – коэффициент ускорения (замедления) прироста результативного признака на каждую единицу фактора.

Положив в основу вычисления параметров , , с способ наименьших квадратов и приняв условно срединное значение ранжированного ряда за начальное, будем иметь Σх=0, Σх 3 =0. При этом система уравнений в упрощенном виде будет:

Из этих уравнений можно найти параметры , , с, которые в общем виде можно записать так:

(11.20)

(11.21)

(11.22)

Отсюда видно, что для определения параметров , , с необходимо рассчитать следующие значения: Σ у, Σ ху, Σ х 2 , Σ х 2 у, Σ х 4 . С этой целью можно воспользоваться макетом табл. 11.9.

Допустим, имеются данные об удельном весе посевов картофеля в структуре всех посевных площадей и урожае (валовом сборе) культуры в 30 сельскохозяйственных организациях. Необходимо составить и решить уравнение корреляционной взаимосвязи между этими показателями.

Т а б л и ц а 11.9. Расчет вспомогательных показателей для уравнения

Параболической регрессии

№ п.п.	х	у	ху	х 2	х 2 у	х 4
х1	у1	х1у1
х2	у2	х2у2
…	…	…	…	…	…	…
n	хn	уn	хnуn
Σ	Σх	Σу	Σху	Σх 2	Σх 2 у	Σх 4

Графическое изображение поля корреляции показало, что изучаемые показатели эмпирически связаны между собой линией, приближающейся к параболе второго порядка. Поэтому расчет необходимых параметров , , с в составе искомого уравнения параболической регрессии проведем с использованием макета табл. 11.10.

Т а б л и ц а 11.10. Расчет вспомогательных данных для уравнения

Параболической регрессии

Подставим конкретные значения Σ у=495, Σ ху=600, Σ х 2 =750, Σ х 2 у=12375, Σ х 4 =18750, имеющиеся в табл. 11.10, в формулы (11.20), (11.21), (11.22). Получим

Таким образом, уравнение параболической регрессии, выражающие влияние удельного веса посевов картофеля в структуре посевных площадей на урожай (валовой сбор) культуры в сельскохозяйственных организациях, имеет следующий вид:

(11.23)

Уравнение 11.23 показывает, что в условиях заданной выборочной совокупности средний урожай (валовой сбор) картофеля (10 тыс. ц) может быть получен без влияния изучаемого фактора – повышения удельного веса посевов культуры в структуре посевных площадей, т.е. при таком условии, когда колебания удельного веса посевов не будут оказывать воздействие на размер урожая картофеля (х=0). Параметр (коэффициент пропорциональности) в=0,8 показывает, что каждый процент повышения удельного веса посевов обеспечивает прирост урожая в среднем на 0,8 тыс. т, а параметр с=0,1 свидетельствует о том, что на один процент (в квадрате) ускоряется приращение урожая в среднем на 0,1 тыс. т картофеля.

Параболическая регрессия

Уравнение параболической регрессии имеет вид

.

Если использовать метод наименьших квадратов (МНК), то для коэффициентов составляется и решается нормальная система линейных уравнений с матрицей

Входящие сюда величины подсчитываются по данным наблюдений.

Левая часть – это средние значения различных степеней фактора Х. Правая – это средние значения произведений:

или

Посчитывая эти числа и решая систему уравнений, находим коэффициенты регрессии.

Рекомендуемые файлы

Можно подсчитывать каждую из этих величин в отдельности. Но можно применить для этого и другой способ, матричный. При этом вся матрица коэффициентов системы подсчитывается сразу.

Для этого сначала нужно сформировать исходные данные в виде матриц

Для фактора Х эта матрица состоит из трех столбцов:

¨ столбец собственно Х;

Здесь величины записаны точно так же, как и в уравнении регрессии:

Теперь исходные данные собраны в двух матрицах. Это матрица X. и матрица Y.

Матрица нормальной системы вычисляется произведением матриц

где — транспонированная матрица.

Столбец правых частей нормальной системы вычисляется как произведение матриц

Если и неизвестные коэффициенты сформировать в матрицу

то сама система тоже может быть записана в матричном виде.

