Переменные определяемые из уравнений модели называются зависимые

, Громов : для экономических специальностей

-*наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей в экономике;

-учение о системе показателей, дающих представление об экономике;

-различного рода цифровые данные.

2. Предметом эконометрики является:

-*определение наблюдаемых в экономике количественных закономерностей;

-сбор цифровых данных;

3. К одному из методов эконометрики относится:

-счета и двойная запись;

4. Эконометрическая модель описывает:

-*стохастические связи между переменными;

-функциональные связи между переменными;

-набор цифровых данных;

5. Переменные, определяемые из уравнений модели, называются:

6. Переменные, задаваемые «из вне», в определенной степени управляемые (планируемые), называются:

7. Переменные, задаваемые «из вне», в определенной степени управляемые (планируемые), называются:

-предопределенные.

8. Пространственные данные фиксируются:

-*в один и тот же момент времени по нескольким объектам;

-по одному объекту за период времени.

-по нескольким объектам за период времени.

9. Идентификация модели – это:

-*статистическое оценивание неизвестных параметров модели;

-формулировка вида модели, состава и формы входящих в нее связей;

-сбор необходимой статистической информации;

-статистическое оценивание неизвестных параметров модели;

-проверка точности модельных данных.

10. Верификация модели – это:

-*проверка точности модельных данных.

-статистическое оценивание неизвестных параметров модели;

-формулировка вида модели, состава и формы входящих в нее связей;

-сбор необходимой статистической информации;

-статистическое оценивание неизвестных параметров модели

11. Статистическими называются выводы, полученные путем:

-*обобщения свойств выборки на генеральную совокупность;

-измерения генеральной совокупности;

-сбора статистических данных.

12. Выборочное среднее является;

-*оценкой среднего в генеральной совокупности;

-наиболее часто встречающейся величиной в генеральной совокупности;

-оценкой разброса в генеральной совокупности.

13. Выборочное среднее квадратическое отклонение является:

-*оценкой разброса в генеральной совокупности.

-оценкой среднего в генеральной совокупности;

-наиболее часто встречающейся величиной в генеральной совокупности.

14. Выборочный коэффициент корреляции является:

-*оценкой относительной меры разброса в генеральной совокупности;

-оценкой среднего в генеральной совокупности;

-наиболее часто встречающейся величиной в генеральной совокупности;

15. Если коэффициент корреляции между двумя случайными величинами больше нуля, то значит:

-*случайные величины имеют прямую линейную зависимость;

-случайные величины имеют обратную линейную зависимость;

-случайные величины не зависимы.

16. Если коэффициент корреляции между двумя случайными величинами меньше нуля, то значит:

-*случайные величины имеют обратную линейную зависимость;

-случайные величины имеют прямую линейную зависимость;

-случайные величины не зависимы.

17. Нулевой называется:

-*гипотеза, подвергающаяся проверке;

-гипотеза, которая отклоняется;

-гипотеза, которая содержит одно конкретное предположение.

18. Альтернативной называется:

-*гипотеза, необходимая для проверки нулевой гипотезы;

-гипотеза, которая отклоняется;

-гипотеза, которая содержит несколько конкретных предположений.

19. Уровнем значимости называется:

-*вероятность отвергнуть правильную нулевую гипотезу;

-совокупность значений критерия проверки, при которых нулевую гипотезу отклоняют;

-совокупность значений критерия проверки, при которых нулевую гипотезу не отклоняют.

20. Случайным называется такое событие, которое:

-*может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента;

-не происходит никогда в условиях данного эксперимента;

-происходит всегда в условиях данного эксперимента.

21. Достоверным называется такое событие, которое:

-*происходит всегда в условиях данного эксперимента;

-может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента;

-не происходит никогда в условиях данного эксперимента;

22. Невозможным называется такое событие, которое:

-*не происходит никогда в условиях данного эксперимента

-может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента;

-происходит всегда в условиях данного эксперимента

23. К несовместимым относятся события, которые:

-*не могут происходить одновременно;

-характеризуются тем, что одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое.

24. Вероятность события А изменяется в пределах:

-*;

—;

—.

25. Для вероятности достоверного события характерно:

-* ;

—;

—.

26. Для вероятности невозможного события характерно:

-*

—

—

27. Для вероятности несовместимых событий характерно:

. Для вероятности противоположных событий характерно:

29. Случайной величина:

-*заранее не известное численное значение, зависящее от случайных обстоятельств;

-количественная мера для сравнения событий по степени возможности их появления;

-исход или совокупность исходов вероятностного эксперимента.

30. Законом распределения дискретной случайной величины называется:

-*соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями;

-функция, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем Х;

-функция, производная от функции распределения дискретной случайной величины.

