Переход к каноническое уравнение парабола

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Каноническое уравнение параболы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.

Основные термины из канонического уравнения параболы

Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.

Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.

Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Что из себя представляет каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:

$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.

Число $p$ из уравнения носит название «фокальный параметр».

Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.

Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.

А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = — 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.

Готовые работы на аналогичную тему

Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.

При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$

Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы

Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы

Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.

Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac

<2>$ и $y = 0$.

Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = — \frac

<2>$.

Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:

$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.

Икс и игрек для этой точки равны $\frac

<2>$ $y$ соответственно.

Запишем уравнение (1) в координатной форме:

Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.

Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции

Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:

Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:

$y_A = — \frac<4a>$, где $D = b^2 – 4ac$.

Пример составления классического уравнения параболы

Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.

Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac<1><2>$ фокального параметра $\frac

<2>= 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.

После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.

Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику

Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения

Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.

Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:

Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 \cdot x$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 03 12 2021

Общее уравнение параболы (примеры и упражнения)

Общее уравнение параболы (примеры и упражнения) — Наука

Содержание:

В общее уравнение параболы содержит квадратичные члены в Икс И в Y, а также линейные члены в обеих переменных плюс независимый член. Ось симметрии первой параллельна вертикальной оси, а вторая — горизонтальной.

В общем, квадратное уравнение без перекрестного члена ху записывается как:

Топор 2 + Сай 2 + Dx + Ey + F = 0

Значения A, C, D, E и F являются действительными числами. При выполнении условий A ∙ C = 0 и A + C ≠ 0 кривая, полученная в результате построения графиков точек, удовлетворяющих указанному уравнению, является параболой.

Случай 1

Для вертикальной параболы ее общее уравнение:

Топор 2 + Dx + Ey + F = 0

Где A и E отличны от 0. Другими словами, когда термин появляется с x 2 , парабола вертикальная.

Случай 2

Со своей стороны, для горизонтальной параболы имеем:

Сай 2 + Dx + Ey + F = 0

Здесь C и D также отличны от 0, поэтому квадратичный член соответствует y 2 .

В любом случае общее уравнение параболы квадратично по одной из переменных и линейно по другой.

Элементы притчи

Парабола, определяемая как геометрическое место, состоит из множества точек плоскости, которые равноудалены от другой точки, называемой фокус а также строку, известную как директивная строка.

Исходя из общего уравнения, можно изучить параболу, указав ее элементы. Эти элементы, включая фокус и директивную строку, кратко описаны:

–Ось, который относится к оси симметрии параболы, может быть горизонтальным (параллельно оси абсцисс) или вертикальным (параллельно оси ординат).

–Ориентация, что, в свою очередь, соответствует ориентации оси. Парабола вертикальна, если ее ось симметрии вертикальна, и горизонтальна, если ось также расположена.

–Вершина, — точка, в которой ось пересекает параболу.

–Фокус, точка, расположенная на оси, внутри параболы и на расстоянии п из вершины. Все точки параболы равноудалены от фокуса и направляющей линии.

–Параметр, это расстояние п между фокусом и вершиной.

–Прямая линия, которая перпендикулярна оси и также является расстоянием п вершины параболы, но не пересекает ее, так как находится снаружи.

–Прямая сторона, — хорда, которая проходит через фокус, пересекая параболу в двух точках, перпендикулярных ее оси.

–Эксцентриситет, который в случае притчи всегда равен 1.

–Графическое представление.

Информация для определения всех этих элементов содержится в общем уравнении.

Каноническая форма

Для определения элементов параболы иногда удобно перейти от общей формы к канонической форме параболы, используя метод дополнения квадратов по квадратичной переменной.

Эта каноническая форма такова:

Где точка (h, k) — вершина V параболы. Каноническая форма также может быть преобразована в общее уравнение, развивая замечательный продукт и переставляя термины.

Примеры

Пример 1

Ниже приведены уравнения параболы в общем виде:

а) 4х 2 + 5лет — 3 = 0

б) 1 — 2y + 3x –y 2 = 0

В а) коэффициенты определены: A = 4, C = 0, D = 0, E = 5, F = -3. Это парабола, ось симметрии которой вертикальна.

Со своей стороны, в б) общее уравнение имеет вид:

— Y 2 + 3х — 2у + 1 = 0

И коэффициенты: C = –1, D = 3, E = -2 и F = 1.

Пример 2

Следующая притча имеет каноническую форму:

Чтобы найти его общее уравнение, сначала разработайте заметный продукт и сделайте круглые скобки справа:

Y 2 –2y + 1 = 6x –18

Теперь все термины перенесены влево и удобно сгруппированы:

Y 2 –2y + 1– 6x +18 = 0 → y 2 — 6x –2y + 19 = 0

Поскольку квадратичный член равен y 2 это горизонтальная парабола. Коэффициенты:

С = 1; D = -6; E = –2, F = 19.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Следующая притча дана в общем виде:

Икс 2 –10x — 12лет — 11 = 0

Просьба писать в канонической форме.

Решение

Переход к каноническому виду достигается заполнением квадратов, в данном случае, по переменной x. Начнем с написания терминов в скобках x:

(Икс 2 –10x) –12y — 11 = 0

Вы должны преобразовать то, что указано в скобках, в трехчлен полного квадрата, что достигается добавлением 5 2 , который, естественно, необходимо вычесть, иначе выражение изменится. Выглядит это так:

(Икс 2 −10x + 5 2 ) −12y — 11−5 2 = 0

Три члена в скобках составляют трехчлен полного квадрата (x-5) 2 . Это можно проверить, разработав этот замечательный продукт для подтверждения. Теперь остается притча:

(х — 5) 2 –12y –36 = 0

Ниже приведены термины вне скобок:

(х — 5) 2 –12 (и +3) = 0

Что окончательно трансформируется в:

Пример 2

Найдите элементы предыдущей параболы и постройте ее график.

Решение

Вершина

Вершина параболы имеет координаты V (5, -3)

Ось

Параметр

По поводу значения параметра п которое появляется в канонической форме: (x — h) 2 = 4p (y — k) находится путем сравнения обоих уравнений:

Ориентация

Эта парабола вертикальная и открывается вверх. Поскольку вершина расположена в точке x = 5, y = -3, то осью симметрии является вертикальная линия x = 5.

Фокус

Фокус находится на прямой x = 5, следовательно, у нее также есть координата x = 5.

Координата Y Фокус должен быть на p единиц выше k, то есть: p + k = 3 + (-3) = 0, тогда фокус находится в точке (5,0).

Прямая линия

Он перпендикулярен оси, поэтому теперь имеет форму y = c, поскольку он находится на расстоянии p от вершины, но вне параболы, это означает, что он находится на расстоянии p ниже k:

Прямая сторона

Этот отрезок пересекает параболу, проходит через фокус и параллелен директивной линии, поэтому он содержится в прямой y = 0.

Графическое представление

Его можно легко получить из бесплатного онлайн-программного обеспечения для построения графиков, такого как Geogebra. В поле ввода он размещается так: