Перенос правой части уравнения в левую

Основные приемы решения уравнений.

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Переход от уравнения

f(x) = g(x) + m(x) (1)
к уравнению

f(x) — m(x) = g(x) (2)
называют переносом слагаемых из одной части уравнения в другую.

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую — это преобразование уравнения всегда приводит к равносильному уравнению, т. е., каковы бы ни были функции f(х), m(х), g(x), мы имеем (1)(2).

В самом деле, пусть a — корень уравнения (1), т. е. соотношение

f(a) + m(a) = g(a) = g(a) + m(a) (3)
представляет собой верное числовое равенство. Это означает, что ринадлежит области определения каждой из функций fa), m(a), g(a), и
2) эти числа связаны соотношением (3).

Прибавляя к обеим частям равенства (3) число -m(a), получаем
f(a) — m(a)+ m(a) = g(a) — m(a),
или
f(a) = g(a) — m(a) — m(a) = g(a) (4)
(поскольку для любого числа b = m(a) верно b — b = 0). Таким образом, (4) есть верное числовое равенство. Но это означает, что a есть корень уравнения (2). Итак, каждый корень уравнения (1) является также корнем уравнения (2), т. е. (1)(2). Аналогично доказывается, что (2)(1). Итак, мы доказали, что при переносе любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получается равносильное уравнение.

В частности, мы можем, если нужно, перенести все слагаемые в одну часть уравнения. Иначе говоря,

f(x) = g(x) f(x) — g(x) = 0

что является частным случаем эквивалентности (1)(2). Мы видим, что любое уравнение с одним неизвестным можно заменить эквивалентным уравнением вида h(х) = 0, т. е. уравнением, в левой части которого стоит некоторая функция, а правая часть равна нулю. Указанное преобразование (перенос членов из одной части уравнения в другую) применяется при решении уравнений чрезвычайно часто. Например, при решении иррациональных уравнений применяется «уединение радикала», т. е. перенос всех членов, кроме одного, имеющего радикал (корень n-ой степени), в другую часть уравнения.

Подчеркнем, что в этом пункте шла речь только о перенесении членов из одной части уравнения в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются).

Приведение подобных членов является новым преобразованием (которое может вызвать появление посторонних корней).

2. Приведение подобных членов.

Переход от уравнения

f(x) + m(x) — m(x) = g(x) (5)
к уравнению

f(x) = g(x) (6),
называют приведением подобных слагаемых.

Прежде чем рассматривать переход от уравнения (5) к уравнению (6), сделаем следующее замечание. Согласно сказанному в предыдущем пункте уравнеПрежде чем рассматривать переход от уравнения (5) к уравнению (6), сделаем следующее замечание. Согласно сказанному в предыдущем пункте уравнение (5) равносильно уравнению

f(x) + m(x) = g(x) + m(x) (7).

Поэтому переход от уравнения (1) к уравнению (2) означает то же самое, что и переход от уравнения ( 7 ) к уравнению (2), т. е. во всех рассуждениях уравнение (1) можно заменять равносильным ему уравнением (7). Таким образом, сказанное в этом пункте будет относиться не только к приведению подобных членов в одной части уравнения, но и к вычеркиванию (взаимному уничтожению) одинаковых слагаемых в левой и правой частях. Прежде чем сформулировать общее утверждение, относящееся к переходу от уравнения (1) к уравнению (2) или, что то же самое, от уравнения (7) к уравнению (2), рассмотрим следующие примеры.

Пример 1.. слагаемого — х и — 2 получается равносильное уравнение х 4 = х 2 .