31. Функцией распределения случайной величины Х называется:

-*функция, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем Х;

-соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями;

-функция, производная от функции распределения непрерывной случайной величины.

32. Плотностью распределения вероятностей случайной величины Х называется:

-*функция, производная от функции распределения случайной величины

-соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями;

-функция, определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем Х

33. Плотность распределения вероятностей можно записать:

-*для непрерывных случайных величин;

-для дискретных случайных величин;

-для любых случайных величин.

34. К числовым характеристикам положения случайной величины относится:

-среднее квадратическое отклонение

35. К числовым характеристикам рассеивания (разброса) случайной величины относится:

36. Математическое ожидание характеризует:

-*среднее ожидаемое значение случайной величины;

-наиболее часто встречающееся значение случайной величины;

-серединное значение ряда упорядоченных случайных величин.

37. Стандартизированное нормальное распределение имеет параметры:

-*;

—;

—.

38. Какими параметрами определяется распределение Фишера?

-*числами степеней свободы m и n

-числом степеней свободы n

-числом степеней свободы n-m

39. Если случайные величины X и Y независимы, то

-*;

—;

—

40. Примером дискретной случайной величины является:

-*списочное число работников предприятия

-выручка от реализации за текущий месяц

-прибыль от реализации за текущий месяц

41. Примером непрерывной случайной величины является:

-тарифный разряд работников предприятия

-количество станков в цехах

42. При увеличении уровня доверительной вероятности ширина доверительного интервала:

43. В экономике чаще всего большинство случайных величин задается в виде:

-закрытых случайных величин;

-*непрерывных случайных величин;

-закрытых случайных величин и непрерывных случайных величин

44. К какому закону распределения можно отнести показатели дохода населения, прибыли фирм в отрасли, объема потребления?

-закон распределения Хи – квадрат;

-закон распределения Стьюдента;

-закон распределения Фишера;.

-*нормальный закон распределения (распределение Гаусса).

45. Законы распределения случайной величины необходимы для:

-определения интервальных оценок;

-проверки статистических гипотез;

-*определения интервальных оценок и проверки статистических гипотез.

46. Квантиль определяется:

-числом степеней свободы;

-*уровнем значимости и числом степеней свободы.

47. Какие из перечисленных числовых характеристик используются для анализа степени взаимосвязи случайных величин?

-*ковариация и коэффициент корреляции;

-вероятность и коэффициент корреляции.

48. Ковариация является:

-*абсолютной мерой взаимосвязи;

-относительной мерой взаимосвязи;

-относительной частотой взаимосвязи.

49. Коэффициент корреляции является величиной:

-имеет ту же единицу измерения, что и случайная величина.

СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Практическое занятие 1

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений:

— система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как фунуция одного и того же набора факторов х:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

— система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде факторах в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

— система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.

Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы х.

Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты а и b при переменных – структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех

предопределенных переменных системы – приведенная форма модели:

где δ – коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:

D + 1 = Н – уравнение идентифицируемо;

D + 1 И – уравнение сверхидентифицируемо,

где Н – число эндогенных переменных в уравнении,

D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Задачи для самоконтроля

Определить вид системы уравнений. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

Определить вид системы уравнений. Проверить идентификацию системы эконометрических уравнений.

Если: а) все параметры системы отличны от нуля;

Определить вид системы уравнений. Проверить идентификацию системы эконометрических уравнений.

Если: а) все параметры системы отличны от нуля;

Практическое занятие 2

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:

— косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

— двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

— трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК).

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов. Он заключается в следующем:

— составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

— путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Например, требуется найти структурные параметры модели

при условии, что полученная приведенная форма модели описывается уравнениями

Проверим идентифицируемость уравнений. В модели имеется две эндогенные переменные y₁, y₂ и две экзогенные переменные x₁, x₂. В первое уравнение входят две эндогенные переменные у₁, у₂ и одна экзогенная переменная x₂. Следовательно, H = 2, D = 1 и H = D + 1, и первое уравнение – идентифицируемо. Идентифицируемость второго уравнения доказывается аналогично. Для нахождения структурных коэффициентов можно применить косвенный МНК, т. е. получить их с помощью преобразования приведенных уравнений.

Для этого из 2-го уравнения приведенной формы выразим переменную x₂ = x₁ – y₂ и подставим в 1-е уравнение приведенной формы модели

Сравнивая это уравнение с 1-м уравнением структурной формы
y₁ = b₁₂y₂ + a₁₁x₁, определим значения структурных параметров

Далее из первого уравнения приведенной формы выразим переменную x₁ = 0,5y₁ – 2x₂ и подставим во 2-е уравнение приведенной формы модели

Сравнивая последнее уравнение с 2-м структурной формы
y₂ = b₂₁y₁ + a₂₂x₂, получим

Таким образом, структурная форма модели определяется уравнениями:

Задачи для самоконтроля

Рассматривается макроэкономическая модель:

где y₁ – валовой региональный продукт (млрд. руб.);

y₂ – инвестиции в основной капитал (млрд. руб.);

y₃ – валовая прибыль экономики (млрд. руб.);

x₁ – численность занятых в экономике (млн. чел.);

x₂ – темп роста объема промышленной продукции (%);

x₃ – инвестиции в основной капитал предыдущего года (млрд. руб.).