.

Но тогда естественно и решение получить в матричной записи, в виде обратной матрицы:

Если строить уравнение регрессии в виде многочлена

и при этом использовать матричный способ составления и решения нормальной системы, то формулы нисколько не изменятся, только матрица Х исходных данных будет содержать уже n столбцов.

Проверка адекватности квадратичного уравнения регрессии

Проводится по критерию Фишера

Проводится сравнение двух дисперсий: исправленной дисперсии фактора Y и дисперсии остатков

· исправленная дисперсию Y :

· дисперсия остатков: .

— число коэффициентов в уравнении регрессии, т.е. сейчас 3.

Подсчитанной наблюдаемое значение критерия Фишера сравниваем с найденным из таблиц критическим значением. Для пользования таблицами задаем уровень значимости и числа степеней свободы:

Чем больше F _набл по сравнению с F _кр , тем выше адекватность . Сравнивая, делаем вывод об адекватности (или неадекватности) построенной корреляционной модели причем оцениваем и степень адекватности.

ИНСТРУКЦИЯ К ЛАБОРАТОРОЙ РАБОТЕ

Анализ монопольного рынка

Имеются статистические данные для цены P и для спроса D на монопольный товар. Требуется рассчитать оптимальные цены, при которых

будут максимальными доход или прибыль.

Если описать зависимость спроса D от цены P теоретической формулой D(P), то с помощью этой теоретической зависимости можно будет исследовать зависимость дохода Z и прибыли F от цены P .

Тогда величина дохода Z равна произведению цены P на объем реализованного спроса:

В свою очередь, издержки G состоят из постоянных (C) и переменных затрат (V·D), которые пропорциональны объему произведенной продукции (V – затраты на единицу продукции):

Таким образом, для прибыли получаем формулу:

Чтобы найти величину цены, при которой максимальны доход или прибыль, нужно взять производную от них по цене P приравнять ее нулю:

Решая эти квадратные уравнения и выбирая из двух корней то значение, которое соответствует максимуму, находим значение цены, при которой максимальны доход или прибыль.

Рассмотрим также величину, называемую коэффициентом эластичности спроса:

.

Это число показывает, на сколько процентов изменяется спрос D при росте цены на 1% .

Так как цена P и спрос D всегда положительны, знак K _d определяется знаком производной. Для подавляющего большинства товаров спрос падает с ростом цены, и значит производная D ′ _p отрицательна. А значит, отрицательным будет и коэффициент эластичности.

Существует такое понятие, как эластичность и неэластичность спроса. При этом характер спроса определяется реакцией дохода на изменение цены.

Определение:

¨ спрос неэластичен, если с ростом цены доход тоже растет;

Рост или убывание дохода определяется знаком производной :

В зависимости от величины коэффициента эластичности K _d

возможны следующие случаи:

1. . Производная > 0 Þ с ростом цены несмотря на

снижение спроса доход продолжает расти. Спрос неэластичен.

2. . Производная · D(P).

· В ячейки AQ23 и AQ24 занести значения постоянных затрат C и переменных затрат V из вашего варианта исходных данных (дать ячейкам имена).

· Построить графики полученных зависимостей (Мастер диаграмм, Точечная диаграмма с последующим редактированием):

¨ На одном графике совместить зависимость дохода, издержек и прибыли от цены.

вать график, чтобы он выглядел следующим образом:

Параболическая и полиномиальная регрессии.

Лабораторная работа

Прогнозирование экономических процессов
с помощью табличного процессора Excel.

Требования к содержанию, оформлению и порядку выполнения

Для выполнения лабораторной работы необходимо создать новую рабочую книгу Excel под именем «Ваша фамилия, Лабораторная работа №1, Вариант №_» (например: «Иванов И.П. Лабораторная работа №1»Вариант №4).

Перед выполнением лабораторной работы изучите теоретическую часть и методику выполнения заданий.

Задания необходимо выполнить и оформить согласно своему варианту. Рабочие листы рабочей книги должны быть именованы Задание1, Задание2. Результаты выполнения заданий занести в файл отчета.

