Параметры тока которые можно определить по уравнению

Параметры тока которые можно определить по уравнению

Повторим еще раз уравнения (1.14):

Согласно методу симметричных составляющих

Разделив левую и правую части последних выражений на w_эB, получим

(1.23)

где k = w_эВ/w_эА— уже известный коэффициент трансформации двигателя. Подставляя (1.23) в выражение _B и решая систему двух уравнений относительно I_A1, I_A2 , получим

(1.24)

Рассчитав I_A1 и I_A2 , легко определить I_B1 и I_B2 , а затем найти полные токи фаз А и В.

§ 1.9. Электромагнитная мощность. Вращающий момент несимметричного двухфазного микродвигателя

Поскольку в рассматриваемых микродвигателях имеют место поля токов прямой и обратной последовательностей, электромагнитная мощность — мощность, передаваемая от статора к ротору магнитным полем, должна быть равна сумме мощностей этих последовательностей.

Как известно, при круговом поле электромагнитная мощность равна потерям в активном сопротивлении ротора, деленным на скольжение s для прямого и на 2 — s для обратного полей

Если выразить токи и сопротивления фазы В через токи и сопротивления фазы А

подставить в (1.25), (1.26), то после преобразований получим

(1.27)

Выражение (1.27) неудобно для практических расчетов тем, что в него входят токи ротора. Это обстоятельство можно обойти, если воспользоваться схемами замещения рис.1.7. Действительно, в параллельном соединении: “контур намагничивания — цепь ротора” (рис.1.7), существует только одно активное сопротивление r_рA. В преобразованных схемах замещения рис.1.8 в состав Z_рA1, Z_рA2 тоже входит активное сопротивление r_рA1, r_рA2. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии потери мощности в этих сопротивлениях должны быть одинаковыми, т.е.

С учетом этого выражение электромагнитной мощности приобретает простой вид

(1.28)

Если разделить электромагнитную мощность на синхронную угловую частоту вращения, получим выражение вращающего момента

При этом перед электромагнитной мощностью обратной последовательности следует поставить знак «минус», ибо обратное поле создает не движущий, а тормозной момент.

На рис. 1.10 представлена механическая характеристика асинхронного двигателя при эллиптическом поле, как результат действия прямого и обратного полей, создающих вращающий М₁ и тормозной М₂ моменты.

Рис.1.10. Механическая характеристика двухфазного асинхронного двигателя с эллиптическим магнитным полем

Из рис. 1.10 видно негативное действие обратного поля:

• снижение максимального и пускового моментов,
• увеличение номинального скольжения и, как следствие, увеличение потерь в роторе, снижение КПД машины.

Задача 1.7. Определить пусковой момент несимметричного двухфазного двигателя, параметры схемы замещения которого

х_сA = 26Ом; r_сA = 34 Ом; x_mA = 430 Ом; m = 2; r_рA= 30 Ом; x_рA = 22 Ом; f = 50 Гц; U = 220 В.

§ 1.10. Энергетическая диаграмма. Потери мощности

Энергетическая диаграмма несимметричного двухфазного микродвигателя показана на рис. 1.11.

Рис.1.12. Энергетическая диаграмма несимметричного двухфазного асинхронного микродвигателя

р_к — потери в конденсаторе. p_k = I²_сB r_к . Активное сопротивление конденсатора r_к обычно очень мало, так чтопотерями в нем можно пренебречь.

p_ст— потери в стали. При эллиптическом поле они равны сумме потерь встали от прямого p_ст1 и обратного p_ст2 полей [1]: р_ст = р_ст1 + р_ст2

Потерями в стали ротора при скольженьях, близких к номинальному, можно пренебречь, поскольку частота перемагничивания ротора весьма небольшая ( f₂ = f₁s ).

Потери в стали статора от поля прямой последовательности рассчитывают обычным порядком [4]. Они пропорциональны квадрату индукции и частоте в степени 1,3:

Потери в стали статора от поля обратной последовательности

где E_А1, E_А2 — ЭДС в обмотке А от поля прямой и обратной последовательностей.

Потери в обмотках А и В статора

В формуле (1.32) должны присутствовать токи статора, полученные сучетом потерь в стали. Эти токи определяются следующим образом [1,5].

Для покрытия потерь в стали двигатель потребляет из сетидополнительный ток, что приводит к увеличению активных составляющихтоков статора. Эти увеличения можно рассчитать по следующим формулам:

Прибавляя «добавки» к активным составляющим токов, рассчитанным без учета потерь в стали, получим полные токи фаз статора:

(1.35)

Здесь индексы 1 и 2 означают прямую и обратную последовательности.

Потери в обмотке ротора можно определить через электромагнитнуюмощность (1.28) и скольжение ротора

Из энергетической диаграммы видно, что электрические потери в обмотке ротора от токов обратной последовательности р_эр2 больше электромагнитной мощности обратной последовательности Р_эм2, чего казалось бы не должно быть. Этот парадокс объясняется следующим образом.

По отношению к полю обратной последовательности машина работает в режиме электромагнитного тормоза, поэтому вся энергия (Р_эм2) превращается в тепло, т.е. в потери в обмотке ротора. Но для вращения ротора против поля требуется еще и механическая энергия, источником которой является электромагнитная мощность прямой последовательности Р_эм1. Часть этой мощности (Dp_эр2) также превращается в тепло. Эта часть равна

Механическая мощность, развиваемая несимметричным двухфазным микродвигателем равна:

Механические потери p_мех — потери на трение и вентиляцию, определяют по эмпирическим формулам [4], суть которых заключается в том, что эти потери пропорциональны квадрату скорости вращения р_мех

Полезная мощность на валу микродвигателя

(1.37)

Потребляемая электрическая мощность

Ни в энергетической диаграмме, ни в расчетах не упоминалисьдобавочные потери. Согласно ГОСТ 183-74 они составляют 0,5 % отпотребляемой мощности, что практически выходит за пределы точностирасчетов микромашин.