1. Проведите идентификацию модели (двумя способами).

2. Укажите способ оценки параметров каждого уравнения системы.

3. Найдите структурные коэффициенты первого уравнений системы, если известна система приведенных уравнения:

4. Опишите методику оценки параметров третьего уравнения системы.

Рассматривается следующая модель:

где C – объем потребления;

I – объем инвестиций;

G − объем государственных расходов.

1. Представьте данную систему в приведенной форме.

2. Определите, какие из структурных уравнений идентифицируемы?

3. Какой метод можно использовать для оценки параметров рассматриваемой модели?

Рассматривается следующая модель «спрос – предложение»:

где q_t, p_t – эндогенные переменные – количество товара и цена в году t;

y_t – экзогенная переменная – доход потребителей;

На основании следующих статистических данных необходимо оценить коэффициенты функции предложения, используя для этого МНК и КМНК. Сравнить результаты.

Имеются данные, характеризующие некоторое государство за семь последовательных лет:

Определите параметры структурной модели вида:

Имеются данные, характеризующие годовое потребление мяса на душу населения, средние потребительские цены, среднедушевые денежные доходы, индекс цен производителей:

Необходимо построить модель вида:

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты модели.

Практическое занятие 3

Для решения сверхидентифицированных уравнений применяется двухшаговый МНК (ДМНК), который заключается в следующем:

— составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;

— выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;

— обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Рассмотрим в качестве примера модифицированную модель Кейнса:

где C_t, Y_t, I_t и G_t – объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно;

α и β – структурные коэффициенты;

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему уравнений вида:

,

.

Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай метода инструментальных переменных. При описании применения метода инструментальных переменных было указано, что структурное уравнение функции потребления оказалось переопределенным, и сразу две переменные I_t и G_t могли быть использованы для определения функции Y_t.

Однако вместо их раздельного применения можно предложить их комбинацию:

Вместо z_t может быть выбрана регрессионная оценка Ŷ_t, приведенного уравнения для Y_t, которую получают с помощью обычного МНК:

Так осуществляется первый шаг двухшагового метода наименьших квадратов. Подставляя теоретические значения Ŷ_t вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение:

Оценки параметров аир этого уравнения получают с помощью обычного МНК. Так осуществляется второй шаг двухшагового метода наименьших квадратов. При этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.

Двухшаговый МНК можно рассматривать как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.

Более эффективным, но требующим существенно больших вычислительных затрат, является трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК). Он заключается в том, что двухшаговый метод наименьших квадратов применяется не к исходным уравнениям модели, а к уравнениям, преобразованным согласно обобщенному методу наименьших квадратов. Трехшаговый МНК является итерационной процедурой:

1) Параметры модели определяются обычным или двухшаговым МНК.

2) Вычисляются ошибки модели и определяется оценка корреляционной матрицы ошибок.

3) Уравнения преобразуются согласно обобщенному МНК.

4) Применяется двухшаговый МНК к преобразованным уравнениям и получается улучшенная модель (с улучшенными параметрами).

5) Процесс повторяется, начиная со второго шага, пока не будет достигнута заданная точность (либо превышено заданное количество итераций).

Если случайные члены структурной модели не коррелируют, то трехшаговый метод сводится к двухшаговому.

Задачи для самоконтроля

Имеются данные, характеризующие некоторое государство за семь последовательных лет:

Определите параметры структурной модели вида:

Изучается модель вида:

где y – валовой национальный доход;

y_-1 – валовой национальный доход предшествующего года;

C – личное потребление;

D – конечный спрос (помимо личного потребления).

Дана следующая информация за девять лет о приростах всех показателей:

Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

– провести идентификацию модели;

– рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Построена следующая модель:

где K_t – стоимость основных фондов (эндогенная переменная);

Y_t – количество работающих (эндогенная переменная);

I_t – объем инвестиций (экзогенная переменная);

P_t – объем продукции (эндогенная переменная);

X_t – использование сырья (экзогенная переменная).

Имеются наблюдения за 11 лет:

– провести идентификацию модели;

– рассчитать параметры уравнений структурной модели;

– рассчитать стандартные ошибки полученных параметров.

Дана модифицированная модель Кейнса:

где C – потребление; Y – доход; I – инвестиции; G – государственные расходы; t – текущий период; t_-1 – предыдущий период.

