Решение уравнений, содержащих неизвестную в основании логарифма
Разделы: Математика
Цели урока:
- обучающие: закрепить основные способы решения логарифмических уравнений: по определению логарифма с учётом области определения, на основании свойств монотонности (потенцирование) с учётом равносильности перехода, переход к новому основанию, введение новой переменной; рассмотреть некоторые приемы быстрого решения уравнений рассматриваемого типа;
- развивающие: содействовать развитию логического мышления учащихся; развивать умения рассуждать, сравнивать, осмысливать материал; развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности; учить видеть задачу целиком, логически мыслить при переходе от частного к общему; развивать навыки обобщения;
- воспитывающие: воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения; побуждение учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности; воспитание у учащихся уверенности в себе, веры в свои силы в нестандартной ситуации.
Тип урока: урок комплексного применения знаний и навыков.
Ход урока:
1. Организационный момент
(сообщить учащимся тему урока, поставить перед ними задачи урока), (на партах у каждого раздаточный материал см. Приложение 1).
Изучив основные свойства логарифмической функции, правила вычисления логарифмов, овладев основными приемами решения логарифмических уравнений и неравенств, наша основная задача на сегодняшний урок – обобщить методы решения логарифмических уравнений, содержащих переменную в основании логарифма.
2. Активизация знаний учащихся.
Устная работа:
- Найдите область определения функций:
(- 4; — 3) U (- 3; — 1) U (1;∞)
- Каким способом решается уравнение:
. Ответ: по определению логарифма. Решений нет!!
- При каком значении параметра а функция
определена на множестве (1; ∞); если изменить основание, значение параметра изменится?
определена на множестве (1; ∞); если изменить основание, значение параметра изменится?Ответ: а ≥ 1
Ответ: а ≥ 1
Ответ: а > 1
3. Основная часть урока.
Слайд 2. Виды уравнений и методы решения
На области определения 
по определению логарифма 
Или 
Пример 
Решение: 
x=6. Ответ: 6.
слайд 5. 
На области определения 
по определению логарифма 
Пример: 
Решение: 7x-14=3-2x; 9x=17; x=17/9; НО. 
промежутки не пересекаются, значит, решений нет!! Ответ: решений нет.
Пример:
Каким способом решается уравнение?
предполагаемый ответ учащихся: решаем, применяя определение логарифма (решение учеником письменно на доске и в тетрадях)
Решение: 
при х= 6 
верно. Ответ: 6
Слайд 8
Слайд 10. На найденной области определения 
решим уравнение: 
, 
, х = 0 или х = 1,5
Ответ: 1,5
Слайд 11 Следующий вид уравнения:
Одна и та же функция в основании логарифма 
Вопрос: Каким способом решать?
Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к следствию 
Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.
Слайд 12. Одна и та же функция является подлогарифмическим выражением
Вопрос: Каким способом решать? Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к совокупности уравнений
Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.
Слайд 14. На промежутке 
решаем совокупность уравнений:
Слайд 15. Проверяем на принадлежность этих чисел области определения, делаем вывод: решением уравнения являются числа: 
; 
. Ответ: 
;
.
Слайд 16 Следующий вид уравнений: 
Область определения достаточно объёмная
Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.
Слайд 17. Как вы думаете, каким способом лучше решать это уравнение?
Один из вариантов ответов: переход к новому основанию (числовому)
Слайд 18. или к буквенному 
Слайд 19. Пример: 
(решение с подробным комментарием письменно на доске и в тетрадях).
Решение: Очевидно 
. Выполним преобразования основания и подлогарифмического выражения правой части уравнения
, 
Перейдём в правой части уравнения к новому основанию х, применяя свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей по такому же основанию
, 
Выполним замену переменных 
Получим уравнение 
, 
, 
Выполнив обратную замену, получим
Х= — 1.
Очевидно – 1 не входит в область определения заданного уравнения.
Или 
, 
, 
.
По свойству: если коэффициенты квадратного уравнения таковы, что
a + c – b =0, то Х= — 1, Х= ½. Ответ: ½
Слайд 20 
Следующий тип уравнений
Слайд 21. Пример 
Ответ: 5,5.
Слайд 22 «Комбинированные» виды уравнений
Пример 
Решение: очевидно 
Слайд 23 
, 
, 
(очевидно, последнее уравнение решений не имеет)
Слайд 24 
, 
. Ответ: 
Слайд 25 Уравнения, левая часть которых – сумма взаимно обратных слагаемых
Пример: 
(*)
Очевидно, каждое слагаемое равно 1. 