Как найти силу тока?

Расчет электрических параметров необходим для правильных построений цепей. Поскольку целью использования электричества в электротехнике является задача по выполнению током работы, то встает вопрос о том, как найти силу тока. Данный параметр используют при вычислениях мощности и в расчетах потребления электрической энергии.

Существуют разные способы определения этого важного параметра, которые мы рассмотрим в данной статье.

Формулами

Параметры электрического тока всегда взаимосвязаны. Например, изменение величины нагрузки отображается на показателях других величин. Причем эти изменения подчиняются соответствующим законам, которые выражаются через формулы. Поэтому на практике для нахождения силы тока часто используют соответствующие формулы.

Через заряд и время

Вспомним определение (рис.1): электричество – это величина заряда, движимого силами электрического поля, преодолевающего за единицу времени условную плоскость проводника, называемую поперечным сечением проводника.

Рис. 1. Определение понятия сила тока

Таким образом, если известен электрический заряд, прошедший через проводник за определенное время, то не трудно найти величину этого заряда прошедшего за единицу времени, то есть: I = q/t

Через мощность и напряжение

В паспорте электроприбора обычно указывается его номинальная мощность и параметры электрической сети, для работы с которой он предназначен. Имея в распоряжении эти данные, можно вычислить силу тока по формуле: I = P/U.

Данное выражение вытекает из формулы для расчета мощности: P = IU.

Через напряжение или мощность и сопротивление

Силу электричества на участке цепи определяют по закону Ома. Для этого необходимо знать следующие параметры: сопротивление и напряжение на этом участке. Тогда I = U/R. Если известна мощность нагрузки, то ее можно выразить через квадрат силы тока умноженной на сопротивление участка: P = I 2 R, откуда

Для полной цепи эту величину вычисляют по закону Ома, но с учетом параметров источника питания.

Через ЭДС, внутреннее сопротивление и нагрузку R

Применяя закон Ома, адаптированный для полной цепи, вы можете вычислить максимальный ток по формуле I = ε / (R+r′), если известны параметры:

• внешнее сопротивление проводников (R);
• ЭДС источника питания (ε);
• внутреннее сопротивление источника, обладающего ЭДС (r′).

Примечание! Реальные источники питания обладают внутренним сопротивлением. Поскольку в электрической цепи
показатель силы тока может уменьшаться в связи с возрастанием сопротивления источника питания или в результате падения ЭДС. Именно из-за роста внутреннего сопротивления садится аккумулятор и ослабевает ЭДС элементов питания.

Закон Джоуля-Ленца

Казалось бы, что расчет силы тока по количеству тепла, выделяющегося в результате нагревания проводника, не имеет практического применения. Однако это не так. Рассмотрим это на примере.

Пусть требуется найти силу тока во время работы электрочайника. Для этого доведите до кипения 1 кг воды и засеките время в секундах. Предположим, начальная температура составляла 10 ºС. Тогда Q = Cm(τ – τ₀) = 4200 Дж/кг× 1 кг (100 – 10) = 378 000 Дж.

Рис. 2. Закон Джоуля-Ленца

Из закона Джоуля-Ленца (изображение на рис. 2) вытекает формула:

Измерив сопротивление электроприбора и подставив значения в формулу, получим величину потребляемого тока.

Измерительными приборами

Если под руками имеются измерительные приборы, то с их помощью довольно просто найти силу тока. Необходимо лишь соблюдать правила измерений и не забывать о правилах безопасности.

Амперметром

Пользуясь приборами для измерения ампеража, следует помнить, что они подключаются в цепи последовательно. Внутреннее сопротивление амперметра очень маленькое, поэтому прибор легко выводится из строя, если проводить измерения пределами значений, для которых он рассчитан.

Схема подключения амперметра показана на рисунке 3. Обратите внимание на то, что на участке измеряемой электрической цепи обязательно должна быть нагрузка.

Рис. 3. Схема подключения амперметра

Большинство аналоговых амперметров, например, таких, как на рисунке 4, предназначены для измерений параметров в цепях с постоянными токами.

Обратите внимание распределение шкалы амперметра. Цена первого деления 50 А, а всех последующих – 10 А. Максимальная величина, которую можно измерить данным амперметром не должна превышать 300 А. Для измерений электрической величины в меньших либо в больших пределах следует применять соответствующие приборы, предназначенные для таких диапазонов. В этом смысле универсальность амперметра ограничена.

При измерениях постоянных токов необходимо соблюдать полярность щупов при подключении амперметра. Для подключения прибора требуется разрывать цепь. Это не всегда удобно. Иногда вычисление силы тока по формуле является предпочтительней, особенно если приходится проводить измерения в сложных электротехнических схемах.

Мультиметром

Преимущество мультиметра в том, что этот прибор многофункциональный. Современные мультиметры цифровые. У них есть режимы для измерений в цепях постоянных и переменных токов. В режиме измерения силы тока этот измерительный прибор подключается в цепь аналогично амперметру.

Перед включением мультиметра в цепь, всегда проверяйте режим измерений, а пределы измерения выбирайте заведомо большие предполагаемой силы тока. После первого измерения можно перейти в режим с меньшим диапазоном.

Для работы с переменным напряжением переводите прибор в соответствующий режим. Считывайте значения с дисплея после того, как цифры перестанут мелькать.

Примеры

Покажем на простых примерах, как решать задачи на вычисление силы тока по формуле.

Задача 1.

На участке цепи имеются три параллельно включенных резистора (см. рис. 5). Значения сопротивлений резисторов: R₁ = 5 Ом; R₂ = 25 Ом; R₃ = 50 Ом. Требуется рассчитать силу тока для каждого резистора и на всём участке, если на нем поддерживается постоянное напряжение 100 В.