1. В предположении, что потребление зависит линейно от дохода (первое уравнение модели), оцените по МНК параметры a₁ и b₁₁ функции потребления;

2. Оцените те же параметры по ДМНК и по ТМНК;

3. Сравните полученные результаты. Сделайте выводы по качеству оценок.

Рассматривается следующая модель:

где С_t – расходы на потребление в период t;

Y_t – совокупный доход в период t;

r_t – процентная ставка в период t;

М_t – денежная масса в период t;

G_t – государственные расходы в период t;

1. В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложите способ оценки ее параметров.

2. Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Практическое занятие 1

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (Е) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, – аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: Y = Т + S + Е;

Мультипликативная модель: Y = T • S • E.

Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

,

где , – коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

,

где , – коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) – коррелограммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

• экспонента ŷ_t =e a + b • t ;

• степенная функция ŷ_t =a • t b ;

• парабола второго и более высоких порядков ŷ_t =a + b₁ • t + b₂ • t 2 +. + b_k • t k .

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1,2, . n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда у_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

Задачи для самоконтроля

Приведены данные, отражающие спрос (штук) на некоторый товар за двенадцатилетний период, т.е. временной ряд спроса.

Найти коэффициенты автокорреляции первого, второго и третьего порядков.

По данным задачи 1 выявить с помощью МНК линейную тенденцию.

Имеются следующие данные об уровне безработицы у_t (%) за 8 месяцев:

Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.

Имеется следующий временной ряд:

Известно, что , , .

1. Определите коэффициент автокорреляции уровней этого ряда первого порядка.

2. Установите, включает ли исследуемый временной ряд тенденцию.

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев:

1. Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью p = 0,95.

3. Построить коррелограмму.

4. Построить модель тенденции временного ряда.

Практическое занятие 2

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например ŷ_t и расчет отклонений от трендов: у_t – ŷ_t и x_t – , Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

Если параболический тренд – вторыми разностями:

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид:

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков ε, за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарвина — Уотсона и расчет величины:

, 0 ≤ d ≤ 4.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле:

, -1 ≤ ≤ 1.

Критерий Дарбина — Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

d = 2(1 – ).

Если автокорреляция остатков отсутствует (r = 0) – d

2. При положительной автокорреляции (r > 0) имеем 0

Системы эконометрических уравнений

6.1. Системы уравнений используемых в эконометрике.В предыдущих параграфах рассмотрено моделирование экономических взаимосвязей одним уравнением. Однако, некоторые экономические процессы моделируется не одним, а несколькими уравнениями, содержащие как повторяющиеся, так и собственные переменные, описывающие многосторонние реальные взаимоотношения между экономическими показателями. В одних уравнениях определенная переменная рассматривается как факторный признак, а в другое уравнение эта переменная входит как результативный признак. Поскольку отдельные уравнения системы не могут рассматриваться изолированно друг от друга, то и деление переменных на зависимую и независимые теряет смысл. При рассмотрении систем эконометрических уравнений различают следующие переменные:

— эндогенные – это переменные, являющиеся экономическими факторами, которые описываются уравнениями модели, их значения зависят от внутренней структуры моделируемого экономического процесса;

— экзогенные, являющимися внешними наперед заданными экономическими величинами независимо от структуры модели, т. е. они задаются извне и объясняются экономическими факторами и закономерностями, находящимися за границами модели. Экзогенные переменные определяют эндогенные, но не находятся под их влиянием, т.е. между ними существуют только односторонние стохастические связи.

— предопределенные — переменные, значения которых отстают на один или несколько периодов, т.е. лаговые переменные. Лаговыми переменными могут быть: а) обычные экзогенные переменные, так как они определяются вне модели; б) лаговые экзогенные переменные, так как их значения принадлежат предшествующим периодам и определяются вне модели; в) лаговые эндогенные переменные, так как они определяются из предшествующей модели. Лаговые переменные можно отнести к заранее заданным экзогенным.

— совместно – зависимые переменные – это эндогенные переменные, которые определяются моделью, так как между ними существуют многосторонние связи, и они определяются не одним уравнением, а системой уравнений;

— возмущающие, или латентные переменные – это экономические факторы, не входящие в уравнения системы, но оказывающие влияние на совместно зависимые переменные, которые формируются за счет случайных влияний и ошибок, допущенных при построении модели.

Эконометрическая модель может быть представлена системами различных видов в зависимости от цели и задач исследования.

Структурная модель, записанная в матричном виде:

,

где и прямоугольные матрицы, а — матрицы – столбцы:

Структурная форма модели содержит всю существенную информацию об односторонних и многосторонних стохастических отношениях между экономическими факторами. Уравнения, составляющие эту модель, называются структурными уравнениями.

Если в структурной модели матрица имеет треугольный вид:

,

то соответствующая модель называется рекурсивной моделью.

