Перевести уравнение из полярной системы в прямоугольную

Прямоугольная и полярная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба.
Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.
Проекции точки на плоскости на оси координат, а точнее, их числовые значения, называются прямоугольными или декартовыми прямоугольными координатами точки на плоскости.

Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью.
Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости.

Расстояние r от точки до полюса называют полярным радиусом точки . Угол между полярной осью и радиусом называют полярным углом точки.
Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки на плоскости.

Два калькулятора ниже используются для перехода от прямоугольных координат точки на плоскости к полярным и обратно.
(В предположении, что начала координат у обоих систем совпадают, а полярная ось направлена вдоль положительного направления оси Х)

Перевести уравнение из полярной системы в прямоугольную

Неверно введено число.

Полярная система координат

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Теория

Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные:

Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные :

Связь между полярными координатами и прямоугольными

Полярная система координат — это система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя параметрами — полярный угол и полярный радиус.

Прямоугольная (или декартова в честь Декарта) система координат — это система координат, в которой две взаимно перпендикулярные оси ОX (осью абсцисс) и ОY (ось ординат), имеющие одинаковую масштабную единицу и общее начало О.

М(x;y) — произвольная точка

Пусть M – произвольная точка плоскости, x, y – её прямоугольные координаты,

а ρ (полярное расстояние), φ (полярный угол) – полярные координаты (рисунок ниже).

Получаем связь прямоугольных координат с полярными через уравнения

x = ρcosφ

y = ρsinφ

Связь полярных координат с прямоугольными через уравнения

Таким образом получаем следующие уравнения

Пример 1
Прямоугольные координаты точки равны x=4, y=-4. Найти её полярные координаты.

Решение

Значит

так как точка лежит в четвёртой четверти, то первое значение правильно.
Главное значение φ есть -π/4.

Пример 2
Определить какую линию представляет уравнение

ρ = 2a sinφ

Решение
Переходя к прямоугольной системе, находим