Варианты лабораторной работы распределяются согласно номеру № в списке группы см. таблицу

После выполнения лабораторной работы ответьте на контрольные вопросы. Ответы на контрольные вопросы поместите в файл отчета. Свою рабочую книгу вместе с файлом отчета, необходимо предоставить преподавателю на дискете, подписав ее «Отчет по лабораторной работе №2 студента Иванова И.П., гр. 170404».

Теоретическая часть

Прогнозирование — это метод научного исследования, ставящей своей целью предусмотреть возможные варианты тех процессов и явлений, которые выбраны в качестве предмета анализа.

Задачами экономического прогнозирования являются: предвидение возможного распределения ресурсов по различным направлениям; опреде­ление нижних и верхних границ получаемых результатов; оценка макси­мально возможного количества ресурсов, необходимого для решения хо­зяйственных и научно-технических проблем и др.

В зависимости от периода времени, на которой составляется прогноз (периода упреждения), прогнозы бывает:

Временная градация прогнозов является относительной и зависит от характера и цели данного прогноза.

Для выполнения краткосрочного прогноза чаще всего применяется метод экстраполяции.

Метод экстраполяциизаключается в нахождении значений, лежащих за пределами данного статистического ряда: по известным значениям статистического ряда находятся другие значения, лежащие за пределами этого ряда.

При экстраполяции переносится выводы, сделанные при изучении тенденций развития явления в прошлом и настоящем, на будущее, т.е. в основе экстраполяции лежит предположение об определенной стабильности факторных признаков, влияющих на развитие данного явления.

Рис.1. Основные обозначения метода экстраполяции.

При экстраполяции (см. рис.1.) используется следующая терминология:

t₁ – глубина ретроспекции;

t₂ – момент прогнозирования;

t₃ – прогнозный горизонт;

t₂ – t₁ – интервал наблюдения (промежуток времени, на базе которого исследуется история развития объекта прогнозирования);

t₃ – t₂ – интервал упреждения (промежуток времени на который разрабатывается прогноз).

Чем более устойчивый характер носит прогнозируемые процессы и тенденции, тем дальше может быть отодвинут горизонт прогнозирования. Как показывает практика, интервал наблюдения должен быть в три и более раз длиннее интервала упреждения. Как правило, этот период – довольно короткий. Метод экстраполирования не работает при скачкообразных процессах.

Метод экстраполяции легко реализуется на персональном компьютере. Использование современных табличных процессоров, таких как MS Excel позволяет оперативно проводить прогнозирование экономических процессов с использованием экстраполяционного метода.

Для повышения точности прогноза, необходимо учитывать зависимость прогнозируемой величины Y, от внешних факторов Х. Совокупность изучаемых величин подвержена, как правило, воздействию случайных факторов. В связи с этим зависимость прогнозируемой величины Y, от внешних факторов Х чаще всего статистическая, или – корреляционная.

Статистической называется зависимость случайных величин, при которой каждому значению одной их них соответствует закон распределения другой, то есть изменение одной из величин влечет изменение распределения другой.

Корреляционной называется статистическая зависимость случайных величин, при которой изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой.

Мерой корреляционной зависимости двух случайных величин Х и Y служит коэффициент корреляции r, который является безразмерной величиной, и поэтому он не зависит от выбора единиц измерения изучаемых величин.

Свойства коэффициента корреляции:

1) Если две случайные величины Х и Y независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. r=0.

2) Модуль коэффициента корреляции не превышает единицы, т.е. |r|£1, что эквивалентно двойному неравенству: -1£r£1.

3) Равенство коэффици­ента -1 или +1 показывает наличие функциональной (прямой) свя­зи. Знак «+» указывает на связь прямую (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака), знак «-» — на связь обратную (увеличение или уменьшение одного признака сопро­вождается противоположным по направлению изменением другого признака).

После определения наиболее существенных факторных признаков влияющих прогнозируемую величину, не менее важно установить их математическое описание (уравнение), дающее возможность численно оценивать результативный показатель через факторные признаки.