Структурная модель, записанная в виде:

,

где — обратная матрица для матрицы , называется приведенной формой модели. В приведенной форме модели совместно зависимые переменные являются линейными функциями от предопределенных и возмущающих переменных.

Если модель состоит только из уравнений, в каждом из которых только одна эндогенная переменная выражается через экзогенные переменные, то она называется системой независимых уравнений.

Рассмотрим примеры некоторых моделей.

1. Модель «Спрос – предложение».

Система одновременных уравнений используется при моделировании спроса – предложения в рыночных условиях. Предполагая, что спрос и предложение в любой момент времени являются линейными функциями, получаем следующую систему:

Уравнение (6.1) определяет функцию спроса, (6.2) — функцию предложения, (6.3) — условие равновесия. Наличие в уравнениях случайных отклонений и , связано с отсутствием ряда важных факторных признаков: дохода, цен сопутствующих товаров, налогов, цен на ресурсы и т. п. Модель (6.1) – (6.3) может быть усовершенствована введением новых факторных признаков. В данной модели «спрос – предложение», переменные спроса , предложения и цена — эндогенные, так как определяются из решения модели.

2. Кейнсианская модель формирования доходов.

Простейшая кейнсианская модель формирования доходов в предположении, что рассматривается закрытая экономика без государственных расходов, описывается системой одновременных уравнений вида:

Уравнение (6.4) описывает функцию потребления. (6.5) – макроэкономическое тождество. Переменные — значения совокупного выпуска (ВНП) , объема потребления и инвестиций в момент времени соответственно.

В кейнсианской модели формирования доходов, переменные и — эндогенные, а переменная — экзогенная, поскольку определяется вне модели, и считается заранее заданной. Если подставить из (6.5) в (6.4), то обе переменные и можно выразить через экзогенную переменную :

‍‍ (6.6)

(6.7)

Коэффициент в (6.7) называется денежным мультипликатором, определяющим, на какую величину увеличивается совокупный доход при увеличении объема инвестиций на единицу, а коэффициент — мультипликатором потребления, определяющим величину увеличения потребления при увеличении объема инвестиций на единицу.

3. Модель IS – LM.

Простейшая модель равновесия на рынке товаров описывается системой одновременных уравнений вида:

Функция потребления: (6.8)

Функция налогов: (6.9)

Функция инвестиций: (6.10)

Располагаемый доход: (6.11)

Государственные расходы: (6.12)

Макроэкономическое тождество: (6.13)

Переменные в модели, описывают значения в момент времени национального дохода , потребления , желаемого объема чистых инвестиций , государственных расходов (в данной модели расходы постоянные величины ), объема налогов , располагаемого дохода , процентной ставки . Подставим (6.9) в (6.11) и полученный результат в (6.8). После упрощения, результат и (6.10), (6.12) подставим в (6.13). В результате получим уравнение кривой IS:

,

где , определяющей соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором рынок товаров находится в равновесии.

Линия равновесия на рынке денег (линия LM) определяет такое соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором спрос на деньги равен их предложению. Одна из форм модели определяется следующей системой одновременных уравнений:

Функция спроса на деньги: (6.14)

Функция предложения денег: (6.15)

Условие равновесия: (6.16)

Разрешив (6.14) относительно и воспользовавшись (6.15), (6.16), получим уравнение линии LM:

.

Точка пересечения кривых IS и LM определяет соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором оба рынка находятся в состоянии равновесия. Эта точка находится из решения системы уравнений:

Структурные уравнения модели можно подразделить на поведенческие уравнения и уравнения – тождества. В поведенческих уравнениях описываются зависимости между переменными, а в уравнениях – тождествах соотношения, которые должны выполняться во всех случаях. Тождества не содержат подлежащие оценке параметры и случайные составляющие.

Уравнения, в которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределенные переменные, а также случайные составляющие, называются приведенными уравнениями (уравнениями в приведенной форме). Предопределенными переменными называются лаговые эндогенные переменные, значения которых определены до рассмотрения уравнений. Например, уравнение спроса в модели «спрос – предложение» может быть представлено в виде:

,

где переменная , характеризующая цену товара в предыдущий момент времени, является предопределенной переменной.

6.2. Проблема идентифицируемости модели. Необходимое и достаточное условие идентифицируемости.Изменение формы уравнений модели позволяет устранить проблему коррелированности факторных признаков и случайных отклонений, но может привести к другой проблеме – проблеме идентификации. Под идентификацией понимается возможность численной оценки параметров структурных уравнений по оценкам коэффициентов приведенных уравнений.

Исходную систему уравнений называют идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурных уравнений. Однозначно определить коэффициенты структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений можно в том случае, если количество уравнений, связывающих коэффициенты, равно количеству коэффициентов. Так, например, в модели Кейнса (6.6) – (6.7):

где , , объем инвестиций является экзогенной переменной и она не коррелирует со случайной составляющей. Это означает, что для случайной составляющей выполняются предпосылки МНК и оценки параметров будут статистически значимыми. Зная , находим значения коэффициентов и : . Следовательно, система (6.6) – (6.7) идентифицируема.

Исходную систему уравнений называют неидентифицируемой (недоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно получить несколько вариантов значений коэффициентов структурных уравнений. Это случай когда число уравнений, связывающих коэффициенты, меньше числа определяемых коэффициентов.

Исходную систему уравнений называют сверхидентифицируемой (переоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений невозможно определить значения коэффициентов структурных уравнений. В этом случае система, связывающая коэффициенты, несовместна.

Рассмотрим модель «спрос – предложение»

Построим приведенные уравнения, воспользовавшись условием равновесия (6.3):

(6.17)

Последовательно разрешаем данное уравнение относительно :

,

где — случайный член. Подставив найденное значение в одно из уравнений (6.1) или (6.2), найдем :

, .

Система уравнений является приведенной. Применив МНК, найдем оценки параметров и . Система (6.1) – (6.3) имеет четыре неизвестных параметра . Для определения неизвестных параметров мы можем составить два уравнения и, следовательно, мы не сможем однозначно определить параметры . Это означает неидентифицируемость исходной системы уравнений.

Рассмотрим эту же модель «спрос – предложение». Добавим в функцию спроса экзогенные переменные: — доход потребителей и — объем сбережений, а в функцию предложения – цену в предшествующий период. Получим модель с числом экзогенных переменных, превышающих количество структурных уравнений:

Воспользовавшись условием рыночного равновесия, можно преобразовать уравнения к системе приведенных уравнений где

(6.18)

.

В системе (6.18), связывающей коэффициенты приведенных и структурных уравнений, восемь уравнений и семь коэффициентов структурных уравнений. Поскольку соотношения (6.18) противоречивы, то однозначное определение структурных коэффициентов невозможно. В данном случае имеет место сверхидентифицируемость (переоопределенность).

Для определения идентифицируемости структурных уравнений применяются необходимые и достаточные условия. Прежде чем их сформулировать введем следующие обозначения:

— — число одновременных уравнений относительно эндогенных переменных;

— — число экзогенных или предопределенных переменных в системе;

— и — количество эндогенных и экзогенных переменных в проверяемом на идентифицируемость уравнении;

— и количество эндогенных и экзогенных переменных не входящих в проверяемое уравнение, но входящих в другие уравнения системы (исключенные переменные из данного уравнения).

Первое необходимое условие. Уравнение идентифицируемо, если оно исключает, по крайней мере, переменную (эндогенную или экзогенную), присутствующую в модели:

Второе необходимое условие. Уравнение идентифицируемо, если количество исключенных из уравнения экзогенных переменных не меньше количества эндогенных переменных в этом уравнении, уменьшенного на единицу:

Знаки равенства в необходимых условиях соответствуют точной идетификации уравнения.

Необходимое и достаточное условия идентифицируемости. В модели, содержащей уравнений относительно эндогенных переменных, условие идентифицируемости выполняется тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из исключенных из данных уравнений переменных, но входящих в другие уравнения системы, равен .

Рассмотрим применение данных условий для определения идентифицируемости структурных уравнений.

1.В модели «спрос – предложение»

Для каждого из уравнений число эндогенных и экзогенных переменных равно: Так как , а , то не выполняется первое необходимое условие: . Следовательно, оба уравнения неидентифицируемы.

2.В модели в функцию спроса добавлена экзогенная переменная – доход потребителей, и в этой системе . Для первого уравнения , а для второго . Тогда для первого уравнения , а для второго . Это значит, что первое уравнение неидетифицируемо, а второе идентифицируемо. Следовательно, функция предложения определяется однозначно.

3. В модели оба уравнения точно идентифицируемы, так как и выполняется необходимое условие .

4.В модели первое уравнение точно идентифицируемо, так как и выполняется равенство . Второе уравнение является переопределенным, поскольку и .

5.Оценим уравнения следующей структурной модели на идентифицируемость:

В данной модели три эндогенные переменные — и три экзогенные переменные — , т.е. . В первом уравнении . Тогда . Следовательно, первое уравнение точно идентифицируемо. Построим матрицу из коэффициентов при переменных и , отсутствующих в данном уравнении:

.

Ранг этой матрицы равен 2 ( ), следовательно, выполняется достаточное условие идентифицируемости. Подтверждается вывод сделанный по необходимому условию.

Для второго уравнения и выполняется равенство: . Данное уравнение также точно идентифицируемо. Проверим выполнимость достаточного условия. Для этого построим матрицу из коэффициентов при неизвестных и отсутствующих во втором уравнении:

.

Ранг этой матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентифицируемости, что подтверждает точную идентифицируемость уравнения.

Для третьего уравнения выполняется равенство , так как и ранг матрицы

равен 2, что определяет точную идентифицируемость уравнения.

6.3. Методы оценивания параметров структурной модели. Косвенный метод наименьших квадратов. Двухшаговый метод наименьших квадратов. Раньше отмечалось, что если выполняются предпосылки применения МНК, то оценки параметров функции регрессии являются несмещенными, эффективными и состоятельными. МНК применяется и для оценки параметров некоторых структурных коэффициентов. Так, например, применение МНК для оценки структурных коэффициентов рекурсивной модели дает состоятельные оценки при соблюдении определенной последовательности действий. Сначала оцениваются параметры первого уравнения, в правой части которого содержатся только предопределенные переменные, т. е. эндогенная переменная зависит только от экзогенных переменных и возмущающей переменной . Найденное значение подставляется во второе уравнение, т. е. она становится предопределенной переменной. Затем оцениваются параметры второго уравнения и т.д.

Метод наименьших квадратов не может применяться к оценке параметров структурных уравнений, так как они не учитывают одновременных соотношений между совместно зависимыми переменными. Поскольку в результате непосредственного применения МНК для каждого из уравнений модели получаем смещенные и несостоятельные оценки параметров, то разработан косвенный метод наименьших квадратов получения оценок, основанный на использовании приведенных уравнений.

Рассмотрим применение этого метода для кейнсианской модели формирования доходов (6.4) – (6.5). В приведенной форме эта модель выражается в виде двух уравнений (6.15) – (6.16):

или , (6.15)

, , (6.16)

где . Поскольку объем инвестиций является экзогенной переменной и, следовательно, переменная не коррелирует со случайными переменными , то для или выполняются предпосылки МНК. Применив метод наименьших квадратов для определения коэффициентов , несложно найти значения коэффициентов по формулам:

.

Определение оценок посредством преобразований уравнений к приведенной форме называется косвенным методом наименьших квадратов (КМНК).

Оценки, полученные по КМНК, являются состоятельными и они получаются однозначно, а соответствующее уравнение называется идентифицируемым (однозначно определенным).

Устранить коррелированность эндогенных переменных со случайным отклонением можно при помощи введения инструментальной переменной (ИП) , удовлетворяющей следующим свойствам: она должна коррелировать с заменяемой эндогенной переменной , но не коррелировать со случайными отклонениями .

Так в структурном уравнении функции потребления (6.4) модели Кейнса, в качестве инструментальной переменной для можно использовать . Полученные оценки и МНК, при использовании инструментальной переменной , будут состоятельными оценками.

Рассмотрим еще один метод оценивания параметров, который учитывает многосторонние связи совместно зависимых переменных – двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК). Суть этого метода состоит в поэтапном применении обычного метода наименьших квадратов для оценивания параметров структурного уравнения. Он применяется для нахождения инструментальной переменной, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные. На первом шаге ДМНК оценивается переопределенная переменная, опираясь лишь на экзогенные переменные. На втором этапе подставляем полученную оценку переопределенной переменной в исходную модель и получаем систему приведенных уравнений, для оценки параметров которой (приведенной системы) применяем МНК. В результате получаем состоятельные оценки структурных коэффициентов. При наличии в модели более одной переопределенной переменной на первом этапе необходимо оценить все такие переменные, выразив их через экзогенные и предопределенные переменные.

Пример 6.1.Рассмотрим эмпирические данные, характеризующие ВНП ( ), потребление ( ) и инвестиции , таблица 6.1.

Предположим, что изучается закрытая экономика без государственных расходов, описываемая кейнсианской моделью:

Оценим параметры и на основе КМНК.

Р е ш е н и е. В п. 6.2 было показано, что модель Кейнса идентифицируема (количество уравнений, связывающих коэффициенты, равно количеству коэффициентов). Применив МНК для оценки параметров и первого уравнения, описывающего функцию потребления, получим:

. Если же применить косвенный метод наименьших квадратов, то получим следующее уравнение: . В данном уравнении потребление выражается через экзогенную переменную , характеризующую инвестиции. В первом случае, потребление выражено через эндогенную переменную , которая в свою очередь выражается через потребление и инвестиции. Применив формулы , находим значения структурных коэффициентов исходной модели

,

которые являются несмещенными и состоятельными оценками. Следовательно, кейнсианская модель имеет вид:

Литература

1. Болш Б., Хуан K.Дж. Многомерные статистические методы для экономики. M.: Статистика, 1979.

2. Булдык Г.M. Теория вероятностей и математическая статистика. Mн.: Выш. шк, 1989.