Пример 2.
x 2 + lgx = x + lgx х 2 = х. Уравнение x 2 = х имеет корня х₁ = 1, х₂ = 0, тогда как уравнение x 2 + lgx = x + lgx имеет единственный корень х = 1 (число х = 0 не является корнем уравнения x 2 + lgx = x + lgx, так при х = 0 левая и правая части этого уравнения не определены). Таким образом, уравнение х 2 = х не равносильно уравнению х 2 + lgx = x + lgx, а лишь является следствием этого уравнения. Появление постороннего корня х = 0 при переходе от уравнения x 2 + lgx = x + lgx к уравнению х 2 = х связано с тем, что при этом переходе расширяются множества на которых были определены функции, стоящие в левой и правой частях первого уравнения: в уравнении x 2 + lgx = x + lgx левая и правая части определены при х > 0, а в уравнении х 2 = х,при всех х. Очевидно, обратный переход, т. е. переход от уравнения х 2 = х к уравнению х 2 + lg х = х + lgx вообще недопустим, так как этот переход ведет к потере корня х = 0.

Обозначим через М множество, на котором определены функции f(х) и g(x), стоящие в левой и правой частях уравнения f(x) = g(x) (т.е. пересечение областей определения функций f (х) и g(x). Тогда, если множество М содержится в области определения функции m(х), то уравнение f(x) + m(x) — m(x) = g(x) равносильно уравнению f(x) =g(x). При этих условиях f(x) + m(x) = g(x) + m(x)f(x) = g(x).

3. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

Переход от уравнения

f(x) = g(x) (8)
к уравнению

f(x)p(x) = g(x)p(x). (9)
называют умножением обеих частей уравнения на одно и тоже выражение.

По поводу этого перехода можно высказать следующие утверждения:

1) Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x) (иначе говоря, Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x)), то уравнение (9) является следствием уравнения (8) или (8)(9)

2) Если в каждой точке, где определены обе функции f(x), g(x) определена также и функция p(x) и в каждой точке указанного множества функция p(x) отлична от нуля, то уравнения (8) и (9) равносильны, т. е. (8)(9).

Заметим, что в общем случае переход от уравнения (9) к уравнению (8) может привести как к появлению посторонних корней, так и к потере корней.

Рассмотрим уравнение x 2 — x = 0. Умножив обе части этого уравнения на, мы получим уравнение= 0, которое не является следствием исходного. В самом деле, исходное уравнение имеет корни х₁ = 0, х₂ = 1, а уравнение= 0 — лишь корень х = 1. Потеря корня связана с тем, что функция — не определена при. х = 0, а как раз это значение х является корнем заданного уравнения.

Такой переход применяется довольно часто при решении уравнений. Естественно, возникает вопрос: можно ли утверждать, что уравнение (*) равносильно дизъюнкции уравнений (**)

Иными словами, можно ли получить «множество всех корней уравнения (*), решив все уравнения (**) и объединив их корни? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Эта теорема лежит в основе часто применяемого метода разложения уравнения на множители.

Пример 4. x 6 + 3x 5 — x 4 — 3x 3 = 0,

x 3 (x 3 + 3x 2 — x — 3) =0,

x 3 ((x 3 + 3x 2 ) — (x + 3)) =0,

x 3 (x 2 (x + 3) — (x + 3)) =0,

x 3 (x + 3)(x 2 — 1) =0,

x 3 (x + 3)(x — 1)(x + 1) =0.

Уравнение x 6 +3x 5 — x 4 — 3x 3 = 0 равносильно дизъюнкции уравнений x 3 = 0, x + 3 =0, x + 1 = 0, x — 1 = 0 и имеет следующие корни:

Следующий пример показывает, что в общем случае уравнение (*) не равносильно дизъюнкции уравнений (**).

Пример 5. Пусть f₁(х) = х 2 — 1, f₂(х) =. Тогда уравнение f₂(х) = 0 не имеет корней, уравнение f₁(х) = 0 имеет два корня х₁ = 1, х₂ = — 1, а уравнение f₁(х) f₂(х) = 0 имеет только один корень х₁ = -1, так как при х = 1 левая часть этого уравнения не определена.

Теорема 2. Каждый корень уравнения f₁(x)·f₂(x)·. ·f_n(x) = 0 является корнем одного из уравнений f₁(x) = 0, f₂(x) = 0. f_n(x) = 0.

