Переменная в уравнении 11 букв

Что такое переменные? Переменная величина в математике

Значение переменных в математике велико, ведь за время ее существования ученые успели совершить множество открытий в данной области, и, чтобы кратко и ясно изложить ту или иную теорему, мы пользуемся переменными для записи соответствующих формул. Например, теорема Пифагора о прямоугольном треугольнике: a 2 = b 2 + c 2 . Чем каждый раз при решении задачи писать: по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов — мы записываем это формулой, и все сразу становится понятно.

Итак, в этой статье пойдет речь о том, что такое переменные, об их видах и свойствах. Также будут рассмотрены разные математические выражения: неравенства, формулы, системы и алгоритмы их решения.

Понятие переменной

Для начала узнаем, что такое переменная? Это численная величина, которая может принимать множество значений. Она не может быть постоянной, так как в разных задачах и уравнениях для удобства решения мы принимаем за переменную разные числа, то есть, например, z — это общее обозначение для каждой из величин, за которые ее принимают. Обычно их обозначают буквами латинского или греческого алфавита (x, y, a, b и так далее).

Есть разные виды переменных. Ими задаются как некоторые физические величины — путь (S), время (t), так и просто неизвестные значения в уравнениях, функциях и других выражениях.

Например, есть формула: S = Vt. Здесь переменными обозначаются определенные величины, имеющие отношение к реальному миру — путь, скорость и время.

А есть уравнение вида: 3x — 16 = 12x. Здесь уже за x принимается абстрактное число, которое имеет смысл в данной записи.

Виды величин

Под величиной имеется в виду то, что выражает свойства определенного предмета, вещества или явления. К примеру, температура воздуха, масса животного, процентное содержание витаминов в таблетке — это все величины, числовые значения которых можно вычислить.

Для каждой величины есть свои единицы измерения, которые все вместе образуют систему. Ее называют системой исчисления (СИ).

Что такое переменные и постоянные величины? Рассмотрим их на конкретных примерах.

Возьмем прямолинейное равномерное движение. Точка в пространстве движется с одинаковой скоростью на каждом промежутке времени. То есть изменяются время и расстояние, а скорость остается одинаковой. В данном примере время и расстояние — переменные величины, а скорость — постоянная.

Или, например, “пи”. Это иррациональное число, которое продолжается без повторяющейся последовательности цифр и не может быть записано полностью, поэтому в математике оно выражается общепринятым символом, который принимает только значение данной бесконечной дроби. То есть “пи” — это постоянная величина.

История

История обозначения переменных начинается в семнадцатом веке с ученого Рене Декарта.

Известные величины он обозначил первыми буквами алфавита: a, b и так далее, а для неизвестных предложил использовать последние буквы: x, y, z. Примечательным является то, что такие переменные Декарт считал неотрицательными числами, а при столкновении с отрицательными параметрами ставил знак минус перед переменной или, если было неизвестно, каким по знаку является число, многоточие. Но со временем наименованиями переменных стали обозначать числа любого знака, и началось это с математика Иоганна Худде.

С переменными вычисления в математике решаются проще, ведь как, например, сейчас мы решаем биквадратные уравнения? Вводим переменную. Например:

x 4 + 15x 2 + 7 = 0

За x 2 принимаем некое k, и уравнение приобретает понятный вид:

x 2 = k, при k ≥ 0

Вот какую пользу в математику несет введение переменных.

Неравенства, примеры решения

Неравенство представляет собой запись, в которой два математических выражения или два числа связаны знаками сравнения: , ≤, ≥. Они бывают строгими и обозначаются знаками или нестрогими со знаками ≤, ≥.

Впервые эти знаки ввел Томас Гарриот. После смерти Томаса вышла его книга с этими обозначениями, математикам они понравились, и со временем их стали повсеместно употреблять в математических вычислениях.

Существует несколько правил, которые нужно соблюдать при решении неравенств с одной переменной:

1. При переносе числа из одной части неравенства в другую меняем его знак на противоположный.
2. При умножении или делении частей неравенства на отрицательное число их знаки меняются на противоположные.
3. Если умножить или разделить обе части неравенства на положительное число, то получится неравенство, равное исходному.

Решить неравенство — значит найти все допустимые значения переменной.

Пример с одной переменной:

Решаем, как обычное линейное уравнение — переносим слагаемые с переменной влево, без переменной — вправо и приводим подобные члены:

Делим обе части неравенства на 10 и получаем:

Для наглядности в примере решения неравенства с одной переменной изображаем числовую прямую, отмечаем на ней проколотую точку 20, так как неравенство строгое, и данное число не входит в множество его решений.

Решением этого неравенства будет промежуток (20; +∞).

Решение нестрогого неравенства осуществляется так же, как и строгого:

Но есть одно исключение. Запись вида x ≥ 5 нужно понимать так: икс больше или равно пяти, значит число пять входит во множество всех решений неравенства, то есть, записывая ответ, мы ставим квадратную скобку перед числом пять.