3. Булдык Г.М. Статистическое моделирование и прогнозирование: Учебник. – Мн.: НО ООО «БИП-С», — 2003.

4. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математические понятия и формулы в экономическом анализе. M.: Статистика, — 1974.

5. Гренджер K., Хатанака M. Спектральный анализ временных рядов в экономике. M.: Мир, 1973.

6. Демиденко E.З. Линейная и нелинейная регрессия. M.: Финансы и статистика, 1981.

7. Джонсон Дж. Эконометрические методы. M.: Статистика, 1980.

8. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. M.: Статистика, 1973.

9. Имитационное и статистическое моделирование. / Ю.С.Харин, В.И. Малюгин, В.П.Кирилица и др. Mн.: Университетское, 1992.

10. Казинец Л.С. Темпы роста и структурные сдвиги в экономке. M.: Экономика, 1981.

11. Казмер Л. Методы статистического анализа в экономке. M.: Статистика, 1972.

12. Кендалл M.Дж. Временные ряды. M.: Финансы и статистика, 1981.

13. Кендалл M.Дж., Стюарт A. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — M.: Наука, 1976.

14. Кильдешев Г.С., Френкель A.A. Анализ временных рядов и прогнозирование. M.: Статистика, 1973.

15. Максимей И.В. Математическое моделирование больших систем. Mн.: Выш. шк., 1985.

16. Персан M. Слейтер A. Динамическая регрессия: Теория и алгоритмы. M.: Финансы и статистика, 1984.

17. Сиськов В.И. Корреляционный анализ в экономических исследованиях. M.: Статистика, 1975.

18. Тейл Г. Прикладное экономическое прогнозирование. M.: Прогресс, 1970.

19. Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. M.: Финансы и статистика, 1990.

20. Четыркин E.M. Статистические методы прогнозирования. M.: Статистика, 1977.

Содержание

В.1. Основные понятия и принципы моделирования социально- экономических систем……………………………………….

В.2. Классификация математических методов и моделей……. 8

В.3. Этапы построения математических моделей……………….12

1. Парная регрессия и корреляция……………………………….13

1.1.Понятие о функциональной, статистической и

корреляционной зависимостях ……………………………..13

1.2. Основные задачи прикладного корреляционно-

регрессионного анализа…………………………………… 16

1.3. Выбор формы однофакторной регрессионной модели……..18

1.4. Основные предпосылки применения метода наименьших

квадратов в аппроксимации связей признаков социально-

экономических явлений (условия Гаусса – Маркова)…… 17

1.5. Построение регрессионной прямой методом наименьших

1.6. Измерение интенсивности линейной корреляционной

1.7. Нелинейная регрессия и корреляция………………………..26

1.8. Проверка существенности оценок параметров

регрессии, коэффициентов корреляции и детерминации….31

1.9. Оценка адекватности регрессионной модели………………35

1.10. Пример построения однофакторной регрессионной

2. Многофакторные регрессионные модели…………….. 42

2.1. Построение многофакторной линейной регрессионной

2.2. Многофакторная линейная регрессионная модель в

2.3. Линейная частная регрессия…………………………………47

2.4.Отбор важнейших факторов многофакторных

2.5. Измерение интенсивности множественной связи…………. 50

2.6. Проверка статистической существенности (значимости)

параметров множественной регрессии и показа­телей

интенсивности корреляционной связи……………………. 57

2.7. Проверка выполнимости предпосылок МНК.

Статистика Дарбина – Уотсона…………………………….. 63

2.8. Оценка адекватности многофакторной регрессионной

2.9. Построение многофакторной регрессионной модели…… 66

3. Прогнозирование взаимосвязей экономических

явлений на основе факторных регрессионных моделей…71

4. Эконометрический анализ при нарушении классических модельных предположений…………………………………. 78

4.1. Гетероскедастичность. Критерии Парка и Голдфелда –

Квандта для обнаружения гетероскедастичности…………….78

4.2. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности………. 81

4.3. Автокорреляция остатков регрессионной модели.

Критерий Дарбина – Уотсона…………………………………..83

4.4. Мультиколлинеарность экзогенных переменных.

Методы устранения мультиколлинеарности…………………..86

5.Модели с дихотомическими (фиктивными) переменными.89

5.1. Необходимость использования фиктивных переменных……. 89

5.2. Регрессионные модели с количественными и

качественными переменными………………………………… ..89

5.3. Модели с фиктивными результативными признаками………. 92

6. Системы эконометрических уравнений……………………94

6.1. Системы уравнений используемых в эконометрике…………..94

6.2. Проблема идентифицируемости модели. Необходимое

и достаточное условие идентифицируемости…………………98

6.3. Методы оценивания параметров структурной модели.

Косвенный метод наименьших квадратов.

Двухшаговый метод наименьших квадратов………………….102