Параметры линейные уравнения и неравенства

Учебное пособие «Уравнения и неравенства с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная

школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

муниципального района Клявлинский

« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов

данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)

Авторы

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева Ирина Алексеевна

Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9

Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15

Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…. 16-18

Задания для самостоятельной работы…………………………. 21-28

Уравнения и неравенства с параметрами.

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:

Выделить особое значение — это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.

Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.

Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.

Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.

Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.

§ 1. Линейные уравнения и неравенства.

Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра a является значение а = 0.

Если а ¹ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х=.

Если а = 0, то уравнение принимает вид : 0х= b . В этом случае значение

b = 0 является особым значением параметра b .

При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Неравенства вида ах > b и ax b ( а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток

(; +), если a > 0 , и (-;) , если а . Аналогично для неравенства

ах b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а

Пример 1. Решить уравнение ах = 5

Решение : Это линейное уравнение .

Если а = 0, то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.

Если а ¹ 0, х = — решение уравнения.

Ответ: при а ¹ 0, х=

при а = 0 решения нет.

Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.

Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:

Если а= -3, то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3, уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.

Ответ: При а = -3, х R ; при а ¹ -3, х = 2.

Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?

Решение: Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение

2(а — 2) х = а 2 – 4а +4

2(а — 2) х = (а – 2) 2

При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.

При а ¹ 2 х =. По условию х > 1, то есть >1, а > 4.

Ответ: При а <2>U (4;∞).

Пример 4. Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.

Решение. ах = 8 – линейное уравнение.

а =,

y = a – семейство горизонтальных прямых;

y = — графиком является гипербола. Построим графики этих функций.

Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.

Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:

y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Построим графики этих функций.

Ответ:При|а|>1— один корень

при | а|≤1 – уравнение корней не имеет.

Решение : ах + 4 > 2х + а 2 (а – 2) х > а 2 – 4. Рассмотрим три случая.

а=2 . Неравенство 0 х > 0 решений не имеет.

а > 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х > а + 2

а (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х а + 2

Ответ. х > а + 2 при а > 2; х при а при а=2 решений нет.

§ 2. Квадратные уравнения и неравенства

Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:

1 ) дискриминанта квадратного уравнения: D = b ² — 4 ac , (²- ас)

2) формул корней квадратного уравнения: х ₁ =, х ₂ =,

(х _{1,2 =} )

Квадратными называются неравенства вида

Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).

Если дискриминант квадратного трехчлена a х 2 + b х + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R .

Если квадратный трехчлен имеет корни (х _{1 2} ), то при а > 0 он положителен на множестве (-; х ₂ )( х _2; +) и отрицателен на интервале

(х ₁ ; х ₂ ). Если а ₁ ; х ₂ ) и отрицателен при всех х (-; х ₁ )( х _2; +).

Пример 1. Решить уравнение ах² — 2 (а – 1)х – 4 = 0.

Это квадратное уравнение

Решение: Особое значение а = 0.

При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.

При а ≠ 0. Найдем дискриминант.

Если а = -1, то D = 0 – один корень.

Найдем корень, подставив вместо а = -1.

-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.

Если а ≠ — 1 , то D >0 . По формуле корней получим: х=;

х ₁ =2, х ₂ = —.

Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и

а ≠ — 1 уравнение имеет два корня х ₁ =2, х ₂ =-.

Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а

y = х²-2х-8— графиком является парабола;

y =а— семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Ответ: При а -9, уравнение имеет два решения.

Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х ?

Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если

, откуда следует, что a > 6 .

§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,

сводящиеся к линейным

Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.

В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение = 0

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2

При а = -2 корней нет.

Пример 2 . Решить уравнение— = (1)

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² — 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.

Найдем дискриминант = (1 – а)² — (а² — 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х ₁ = а + 1, х ₂ = а — 3.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х ₁+1=0, х ₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

Если х ₁+2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = — 3. Таким образом, при а = — 3, х₁ — посторонний корень уравнения. (1).

Если х₂+1=0, то есть (а – 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х₂ — посторонний корень уравнения (1).

Если х₂+2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,

х₂ — посторонний корень уравнения (1).

