Передаточные функции и уравнения замкнутой системы

Передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы

1) Замкнутые системы – это САР с обратной связью, в которых регулируемый параметр непрерывно измеряется и сравнивается с задающим воздействием (рис.3.6.1).

Рис. 3.6.1 Структурная схема замкнутой САР

Если разорвать главную обратную связь (рис.3.6.1), то получим разомкнутую систему, состоящую из последовательного соединения объекта с передаточной функцией Wo(p) и регулятора с передаточной функцией Wp(p).

g(t) u(t) y(t)

Рис. 3.6.2 Структурная схема разомкнутой САР

Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию находится путём перемножения передаточных функций всех звеньев прямой цепи регулирования.

Так для рис.3.5.2 передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Передаточная функция замкнутой системы (рис.3.6.1) находится из выражения:

,

где W(p)- передаточная функция разомкнутой системы,

M(p),N(p),D(p)- полиномы от комплексной переменной р.

Характеристическим уравнением разомкнутой (замкнутой) системы называется полином знаменателя передаточной функции разомкнутой (замкнутой) системы, приравненный нулю (N(p)=0, D(p)=0).

1. Передаточные функции последовательного и параллельного соединения звеньев.

Переходная функция

Под динамическим звеном понимают устройство любого вида и конструктивного оформления, описываемое определенным дифференциальным уравнением или передаточной функцией.

В качестве входного воздействия часто используется единичная ступенчатая функция g ( t )=1( t ), при t t )=0.

Передаточная функция W( p ) — отношение изображения Лапласа выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных данных.

Передаточная функция последовательного соединения

При последовательном соединении выходная величина каждого звена, кроме последнего, является входной величиной для следующего звена.

Параллельное соединение

При параллельном соединении все звенья имеют одну входную величину, выходные величины суммируются.

2. Передаточная функция замкнутой системы.

Замкнутая система управления — управляющее воздействие формируется с учетом сравнения отклонения y ( t ) от заданного положения. Данное отклонение называется ошибкой САУ, а замкнутая САУ системой с обратной связью.

Виды обратной связи

Обратная связь может быть:

— положительной, если сигнал Х, снимаемый с выхода звена с обратной связью, суммируется с сигналом g ( t ) на входе.

— отрицательной, если Х вычитается.

Если W ос ( p ) =k (где k — коэффициент обратной связи) — то обратная связь жесткая. В установившемся режиме Wос ( p ) не равна 0. Такая связь может действовать и в установившемся режиме, и в переходном.

Если W ос ( p ) =k * p — то обратная связь гибкая. (p-оператор дифференцирования d / dt ). В установившемся режиме Wзамкн ( p ) цепи с обратной связью равна передаточной функции исходной цепи W( p ), т.е. Wос=0.

Передаточная функция замкнутой САУ

Выведем формулу передаточной функции для замкнутой системы:

В качестве входной величины, помимо g ( t ), используется невязка. Невязка – разность между значением функции, вычисленным по результатам измерений, и истинным ее значением, возникающая вследствие неизбежных погрешностей измерений. Ниже представлена схема системы, замкнутой по невязке.

Для системы, замкнутой по E и g передаточная функция выглядит следующим образом:

3. Устойчивость линейных систем (вывод).

Определения

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо воздействия. Установившийся режим характеризуется постоянством внешнего воздействия и других условий работы системы в целом.

Устойчивая САУ — система, переходные процессы в которой являются затухающими. Ее выходная величина остается ограниченной при воздействии на систему ограниченных воздействий.

Устойчивость линейных систем

Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного решения и некоторого частного решения данного неоднородного уравнения.

Таким образом, если САУ устойчива, y переходного процесса ( Y пер ( t )) при будут затухающими.

Находим характеристический паленом, его корни и в зависимости от того, к какому виду они относятся определяем условия, при которых САУ будет устойчивой. Корни могут быть:

1) действительными кратными;

2) действительными и различными;

4) комплексными кратными.

Общее решение y ( t ) будет представлять паленом , умноженный на сумму экспонент с заданными коэффициентами.

В случае комплексных корней, когда , каждой паре комплексно сопряженных корней будет соответствовать следующее составляющая переходного процесса:

Если хотя бы один корень >0, то система неустойчивая.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии либо нулевого характеристического корня, либо пары число мнимых корней. (a=0)

4. Критерий устойчивости Михайлова (вывод — случай вещественных корней).

Формулировки

1. Для устойчивости линейной системы n порядка необходимо и достаточно, чтобы полное приращение фазы (аргумента) Ψ( w ) при изменении w= [0,∞) было равно . n – степень характеристического уравнения системы

2. САУ устойчива, если кривая Михайлова D( jw )=X( w )+ jY ( w ) начинается на положительной полуоси комплексной плоскости при w=0 и обходит последовательно против часовой стрелки все n квадрантов, уходя в бесконечность в последнем n квадранте при .

Критерий устойчивости Михайлова относится к графическим критериям, он мало зависит от размерности системы и может быль реализован программно-аппаратными средствами. Кривая Михайлова строится как годограф X(Y).

Вывод формул

Характер системы определяется характеристическим полиномом:

p=jw , , где j – мнимая единица, w – угловая частота колебаний.

В X( w ) содержатся четные степени w , а в Y( w ) – нечетные.

где каждая скобка – комплексное число, а при умножении комплексных чисел аргументы складываются. Результирующий угол в случае вещественных корней представляет собой .

Рассмотрим зависимость между критерием Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения при изменении w= [0,∞).

