Передаточные функции и дифференциальные уравнения системы

Передаточные функции и дифференциальные уравнения системы

Содержание

Введение

Электронное учебное пособие предназначено для студентов по специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы» и направлению подготовки 11.03.01 «Радиотехника». Пособие составлено в соответствии с рабочей программой дисциплины «Радиоавтоматика».

Целью преподавания дисциплины является изучение студентами основ построения систем радиоавтоматики (РА) для радиотехнических систем и современных методов их анализа и синтеза.

По каждой теме предложены задания, сделаны методические указания и выводы.

Пособие позволяет самостоятельно проработать курс в объеме, предусмотренном рабочей программой. Может быть использовано и при заочной форме обучения.

Вернуться к содержанию

Лабораторная работа № 1

Изучение частотных и временных характеристик систем РА с помощью пакетов прикладных программ AUTO . EXE . или SamSim

Цель: закрепить теоретические сведения по курсу и ознакомиться с методами исследования и расчета параметров звеньев радиоавтоматики (с использованием свободного (бесплатного) пакета AUTO.EXE).

Теоретический материал

Предмет изучения дисциплины «Радиоавтоматика» – системы радиоавтоматики, охватывающие широкий класс автоматических систем, применяемых в радиолокации, радионавигации, радиосвязи, радиоуправ- лении и других областях радиоэлектроники.

Отличительной особенностью таких систем является использование радиосигналов для управления, а сами объекты управления – радиотехнические устройства (генераторы, усилители, антенны и пр.). Необходимая для управления информация содержится в том или ином параметре сигнала (амплитуде, частоте, фазе, времени запаздывания, направлении прихода) и выделяется в результате обработки сигнала. Сходство систем радиоавтоматики (РА) с автоматическими системами другого назначения определяется, прежде всего, единством теории – теории автоматического управления, а также общностью многих элементов, из которых строятся эти системы (усилители, корректирующие и исполнительные элементы, управляющие ЭВМ и др.).

Передаточные функции и дифференциальные уравнения системы

Передаточной функцией звена или системы W(p) (в форме преобразования Лапласа) называется отношение изображения выходной величины Х_вых(р) к изображению входной величины Х_вх(р) при нулевых начальных условиях:

(1)

Функция времени х_вых(t) преобразуется в функцию Х_вых при помощи прямого преобразования Лапласа wj±s(р) комплексного аргумента p=

(2)

В общем виде передаточная функция любой системы представляет собой отношение двух полиномов

(3)

Пусть q₁, q₂ …q_m – корни уравнения Q(p)=0 (нули передаточной функции); р₁, р₂, …р_n – корни уравнения P(p)=0 (полюса передаточной функции).

Тогда передаточную функцию системы можно записать через соответствующие корни уравнений числителя и знаменателя в виде элементарных сомножителей

(4)

Вынесем q_i и p_j за скобки и обозначим , .

В зависимости от вида корней (действительные или комплексно-сопряженные) выражение для передаточной функции можно представить состоящим из следующих элементарных звеньев

(5)

Это будут звенья с передаточным функциями:

1. Усилительное звено W(p)=k.

2. Инерционное (апериодическое) звено .

3. Интегрирующее звено .

4. Чисто дифференцирующее звено W(p)=kp.

5. Колебательное звено .

6. Дифференцирующие (форсирующие) звенья первого и второго порядка W(p)=(1+Tp), W(p)=1+2 x Tp+T 2 p 2 .

7. Звено чистого запаздывания .

Полагая р равным оператору дифференцирования из передаточной функции звена сразу получаем дифференциальное уравнение. Например, для апериодического звена

; ;

Раскрывая пропорцию и полагая , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

; (6)

Назначение программы AUTO.EXE

Программа AUTO.EXE предназначена для изучения и расчета характеристик системы (звена) радиоавтоматики (РА) по её передаточной функции W(p).

При этом предусмотрено выполнение следующих операций:

1. Ввод передаточной функции системы;

2. Настройка параметров программы;

3. Получение графиков и таблиц данных для:

а) АЧХ действительной части W(p) — P(ω);

б) АЧХ мимой части W(p) — Q(ω );

в) АЧХ и ФЧХ всей системы;

г) совмещенных графиков АЧХ и ФЧХ;

д) совмещенных графиков LАЧХ и LФЧХ;

е) АФЧХ всей системы;

ж) переходной характеристики системы — h(t).