В соответствии с этим при а = — 3 получаем х = — 3 – 3 = -6;

при а = — 2 х = -2 – 3= — 5;

при а = 1 х =1 + 1= 2;

при а = 2 х=2+1 = 3.

Можно записать ответ.

Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2, то х= -5; 3) если а= 0, то корней нет; 4) если а= 1, то х= 2; 5) если а=2, то х=3; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х₁ = а + 1, х₂ = а-3.

§4. Иррациональные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.

Уравнение вида = g ( x ) равносильно системе

Неравенство f ( x ) ≥ 0 следует из уравнения f ( x ) = g 2 ( x ).

При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:

≤ g(x) ≥g(x)

Пример 1. Решите уравнение = х + 1 (3)

Это иррациональное уравнение

Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе .

При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.

При а≠ 2 х=. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1: ≥ — 1, ≥ 0,

откуда а ≤ или а > 2.

Ответ: При а≤, а > 2 х= , при уравнение решений не имеет.

Пример 2. Решить уравнение = а (приложение 4)

Решение. y =

y = а – семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Пример 3 . Решим неравенство (а+1)

Решение. О.Д.З. х ≤ 2. Если а+1 ≤0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то

(а+1)

откуда х (2- 2

Ответ. х (- ;2 при а ( —;-1, х (2- 2

при а ( -1;+).

§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Sinx = a x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, , n Z, ≤1. (2)

Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют .

tg x = a x= arctg a + πn, n Z, aR

ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, aR

Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:

1. sin x > a arcsin a + 2 πn Z,

при a xR ; при a ≥ 1, решений нет.

при а≤-1, решений нет; при а >1, xR

3. cos x > a — arccos a + 2 πn x arccos a + 2 πn , n Z ,

при а xR ; при a ≥ 1 , решений нет.

при а≤-1 , решений нет ; при a > 1, x R

5. tg x > a, arctg a + πnZ

Пример1. Найти а, при которых данное уравнение имеет решение:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Решение. Запишем уравнение в виде

Уравнение cosx = 5- а имеет решения при условии -1≤ 5- а ≤1 4≤ а ≤ 6, а уравнение cosx = — а-1 при условии -1≤ -1- а ≤ 1 -2 ≤ а ≤0.

Ответ. а -2; 0 4; 6

Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство + b > 0 выполняется при всех х ≠ πn , n Z .

Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а π /2 при а ≥0.

§ 6. Показательные уравнения и неравенства

1. Уравнение h ( x ) f ( x ) = h ( x ) g ( x ) при h ( x ) > 0 равносильно совокупности двух систем и

2. В частном случае ( h ( x )= a ) уравнение а f ( x ) = а g ( x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем

и

3. Уравнение а f ( x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению

f ( x )= log _a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.

Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f ( a x ) > 0 при помощи замены переменной t = a x сводится к решению системы неравенств а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f ( x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.

Пример 1 . При каких а уравнение 8 х = имеет только положительные корни?

Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 8 х >1 >1 >0, откуда a (1,5;4).

Ответ. a (1,5;4).

Решение. Рассмотрим три случая:

1. а . Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых х R .

3. а > 0 . a 2 ∙2 x > a 2 x > x > — log ₂ a

Ответ. х R при а > 0; решений нет при a =0; х (- log ₂ a ; +) при а> 0 .

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.

В частности, если а >0, а ≠1, то

log _a g (x)= log _a h(x)

2. Уравнение log _a g (x)=b g (x)= a b ( а >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Неравенство log _{f ( x )} g ( x ) ≤ log _{f ( x )} h ( x ) равносильно совокупности двух систем: и

Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то

log _a f (x) ≤ b

log _a f (x) > b

_{Пример 1. Решите уравнение}

Решение. Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение

log х – 2 = 4 – log _a x log х + log _a x – 6 = 0, откуда log _a x = — 3

х = а -3 и log _a x = 2 х = а 2 . Условие х = а 4 а – 3 = а 4 или а 2 = а 4 не выполняется на ОДЗ.

Ответ: х = а -3 , х = а 2 при а ( 0; 1) (1; ).

Пример 2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

2 log — + a = 0 имеет решения.

Решение. Выполним замену = t и получим квадратное уравнение 2 t 2 – t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8 a . Рассмотрим D ≥0, 1-8 а ≥0 а ≤.