1. Предположим, что p1= – вещественное отрицательное число. p1=-a1, a1>0

(jw-p1)=(jw+a1). Вектор OB при займет положение π/2.

2. Предположим, что p1 – вещественное положительное число. p1=a1, a1>0.

(jw-p1)=(jw-a1). Вектор OB при займет положение -π/2

3. Если характеристическое уравнение имеет k корней с положительной вещественной частью, то им соответствует сумма углов поворота, равная –k*π/2. Остальные ( n-k ) корней, имеющих отрицательные вещественные части, будут иметь результирующий угол поворота: ( n-k )*π/2. Общий угол поворота вектора характеристического уравнения равен

5. Частотная передаточная функция и частотные характеристики (определения, формы записи, графики).

Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Частотная передаточная функция (ЧПФ), описывающая данную зависимость является важнейшей характеристикой динамических звеньев.

Рассмотрим динамическое звено, которое задано уравнением:

Если на вход звена в устойчивом режиме будет подана гармоническая функция: то на выходе будет получена также гармоническая функция той же частоты:

Используя формулы Эйлера:

Можно отдельно рассмотреть прохождение составляющих . Введем упрощение, обозначив . Произведем замену:

Найдем остальные компоненты для уравнения (*)

И подставим их в уравнение

Учитывая, что , сократим множитель и получим

Формы представления ЧПФ

— ЧПФ в алгебраической форме.

Обозначим — ЧПФ в показательной форме. В комплексной форме ЧПФ , .

Частотная передаточная функция получается из обычной передаточной функции W( p ) путем подстановки . ЧПФ – изображение Фурье от функции веса.

Виды ЧПФ

1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)

строится в комплексной плоскости, представляет собой геометрическое место точек концов векторов (годограф), соответствующее ЧПФ в комплексной форме. Т.к. w может быть (+) и (–), то строится только положительная ветвь, а отрицательная – зеркально отображается.

Построение АФФЧХ по вещественным и мнимым частям – трудоемкая работа, проще строить ее, используя полярные координаты при непосредственном вычислении модуля и фазы.

2. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

Показывает, как звено пропускает сигнал различной частоты.

3. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ)

Показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.

Передаточная функция замкнутой системы относительно управляемой величины по возмущающему воздействию

Введение

Теория автоматического управления (ТАУ), — научная дисциплина, предметом изучения которой являются информационные процессы, протекающие в системах управления техническими и технологическими объектами. ТАУ выявляет общие закономерности функционирования, присущие автоматическим системам различной физической природы, и на основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения высококачественных систем управления.

ТАУ при изучении процессов управления абстрагируется от физи- ческих и конструктивных особенностей систем и вместо реальных систем рассматривает их адекватные математические модели. Основными методами исследования в ТАУ являются математическое моделирование, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, операционное исчисление и гармонический анализ

Передаточные функции систем автоматического управления по задающему и возмущающему воздействиям

САУ характеризуется несколькими передаточными функциями. При одной выходной координате их количество равно числу входных (для всей системы) воздействий (рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема замкнутой САУ

Если система автоматического управления имеет несколько входных воздействий (задающих и возмущающих), то при определении передаточной функции относительно какого-либо одного из этих воздействий остальные воздействия полагают равными нулю (согласно принципу суперпозиции).

Вводится понятие передаточной функции разомкнутой системы — отношение изображения X_ос(s) — сигнала главной отрицательной обратной связи x_ос(t) к изображению G(s) — задающего воздействия g(t).

При этом контур управления предполагают разомкнутым около главного сравнивающего устройства, при равенстве нулю всех внешних воздействий, кроме задающего. Для САУ, структурная схема которой представлена на рис. 1, передаточная функция разомкнутой системы:

Вводится также понятие передаточной функции прямого участка цепи САУ от точки приложения входного воздействия до выходной ко- ординаты при равенстве нулю остальных воздействий и разрыве глав- ной отрицательной обратной связи:

Передаточная функция замкнутой САУ относительно управляемой величины по задающему воздействию

Передаточная функция замкнутой системы относительно управля- емой величины x(t) по задающему воздействию g(t) — W_xg(s) может быть определена на основании правил преобразования схем. При f(t) = 0 структурная схема САУ (рис. 1) принимает вид (рис. 2):

Рис. 2. Структурные схемы замкнутой САУ по задающему воздействию: а – исходная; б – эквивалентная

Тогда, согласно правилам преобразования структурных схем, пе- редаточная функция замкнутой системы относительно управляемой ве- личины x(t) по задающему воздействию g(t) равна:

Передаточная функция замкнутой системы относительно управляемой величины по возмущающему воздействию

При g(t) = 0 структурная схема САУ (рис. 1) принимает вид, представленный на рис. 3.

Рис. 3. Структурные схемы замкнутой САУ по возмущающему воздей- ствию: а – исходная; б – эквивалентная

Как следует из структурной схемы (рис. 3), передаточная функция замкнутой САУ относительно управляемой величины x(t) по воз- мущающему воздействию f(t) равна:

В результате исходная структурная схема САУ (рис. 1) преобра- зуется к виду (рис. 4).

Рис. 4. Эквивалентная структурная схема замкнутой САУ

В итоге изображение управляемой величины будет равно:

Таким образом, передаточная функция замкнутой системы относительно рассматриваемого воздействия – есть отношение передаточной функции прямого участка цепи от точки приложения воздействия до выходной координаты (при разомкнутой ГООС и

равенстве нулю остальных входных воздействий) W gx (s) либо W fx (s) к

(1+ Wраз(s)) :