Решение: При параллельном соединении нагрузочных элементов U = const, то есть, напряжение одинаково на всех резисторах и составляет 100 В. Тогда, по закону Ома I = U/R

Для вычисления искомого параметра на всем участке цепи, нам необходимо знать общее сопротивление этого участка. Учитывая тот факт, что при параллельном соединении нагрузочных элементов в цепи их общее сопротивление равно:

Имеем: 1/R= 1/5 + 1/25 + 1/50 = 13/50; R = 50/13 ≈ 3.85 (Ом)

Тогда: I = U/R = 100 В/3,85 Ом ≈26 А.

Ответ:

• Сила тока на сопротивлениях: I₁ =20 А; I₂ = 4А; I₃ = 2 А.
• Сила тока, поступающего на рассматриваемый участок цепи равна 26 А.

Задача 2.

Мощность электрочайника 2 кВт. Чайник работает от городской сети под напряжением 220 В. Сколько электричества потребляет этот электроприбор?

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения силы тока, включающей напряжение и мощность: I = P/U.

• 2 кВт преобразим в ватты: 2 кВт = 2000 Вт.
• Подставляем данные: I = 2 000 Вт/ 220 В ≈ 9 А
• Ответ: Нагревательный элемент электрочайника рассчитан на 9 А.

Задача 3.

Вычислить силу тока в цепи, если известно, что сопротивление составляет 5 Ом, ЭДС источника питания 6 В, а его внутреннее сопротивление составляет 1 Ом.

Решение.

Применяя закон Ома для полной цепи, запишем: I = ε / (R+r′)

I = 6 В / (5 Ом + 1 Ом) = 1 А.

Ответ: сила тока 1 А.

Задача 4.

Сколько энергии потребляет электроплита за 2 часа работы, если сопротивление нагревательного элемента 40 Ом?

Решение:

За время t электричество выполнит работу A = U*I*t.

Напряжение сети известно – оно составляет 220 В.Силу тока находим по формуле: I = U/R, тогда A = (U 2 /R)*t или

A = ((220 В) 2 / 40 Ом) * 2 ч = 2420 Втч = 2,42 кВтч

Ответ: За 2 часа работы электроплита потребляет 2,42 кВт часов электроэнергии.

Применяя формулы для вычисления параметров электричества, пользуясь фундаментальными законами физики можно находить неизвестные данные для составных элементов цепей и электроприборов с целью оценки их состояния. В каждом отдельном случае необходимо определить известные параметры тока, которые можно использовать в дальнейших вычислениях. Обычно, это напряжение, мощность или сопротивление нагрузки.

Если можно обойтись без измерений амперметром – лучше прибегнуть к вычислениям, даже если при этом потребуется измерить напряжение. Такое измерение можно проводить без разрыва электрической цепи, чего нельзя сделать при помощи амперметра.

Электрические цепи с распределенными параметрами

Содержание:

Электрические цепи с распределенными параметрами:

Каждый элемент электрической цепи (резистор, катушка, конденсатор) имеет конечные размеры, и его можно представить как совокупность малых однородных частей, в которых совершаются интересующие нас электромагнитные процессы — преобразование энергии в тепло, накопление энергии в магнитном и электрическом полях. Иначе говоря, все устройства имеют распределенные параметры — сопротивление, индуктивность, емкость.
При изучении электрических цепей до сих пор мы не учитывали размеры устройств, предполагая, что параметры R, L, C сосредоточены, т. е. представляли в расчетной схеме каждый элемент в целом.

Такой подход к анализу электрических цепей принимают тогда, когда рассматривают и изучают внешние связи между элементами. В тех случаях, когда требуется выявить соотношения внутри устройства, соответствующий элемент рассматривается как объект с распределенными параметрами. Таким объектом может быть обмотка электрической машины, трансформатора, антенна радиотехнического устройства и др.

Электрическая цепь с распределенными параметрами

Электрическая цепь с распределенными параметрами — это цепь, в которой сопротивления, проводимости, индуктивности и емкости распределены вдоль цепи.

Наглядным примером цепи с распределенными параметрами является электрическая длинная линия.

Уравнения длинной линии

Длинные линии строят для передачи электрической энергии, для электросвязи (передачи информации). Их рассматривают как объекты с распределенными параметрами при низких частотах и длине в десятки и сотни километров.
В радиотехнике при высоких частотах распределение параметров по длине учитывают в более коротких участках проводов (единицы и доли метра), например в антеннах.

Схемы замещения длинных линий

На рис. 26.1 изображена схема электрической цепи, состоящей из источника и приемника электрической энергии, связанных двухпроводной линией. Эту цепь можно рассматривать неразветвленной, с одинаковым током во всех ее элементах, если не учитывать двух обстоятельств: скорость распространения электромагнитных возмущений конечна; имеются токи, обусловленные емкостью между проводами (емкостный ток) и проводимостью изоляции (ток утечки через изоляцию).

В данном случае первое обстоятельство можно не учитывать, так как скорость распространения электромагнитных возмущений действительно велика (в вакууме равна скорости света). Емкостные токи и токи утечки пропорциональны напряжению между проводами; кроме того, емкостный ток увеличивается с ростом частоты, так как уменьшается емкостное сопротивление. Поэтому при высоком напряжении или большой частоте, а также при большой длине линии емкостные токи и токи утечки становятся значительными по величине и их нельзя исключить из расчета.
Токи между проводами существуют на сколь угодно малом отрезке линии, поэтому ток в проводах уменьшается по мере удаления от начала линии.
Вдоль линии напряжение между проводами тоже неодинаково. Оно уменьшается в направлении от начала к концу линии, так как растет падение напряжения, обусловленное активным и индуктивным сопротивлениями проводов.

Для расчета можно составить схему замещения линии, изображенную на рис. 26.2. На схеме замещения бесконечно малый участок двухпроводной линии длиной dx представлен ячейкой с активным сопротивлением R₀dx прямого и обратного проводов, индуктивностью L₀dx, проводимостью G₀dx и емкостью C₀dx между проводами. Вся линия изображается электрической схемой последовательного соединения таких ячеек. Активное сопротивление, индуктивность, проводимость и емкость считают равномерно распределенными вдоль линии, а R₀, L₀, G₀, C₀ — величины этих параметров на единицу длины.