Иначе говоря, дизъюнкция уравнений (**) есть следствие уравнения (*). Из этой теоремы вытекает, что если мы найдем все корни уравнений (**), то среди этих корней будут содержаться все корни уравнения (*) и, быть может, некоторые числа, не являющиеся корнями уравнения (*). Посторонними для уравнения (*) будут те значения х, полученные при решении уравнений (**), для которых хотя бы одна из функций f₁(х), f₂(x), . f_n(x) не определена.

3 а м е ч а н и е. Выше было отмечено, что переход от уравнения
f(x)p(x) = g(x)p(x) к уравнению f(x) = g(x) в общем случае недопустим.

При решении уравнения обычно поступают так. Вместо уравнения
f(x)p(x) = g(x)p(x) рассматривают уравнение (f(x)-g(x))p(x)=0, которое эквивалентно исходному уравнению, т. е. уравнению f(x)p(x) = g(x)p(x).

В свою очередь дизъюнкция уравнений f(x) — g(x) = 0, p(x) = 0 является следствием уравнения (f(x) — g(x))p(x) = 0. Таким образом, если мы решим уравнения f(x) — g(x) = 0, p(x) = 0, а звтем объединим их корни, и проверкой (подстановкой в уравнение (f(x)p(x) = g(x)p(x) отсеем лишние корни, то тем самым мы найдем все корни искомого уравнения.

Пример 6. sinx·ctg2x·arcsin(x — 1)·lg(x — 1) = 0.

Решая каждое уравнение в отдельности, имеем следующее:

sinx = 0, корни этого уравнения x =k, где kZ;

ctg2x = 0, корни этого уравнения: x =+pn, где nZ;

arcsin(x — 1) = 0, корни этого уравнения: x = 1;

lg(x — 1) = 0, корни этого уравнения: x = 2

Те из этих корней, которые принадлежат области определения левой части исходного уравнения, являются корнями исходного урапвнения.

Запишем области определения функций:

M₁ = D(sinx) = (-; +),

M₂ = D(ctg2x) = (-; +), x+m, mZ,

M₄ = D(lg(x — 1)) = (1; +).

Область определения M левой части исходного уравнения является пересечение множеств M₁, M₂, M₃, M₄.
M = (1; )(; 2]. Из всех найденных корней множеству М, т. е. области определения левой части исходного уравнения, принадлежит корень 2. Корнем исходного уравнения является число 2.

5. Переход от уравнения f(x)= g(x) к уравнению [f(х)] n = [g(х)] n . Такой переход нередко используется при решении уравнений, особенно при решении иррациональных уравнений.

Пусть функции f(х) и g(x) определены на множестве М (т. е. множество М содержится в области определения каждой из функций f(x), g(x)) и n — произвольное натуральное число. Будем предполагать, что М — некоторое множество действительных чисел и что на этом множестве функции f (х) и g(x) принимают действительные значения. Мы можем утверждать следующее:

В общем случае переход от уравнения [f(x>] n = [g(x)] n к уравнению f(x) = g(x) не допустим, так как такой переход может привести к потере корней.

Пример 7. Решите уравнение= x + 1.

Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

2x 2 + 5x — 3 = x 2 + 2x + 1, являющееся следствием уравнения. Полученное уравнение равносильно уравнению х 2 + 3х — 4 = 0, корнями которого являются числа х₁ = -4, х₂ = 1. Проверка показывает, что корень x₁ = — 4 является посторонним для уравнения исходного иррационального уравнения, а корень х₂= 1 удовлетворяет уравнению обоим уравнениям. Таким образом, уравнение исходное заданное уравнение имеет единственный корень х = 1.

Более общим, чем рассмотренный в пятом примере, является переход от уравнения f(x) = g(x) к уравнению m(f(x)) = m(g(x)), где m(t) — некоторая заданная функция. Заметим сразу, что в общем случае такой переход недопустим. В самом деле, пусть Е₁ и Е₂,—множества значений соответственно функций f(x) и g(x) и Е — общая часть (т. е. пересечение) множеств E₁ и Е₂. Если функция m(t) не определена на множестве Е, то уравнение m(f(x)) = m(g(x))не имеет решений, в то время как исходное уравнение могло иметь решения. Если же множество Е содержится в области определения функции m(t), то, как легко доказать, f(x) = g(x)m(f(x)) = m(g(x)). Если же, кроме того, функция m(t) монотонна, то f(x) = g(x) m(f(x) = m(g(x)).

Пример 8. Уравнение — x 4 = — x 2 имеет корни х₁ = 0, x₂ = 1, х₃ = — 1, а уравнение
lg(-х 2 ) = lg(-х 4 ) не имеет решений. Произошло это потому, что обе функции
f; 0], а на этом множестве функция lgx не определена.

6. Метод замены неизвестного. Метод замены неизвестного применяется при решении уравнений вида f(g(x)) = 0.

Он основывается на следующей теореме.

Теорема 3. Рассмотрим уравнение f(t) = 0, где t — вспомогательное неизвестное, и пусть t₁, t₂,₃. t_k — все корни уравнения. Тогда для решения уравнения f(g(x)) = 0 достаточно найти все корни каждого из уравнений g(x) = t_m (m = l, 2, . k) и объединить множества корней этих уравнений.

Иначе говоря, f(g(x)) = 0g(x) = t₁, g(x) = t₂, . g(x) = t_k.

Эта теорема позволяет свести решение уравнения вида f(g(x))= 0 к решению нескольких более простых уравнений f(t) = 0, g(x) = t_k, где k = 1, 2. m.

Обычно эта теорема применяется следующим образом.

Дано некоторое уравнение f(x) = 0. Задача заключается в том, чтобы умело подобрать функцию g(x), позволяющую ввести новое неизвестное t = g(x), и затем выразить функцию f(х) через t, т. е. представить ее в виде f(x) = h(g(x)). В результате данное уравнение запишется в виде h(g(x))= 0, и для его решения можно будет применить доказанную теорему. Такой прием решения уравнений и называется методом замены неизвестного (поскольку вначале решается уравнение f(t) = 0, в котором неизвестное х заменено новым, вспомогательным неизвестным t.

Пример 9. Решить уравнение х 2 += х —+ 4.

Введем новое неизвестное t = х —.

Тогда заданное уравнение примет вид t 2 — t = 0.

Уравнение t 2 — t = 0 имеет корни t₁ = 0, t₂ = 1. Следовательно, х 2 += х —+ 4х —= 0, х —= 1.

Решив теперь уравнения

х —= 0, x₁ =, x₂ = —.

х —= 1, x₃ = — 1, x₄ = 2.

Исходное уравнение имеет четыре корня: — 1, —,, 2.

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого.

При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.

Примеры переноса слагаемого:

Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую:

Далее переносим (−6) из правой части в левую:

Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.

Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем:

Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)). Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2 ) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 ⋅2) и (7x). Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.

Таким же образом преобразовывают неравенства:

Собираем каждое число с одной стороны. Получаем:

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».

Это правило зачастую используется для решения линейных уравнений. Для решения систем линейных уравнений используются другие методы.

Правила переноса в уравнении

Перенос чисел из одной части уравнения в другую

Но можно раскрыть скобку и получить два слагаемых: и . Такие два слагаемых уже можно переносить по отдельности.

Точно также можно преобразовывать неравенства. Например:

Перенесём все числа в одну сторону.

В итоге имеем: или Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».

Возьмём уравнение: Допустим мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей Слева сократится с , и иксов не останется. Справа сократится с , и останется : Теперь можно привести подобные слагаемые: Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения.

Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:

Конспект урока по теме «Решение уравнений с переносом слагаемых из одной части в другую»

Задачи урока:- образовательные: создание условий для усвоения формирование вычислительных навыков с рациональными числами, формирование общеучебных и общекультурных навыков работы с информацией, формирование навыка применения решения уравнений.

— воспитательные: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность, оценивать себя и своих товарищей- развивающие :развитие зрительной памяти, внимания, смысловой памяти, умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Основные понятия: уравнение, корень уравнения, решение

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого

Правило переноса слагаемого. При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения.

Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный.