При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.

Ответ. а =

Пример 3 . Решить неравенство log ( x 2 – 2 x + a ) > — 3

Решение. Решим систему неравенств

Корни квадратных трехчленов х _1,2 = 1 ± и х _3,4 = 1 ±.

Критические значения параметра : а = 1 и а = 9.

Пусть Х₁ и Х₂ – множества решений первого и второго неравенств, тогда

Х ₁ Х ₂ = Х – решение исходного неравенства.

При 0 a ₁ = (- ;1 — )( 1 + ; +), при а > 1 Х ₁ = (-;+).

При 0 a ₂ = (1 —; 1 +), при а ≥9 Х ₂ – решений нет.

Рассмотрим три случая:

1. 0 a ≤1 Х = (1 —;1 — )(1 + ;1 +).

3. a ≥ 9 Х – решений нет.

Высокий уровень С1, С2

Пример 1. Найдите все значения р, при которых уравнение

р ∙ ctg 2 x + 2 sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение. Преобразуем уравнение

р ∙ ( — 1) + 2 sinx + p = 3, sinx = t , t , t 0.

— p + 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Пусть f ( y ) = 3 t 2 – 2 t 3 . Найдем множество значений функции f ( x ) на . у / = 6 t – 6 t 2 , 6 t — 6 t 2 = 0, t ₁ =0, t ₂ = 1. f (-1) = 5, f (1) = 1.

При t , E ( f ) = ,

При t , E ( f ) = , то есть при t , E ( f ) = .

Чтобы уравнение 3 t 2 – 2 t 3 = p ( следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно p E ( f ), то есть p .

Ответ. .

При каких значениях параметра а уравнение log (4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 имеет ровно один корень?

Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:

4 x 2 – 4 a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .

Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.

4∙ 0 2 — 4 a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

1) a ₁ = 1. Тогда уравнение имеет вид: log (4 x 2 +4) =2. Решаем его

4 x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4 x 2 + 4 = х 4 + 4 x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.

2) a ₂ = 3. Уравнение имеет вид: log (4 x 2 +4) =2 х = 0 – единственный корень.

Высокий уровень С4, С5

Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение

х 2 – ( р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7рх 2 + 2х 2 – 14 рх — 3х +21 р ≤ 0.

Решение. Пусть х _1, х ₂ – целые корни уравнения х 2 – ( р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х ₁ + х ₂ = р + 3, х ₁ ∙ х ₂ = 1. Произведение двух целых чисел х ₁ , х ₂ может равняться единице только в двух случаях: х ₁ = х ₂ = 1 или х ₁ = х ₂ = — 1. Если х ₁ = х ₂ = 1, то р + 3 = 1+1 = 2 р = — 1; если х ₁ = х ₂ = — 1, то р + 3 = — 1 – 1 = — 2 р = — 5. Проверим являются ли корни уравнения х 2 – ( р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая р = — 1, х ₁ = х ₂ = 1 имеем

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ ( — 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ ( — 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = — 5, х₁ = х₂ = — 1 имеем ( — 1) 3 – 7 ∙ ( — 5) ∙ ( -1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ ( -5) × ( — 1) – 3 ∙ ( — 1) + 21∙ ( -5 ) = — 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = — 1 и р = — 5.

Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а, при которых число 1 принадлежит области определения функции

у = ( а — а ).

Решение. у = ( а — а ). Область определения данной функции составляют все значения х, для которых а — а ≥ 0.

Если значения х = 1 принадлежит области определения, то должно выполняться неравенство а— а ≥ 0, а≥ а (1)

Таким образом, необходимо найти все а > 0, удовлетворяющие неравенству (1).

1) а = 1 удовлетворяет неравенству (1).

2) При а > 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а ≥ а 2 +6,

а 2 — 5а + 4 ≤ 0. Решение этого неравенства: 1≤ а ≤ 4. Учитывая условие а >1, получим 1

а 2 — 5а + 4 ≥ 0. Его решение а ≤ 1; а ≥ 4 с учетом условия 0

Неравенства с параметром

Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:

1. Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
2. Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
3. Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.

Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.

Решить неравенство \((a-2)x>a^2-4\) для любого значения параметра \(a\).