Начало работы с программой. Для установки программы необходимо создать на любом диске директорию (например AUTO) и скопировать в нее файлы AUTO.EXE и EGAVGA.BGI. Для запуска программы нужно подвести курсор к файлу с названием AUTO.EXE и нажать .

При запуске программы появляется следующее сообщение:

ПРОГРАММА ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ЗВЕНЬЕВ ПО ИХ

Передаточная функция звена вводится в виде отношения многочленов:

Использовать старые данные программы ? (Y/N)

Если вы уже работали с программой, то для использования ваших старых данных нажмите клавишу ; в противном случае нажмите любую другую клавишу. После этого на экране появится основное меню программы:

Для выбора нужного пункта нажмите соответствующую цифру:

1 — расчет P(ω) системы;

2 — расчет Q(ω) системы;

3 — расчет АЧХ системы;

4 — расчет ФЧХ системы;

5 — расчет АЧХ и ФЧХ системы совместно;

6 — расчет LАЧХ и ФЧХ системы совместно;

7 — расчет АФЧХ системы;

P — расчет переходной характеристики системы h(t);

8 — редактирование передаточной функции W(p) системы;

9 — настройка параметров программы.

Ввод передаточной функции системы. Для ввода передаточной функции системы нажмите клавишу основного меню программы. После этого на дисплее появится следующее сообщение:

Для выбора нужного пункта нажмите соответствующую цифру:

1. Порядок числителя. 2;

2. Порядок знаменателя. 3;

3. Изменение коэффициентов в числителе;

4. Изменение коэффициентов в знаменателе.

Текущие коэффициенты в числителе: в знаменателе:

Вначале необходимо ввести порядки степеней многочленов в числителе и знаменателе передаточной функции. Затем вводятся конкретные значения коэффициентов многочленов.

Настройка параметров программы. Для настройки параметров программы нажмите клавишу основного меню. После этого на дисплее появится следующее сообщение:

1. Начальная частота в рад/с. 0.1

2. Конечная частота в рад/с. 10

3. Коэф. для замены нуля в знаменателях дробей.. 1e+10

4. Количество точек для распечатки в файл . 100

5. Расчеты в рад/с (1) или Гц (0). 1

6. Количество изолиний по горизонтали. 10

7. Количество изолиний по вертикали. 10

8. Max частота для переходной хар-ки в рад/с…….. 1000

9. Кол-во отсчетов частоты для переходной хар-ки.. 300

T. Начальное время для переходной хар-ки в сек. 1e-08

K. Конечное время для переходной хар-ки в сек. 50

G. Цвет графика 1. 1 Номер цвета от 1 до 15.

P. Цвет графика 2. 2

L. Цвет изолиний. 1

B. Цвет надписей. 1

Для редактирования одного из полей нажмите соотв. цифру или букву.

В пунктах 1 и 2 задается интервал частот для всех частотных характеристик. Размерность в радианах/с или в герцах в зависимости от значения пункта 5 меню.

В пункте 4, желательное количество значений (строчек в таблице при распечатке) выбрать 15÷20.

В пункте 3 задается ограничение на значение обратной величины знаменателя ПФ (при стремлении знаменателя к нулю его обратная величина устанавливается равной этому значению).

В пунктах 6 и 7 задается число линий размерной сетки для графиков.

В пункте 8 задается максимальное значение частоты при расчете переходной характеристики. Эта величина выбирается из данных АЧХ с некоторым запасом.

Количество отсчетов в пункте 9 показывает на сколько частотных интервалов при интегрировании разбивается частота, заданная в пункте 8.

В пунктах T и K задается интервал переходной характеристики. Желательно t_max выбирать минимально необходимым, для уменьшения ошибок интегрирования.

Расчет частотных характеристик системы. Для получения графиков P(w), Q(w), АЧХ, ФЧХ, АЧХ и ФЧХ, LАЧХ и ФЧХ системы нажмите соответственно кнопку 1, 2, 3, 4, 5 или 6 основного меню программы.

