Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.
Правило переноса слагаемого.
При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.
Примеры переноса слагаемого:
Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую:
Далее переносим (−6) из правой части в левую:
Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.
Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем:
Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)). Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2 ) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 ⋅2) и (7x). Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.
Таким же образом преобразовывают неравенства:
Собираем каждое число с одной стороны. Получаем:
2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».
Это правило зачастую используется для решения линейных уравнений. Для решения систем линейных уравнений используются другие методы.
Решение линейных неравенств
О чем эта статья:
Основные понятия
Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.
Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.
Типы неравенств
- Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
- a > b и b > и
Линейные неравенства: свойства и правила
Вспомним свойства числовых неравенств:
- Если а > b , то b а.
- Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.
- Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.
Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.
Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.
Правила линейных неравенств
- Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
- 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
- Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
- Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
- Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
- Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.
Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как решаем:
- Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
- Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.
Метод интервалов
Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Метод интервалов заключается в следующем:
- вводим функцию y = ax + b;
- ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
- отмечаем полученные корни на координатной прямой;
- определяем знаки и отмечаем их на интервалах.
Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:
- найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.
Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;
- начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
- определим знаки функции y = ax + b на промежутках.
Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;
- если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.
Как решаем:
В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,
Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.
Определим знаки на промежутках.
Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.
Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6
Графический способ
Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.
Алгоритм решения y = ax + b графическим способом
- во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
- во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.
Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.
Как решаем
- Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
- Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
- Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
- Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.
Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x
Неравенства. Виды неравенств
Неравенства – выражения вида \(a>b\), \(a 5\).
Виды неравенств:
Если \(a\) и \(b\) – это числа или числовые выражения , то неравенство называется числовым. Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные.
Переменная только в первой степени
Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
Есть переменная под знаком логарифма
. и так далее.
Также неравенства подразделяются на строгие и нестрогие — подробнее смотри здесь .
Что такое решение неравенства?
Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.
Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства. Если же нет — то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).
Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.
Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\). И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют равносильные преобразования неравенств . Для нашего случая имеем:
То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми промежутками , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:
Когда в неравенстве меняется знак?
В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:
При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, знак сравнения меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)
Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:
Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:
Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство строгое , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем
Запишем ответ в виде интервала
Неравенства и ОДЗ
Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на область допустимых значений , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.
\(x+1 дробно-рациональных , иррациональных (как в примере выше) и логарифмических неравенствах , а также тригонометрических неравенствах, содержащих переменную под функцией тангенса или котангенса. Какие ограничения при этом накладываются, вы можете посмотреть здесь .
источники:http://skysmart.ru/articles/mathematic/linejnye-neravenstva
http://cos-cos.ru/math/116/