Первый случай: Если \(a=2\), получим неравенство \(0*x>0\), которое не имеет решений.

Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.

Второй случай: Если \(a > 2 ⇔ x > \frac ⇔ x > a+2;\)

Третий случай: Если \(a 2\) $$ x > a+2;$$ при \(a Пример 2

Решить неравенство \(ax^2-4x-4>0\) при всех значениях параметра \(a\).

Первый случай: Если \(a=0\) , неравенство примет вид \(-4x-4>0 ⇔ x

Получаем, что дискриминант больше нуля при \(a > -1; D 0\) ветки параболы направлены вверх, а при \(a 0,D > 0\)

урок в 9 классе «Уравнения и неравенства с параметрами»
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Урок в 9 классе «уравнения и неравенства с параметрами»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок в 9 классе «Решение уравнений и неравенств с параметром»

Тема: Решение уравнений и неравенств с параметром

Тип урока: урок–лекция, материал концентрируется в блоки и преподносится как единое целое, контроль проводится по предварительной подготовке уч-ся.

1. Расширить и с истематизировать знания учащихся
2. Рассмотреть приёмы и методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметр
3. Н аправить на углубленное изучение предмета и овладение его содержанием на повышенном уровне сложности
4. Приобрести в рамках предпрофильной подготовки навыки решения задач, содержащих параметры .

1. расширение и углубление сложности задач, решаемых учащимися.

1. развитие логического мышления, интуиции, познавательных и творческих способностей учащихся,
2. развитие умения анализировать ситуацию, разрабатывать способ решения, проводить рассуждения, обоснования.

1. повышение интереса к математике,
2. расположение к самостоятельной организации работы.

Формы и методы работы:

1. Использование приёмов, активизирующих работу школьников свободный выбор заданий для самостоятельной работы, дифференцированные задания для домашней работы;
2. Использование групповых форм работы;
3. Формой контроля обучающая самостоятельная работа, итоговое тестирование, исследовательская работа.

1. Постановка цели урока.
2. Актуализация знаний, умений и навыков.

Учитель: Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр.

Решить уравнение (неравенство) с параметром – это значит установить соответствие, позволяющие для любого значения параметра найти соответствующее множество решений уравнения (неравенства).

Можно выделить различные типы уравнений и неравенств с параметром:

Линейные уравнения и неравенства. (1 блок)

Рассмотрим примеры решения:

1. Решить уравнение: ax=2x+5.

Переносим неизвестные слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые: ( a–2)x=5.

Чтобы найти корни необходимо поделить уравнение на ( a–2) , при а=2 , выражение а–2=0, т. к. делить на нуль нельзя, то данное уравнение имеет решение только при :

Ответ: при а=2 решений нет, при :;

2.При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 не имеет решений?

Решений не имеет уравнение 0·х=b, где . Поэтому 2а(a–2)=0 , а , отсюда следует, что а=0

3. При каком значении параметра а уравнение (а 2 –4)х=а 2 +а–6 имеет бесконечно много решений?

Уравнение будет иметь бесконечно много решений при:

Решив первое уравнение системы, получим а 1,2 = . Корни 2-го уравнения: а 1 =–3, а 2 =2.

Таким образом, одновременно оба равенства обращаются в 0 при а=2

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащимся на выбор предлагаются задания. Каждый выбирает любые 1–2 или несколько заданий для решения.

1. При каком значении параметра а уравнение 2а(a–2)x= а–2 имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении параметра (а 2 –4)х=а 2 +а–6 уравнение не имеет решений?
3. Решить неравенство ax
4. При каком значении параметра а неравенство 2aх
5. При каком значении параметра a неравенство a 2 x

Обсуждение решений вместе с учащимися. При необходимости проверить с помощью проектора. Оформить решения в виде слайдов.

Квадратные уравнения и неравенства. (2 блок)

Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:

Если D>0 то уравнение имеет два различных корня;

Если D=0 то уравнение имеет один корень (или два совпадающих);

Это правило используется и при решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр.

1. При каких значениях параметра а уравнение 4x 2 –4ax+1=0 имеет два корня?

Найдем дискриминант исходного выражения.