Рис. 26.3. Схема замещения однородной линии без потерь

Линия с равномерным распределением параметров называется однородной. Реальные линии можно считать однородными лишь приближенно, так как параметры их все же распределены неравномерно. Например, проводимость воздушной линии сосредоточена в основном на опорах, а благодаря провесу проводов емкость по отношению к земле вдоль пролета неодинакова.
В зависимости от целей и требуемой точности расчета можно учитывать все четыре параметра или некоторые из них. Так, при рассмотрении линии электропередачи с напряжением до 35 кВ и при частоте 50 Гц часто не учитывают емкостные токи и токи утечки, т. е. считают равными нулю параметры C₀ и G₀.

При высокой частоте (например, в радиотехнических устройствах) или при коротких импульсах напряжения в линиях, возникающих от грозовых разрядов, емкостные токи между проводами могут быть сравнительно большими и ими пренебрегать нельзя.

Вместе с тем при высокой частоте и малой длине линии в отдельных случаях можно пренебречь активным сопротивлением R₀ и проводимостью G₀.
При таком упрощении получается линия без потерь, схема замещения которой показана на рис. 26.3.

Основные уравнения длинной линии

При синусоидальном напряжении источника питания напряжение и ток в линии на любом расстоянии x от ее начала изменяются во времени. Вместе с тем напряжение и ток изменяются вдоль линии. Установившийся режим в длинной линии представляется довольно сложной пространственно-временной картиной, для изучения которой необходимо получить аналитическую зависимость напряжения и тока от двух независимых переменных — времени и расстояния.

Решить такую задачу можно, используя схему замещения однородной линии (см. рис. 26.2). На схеме кроме параметров некоторого элемента длины линии dx обозначены напряжение и ток в начале и конце этого элемента, расположенного на расстоянии x от начала линии.
Падение напряжения в элементе длины dx линии

Разность токов в начале и конце того же элемента равна сумме тока утечки и емкостного тока:

Из этих выражений получают дифференциальные уравнения однородной линии, в которые входят комплексы токов и напряжений, изменяющихся во времени по синусоидальному закону, а также их производные по переменной координате х:

где — полное сопротивление единицы длины линии (определяется продольными параметрами линии); — полная проводимость единицы длины линии (определяется поперечными параметрами линии).
Продольные R₀, L₀ и поперечные G₀, C₀ параметры линии характеризуют совершенно различные физические явления, поэтому между собой не связаны.
Далее можно составить уравнения, в которых переменными будут напряжение или ток. Для этого продифференцируем по х уравнения (26.1):

учитывая выражения (26.1), получим линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Решением первого уравнения из (26.2) является выражение

Уравнение тока получим из (26.1) и (26.3):

Характеристики длинной линии

В выражениях (26.3) и (26.4) и — постоянные коэффициенты, определяемые условиями в начале или конце линии; — коэффициент распространения электромагнитной волны по линии (коэффициенты выражаются комплексными числами):

Учитывая формулу (26.5), запишем другое уравнение тока:

или

где величина

имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением линии.
Постоянные коэффициенты и нетрудно найти, если известен режим в начале линии, т.е. даны и .
Из уравнений (26.3) и (26.6) при x = 0

Отсюда

Отношение комплекса напряжения к комплексу тока в начале линии называется входным сопротивлением линии.
Входное сопротивление линии при нагрузке можно определить через входные сопротивления при холостом ходе и коротком замыкании :

Коэффициент распространения электромагнитной волны как комплексную величину, можно представить в алгебраической форме

Этот коэффициент, имея два слагаемых, характеризует две стороны электромагнитного процесса в линии: затухание амплитуд и изменение фазы напряжения и тока в зависимости от расстояния от начала линии.
В соответствии с этим действительная часть комплекса δ называется коэффициентом затухания, а мнимая часть β — коэффициентом фазы.
Коэффициент затухания δ показывает степень затухания амплитуды колебаний при распространении волны на единицу длины.

Рис. 26.4. График распределения напряжения вдоль линии

На рис. 26.4 показан график распределения напряжения вдоль линии в некоторый фиксированный момент времени. Из графика видно, что напряжение вдоль линии распределено по периодическому закону, а амплитуды напряжения затухают по экспоненциальному закону в направлении от начала к концу линии.

Задача 26.1.

Трехфазная линия электропередачи длиной l = 900 км имеет первичные параметры: R₀ = 0,08 Ом/км; Z₀ = 1,336 • 10 -3 Гн/км; С₀ = 8,6 x 10 -9 Ф/км; G₀ = 3,75 • 10 -8 См/км.
Нагрузка в конце линии Р₂ = 300 МВт; U₂ = 380 кВ; соsφ₂ = 1; частота f = 50 Гц.
Определить вторичные параметры линии (Z_c, γ), напряжение и ток на ее входе.
План решения:
1. Комплексы «продольного» сопротивления и «поперечной» проводимости [см. формулы (26.1)].
2. Волновое сопротивление линии — по формуле (26.7).
3. Коэффициент распространения — по формуле (26.5).
4. Коэффициент затухания и коэффициент фазы — по формуле

5. Ток в конце линии — по формуле (20.9).
6. Напряжение и ток в начале линии — по формулам (26.3) и (26.6), которые следует записать при условии, что расстояния вдоль линии отсчитываются от конца линии:


При этом

Коэффициенты и определяют по формулам (26.8) при замене величин напряжения и тока в начале линии этими величинами в конце линии:

Выполнить вычисления по данному плану.

Установившийся режим в длинной линии без потерь

Линия без потерь, как уже было отмечено, не имеет активных сопротивления R₀ и проводимости

В радиотехнике длинные линии с малыми потерями встречаются часто, поэтому рассмотрение линии при R₀ = 0 и G₀ = 0 имеет практическое значение.