Кроме того, правило работает и для неравенств. Примеры переноса слагаемого: 5x+2=7x−6. Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую: 2=7x−6−5x.

Далее переносим (−6) из правой части в левую: 2+6=7x−5x.

Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение. −3×2(2+7x)−4+y=0. Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем: −4+y=3×2(2+7x). Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3×2(2+7x)).

Поэтому нельзя отдельно переносить (−3×2) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого.

Именно поэтому не переносят (−3×2⋅2) и (7x).

Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга. Таким же образом преобразовывают неравенства: 7x+25>14 Собираем каждое число с одной стороны.

Получаем: 7x>14−25 или 7x>−11 Доказательство. 2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным.

Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».

Это правило зачастую используется для решения .

Линейные уравнения 7 класс

Если перед скобками стоит знак «+», знаки не меняем.

Для решения используются другие методы.

Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую.

При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Уравнения с переносом слагаемых примеры

Значит, чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: И ещё один «слой» снят с неизвестной!

Теперь ситуация «уменьшаемое — вычитаемое = разность» И последний шаг — известное произведение () и один из множителей () Уравнения данного типа чаще всего встречаются в задачах — именно к ним сводится 90% всех задач для поступления в 5 класс.

Перечислим их все: Сложение Разберём на примере, как применять данные правила. Теперь мы видим ситуацию с известным значением произведения () и одним известным множителем ().

В отличие от «луковичных уравнений» переменная здесь может встретиться несколько раз, поэтому решить её методами из предыдущего пункта невозможно. После того,

Решение уравнений, правило переноса слагаемых

Если кто-то из Черного королевства переходил в Белое, то сразу попадал в немилость Белого короля, а, если кто-то из Белого королевства переходил в Черное, то попадал в немилость Черного короля.

Типичные уравнения: или Основная трудность — это правильно раскрыть скобки. Мы приведём несколько правил, которыми следует пользоваться в данном случае.

Жителям королевств надо было что-то придумать, чтобы не гневить своих королей. Как вы считаете, что они придумали? (Ответы детей) — Переходя мост они меняли цвет одежды на противоположный! А теперь вернемся к нашим уравнениям и посмотрим, что происходит с числами при переходе через «мост» — из одной части равенства в другую.

— Числа меняют свои знаки на противоположные! Правило. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, знаки изменяем на противоположные!

Используя это правило, решим наше уравнение.

Договоримся, что в левой части у нас будут жить слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой части, числа не содержащие буквенного множителя. х + 5 = — 2х – 7 х + 2х = — 7 – 5 3х = -12

Основные приемы решения уравнений

Таким образом, (4) есть верное числовое равенство.

Но это означает, что a есть корень уравнения (2).

Итак, каждый корень уравнения (1) является также корнем уравнения (2), т.

Аналогично доказывается, что (2)(1). Итак, мы доказали, что при переносе любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получается равносильное уравнение.

В частности, мы можем, если нужно, перенести все слагаемые в одну часть уравнения. Иначе говоря, f(x) = g(x) f(x) — g(x) = 0 что является частным случаем эквивалентности (1)(2). Мы видим, что любое уравнение с одним неизвестным можно заменить эквивалентным уравнением вида h(х) = 0, т.

е. уравнением, в левой части которого стоит некоторая функция, а правая часть равна нулю. Указанное преобразование (перенос членов из одной части уравнения в другую) применяется при решении уравнений чрезвычайно часто.

Решение линейных уравнений 7 класс

Рассмотрим другое уравнение. 5x = 4x + 9 По перенесем «4x» из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный. Несмотря на то, что перед «4x» не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед «4x» стоит знак «+».

5x = 4x + 9 5x = +4x + 9 5x − 4x = 9 Теперь и решим уравнение до конца. 5x − 4x = 9 x = 9 Ответ: x = 9 Запомните! В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число «4», которое стоит при «x», называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при «x» стоял коэффициент «1».

Правила переноса в уравнениях

Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».

Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ». Не забудьте, что делить нужно и левую , и правую части. Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже. Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?».

Нужно разделить на « −2 ». Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ? 1. Линейное уравнение Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна .

2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид: , где и – любые числа ; 3.

Правила переноса в уравнении

Техническое оборудование: ПК, проектор, экран.

Ход урока. Организационный момент.

(Проверить готовность класса к уроку, отметить отсутствующих). 2. Актуализация знаний. 1) Игра «Светофор».

Какое равенство называют уравнением?

— Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Что значит решить уравнение? — Чтобы решить уравнение надо найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня. Что называется корнем уравнения? — Корнем уравнения — называется то значение неизвестного, при котором, это уравнение обращается в верное равенство.

Каким правилом пользовались?

— Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

С каким правилом

Решение уравнений

Обычно в таком случае говорят, что обе части уравнения разделили на 5. Третье уравнение: Это уравнение можно переписать так: Следующее уравнение:

Сделаем вывод: Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

И решим ещё одно уравнение: Чтобы решить уравнение, содержащее подобные слагаемые нужно: 1) слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа – в его правую часть, не забывая при переносе менять знаки на противоположные; 2) привести

Уравнение правило переноса

Причём неважно, является ли переносимое слагаемое числом, переменной или же целым выражением.

Так как для него тождество доказано, то и для неравенств тоже, по определению. Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было.

По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».

Правило для уравнений доказано.

Правило переноса знака в уравнении

Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень. Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на Раскрываем скобки.

Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак « », знаки не меняем. Рассмотрим примеры решения таких линейных уравнений в 6 классе.

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки: 5x-2x=7 11 (Чтобы лучше запомнить это правило, предлагаю следующую ассоциацию.

В левой части «хозяин» — слагаемое с переменной, 5x.

«В гости» к нему приходит из правой части уравнения 2x. В левой части 2x имело знак « », при переносе знак изменяем на «-«.

Его знак не меняем, так как это слагаемое остается в правой части.

. Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал.

Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего — Например, для решения нашего большого примера: Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования.

Так что начнем! Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности.

При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение. −3×2(2+7x)−4+y=0. Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения.

Получаем: −4+y=3×2(2+7x). Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3×2(2+7x)). Поэтому нельзя отдельно переносить (−3×2) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3×2⋅2) и (7x).

Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x).

Правила переноса переменных в уравнении

При классификации уравнений с частными производными (2.1) отмечалось, что уравнения первого порядка называются также уравнениями переноса.

Это объясняется тем, что такие уравнения описывают процессы переноса частиц в средах, распространения возмущений и т.п. В общем случае уравнения переноса могут иметь значительно более сложный вид (например, интегродифференциальное уравнение Больцмана в кинетической теории газов). Однако здесь мы ограничимся линейным уравнением с частными производными первого порядка.

Его решение представляет интерес не только с практической точки зрения; в еще большей степени это уравнение полезно при разработке и исследовании разностных схем.

Будем считать, что искомая функция Uзависит от времени tи одной пространственной переменной х. Тогда линейное уравнение переноса может быть записано в виде

(2.23) Здесь а — скорость переноса, которую будем считать постоянной и положительной.

Открытый урок: Решение уравнений с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую и использования правил раскрытия скобок

Сегодня на уроке мне хочется прочитать слова Альберта Эйнштейна «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями.

Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее.

Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Даже великие ученые уделяли такое внимание уравнениям, значит, и мы должны помнить, что уравнения будут существовать так же вечно, как и главная ячейка общества — семья.

Решить уравнения по группам: 2(4-9а) – (2а +3) = -8(4-а) +3(1+2а) 5(2-3у) – 4(6+2у) = 28 – (у-2) -2(3х+4) + (6х +8) = 4(5х -2) – (5х +8) 7.Саморефлексия работы каждым учеником. Задание №1. Задание №2. Задание №3.

Основы алгебры/Линейные уравнения

Линейным уравнением называется уравнение вида и любое другое уравнение приводимое к такому виду (например, ).

При этом неизвестное не должно находится в знаменателе.

— коэффициент при неизвестной,
— свободный член (любое число).

Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной , получается верное равенство. Примеры линейных уравнений: .