D=16а 2 –4·4·1=16а 2 –16 ; Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то D=16а 2 –16≥0, а 2 –1≥0

2. При каких значениях параметра b уравнение(b-1)x 2 +(b+4)x+b+7=0 имеет один корень?

При b=1 уравнение становится линейным . Подставив b=1 в исходное уравнение, и получим : 5x +8=0; x=16 .

При b 1 имеем квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет один корень при D=0. Находим дискриминант и приравниваем его к нулю. D=(b+4) 2 –4(b-1)( b+7)=–3 b 2 +16 b+44=0.

Решаем уравнение 3 b 2 –16 b–44=0, находим корни b=2; b= .

Ответ: При b=1; b=2; b= уравнение имеет только один корень.

3.При каких значениях параметра неравенство а x 2 –4ax+5 0не имеет решений?

При а=0 получаем :5 0. Это неверно. Значит при а=0 исходное неравенство не имеет решений.

При а исходное неравенство будет квадратным. Графиком функции у= а x 2 –4ax+5 является парабола. Чтобы неравенство а x 2 –4ax+5 не имело решений нужно чтобы парабола была полностью расположена выше оси абсцисс. Условия соответствующие данному расположению параболы:

Решением системы является промежуток (0;1,25). Объединяя решения получаем ответ.

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащиеся выборочно решают самостоятельно задания:

1.При каком значении параметра а уравнение x 2 –ax+16=0 не имеет корней.

2. При каких значениях параметра b уравнение(2b–5)x 2 –2(b–1)x+3=0 имеет два различных корня?

3. При каких значениях а неравенство x 2 –(a+2)x+8а+1>0не имеет решений?

4. При каких значениях а неравенство x 2 –(a+2)x+8а+1>0 выполняется при любых значениях х?

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформить я в виде слайдов.

Применение теоремы Виета. (3 блок)

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет положительные корни?

Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета x 1 + x 2 =2b и x 1 x 2 = b+6. Имеем систему неравенств:

Решением системы неравенств будет промежуток

Ответ: b уравнение имеет положительные корни.

2.Найти все значения p, при которых разность корней уравнения x 2 +px+12=0 равна 1 .

Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения, тогда по теореме Виета имеем систему:

Из первого и третьего уравнений выразим параметр p и подставим во второе уравнение:

Решаем квадратное уравнение: ; 1– p 2 =–48; p 2 =49; Уранение имеет два корня 7 и –7

Ответ: p= разность корней равна 1.

1. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет отрицательные корни?

2. Найти все значения параметра b при которых уравнение x 2 –2bx+b+6=0 имеет корни разных знаков?

3. Найти все значения p, при которых разность корней уравнения 2x 2 –px+1=0 равна 1 .

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформлены на слайдах.

1. Создание проблемной ситуации.

Учитель: Теперь исследуем расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

На экране запись:f(x)=ax 2 +bx+c

–Какую информацию о графике функции можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

–если а 0, то ветви параболы направлены вверх, если а

– если а=0, то графиком будет являться не парабола, а прямая и соответствующее уравнение нужно решать как линейное;

–если D>0, то парабола пересекает ось абсцисс в 2-х точках

–абсцисса параболы равна

Эти свойства используются нами при решении задач о расположении корней квадратного уравнения относительно заданных точек.

Задача: При каких значениях параметра а оба корня уравнения x 2 –ax+7=0 меньше 7.

Учитель: Попробуйте схематически изобразить параболу записать необходимые условия соответствующие этому расположению параболы. Учащиеся пытаются составить соответствующую систему неравенств и схематически изобразить график.

Проверка с помощью проектора y

Решаем соответствующую систему неравенств. Учащиеся самостоятельно находят решение системы неравенств. Сверяют ответы.

Ответ: При а оба корня уравнения меньше 7.

Учитель: Решим ещё одну подобную задачу:

Задача: При каких значениях параметра а число 7 находится между корнями уравнения x 2 –ax+7=0 ?

Учитель: Попробуем схематически изобразить график и составить соответствующую систему неравенств.

Проверка с помощью проектора : y

Находим решение системы неравенств.

Ответ: При а 8 число 7 находится между корнями уравнения.