Уравнения длинной линии без потерь

Согласно формулам (26.5) и (26.9), для линии без потерь коэффициент затухания а коэффициент распространения волны оказывается равным коэффициенту фазы:

Поэтому график распределения напряжения вдоль линии в некоторый фиксированный момент времени представляет собой синусоиду. Амплитуда напряжения вдоль линии остается постоянной (рис. 26.5). Волновое сопротивление [см. формулу (26.7)]

Уравнения напряжения и тока в линии без потерь, согласно уравнениям (26.3), (26.6),

Вместо коэффициента и подставим их значения из (26.8), определенные по известным величинам напряжения U₁ и тока I₁ в начале линии Кроме того, сделаем замену:


После преобразования из уравнений (26.11) получим

Рис. 26.5. Распределение волны напряжения вдоль линии без потерь

Из этих уравнений можно также получить выражения напряжения и тока в любой точке линии, если известны напряжение U₂ и ток I₂ в конце линии, при условии отсчета расстояния от конца линии:

С помощью уравнений (26.12) и (26.13) можно исследовать различные режимы длинной линии без потерь.

Холостой ход

При холостом ходе линии (I₂ = 0)

Напряжение и ток вдоль линии в любой момент времени распределены по синусоидальному закону, причем в пунктах, где напряжение равно нулю, ток имеет наибольшую величину, а в пунктах с наибольшим напряжением ток равен нулю (рис. 26.6, а, б).

Точки линии, в которых напряжение или ток равны нулю, называются узлами, а точки с наибольшей величиной напряжения или тока — пучностями.
Таким образом, узлы напряжения по месту расположения на линии совпадают с пучностями тока, а пучности напряжения — с узлами тока.
Положение узлов напряжения и пучностей тока найдем, приравняв нулю напряжение в первом уравнении (26.14): U = 0 при , где k — любое целое число или нуль, т. е. при и т.д.

Рис. 26.6. Графики напряжения и тока стоячей электромагнитной волны в длинной линии без потерь

Положение на линии узлов тока и пучностей напряжения определяется из второго уравнения (26.14) при I = 0.
Напряжение и ток, распределяясь вдоль линии по синусоидальному закону без затухания, по такому же закону изменяются во времени.

Короткое замыкание

Аналогичная картина наблюдается и при коротком замыкании конца линии без потерь. Отличие электромагнитных процессов в линии без потерь в режимах холостого хода и короткого замыкания состоит лишь в том, что изменяется расположение пучностей и узлов напряжения и тока по длине линии: в тех пунктах, где при холостом ходе находятся пучности напряжения и узлы тока, при коротком замыкании обнаруживаются пучности тока и узлы напряжения. В частности, в конце разомкнутой линии имеется пучность напряжения и узел тока а в конце короткозамкнутой линии имеется пучность тока и узел напряжения ,

Стоячая волна

Пусть вектор напряжения в конце разомкнутой линии направлен по действительной оси комплексной плоскости, т. е. начальная временная фаза напряжения равна нулю:
или
В этом случае мгновенные значения напряжения и тока в линии можно выразить уравнениями

При во всех точках линии напряжение отсутствует (u = 0). Затем напряжение растет во всех пунктах линии, кроме узлов, и при достигает амплитуды.
Но эта амплитуда напряжения во всех пунктах линии разная. В месте пучности напряжение достигает наибольшей величины U_2m, а в узле она всегда равна нулю.
Электромагнитный процесс, подчиняющийся уравнениям (26.15), называется стоячей волной, характерной особенностью которой является неподвижность узлов и пучностей на линии.

Бегущая волна

Из тригонометрии известно, что

Следовательно, напряжение и ток в линии можно представить суммой двух составляющих, каждая из которых является уравнением бегущей волны:

Первое слагаемое в этих уравнениях — прямая волна, распространяющаяся от начала к концу линии; второе — обратная волна с такой же амплитудой.
В этом можно убедиться, рассмотрев подробно одну из составляющих, например первую в уравнении напряжения.
Предположим, что некоторая величина напряжения u’ в момент времени t имеет место в пункте, пространственное положение которого определяется расстоянием x от конца (или начала) линии (см. рис. 26.5):

Распространение волны напряжения означает, что через бесконечно малый промежуток времени dt такое же напряжение u’ возникает в другом пункте линии, отстоящем от первого на бесконечно малое расстояние dx:

Равенство напряжений в моменты времени, отстоящие на dt, возможно при равенстве аргументов синусов в обоих уравнениях, т. е. при

Отсюда

или

Отношение характеризует скорость распространения волны напряжения вдоль линии и называется фазовой скоростью волны.
Знак минус указывает на то, что волна движется от начала к концу линии (расстояние x уменьшается).
Аналогично можно показать, что вторая составляющая напряжения в уравнении (26.16) представляет собой волну, распространяющуюся в обратном направлении (x увеличивается).
Волна, распространяющаяся от начала к концу линии, называется прямой или падающей, а волна, распространяющаяся в обратном направлении (от конца линии к началу), — обратной или отраженной.
Те же рассуждения можно отнести к составляющим тока во втором уравнении (26.16).
Таким образом, стоячая волна напряжения представляет собой сумму, а волна тока — разность прямой (падающей) и обратной (отраженной) волн одинаковой амплитуды.