Для получения графика АФЧХ системы нажмите кнопку 7. На графике АФЧХ красным цветом обозначена низкочастотная ветвь характеристики и зеленым — высокочастотная ветвь характеристики. Точка стыка ветвей соответствует частоте, равной √f_min ∙√f_max;

После просмотра графиков нажмите любую клавишу. Появится сообщение вида:

Записать полученные значения в файл ? (Y/N)

Если вам необходимо сохранить полученные данные на диске, то нажмите клавишу . В противном случае нажмите любую другую клавишу. После нажатия появляется строка для ввода имени записываемого файла в формате .doc:

Введите имя файла для записи результатов — имя.doc

Расчет переходной характеристики системы. Для получения графика h(t) системы нажмите кнопку

основного меню программы. После этого появится следующее сообщение:

Выберите тип интегрирования (нажав соотв. цифру):

0 — Метод Симпсона (быстро, но неточно)

1 — Метод Ньютона-Котеса (медленно, но точнее)

По умолчанию выбирается метод Симпсона

Желательно вначале оценить вид переходной характеристики, используя метод Симпсона. Затем, уточнив величину максимального времени переходной характеристики и количество точек разбиения при интегрировании, целесообразно выбрать метод Ньютона-Котеса для окончательного нахождения искомой переходной характеристики.

Примечание. Если время переходной характеристики задано слишком большим, то в конце переходной характеристики появляются искажения колебательного характера, обусловленные конечной точностью вычисления значений интеграла.

Искажения можно уменьшить, увеличивая количество точек разбиения или уменьшая время переходной характеристики .

После изучения графика переходной характеристики нажмите любую клавишу для выхода в основное меню.

Завершение работы с программой. Для завершения работы с программой выйдите в основное меню и нажмите клавишу . При этом ваши настройки программы и параметры передаточной функции будут сохранены на диске в текущей директории в файле с именем auto.dat.

Совместимость с более поздними версиями Windows. При использовании поздних версий Windows могут возникнуть проблемы при использовании программы AUTO.EXE (ошибка при запуске, вылет программы при построении графиков, неправильная кодировка отображения шрифтов). Чтобы этого избежать рекомендуется использовать приложение DOSBox.

Установка DOSBox. В папке DOSBox инсталлятор и архив с русификатором DOSBox-russian-lang-072.zip.

1. Запускаем инсталлятор DOSBox0.71-win32-installer.exe и устанавливаем программу в нужный каталог или в стандартную директорию C:\Program Files\DOSBox-0.71

2. Открываем папку, в которую установили DOSBox (в данном случае C:\Program Files\DOSBox-0.71). Распаковываем содержимое архива DOSBox-russian-lang-072.zip в папку с DOSBox’ом. Программа установлена и готова к работе.

Практическая часть

Работа с программой.

1. Для удобства папку с программой AUTO.EXE положим на диск С по следующему пути C:\AVTO\

2. Запускаем программу C:\Program Files\DOSBox-0.71\dosbox.exe или через ярлык на рабочем столе, появится следующее окно

3. В появившемся текстовом окне (это ДОС) внизу появится командная строка Z:\> . В командной строке пишем следующее без кавычек «mount X: C:\AVTO\» (или ту директорию где лежит приложение AUTO.EXE), должно появиться следующее сообщение

4. Далее пишем в командной строке без кавычек «X:», строка Z:\> должна смениться на X:\>, после чего запускаем программу прописав в этой строке AUTO.EXE. Запустится сама программа и можно приступать к построению графиков

РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ

Задание 1. Исходные данные.

Вид передаточной функции

W0	W1	W2
К0	К1 Т1р+1	К2

Численные значения передаточной функции

Задание 2. Выполнить поэтапное преобразование исходной схемы.

Задание 3. Вычислить передаточные функции:

— по ошибке для замкнутой системы.

Задание 4. Построить графики и таблицы для разомкнутой системы:

— L АЧХ и ФЧХ совместно.

Задание 5. Построить графики и таблицы для замкнутой системы:

— АЧХ и ФЧХ совместно;

— L АЧХ и L ФЧХ совместно;

— Годограф Михайлова (АФЧХ характеристического полинома).

Результаты лабораторной работы необходимо предоставить в бумажном виде. При отчете необходимо знать ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Понятие функциональной и структурной схем систем радиоавтоматики (РА).

2. Фундаментальные принципы управления (принцип разомкнутого управления, принцип компенсации).

3. Фундаментальные принципы управления (принцип обратной связи).

4. Основные виды алгоритмов функционирования систем РА (стабилизация, программное управление, следящие системы).

5. Основные виды алгоритмов функционирования систем РА (системы с поиском экстремума показателя качества, оптимальное управление, адаптивные системы).

6. Понятие и определение передаточной функции (передаточная функция в операторном виде и в форме преобразования Лапласа).

7. Частотные характеристики систем РА (АЧХ, ФЧХ, LAЧX, L ФЧХ).