Уравнение, выражающее изменение средней величины результативного показателя в зависимости от значений факторных признаков, называется уравнение регрессии.

Линии на координатной плоскости, соответствующие уравнениям регрессии называются линиями регрессии.

Корреляционные зависимости могут выражаться уравнениями регрессии различных видов: линейной, параболической, гиперболической, показательной и т.д.

Линейная регрессия

Уравнением линейной регрессии (выборочным) Y на Х называется зависимость от наблюдаемых значений величины Х, выраженная линейной функцией:

, (1)

где величина r называется коэффициентом линейной регрессии Y на Х, b — константа.

Линейная аппроксимация хорошо описывает изменение величин, происходящее с постоянной скоростью.

Если коэффициент корреляции двух величин Х и Y равен r=±1, то эти величины связаны линейной зависимостью. Коэффициент корреляции служит мерой силы (тесноты) линейной зависимости измеряемых величин. На практике, если коэффициент корреляции двух величин Х и Y |r|>0.5, то считают, что есть основания предполагать наличие линейной зависимости между этими величинами. Однако ориентироваться при выборе типа линии регрессии (линейной или нелинейной) лучше по виду эмпирической зависимости величин Х и Y.

Параболическая и полиномиальная регрессии.

Параболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная квадратичной функцией (параболой 2-ого порядка):

. (2)

Это уравнение называется уравнением параболической регрессии Y на Х. Параметры а, b, с называются коэффициентами параболической регрессии. Вычисление коэффициентов параболической регрессии всегда громоздко, поэтому для расчетов рекомендуется использовать компьютер.

Уравнение (2) параболической регрессии является частным случаем более общей регрессии, называемой полиномиальной. Полиномиальной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная полиномом n-ого порядка:

, (3)

где числа а_i (i=0,1,…, n) называются коэффициентами полиномиальной регрессии.

Полиномиальная аппроксимация используется для описания величин, попеременно возрастающих и убывающих. Она полезна, например, для анализа большого набора данных о нестабильной величине.

Степенная регрессия.

Степенной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

. (4)

Это уравнение называется уравнением степенной регрессии Y на Х. Параметры а и b называются коэффициентами степенной регрессии.

Степенная аппроксимация полезна для описания монотонно возрастающей либо монотонно убывающей величины, например расстояния, пройденного разгоняющимся автомобилем. Использование степенной аппроксимации невозможно, если данные содержат нулевые или отрицательные значения.

Показательная регрессия.

Показательной (или экспоненциальной) зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

(или ). (5)

Это уравнение называется уравнением показательной (или экспоненциальной) регрессии Y на Х. Параметры а (или k) и b называются коэффициентами показательной (или экспоненциальной) регрессии.

Экспоненциальная аппроксимация полезна в том случае, если скорость изменения данных непрерывно возрастает. Однако для данных, которые содержат нулевые или отрицательные значения, этот вид приближения неприменим.

Логарифмическая регрессия.

Логарифмической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

(6)

Это уравнение называется уравнением логарифмической регрессии Y на Х. Параметры а и b называются коэффициентами логарифмической регрессии.

Логарифмическая аппроксимация полезна для описания величины, которая вначале быстро растет или убывает, а затем постепенно стабилизируется. Логарифмическая аппроксимация использует как отрицательные, так и положительные величины.

Гиперболическая регрессия.

Гиперболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

. (7)

Это уравнение называется уравнением гиперболической регрессии Y на Х. Параметры а и b называются коэффициентами гиперболической регрессии.

Качество построения уравнений регрессии характеризует средняя ошибка аппроксимации или относительная ошибка прогноза:

(8)

где Y_э – эмпирическое значение прогнозируемого показателя; Y – расчетное значение прогнозируемого показателя.

Проведение регрессионного анализа можно разделить на три этапа: выбор формы зависимости (вида уравнения) на основе статистических данных, вычисление коэффициентов выбранного уравнения, оценка достоверности выбранного уравнения.

Использование табличного процессора позволяет легко выполнить все этапы регрессионного анализа.