Волновое сопротивление. Длина волны

Уравнения (26.16) запишем в таком виде:


Отсюда

Волновое сопротивление линии выражается отношением напряжения к току падающих волн или аналогичным отношением для отраженных волн.
Волновое сопротивление линии можно определить через входные сопротивления при холостом ходе и коротком замыкании:

Большой интерес представляет также расстояние, на которое бегущая волна распространяется за время одного периода синусоидально изменяющегося напряжения или тока.
Из формулы (26.17) видно, что фазовая скорость постоянна, поэтому

Путь, пройденный волной за время периода называется длиной волны:

В линии без потерь фазовая скорость

а длина волны

Найдем величину фазовой скорости для воздушной линии без потерь, подставляя в формулу (26.19) L₀ и С₀ двухпроводной линии, определенные ранее [см. формулы (7.31), (8.29)]:

Фазовая скорость электромагнитной волны в воздушной линии без потерь равна скорости света.
Если среда, в которой распространяется электромагнитная волна, характеризуется величинами диэлектрической и магнитной проницаемости то

Принимая при частоте f = 50 Гц получим длину волны:

Нетрудно заметить, что при частоте в реальных линиях электропередачи 6—220 кВ, длина которых значительно меньше 6000 км, укладывается только небольшая часть длины волны. Поэтому волнообразное изменение напряжения и тока вдоль этих линий при такой частоте практически не наблюдается.
В линиях дальних передач с номинальным напряжением 500 кВ и более изменения величины напряжения вдоль линии становятся заметными и приходится принимать меры к его выравниванию. С увеличением частоты длина волны уменьшается. В технике связи, где применяются высокие частоты, длина волны может быть во много раз меньше длины линии.

Задача 26.3.

В конце двухпроводной линии без потерь напряжение U₂ = 600 В при холостом ходе. Определить напряжение и ток в начале линии, если известны: волновое сопротивление длина линии 24 км, коэффициент распространения
План решения.
1. Напряжение в начале линии по первой формуле (26.13) при I₂ = 0.
2. Ток в начале линии по второй формуле (26.13).
Выполнить подсчеты по данному плану.
Дополнительное задание: определить напряжение и ток в начале линии при коротком замыкании на конце, где ток I = 4 А.

Нагрузочные режимы длинной линии без потерь

Кроме крайних режимов холостого хода и короткого замыкания для практики еще более интересными являются нагрузочные режимы, когда в конце линии включается приемник электромагнитной энергии. Из различных нагрузочных режимов рассмотрим режимы с согласованной и несогласованной активными нагрузками.

Режим с согласованной нагрузкой

Режим в линии называется согласованным, если сопротивление нагрузки в конце линии равно ее волновому сопротивлению: В этом случае а уравнения (26.13) записывают так:

Учитывая, что

уравнения (26.21) можно записать в виде

Предположим, что синусоидальное напряжение в конце линии имеет начальную фазу ψ = 0, тогда
Если нагрузка линии активная (R₂ = Z_c), ток и напряжение совпадают по фазе:
Уравнения напряжения и тока в линии:

В этом случае мгновенные величины напряжения и тока в любом пункте линии на расстоянии x от ее концов определяются уравнениями

Это уравнения бегущих волн напряжения и тока, распространяющихся от начала к концу линии (прямые волны) с фазовой скоростью
При согласованной нагрузке отраженных волн в линии нет, следовательно, энергия, которую несет падающая электромагнитная волна, полностью поглощается в нагрузке.

Режим с несогласованной нагрузкой

Нагрузка линии называется несогласованной, если нагрузочное сопротивление в конце линии отличается от волнового сопротивления , т. е.
Рассмотрим случай, когда линия замкнута на активное сопротивление Напряжение в конце линии определяется произведением Уравнения (26.13) для этого случая

Отношение называется коэффициентом бегущей волны.
С введением этого коэффициента уравнения (26.25) принимают следующий вид:


Вместо в уравнении напряжения и в уравнении тока подставим тождественные им выражения:


После подстановки получим

Первые слагаемые в этих уравнениях аналогичны уравнениям (26.21). Анализ их ранее показал, что они выражают бегущие волны напряжения и тока. Вторые слагаемые аналогичны уравнениям (26.14), которые являются уравнениями стоячих волн. Опуская промежуточные выводы, выполненные ранее для бегущих и стоячих волн, напишем уравнения для мгновенных величин напряжения и тока при несогласованной нагрузке:

Таким образом, режим в линии без потерь при несогласованной нагрузке можно рассматривать как наложение бегущих и стоячих волн напряжения и тока.
Наличие бегущих волн в направлении от начала к концу линии указывает на потребление энергии в нагрузке. Однако потребляется лишь часть энергии электромагнитной волны, другая часть отражается от конца линии.
Режимы холостого хода и с согласованной нагрузкой линии без потерь являются частными случаями, соответствующими значениям коэффициента бегущей волны k = 0 (холостой ход) и k = 1 (согласованная нагрузка).

Коэффициенты отражения и преломления

Представление электромагнитного процесса в линии как наложение прямых (падающих) и обратных (отраженных) волн напряжения и тока возможно не только в рассмотренных частных случаях. Оно соответствует общим уравнениям напряжения и тока в линии (26.12), в правой части которых записана сумма (разность) двух составляющих.
При анализе электромагнитных процессов в длинных линиях вводится понятие о коэффициенте отражения р, который равен отношению комплекса напряжения отраженной волны к комплексу напряжения падающей волны или аналогичному отношению комплексов токов:

Выразим напряжение и ток в конце линии их падающими и отраженными составляющими в соответствии с уравнениями (26.11):

При совместном решении этих уравнений найдем коэффициент отражения:

Подставим найденное выражение ρ в уравнения напряжения U₂ и тока I₂:

Множители

называются коэффициентами преломления волн напряжения (тока).
Согласно выражениям (26.29), коэффициент преломления равен отношению комплексов напряжения (тока) в рассматриваемом пункте линии к комплексу напряжения (тока) падающей волны:

Анализ этих формул показывает:
1) при холостом ходе линии коэффициент отражения а коэффициенты преломления в конце линии напряжение в конце линии равно удвоенной величине напряжения падающей волны, а ток равен нулю:
2) при коротком замыкании линии коэффициент отражения коэффициент преломления напряжение в конце линии равно нулю, а ток равен удвоенной величине тока падающей волны:
3) при согласованной нагрузке коэффициент отражения коэффициент преломления напряжение и ток в конце линии равны своим падающим составляющим: при несогласованной активной нагрузке коэффициент отражения

где k — коэффициент бегущей волны;

Распространение электромагнитной волны с прямоугольным фронтом по линии без потерь

Как было показано в предыдущих параграфах, установившийся режим в длинной линии при синусоидальном изменении напряжения и тока удобно представить наложением прямых и обратных электромагнитных волн.
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами тоже рассматриваются как движение прямых и отраженных волн, возникающих после включения или отключения какого-либо участка, при передаче телемеханических или телефонно-телеграфных сигналов по линиям связи т. п.
Переходные процессы могут быть также следствием изменения внешних магнитных и электрических полей, связанным с грозовыми явлениями.