8. Временные характеристики систем РА [ h ( t ) и ω(t) ].

2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В предыдущих сериях:

В это части будут рассмотрены:

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.
2.12. Mетод переменных состояния.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния.

Попробуем применить, полученные знания на практике, создавая и сравнивая расчетные модели в разных видах. Будет интересно познавательно и жестко.

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)

Рассмотрим динамическое звено САР изображенное на рисунке 2.9.1

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

где: — постоянные времени;
— коэффициент усиления.

Пусть известны отображения:

Найдем изображения для производных:

Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

B(s) — слагаемое, которое определяется начальными условиями, при нулевых начальных условиях B(s)=0.
W(s) — передаточная функция.

Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного сигнала к входному воздействию при нулевых н.у.

После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.

Пример

Построить выходной сигнал звена САР при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, если уравнение динамики звена имеет следующий вид:

входное воздействие: — единичное ступенчатое воздействие.

Выполним преобразование Лапласа:

Подставим в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

Для получения выходного сигнала из уравнения в изображениях выполним обратное преобразования Лапласа:

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).

Определение: Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.

Определение: Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.

На этом месте можно вспомнить, что преобразование Лапласа это интеграл от 0 до бесконечности по времени (см. предыдущий текст), а импульсное воздействие при таком интегрировании превращается в 1 тогда в изображениях получаем что:

Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.

Для единичного ступенчатого воздействия преобразование Лапласа тоже известно (см. предыдущий текст):

тогда в изображениях получаем, что реакция системы на ступенчатое воздействие, рассчитывается так:

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие рассчитывается обратным преобразованием Лапласа:

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона

Предположим, что на вход системы поступает произвольное воздействие x(t), заранее известное. Найти реакцию системы y(t), если известны входное воздействие x(t) и весовая функция w(t).

Представим, что входное воздействие представляет собой последовательность прямоугольных импульсов до времени t и ступеньки высотой x(t) в момент времени t. см.рис. 2.11 Для каждого импульса мы можем записать реакцию системы через весовую функциию:

где:
— значение отклика по завершению предыущего импульса;
— время завершения текущего импульса;
— значение весовой функции в начале текущего импульса.

Тогда для определения занчения отклика в произвольный момент времени необходимо сложить все импульсы и ступенчатое воздействие в момент времени t:

Переходя к пределам

если перейти от t к бесконечности мы получим формулу интеграла Дюамеля-Карсона, или по другому «интеграла свертки» который обеспечивает вычисление оригинала функции по произвдению изображения двух функций:

где — вспомогательное время

Для вывода аналогичной зависмости от переходной функции вспомним что изображение весовой и переходной функции связаны соотношением: запишем выражение изображения для отклика в операторной форме:

Используя интеграл свертки получаем, что при известной переходной функции (h(t)) и известному входному воздействию х(t) выходное воздействие рассчитывается как:

2.12. Mетод переменных состояния.

До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)

В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему. В этом случае можно говорить, что состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. см. рис. 2.12.2

В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:

Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:

где:
n — количество перемнных состояния,
m — количество входных воздействий,
p — количество выходных переменных;

Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:

где:
— вектор входа (или вектор управления);
— вектор столбец производных переменных состояния;
— вектор столбец переменных состояния;
— вектор выхода;
— собственная матрица системы [n x n],
— постоянные коэффициенты;
— матрица входа [n x m],
— постоянные коэффициенты;
— матрица выхода а [p x n],
— постоянные коэффициенты;
— матрица обхода [p x m],
— постоянные коэффициенты;

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования

Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики

Пример решения задачи в форме коши.

Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:

Дано:
Цилиндрический плунжер диаметром 10 мм, с приведенной массой 100 кг, работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения — 1000 Н/(м/с). Полость начальным объемом 20 см 3 соединяется с источником давлния дросселем диаметром диаметр которого 0,2 мм. Коэффициент расхода дросселя 0.62. Плотность рабочей жидкости ρ = 850 кг/м 3 .
Определить:
Перемещение дросселя, если в источнике давление происходит скачек 200 бар. см. рис. 2.12.13

Уравенение движение плунжера:

Где: – площадь плунжера, – жесткость пружины, – коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.

Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость , тогда

Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:

Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.

Расход через дроссель:

Где: f– площадь дросселя, – давление в источнике, p – давление в камере.
Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:

Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:

Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:

Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:

Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:
1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.
2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме).
3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.

Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:

Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта.

Модель на внутреннем языке программирования представлена на рис. 2.12.6. В данной модели используется описание модели в форме Коши. Так же выполняется учет изменения объема дросселя на каждом шаге расчета, за счет перемещения плунжера (Vk = V0+Ap*x.)

Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.

Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7

Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают.
Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)

Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10

На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.

2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно

Рассмотрим несколько вариантов перехода от описания «вход-выход», к переменным состояния:

Вариант прехода зависит от правой части уравнения с переменными «вход-выход»:

2.13.1. Правая часть содержит только b₀*u(t)

В этом варианте, в уравнениях в правой части отсутствуют члены с производными входной величины u(t). Пример с плунжером выше так же относится к этому варианту.

Что бы продемонстрировать технологию перехода рассмотрим следующее уровнение:

Для перехода к форме Коши ведем новые переменные:

И перепишем уравнение относительно y»'(t):

Используя эти переменные можно перейти от дифференциального уравнения 3-го прядка, к системе из 3-х уравнений первого порядка в форме Коши:

Соотвественно матрицы для матричного вида уравнений в переменных сосотяния:

2.13.2. Правая часть общего вида

Более сложный случай, когда в уравнениях есть производные от входных воздействий и уравнение в общем случае выглядит так:

Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

Тогда можно представить уравнение в изображениях в виде:

Разделим уравнение в изображениях на произведение полиномов , получим:

Где: — некоторая комплексная величина (отношение двух комплексных величин). Можно считать, что отображение величины . Тогда входная величина может быть в изображениях представлена как:

Вренемся к оригиналу от изображений получим: ,
где: — дифференциальный оператор.

А это дифференциальное уравнение n-го порядка мы можем преобразовать к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, как это мы делали выше:

Таким образом, мы получили систему уравнение в форе Коши, относительно переменных состояния :

А регулируемую величину (выход системы) мы так же можем выразить через эти переменные, в изображениях:

Перейдем от изображения к оригиналам:

Если обозначить вектор , то мы получим уравнения переменных состояниях в матричной форме, где D = 0:

Пример:

Рисунок 2.13.1 Передаточная функция.

Имеется передаточная функция (рис. 2.13.1) в изображениях :

Необходимо преобразовать передаточную функцию к системе уравнений в форме Коши

В изображения реакция системы связана с входным воздействие соотношением:

Разделим в последнем правую и левую часть на произведения , и введем новую перменную :

Полиномы N(s) и L(s) равны:

Перейдем в последнем выражении от изображения к оригиналам и ведем новые переменные (состояния):

Переходим от уравнения третьего порядка к системе трех уравнений первого порядка:

Или в матричной форме:

Для получения второго матричного уравнения воспользуемся соотношением для новых переменных в отображениях:

Перейдем от изображений к оригиналу:

Таким образом второе уравнение матричной системы выглядит так:

Проверим в SimInTech сравнив передаточную функцию и блок переменных состояния, и убедимся, что графики совпадают см. рис. 2.13.2

Рисунок 2.13.2 Сравнение переходного процеса у блока передаточной функции и блока переменных состояния.

Апериодическое (инерционное, статическое) звено. Передаточная функция и уравнения

Дифференциальное уравнение, описывающее взаимосвязь входного и выходного сигналов апериодического типового динамического звена (ТДЗ), можно представить в следующем виде:

Где: k – коэффициент передачи, Т₀ – постоянная времени.

Дифференциальное уравнение является не самой удобной формой представления математической модели объекта или звена. Это связано с тем, что решения любого дифференциального уравнения довольно сложная вычислительная процедура. Более удобна и, соответственно чаще используемая, математическая модель объекта, записанная в виде передаточной функции.

Передаточная функция – это преобразованное по Лапласу исходное дифференциальное уравнение, то есть уравнение, записанное в виде преобразованных по Лапласу выходного и входного сигналов объекта (звена).

Исходное дифференциальное уравнение в преобразовании Лапласа называют оригиналом, а записанное в операторной форме преобразованное уравнение – его изображением. Суть преобразования Лапласа заключается в замене на функции комплексных переменных Х_вых(р) и Х_вх(р) функций вещественных переменных Х_вых(τ) и Х_вх(τ), где р – оператор Лапласа (комплексное число р = ±m±in). Данные функции связываются между собой интегралом Лапласа:

Для большинства используемых в ТДЗ дифференциальных уравнений, чисто формальным условием перехода от оригинала к изображению будут представленные ниже замены:

Использовав приведенное выше условие довольно легко получить изображение, то есть перейти к операторной форме записи дифференциального уравнения апериодического звена.