Корень(решение) этого уравнения . Корень этого уравнения При решении линейных уравнений, в большинстве случаев может понадобиться . , a ≠ 0 Для начала перенесём в одну сторону члены с неизвестной (с иксом), а в другую сторону — числа.

Необходимо помнить, что при перенесении слагаемого в другую сторону оно меняет знак: Приведём подобные слагаемые: Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при иксе (в нашем примере это a), после этого останется без коэффициента: При неизвестной коэффициент сократится и получится ответ: Это и будет ответом.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частях уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про . Что же представляет собой левая часть уравнения .

— Сначала обозначу площадь прямоугольника квадратом, а стороны подчеркну. В данном уравнении неизвестна сторона прямоугольника.

Значит, надо площадь прямоугольника разделить на известную сторону. Восемь разделить на 4 будет 2, х равен 2.

Дальнейшее выполнение задания комментируется аналогично.

Физминутка гимнастика для глаз.

Мы немного отдохнём.

и на всё ответ найдём.

На носочки встанем, руки вверх потянем. Руки на пояс, наклоны вперёд. Теперь попрыгаем, и сядем на места!

Сейчас все отдохнули, и новая забота:

Нужно сделать на “отлично” парную работу.

Учитель раздает карточки с заданием для работы в парах.

Учащиеся выполняют задания в парах с комментированием.

Проверка организуется по образцу Д-7.

— Проверьте свои результаты.

Правила переноса знаков в уравнении

Теперь мы посмотрим другой способ(второй тип первого способа заключался в том, что можно умножить обе части на -1, но мы до этого ещё не дошли): Сложим в каждом уравнении х: 3-х+х=2+х, 2+х=3, х=1 6) 2+х=3+х Сразу видно, х не имеет решений, и по смыслу, и так: 2+х-х=3+х-х, 2=3 что это? неверное равенство! Можно сделать вывод при решении простых уравнений: В уравнении можно перенести какое-нибудь слагаемое, изменив его знак на противоположный Например, х+4=6. Перенесём 4, изменив знак на противоположный, т.е. х=6-4=2.
Противоположное для 4 число -4. Ставим или убираем минус. Мы так и поступали, но понимая под таким углом, решать легче.
Попробуйте сами и вы в этом убедитесь. 7) х+5=15-х Перенесём -х в другую сторону, то есть 2х+5=15(знак умножения отбрасывают для сокращения). 2х=10, х=5(Почему так, это позже)

Уравнения с умножением и делением.

Правила переноса чисел в уравнении

Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.

Правила преобразования неравенств

Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения.

Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.

В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.

ПРАВИЛО 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е.

Правила переноса слагаемых в уравнении

Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.

Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения. Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Для упрощения процесса нахождения всех

Линейные уравнения

Полное руководство (2019)

Например: Мы видим, что справа стоит , что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное.

Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет , но не надо торопиться с выводами! Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример.

При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.

Здесь выполняем все те же действия:

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.
Умение раскрывать скобки.
Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему.

Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть, умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого .

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства .

Правила переноса в уравнении при умножении

Возраст детей: 5 -15 лет Срок […]

Как в налоговом учете отразить продажу основных средств При продаже основных средств оформите первичные учетные документы, утвержденные постановлением Госкомстата России от 21 января 2003 г. № 7 (ст. 2, 5, […]
Налог на проценты по вкладам: придется платить? Налоги на проценты по вкладам физических лиц в России действуют и сегодня. В каких случаях клиент должен заплатить налоги с процентных доходов по депозитам? С […]

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения.
Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» .

Правила переноса в уравнении при делении

— Какой следующий шаг на уроке? (Разобраться, в чем у нас затруднение)

— А раз возникло затруднение, надо…(Остановиться и подумать)

3 этап. Выявление места и причины затруднения

1) восстановить выполненные операции и зафиксировать место затруднения;

2) соотнести свои действия с используемым способом действий и на этой основе выявить и зафиксировать во внешней речи причину затруднения.