Электромагнитная волна с прямоугольным фронтом

В цепи с сосредоточенными параметрами переходный процесс начинается и протекает одновременно во всех ее элементах. Особенностью переходного процесса в длинной линии является то, что появившееся в некоторой точке возмущение распространяется по линии с определен-ной скоростью, поэтому переходный процесс в данном пункте линии начинается тем позднее, чем он дальше от места возмущения.

При переходных процессах в цепях с распределенными параметрами (линии, обмотки электрических машин и трансформаторов) могут возникать электромагнитные волны различной формы.

Качественную сторону явления распространения электромагнитной волны рассмотрим на примере волны с прямоугольным фронтом (рис. 26.7) в линии без потерь.

Рис. 26.7. Распределение электромагнитной волны с прямоугольным фронтом вдоль линии без потерь

Для такой волны характерно то, что во всех пунктах линии, расположенных до фронта волны, напряжение и ток равны нулю, а в пунктах линии, расположенных за фронтом волны, напряжение и ток постоянны.

Распространение электромагнитной волны с прямоугольным фронтом означает, что напряжение и ток последовательно в каждом пункте линии изменяются скачком. Как было показано ранее, такое изменение напряжения и тока в цепях, обладающих емкостью и индуктивностью, невозможно, так как требует источника бесконечно большой мощности. Таких источников не существует, поэтому волну с прямоугольным фронтом нужно рассматривать как некоторую идеализацию реального процесса.

Электрические и магнитные явления в линии — это две стороны единого электромагнитного процесса. Однако эти явления удобно рассматривать отдельно, т. е. выделять из электромагнитной волны волну напряжения и волну тока.

Были записаны в комплексной форме уравнения (26.1) для синусоидального изменения напряжения и тока. Те же уравнения для мгновенных величин напряжения и тока в однородной линии без потерь имеют вид

Решением этих уравнений в общем виде являются функции

где — скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии; эта величина, называемая волновой скоростью, численно равна фазовой скорости [см. формулу (26.19)]; Z_c — волновое сопротивление линии.

Уравнения (26.32) по своей структуре подобны уравнениям (26.16), поэтому любой электромагнитный переходный процесс в линии можно рассматривать как наложение прямых и обратных волн напряжения и тока. Физический смысл переходных процессов в линии удобно выяснить на простейших примерах.

Подключение источника постоянного напряжения U₀ к бесконечно длинной линии

После включения источника вдоль линии будет распространяться волна с прямоугольным фронтом, заряжающая ее последовательно (от одного пункта к другому) до напряжения U₀. На поверхности проводов появляется заряд, величина которого на единице длины Q₀ = C₀U₀.

Если за время dt волна переместилась на расстояние dx, линия получает дополнительный заряд

Этот заряд как бы распространяется по проводам от источника вдоль линии до точки х₁, в которой находится в данный момент фронт волны; при этом образуется ток

Один провод заряжается положительно, а другой (обратный) — отрицательно, что соответствует противоположному направлению токов в них (рис. 26.7).
На отрезке линии длиной dx, около фронта волны, возникновение электрического поля сопровождается током смещения между проводами. Таким образом, цепь оказывается замкнутой. При движении волны она удлиняется, но ток остается постоянным, равным I₀.

Контур, по которому замыкается ток, пронизывается магнитным потоком, направленным, согласно правилу буравчика, в плоскостях, перпендикулярных осям проводов.
Перемещение волны на dx сопровождается увеличением магнитного потока на величину

и наведением в контуре э. д. с. самоиндукции

Э. д. с. самоиндукции направлена против тока, т. е. у фронта волны она направлена навстречу напряжению U₀ и равна ему по величине

Отношение напряжения к току дает величину волнового сопротивления линии

Энергия, отдаваемая источником в линию за единицу времени,
На отрезке линии длиной, равной единице, запасается энергия в электрическом, — в магнитном полях.
Согласно закону сохранения энергии, мощность источника должна быть равна энергии, запасаемой в электромагнитном поле линии за 1 с:

где — скорость электромагнитной волны, равная расстоянию, которое пробегает волна за 1 с, создавая на своем пути электрическое и магнитное поля.

Включение источника постоянного напряжения на линию конечной длины

Пользуясь выводами, полученными ранее, рассмотрим движение волн с учетом возможных отражений от конца линии.

Если линия разомкнута на конце, то коэффициенты отражения ρ и преломления m, согласно формулам (26.28) и (26.30), оказываются равными: ρ = 1; m_u = 2; m_i = 0. Следовательно, u₂ = 2U_пад; i₂ = 0.

Отраженная волна напряжения накладывается на падающую, в результате чего напряжение на линии удваивается (рис. 26.8, а).
При этом энергия электромагнитной волны преобразуется в энергию электрического поля.

При коротком замыкании конца линии ρ = —1; m_u = 0; m_i = 2.
Отраженная волна напряжения компенсирует падающую волну (u₂ = 0), а ток в линии удваивается (рис. 26.8, б). Этот процесс сопровождается переходом всей энергии волны в энергию магнитного поля.
При согласованной нагрузке (R₂ = Z_с) ρ = 0; u₂ = U_пад; i₂ = I_пад.
Отраженных волн нет, а энергия волны полностью поглощается нагрузкой (рис. 26.8, в).

Рис. 26.8. Различные случаи отражения электромагнитной волны с прямоугольным фронтом от конца линии

Электрические цепи с распределенными параметрами

Электрические цепи, параметры которых (сопротивления, индуктивности и емкости) распределены по всей длине, называются цепями с распределенными параметрами.

В неразветвленных цепях с распределенными параметрами токи в разных сечениях неодинаковы. Это происходит вследствие токов утечки между проводами, токов смещения через межпроводные емкости и по ряду других причин. Так как токи утечки пропорциональны напряжению, а токи смещения пропорциональны частоте и напряжению, то с ростом напряжения и частоты их влияние становится более заметным. Кроме того, токи утечки и смещения увеличиваются с увеличением протяженности линии.

К цепям с распределенными параметрами относятся линии электропередачи.

Любая электрическая линия, например двухпроводная линия электропередачи или электросвязи, характеризуется четырьмя первичными параметрами, отнесенными к единице ее длины: активным сопротивлением проводов , индуктивностью проводов , активной проводимостью изоляции между проводами и емкостью между проводами . Если первичные параметры распределены равномерно по всей длине линии, то линию называют однородной.

Для исследования длинные линии с распределенными параметрами заменяют схемами замещения (рис. 21.6).

На схеме замещения однородной линии с потерями (рис. 21.6а) рассматривается длинная линия, состоящая из бесконечно большого числа элементарных ячеек длиной dx с параметрами: активным сопротивлением , индуктивностью , проводимостью изоляции и емкостью , находящихся на разном расстоянии х от начала линии.

В зависимости от целей и требуемой точности выполненного расчета можно учитывать все четыре параметра или некоторые из них. Например, при исследовании линии электропередачи напряжением 35 кВ и частотой f=50 Гц часто не учитываются токи смещения и утечки, т.е. принимается g₀ = 0 и С₀ = 0.

При высокой частоте или при коротких импульсах напряжения токи смешения могут быть значительно большими и ими пренебречь нельзя. Но при высокой частоте и малой длине линии можно пренебречь активным сопротивлением R₀ и проводимостью g₀. При этом получается схема замещения однородной линии без потерь (рис. 21.66).

Исследуя длинную линию электропередачи как цепь с распределенными параметрами, в которой имеются токи утечки и смещения, передачу энергии следует рассматривать как движение электромагнитных волн, или волн тока и напряжения.

При включении генератора в начале линии возникают волны тока и напряжения, которые движутся от генератора (начало линии) к нагрузке (конец линии). Когда электромагнитная волна достигает конца линии, ее энергия лишь частично поглощается нагрузкой. При этом возникают отраженные волны тока и напряжения, перемещающиеся от нагрузки к генератору.

Только при специально подобранном сопротивлении нагрузки вся энергия поглощается нагрузкой и отраженные волны отсутствуют.

Если сопротивление нагрузки в конце линии равно волновому сопротивлению линии, то такая нагрузка называется согласованной. Если же сопротивление нагрузки в конце линии отличается от волнового сопротивления, то нагрузка называется несогласованной. Волновое сопротивление выражается отношением напряжения к току падающих (прямых) или отраженных волн. При согласованной нагрузке отраженных волн в линии нет, т. е. энергия, которую несет падающая электромагнитная волна, полностью поглощается в нагрузке.

При исследовании различных режимов работы длинных линий необходимо учитывать коэффициент отражения р и коэффициент преломления m.

Коэффициент отражения характеризует соотношение между падающими (прямыми) и отраженными волнами напряжения и тока:

Коэффициент преломления в рассматриваемом пункте линии n:

То есть коэффициент преломления m равен отношению комплексов напряжения (тока) в рассматриваемой точке n к комплексу напряжения (тока) падающей волны.

Если на каждую падающую (прямую) волну напряжения и тока накладывается отраженная волна с амплитудой, равной амплитуде падающей волны, то результирующий процесс называют стоячей волной.

Скорость распространения электромагнитных волн в проводах воздушной линии в первом приближении можно считать равной скорости распространения электромагнитных волн в вакууме, т.е. с = 300ООО км/сек.

Расстояние, на которое распространяется электромагнитная волна, или волна тока и напряжения, в течение периода Т, называется длиной волны , т. е.

При частоте

При частоте

При частоте

При известной длине волны легко показать распределение тока или напряжения вдоль линии в любой момент времени и без вычислений токов утечки и смещения. Например, при частоте f = 1 МГц и = 300 м в некоторый момент времени ток i в начале линии (на зажимах генератора) равен нулю. В тот же момент времени на расстоянии /4 = 75 м от начала наблюдается наибольшее значение тока; на расстоянии /2= 150 м от начала он равен нулю; на расстоянии З/4 = 225 м ток опять максимален; на расстоянии = 300 м ток снова равен нулю и т. д.

В следующий момент времени характер распределения тока будет таким же, но нулевые и амплитудные значения тока будут наблюдаться в других сечениях линии.

Неодинаковость тока наблюдается только в линиях, длина которых i соизмерима или больше длины волны . Такие линии называются длинными по отношению к длине волны. Очевидно, одна и та же линия при одной частоте будет длинной, а при другой, меньшей частоте может быть недлинной. Например, при стандартной частоте f = 50 Гц вдоль линии протяженностью = 300 м укладывается только одна двадцатитысячная часть длины волны

Следовательно, величина тока, проходящего через каждое сечение линии в любой выбранный момент времени, практически одна и та же, т. е. линия слишком «коротка», чтобы в ней можно было заметить неравномерное распределение тока.

При частоте же f = 1 МГц, как показано на рис. 21.7, в той же линии ( = 300 м) уложится одна волна тока, и, следовательно, линия считается длинной.

• Резистивные электрические цепи и их расчёт
• Гармонические напряжения и токи
• Энергетические характеристики двухполюсников
• Комплексные функции электрических цепей
• Вращающееся магнитное поле
• Электрические цепи синусоидального тока
• Электрические цепи несинусоидального тока
• Несинусоидальный ток

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.