Квадратные неравенства

Если взять квадратное уравнение вида ax 2 + bx +c = 0 и изменить в нем знак равно на знак неравенства, то соответственно получим квадратное неравенство.

Чтобы решить квадратное неравенство, надо уметь решать квадратные уравнения.

y = ax 2 + bx + c — это квадратичная функция. Ее мы можем решить с помощью дискриминанта, либо используя теорему Виета. Вспомним, как решаются подобные уравнения:

1) y = x 2 + 12x + 11 — функция является параболой. Ее ветви направлены вверх, так как знак коэффициента «a» положительный.

2) x 2 + 12x + 11 = 0 — приравниваем к нулю и решаем с помощью дискриминанта.

a = 1, b = 12, c = 11

D = b 2 — 4ac= 144 — 44 = 100 > 0, 2 корня

Или можно было решить это уравнение по теореме Виета:

Методом подбора получаем такие же корни уравнения.

Парабола

Итак, первый способ решения квадратного неравенства — это парабола. Алгоритм ее решения таков:

1. Определяем, куда направлены ветви параболы.

2. Приравниваем функцию к нулю и находим корни уравнения.

3. Строим числовую прямую, отмечаем на ней корни, проводим параболу и находим нужный нам промежуток в зависимости от того, какой у неравенства знак.

Решим неравенство x 2 + x — 12 > 0

Выписываем в виде функции:

1) y = x 2 + x — 12 — парабола, ветви вверх.

Приравниваем к нулю.

Дальше решаем как квадратное уравнение и находим нули функции:

3) Изображаем числовую прямую и на ней точки 3 и -4. Парабола пройдет через них, ветвями вверх и ответом к неравенству будет множество положительных значений, то есть (-∞; -4), (3; +∞).

Метод интервалов

Второй способ — это метод интервалов. Алгоритм его решения:

1. Находим корни уравнения, при которых неравенство равно нулю.

2. Отмечаем их на числовой прямой. Таким образом она делится на несколько интервалов.

3. Определяем знак любого интервала.

4. Расставляем знаки у остальных интервалов, меняя их через один.

Решим неравенство (x — 4)(x — 5)(x + 7) ≤ 0

1) Нули неравенства: 4, 5 и -7.

2) Изображаем их на числовой прямой.

3) Определяем знаки интервалов.

Решим еще одно неравенство: x 2 (3x — 6)(x + 2)(x — 1) > 0

1. Нули неравенства: 0, 2, -2 и 1.

2. Отмечаем их на числовой прямой.

3. Определяем знаки интервалов.

Прямая делится на промежутки — от -2 до 0, от 0 до 1, от 1 до 2.

Возьмем значение на первом промежутке — (-1). Подставляем в неравенство. При данном значении неравенство становится положительным, значит и знак на этом промежутке будет +.

Далее, начиная от первого промежутка, расставляем знаки, меняя их через один.

Неравенство больше нуля, то есть надо найти множество положительных значений на прямой.

Системы уравнений

Системой уравнений с двумя переменными называют два уравнения, объединенных фигурной скобкой, для которых необходимо найти общее решение.

Системы могут являться равносильными, если общее решение одной из них является решением другой, или они обе не имеют решений.

Мы изучим решение систем уравнений с двумя переменными. Есть два способа их решения — метод подстановки или алгебраический метод.

Алгебраический метод

Чтобы решить систему, изображенную на картинке, данным методом, необходимо сначала помножить одну из ее частей на такое число, чтобы потом иметь возможность взаимно уничтожить одну переменную из обеих частей уравнения. Здесь мы умножаем на три, подводим черту под системой и складываем ее части. В итоге иксы становятся одинаковы по модулю, но противоположны по знаку, и мы их сокращаем. Далее получаем линейное уравнение с одной переменной и решаем его.

Игрек мы нашли, но на этом мы не можем остановиться, ведь мы еще не нашли икс. Подставляем игрек в ту часть, из которой удобно будет вывести икс, например:

-x + 5y = 8 , при y = 1

Решаем получившееся уравнение и находим икс.

Главное в решении системы — правильно записать ответ. Многие школьники делают ошибку и пишут:

Но это неверная запись. Ведь, как уже писалось выше, решая систему уравнений, мы ищем общее решение для его частей. Правильным будет ответ:

Метод подстановки

Это, пожалуй, самый простой метод, в котором трудно совершить ошибку. Возьмем систему уравнений номер 1 с этой картинки.