Оригинал дифференциального уравнения апериодического звена имеет следующий вид:

Операторная форма записи (изображения) уравнения апериодического звена:

Огромным преимуществом данного преобразования является то, что записанное в операторной форме исходное дифференциальное уравнения становится алгебраическим. Но стоит отметить, что если бы все дифференциальные уравнения можно было бы преобразовать по Лапласу, то в математике произошла бы революция, так как решение алгебраических уравнение значительно проще дифференциальных. К сожалению, такое преобразование возможно лишь для ограниченного количества уравнений, в том числе для уравнений типовых динамических звеньев (ТДЗ).

Поскольку уравнение апериодического звена приняло вид алгебраического, то его можно записать следующим образом:

Из полученного выражения достаточно легко выделить отношение Х_вых(р) / Х_вх(р), которое называется передаточной функцией и для апериодического звена имеет вид:

У каждого типового динамического звена присутствует ряд типовых частотных характеристик: амплитудно-частотную (АЧХ), фазочастотную (ФЧХ), амплитудно-фазовую частотную (АФЧХ или АФХ), логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ), логарифмическую фазочастотную (ЛФЧХ).

На практике чаще всего используется АФЧХ или АФХ.

Амплитудно-фазовая характеристика это вектор, а график АФХ – годограф этого вектора, то есть кривая на комплексной плоскости, которую описывает конец вектора при изменении частоты ω от 0 до ∞. Вектор характеризуется двумя величинами – длина (скаляр или вектор по модулю) и направление (градиент).

Вектор аналитически можно записать в виде двух проекций на действительную и мнимую оси, и выразить эти проекции через угол α:

После использования формулы Эйлера:

Где |W| — длина вектора или вектор по модулю, i – мнимое число:

Аналитическое выражение для любого вектора АФХ любого типичного динамического звена легко получить из передаточной функции, заменив в ней оператор Лапласа р на выражение iω. Где ω – частота колебаний (ω = 2π/Т), Т – период колебаний.

Для апериодического звена амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид:

Для записи вектора АФХ в виде проекций на действительную и мнимую ось необходимо произвести следующие преобразования:

Изменяя частоту ω от 0 до ∞ можно построить на комплексной плоскости годораф (график вектора АФХ), представляющий из себя полуокружность (рисунок а)), которая располагается в четвертом квадранте комплексной плоскости. Диаметр полуокружности равен коэффициенту k.

На рисунке б) показана типовая переходная функция апериодического звена. Как видно из графика, она изменяется по экспоненциальному закону. У любой экспоненты есть одно прекрасное свойство – если к любой ее точке провести касательную, а затем точку пересечения касательной с асимптотой и точку касания спроецировать на ось времени, то получится один и тот же отрезок времени на оси времени. Эта проекция, которую называют постоянной времени, соответствует значению коэффициента Т₀ в АФХ и передаточной функции апериодического звена, а ордината асимптоты, к которой стремится экспонента, соответствует коэффициенту k в передаточной функции. Таким образом, по переходной характеристике апериодического звена довольно легко найти коэффициенты Т₀ и k в передаточной функции звена.

Физическим примером апериодического звена может быть конденсатор, при подаче напряжения на который заряд происходит не мгновенно, а с определенной задержкой, или же электродвигатель, который при подаче питания разгоняется не мгновенно, а через какое-то время t. На рисунке в) показан пример установки, которую также можно считать апериодическим звеном (вода – заполняющая бак).

В бак поступает определенное количество воды с расходом Q₁. В то же время из бака вытекает вода с расходом Q₂. Регулируемый параметр в этой системе Х_вых – уровень воды в баке H.

При подаче единичного скачка Q₁ (открыли входной вентиль) уровень воды H в баке повышается. При этом растет гиростатическое давление и возрастает Q₂. Через некоторое время уровень воды H в баке стабилизируется (экспонента приближается к асимптоте). Способность самостоятельно восстанавливать равновесие, которое присуща объектам, аппроксимируемым апериодическим звеном, за счет стока или притока вещества или энергии называют самовыравниванием. Количество самовыравнивания определяет коэффициент р, равный обратному значению коэффициента k в передаточной функции звена, то есть р = 1/k.

В литературе объекты с передаточной функцией апериодического звена называют статическими.