Переход от одного вида уравнения плоскости к другому

Переход от одного вида уравнения прямой к другому.

Переход от общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой и обратно.

Существуют различные виды уравнения прямой на плоскости, описывающие одну и ту же линию. В зависимости от условий задачи удобно использовать тот или иной вид уравнения прямой. Поэтому, полезно уметь переходить от уравнения прямой одного вида к уравнению прямой другого вида. Цель этого пункта статьи заключается в приобретении навыков приведения общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой и обратно.

Начнем с приведения общего уравнения прямой к каноническому уравнению прямой вида .

Если , то переносим слагаемое в правую часть равенства с противоположным знаком . В левой части равенства выносим А за скобки . Полученное равенство можно записать как пропорцию вида .

Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямой только слагаемое , а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: . Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки и записываем полученное равенство в виде пропорции . Вот и все.

Запоминать полученные формулы не имеет смысла, проще повторять указанные действия при приведении общего уравнения прямой к каноническому виду.

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости; его частные случаи.

Каждую плоскость в пространстве можно представить как линейное уравнение, называемое общим уравнением плоскости

, где .

Коэффициенты являются координатами нормального вектора плоскости . Вектор перпендикулярен плоскости.

Частные случаи.

1. Если в уравнении (8) , то оно принимает вид Ax+By+Cz=0.Этому ур-ю удовлетворяет точка О(0;0;0). Следовательно, плоскость проходит через начало координат.

2. Если С=0, то имеем ур-е: Аx+By+D=0. Нормальный вектор n=(A,B,0) перпендикулярен оси Оz. Следовательно плоскость параллельна оси Оz, если В=0 – параллельна оси Оy, А=0 – параллельна оси Оx.

3. Если С=D=0, то плоскость проходит через О(0;0;0) параллельно оси Оz, т.е. плоскость Аx+By=0 проходит через ось Оz. Аналогично ур-ям Ву+Сz=0 и Ах+Сz=0 отвечают плоскости, порходящие соответственно через ос Ох и Оу.

4. Если А=В=0, то ур-е (8) принимает вид Сz+D=0, т.е. z= -D/C. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично ур-ям Ах+D=0 и Ву+D=0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Оух и Охz.

5. Если А=В=D=0, то ур-е (8) примет вид Сz=0, т.е. z=0. Это ур-е плоскости Оху. Аналогично у=0 – ур-е плоскости Охz, х=0 – ур-е плоскости Оуz.

Угол между двумя плоскостями; условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Угол между плоскостями. Угол φ между нормальными векторами n₁ и n₂ двух плоскостей является углом между плоскостями.

Условия перпендикулярности 2х плоскостей. Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

3) Условия параллельности 2х плоскостей.Две плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

Различные виды уравнений плоскости в пространстве

Различные виды уравнений плоскости в пространстве

• РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Простейшая поверхность является плоскость. Плоскость в пространстве Oxijz можно задать разные способы. Каждая из них соответствует определенному виду ее уравнение. 1. Уравнение плоскости, проходящей через точку точки перпендикулярно существующего вектору Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой Mq

Выведем уравнение плоскости Q. При любом расположении точки М на плоскости Q векторы п и ДМК взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: п • ДМК = 0, т е , А (х-®0) + В (у-у0) + С (z-z0) = 0. (1) Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют (1), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них п • Л / о М ф 0).

Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку Mq (хо \ уо; ZQ) .перпендикулярно вектору п =. (Л; В; С) Оно первой степени относительно текущих координат ху у и г. Вектор п — (А \ В \ С) называется нормальным вектором плоскости. .. Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (1) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку Mq Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей а уравнение (1) — уравнением связки плоскостей.

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у vi z: (2) Ax + By + Cz + D = 0. Не равны нулю, например, В и 0, пеме (3) Сравнивал уравнение (3) с уравнением (1), видим, что уравнения (2) и (3) являются уравнением плоскости с нормальным вектором п = (А; В) С), проходящей через точку М \ (0; — Q; 0 ). Итак, уравнение (2) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость.

Примеры решения и задачи с методическими указаниями

• Частные случаи общего уравнения плоскости: 1. Если D = 0, то оно принимает вид Ах -f К + Cz = 0. Этому уравнению удовлетворяет точка 0. (0; 0; 0) Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат. . 2. Если С = 0, то имеем уравнение Ах -f- К + D = 0. Нормальный вектор п = <А; В; 0) перпендикулярен оси Оз Следовательно, плоскость параллельна оси Oz; если В = 0 — параллельна оси Оу , А = 0-параллельна ос Ох. 3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через 0 (0; 0) 0 + Cz = 0. 4. Если А = В = 0, то уравнение (2) принимает вид Cz + D = 0>+ C (z-0) = 0.

т. е. 2 = — ^ 4. Плоскость параллельна плоскости Оху. уравнениям Ax + D = 0nBy + D = 0 взаимодействующих плоскостей, соответственно параллельных плоскостям Oyz и Ox yz 5. Если А = В = D = 0, то уравнению (2) примет вид Cz-О, т. Е. Z-0. Плоскости Oyz.

. Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки Ми (XI; ил] Zi), М2 (х2; 2 / 25z2) и М3 (х3-, у3]. гз), не лежащие на одной прямой.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Людмила Фирмаль

Возьмем на плоскость спутника точку М (х; у; z) и составим предлагаемую MiM = (x-xi \ y-yi \ z-

zi), М \ М2y =) М \ М2y =) \ уг — 2/1; 2: 3

21) Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем М \ М • М \ М2 • М \ М $ = 0, т. х-хх у-т / 1 z- Zi Xl -XI У2- У \ z2-Zi Хг -Xl 2/3-й Zt-Zi (4) = 0 Уравнение (4) есть уравнение плоскости, проходящее через три данные точки. 4. Уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости в отрезках Пусть плоскость пересекается на осях Ох, Оу и Оз соответственно соответственно отрезки, Ъ и с, т. П. Проходис Подставляя координаты этих точек в уравнение (4), получаем Раскрыв определитель, у нас hex-abc + abz -f асу = 0, т. Е. Ящик -I- асу 4- abz = abc или — +! + — =! • (5) азбука Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

ПОЛОЖЕНИЕ В плоскости вполне определяется заданием единичного вектора ё, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (см. Рис.). х

Пусть О К = р, а а, / 3,7 -. Углы, образованные единичный вектор с осями Ох, Оу и 02. Тогда ё = (потому что

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института