Получим систему, равносильную уравнению (*)
x = 2. Ответ: 2
Слайд 27. В чём отличие в решении следующего уравнения?
(*)
Равенство взаимно обратных слагаемых верно при условии х > 0,5, х ≠ 1,5.
На рассматриваемом промежутке уравнение (*) равносильно совокупности
Слайд 28 
с учётом области определения: 
Ответ: 1
Подведение итогов урока
4. Домашнее задание.
Слайд 30. Решите уравнения: 
, 
P. S. Урок проведён в 10 классе физико-химического профиля. Уложились за урок за счёт экономии времени: на партах лежали у каждого ученика листы с напечатанными типами уравнений, учащиеся записывали только метод решения (без области определения и решения). Эти листы ученики забрали с собой и вклеили в тетрадь.
В слабом классе лучше потратить на эту тему сдвоенный урок.
P. S. S. В кабинете один компьютер с выходом на экран телевизора. В связи с этим, на слайдах текст печатается очень крупно.
Решение логарифмических неравенств с переменным основанием
Решение логарифмических неравенств с переменным основанием.
В этой статье мы поговорим о том, как решать логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную величину в основании логарифма.
Как мы помним, при решении логарифмических неравенств, мы сравниваем основание логарифма с единицей. Если в основании логарифма стоит выражение, зависящее от неизвестного, то нам надо рассмотреть два случая: когда это выражение больше единицы, и когда оно принимает значение от нуля до единицы.
Но есть и более простой способ.
Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.
Пусть неравенство имеет вид
log_
Если основание логарифма больше единицы (p(x)>1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.
Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0
Чтобы не рассматривать эти два случае по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде:
0″ title=»(p(x)-1)(f(x)-g(x))>0″/>
Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:
если p(x)>1, то f(x) > g(x) — знак неравенства сохраняется
g(x) — знак неравенства меняется на противоположный.
Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство
log_
будет равносильно системе:
0>
Последние четыре неравенства системы — ОДЗ исходного неравенства.
Решим, для примера, такое неравенство:
Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 
Перейдем к равносильной системе неравенств:
0>
Решим каждое неравенство системы по отдельности, на своей координатной прямой.
Сначала преобразуем первое неравенство системы к виду
и решим это неравенство методом интервалов.
Корни квадратного трехчлена в первых скобках:
, 
Корни квадратного трехчлена во вторых скобках:
, 
.
Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки:
Решение второго неравенства системы:
-3″ title=»x>-3″/>
Решение третьего неравенства: 
0″ title=»x^2+3x>0″/>
Теперь совместим решение всех неравенств на одной координатной прямой:
Нас интересует промежуток, над которым проходит три стрелки.
Ответ: 
.
А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я объясняю решение логарифмического неравенства с переменным основанием и с модулем в выражении, стоящем под знаком логарифма:
0″ title=»log_<(x^2-2x-3)><
Алгебра
План урока:
Задание. Укажите корень логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид
Задание. Найдите решение логарифмического уравнения
Задание. Решите урав-ние
Задание. Решите урав-ние
Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:
Уравнения вида logaf(x) = logag(x)
Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.
Задание. Решите урав-ние
Задание. Найдите корень урав-ния
Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид
С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.
Задание. Решите урав-ние
Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:
Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:
Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:
Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log3 (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).
Уравнения, требующие предварительных преобразований
Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду logaf(x) = logag(x).
Задание. Решите урав-ние
с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:
Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:
Задание. Решите урав-ние
Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем
Задание. Решите урав-ние
Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log5 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:
Задание. Решите урав-ние
Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что
Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что
Задание. Решите урав-ние
Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log25x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу
Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:
Логарифмические уравнения с заменой переменных
Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.
Задание. Решите уравнение методом замены переменной
Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной
Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:
Логарифмирование уравнений
Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.
Задание. Укажите корни урав-ния
Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:
Возвращаемся от переменной t к переменной х:
Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим
Рассмотрим график логарифмической функции у = logax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства
Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.
Задание. Найдите решение логарифмического неравенства
Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 logas:
Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 loga s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение
Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:
Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).
http://ege-ok.ru/2012/02/12/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv-s-peremennyim-osnovaniem
http://100urokov.ru/predmety/urok-9-uravneniya-logarifmicheskie