Учитель: Сегодня на уроке мы разобрали основные приёмы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр, научились использовать теорему Виета при решении задач с параметрами, научились получать геометрическую интерпретацию задачи с параметром, составлять подходящую систему неравенств. Для решения данной задачи.

Домашнее задание состоит из 3-х разделов, различного уровня сложности.

Линейные уравнения и неравенства

1. 1.При каком значении а неравенство a x 8 не имеет решений?
3. 2. При каком значении а неравенство a x 8 имеет бесконечно много решений?

3.Решить неравенство a x 1– x для различных значений a.

1. 1. При каком значении а уравнение
2. 2a(а–2) x= а–2 не имеет решений?
4. 2. При каком значении а уравнение 2a(а–2) x= а–2 имеет бесконечно много решений?

2a(а–2) x а–2 различных значений a.

1.При каком значении а система уравнений не имеет решений?

2. При каком значении а система уравнений имеет бесконечно много решении?

Квадратные уравнения и неравенства. Применение теоремы Виета.

1.При каком значении параметра а уравнение ax 2 +2ax+1=0 имеет 2 корня?

2.При каком значении а неравенство x 2 –3ax+4 0 имеет бесконечно много решений?

3. Найти все значения а при которых сумма корней уравнения

2x 2 +ax+1=0 положительна?

1.При каком значении а неравенство аx 2 –4ax–3 0 выполняется при любых значениях х?

2. При каком значении параметра а уравнение ax 2 +(2a+3) x+а–1=0 не имеет корней?

3. Найти все значения а при которых отношение корней уравнения

x 2 + p x+2=0 равно 2?

1. При каком значении параметра а решение неравенства ax 2 +2ax+1 0 состоит из одной точки?

2. Найти все значения а при которых число 2разделяет корни уравнения аx 2 +x+1=0.

3.При каком значении а сумма + где –корни уравнения 4 x 2 –11x+а 2 =0 принимает наибольшее значение?

Учащиеся получают домашнее задание на карточках. Достаточно выполнить любые 6 заданий. При оценивании работы учитывается раздел уровня сложности, из которого были решены задачи.

Анализ усвоения материала учащимися.

Учащиеся проявляют интерес к предложенной теме, так как задачи с параметрами нечасто встречаются при изучении курса алгебры 7–9 классов. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики. Трудности при изучении данного вида заданий связаны со следующими их особенностями: обилие формул и методов, используемых при решении уравнений и неравенств данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами.

Материал урока позволил обобщить и систематизировать задачи с параметрами, встречавшиеся ранее в курсе алгебры 7–9 классов. Были выработаны навыки решения простейших линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр. Учащиеся получили представление о разнообразии задач такого рода и разнообразии методов их решения, научились использовать при решении графические представления. Знакомясь условием задачи, научились применять теоретические разделы математики, необходимые для решения данной задачи.

Эти навыки безусловно будут полезны в первую очередь учащимся в рамках предпрофильной подготовки особенно тем, кто ориентирован на профиль обучения, связанный с математикой.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Уравнения и неравенства с параметрами

На протяжении последнего десятилетия на приемных экзаменах регулярно предлагаются так называемые задачи с параметрами: уранения, неравенства, системы уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Методика решений уравнений и неравенств с параметрами. Можно использовать на факультативных занятиях и при подготовки к ЕГЭ (часть С).

Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»

9-й класс. Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»Чехолкова Алла ВладимировнаЦель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Разв.

Урок по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами».Элективный курс.

Урок обобщения и повторения. Основная цель: Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами;закрепить умения применять знания при решении конкретн.

Конспект урока «Квадратные неравенства с параметром» (9 класс)

Тема урока «Квадратные неравенства с параметром» (9 класс)Цели урока:- обобщить материал по данной теме и применить его для выполнения заданий более высокого уровня сложности;- развивать память, мышле.

Урок алгебры «Ограниченность тригонометрических функций в уравнениях и неравенствах с параметром» 10 класс

Цели урока:-сформировать понятие об ограниченности синуса и косинуса как о свойстве, дающем возможность перехода к исследованию новой функции на отрезке;-актуализировать знания о методах решения задач.

Урок-семинар по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами», 11 класс

Представлена разработка урока-семинара по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами» , 11 класс, подготовка к ЕГЭ.