В первой ее части икс уже приведен к нужному нам виду, поэтому нам остается только подставить его в другое уравнение:

Переносим число без переменной вправо, приводим подобные слагаемые к общему значению и находим игрек:

Затем, как и в алгебраическом методе, подставляем значение игрека в любое из уравнений и находим икс:

Кроссворд. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство Единица измерения углов Числовой множитель в произведени

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Кроссворд.
Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство
Единица измерения углов
Числовой множитель в произведении
Раздел математики, изучающий тригонометрические функции
Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций?
Какая из тригонометрических функций чётная?
Как называется верное равенство?
Равенство с переменной
Уравнения, имеющие одинаковые корни
Множество корней уравнения

Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида asinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометри — ческим уравнением первой степени.
Уравнение вида asin2x + bsinx cosx + ccos2x = 0 называют однородным тригонометри -ческим уравнением второй степени

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения
первой степени:

Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx ≠ 0
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени:
Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2 x.
Если член asin2 x в уравнении содержится (т.е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos2x и последующим введение новой переменной.
Если член asin2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

№360 (в).
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx ≠ 0,
получаем
tgx — 3 = 0
tgx = 3
х = arctg 3 + πn, n є Z
Ответ: arctg 3 + πn, n є Z

№ 362 (в).
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
разделим обе части уравнения на cos2x≠0, получим
tg2x + tgx – 2 = 0
решаем путём введения новой переменной
пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
а2 + а – 2 = 0
Д = 9
а1 = 1 а2 = -2
возвращаемся к замене
tgx = 1 tgx = -2
х1 = π \ 4 + πn х2 = arctg (-2) + πn, n є Z
х2 = — arctg 2 + πn, n є Z
Ответ: π \ 4 + πn ; — arctg 2 + πn, n є Z

2 cosx — √2 = 0
tg2x +1 = 0
2cos2x – 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx — 2 cos2x = 0

2 cosx — √2 = 0
Ответ: x = ±π \ 4 + 2πn , n є Z
2. tg2x +1 = 0
Ответ: x = — π \ 8 + πn\2 , n є Z
3. 2cos2x – 3cosx +1 = 0
Ответ: х1 = 2πn, n є Z
x2 = ±π \ 3 + 2πn , n є Z
4. 3 sin2x + sinx cosx — 2 cos2x = 0
Ответ: x1 = — π \ 4 + πn , n є Z ;x2 = arctg 2/3 + πn , n є Z

Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида asinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Уравнение вида asin2x + bsinx cosx + ccos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени

Желаю творческих успехов!

Спасибо за урок!

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 120 человек из 44 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 236 человек из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 353 человека из 64 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 337 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 01.01.2021
• 2718
• 1

• 01.01.2021
• 3710
• 12

• 01.01.2021
• 2754
• 0

• 01.01.2021
• 2895
• 0

• 01.01.2021
• 2950
• 1

• 01.01.2021
• 3548
• 1

• 01.01.2021
• 3239
• 0

• 01.01.2021
• 2968
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.07.2020 283
• PPTX 131 кбайт
• 0 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шкитина Светлана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 32123
• Всего материалов: 230

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Что такое переменная? Буквенные обозначения переменных

Содержание

Зачем нужны буквы в математике? Почему в математике помимо цифр используют еще и буквы? Почему бы не оперировать просто цифрами? Давайте попробуем найти ответы на эти вопросы.

Зачем нужны все эти $a,b,x,y,z$? Согласитесь, любопытно. Почему мы действительно используем в математике буквы?

А потому что буквы нам нужны для обозначения переменных. Предположим, у нас есть выражение:

Что такое «x»?

Причина, по которой мы записали здесь букву $x$, заключается в следующем. На самом деле мы не знаем, чему равна эта переменная. Это что-то неизвестное, и это неизвестное нам и нужно найти. Хотя совсем не обязательно, чтобы это был $х$ или какая- то другая буква.

Мы могли этот же пример записать так:

почерк плюс три равно десяти

Или так: знак вопроса плюс три равно десяти

На самом деле непринципиально, как мы обозначим переменную. Мы можем поставить вместо нее вот такой смайлик — 😀

Тогда это будет смайлик плюс три равно десяти

Мы можем решить это уравнение и найти значение, которое соответствует этому смайлику.

Если бы вместо смайлика было записано какое-то число, то это уже не была бы переменная.

Вот такая первая причина использования букв. Еще буквы используют для выражения отношения между числами в тех или иных выражениях.

Например, если в записи

число 5 обозначить буквой $x$, то получится выражение:

то есть число 5 получило свое обозначение, так сказать свое название, свое имя. Это имя и есть буква $х$.

Рассмотрим еще один пример. В записи $у > 0$ на месте буквы $у$ может стоять любое положительное число.

Это может быть и $23$, и $307$, и $2057$. И еще множество других положительных чисел. Потому что, как мы уже знаем, любое положительное число – это число, которое больше нуля.

Если есть два числа, одно из которых больше другого, то с помощью букв это можно записать вот так:

Это могли быть числа $50$ и $20$ соответственно. То есть $x$ здесь равно $50$, а $y = 20$.

Отличное применение букв! На самом деле не обязательно использовать именно $x$ или $y$ для обозначения тех или иных переменных. Просто так сложилось исторически.

Вместо $x$ мы могли бы использовать треугольник, а вместо $у$ – смайлик. Тогда наше выражение выглядело бы весьма симпатично:

Буквы в математике – это всего лишь символы, и ничего более. И использовать можно абсолютно любую букву латинского алфавита, которая больше всего нравится.

При решении задач можно использовать и письменный, и печатный вариант написания буквы. Для обозначения чисел чаще всего используют маленькие прописные буквы.