Организация учебного процесса на этапе 3:

— Какое задание вы должны были выполнить? (Мы должны были решить уравнение на умножение)

— Как рассуждали, выполняя пробное действие? (Пытались воспользоваться известным алгоритмом решения уравнений …)

— В чем затруднение? (Алгоритм не подходит)

Почему же возникло затруднение? (У нас нет способа для решения уравнений на умножение)

Вы поняли, чего вы не знаете? (Да).

Правила переноса чисел в уравнении через знак равно

Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления.

Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже. Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.

Линейные уравнения.
Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого

Правило переноса слагаемого.

Кроме того, правило работает и для неравенств.

Примеры переноса слагаемого: 5x+2=7x−6.

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид.

Правило переноса чисел из одной части уравнения в другую

Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по яблоку? А по ? А если по ?

Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:

– количество яблок, которое получит человек ( , или , или );
– количество яблок, которое Вася возьмет себе;
– сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.

Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст яблоко, то ему необходимо покупать штук, если даст яблока – и т.д.

И вообще. У нас две переменные.

Белого короля, а, если кто-то из Белого королевства переходил в Черное, то попадал в немилость Черного короля. Жителям королевств надо было что-то придумать, чтобы не гневить своих королей. Как вы считаете, что они придумали?

— Переходя мост они меняли цвет одежды на противоположный!

А теперь вернемся к нашим уравнениям и посмотрим, что происходит с числами при переходе через «мост» — из одной части равенства в другую.

— Числа меняют свои знаки на противоположные!

При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, знаки изменяем на противоположные!

Используя это правило, решим наше уравнение.

Договоримся, что в левой части у нас будут жить слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой части, числа не содержащие буквенного множителя.

Смотрите еще:

Средства тушения пожара и правила пользования ими § 6.

Как перенести квадрат с одной части уравнения в другую

Главное – не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!

Умножение-деление

Начнем сразу же с примера

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от ), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на ! Все – это означает и левую, и правую часть.

Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки – определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:

Ответы:

1. Является.

2. Не является.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Произведем тождественное преобразование – разделим левую и правую часть на :

Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.

3. Является.

Произведем тождественное преобразование – умножим левую и правую часть на , чтобы избавиться от знаменателя.

Подумай, почему так важно, чтобы ? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет – обязательно загляни в тему «ОДЗ», чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах.

Оно выглядит следующим образом:

, где и – любые числа и

Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:

— «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»

«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. Например:

Мы видим, что справа стоит , что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное.

Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)). Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2 ) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 ⋅2) и (7x).

Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.

Таким же образом преобразовывают неравенства:

Собираем каждое число с одной стороны. Получаем:

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным.

Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого.

При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный.
Кроме того, правило работает и для неравенств.

Примеры переноса слагаемого:

Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую:

Далее переносим (−6) из правой части в левую:

Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения.

Ребята, а теперь посмотрите на данное уравнение, можем ли мы его решить?

Чем отличается это уравнение от других?

(Мы не можем решить такое уравнение, т.к подобные слагаемые находятся в разных частях)

Ребята, а какую цель вы должны поставить перед собой? (СЛАЙД 5)

Правильно, научиться решать уравнения, содержащие неизвестное в обеих

частях уравнения, переносить слагаемые из одной части в другую.

Так давайте подумаем какова же будет тема нашего урока?

Да, правильно, тема нашего урока не просто решение уравнений, а решение уравнений с переносом слагаемых из одной части в другую.

Цель урока: изучение правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

Образовательные задачи урока:

Уметь применять правило переноса слагаемых при решении уравнений;

Развивающие задачи урока:

развивать самостоятельную деятельность учащихся;

развивать речь (давать полные ответы грамотным, математическим языком);

Воспитательные задачи урока:

воспитывать умение правильно делать записи в тетрадях и на доске;

Основные этапы урока

1. Оргмомент, сообщение цели урока и формы работы

источники:

http://www.calc.ru/Lineynyye-Uravneniya-Resheniye-Lineynykh-Uravneniy-Pravilo-P.html

http://tvokonsultant.ru/pravila-perenosa-v-uravnenii.html