Перевод параметрического уравнения плоскости в каноническое
Пусть в декартовой системе координат дан вектор n = и точка М 0 =( x 0 , y 0 , z 0 ).
Построим плоскость Π, проходящую через т. М 0 , перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).
Утверждение 1: М Π ó М 0 М n .
М 0 М= < x-x 0 , y-y 0 , z-z 0 > n ó A( x-x 0 )+B( y-y 0 )+C( z-z 0 )=0. (*)
Каноническое уравнение плоскости в пространстве:
Аx+By+Cz+D=0, где D = -A x 0 -B y 0 -C z 0 .
Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.
Пример 1. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n= <3,1,1>и проходящей через точку М(2,-1,1).
Пример 2. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2,1,-2), L(0,0,-1), M(1,8,1).
Пусть в декартовой системе координат дан вектор a =
и точка М 0 =( x 0 , y 0 , z 0 ).
Построим прямую l , проходящую через т. М 0 , параллельную вектору a (этот вектор называют направляющим вектором прямой).
Утверждение 2: М l ó М 0 М || a .
М 0 М= < x-x 0 , y-y 0 , z-z 0 >|| a ó t R , т.ч. М 0 М=t ·a =>
Параметрические уравнения прямой в пространстве:
(**)
Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем.
В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t 0 =0 он находится в точке М 0 , в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).
Теперь несколько преобразуем формулы (**).
Выразим из каждой строчки параметр t:
Канонические уравнения прямой в пространстве:
Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.
Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо.
Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.
Пример 3. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через заданную точку.
Пример 4. Написать канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей.
Пример 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Пусть в декартовых координатах плоскость Π задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а точка М 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ).
Утверждение 3: расстояние от точки М 1 до плоскости Π вычисляется по формуле:
Пример 6. Найти расстояние от точки до плоскости.
Пусть в декартовой системе координат М 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ), М 2 =(x 2 ,y 2 ,z 2 ) .
Утверждение 4: Координаты т. М, т.ч. М 1 М=λ∙ММ 2 , находятся по следующим формулам:
.
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.
Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:
(1) |
Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.
Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t=0 имеем точку M1(x1, y1) при t=1, получим точку M2(x1+m, y1+p).
Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L. В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q=<m, p>, вычисляя разности соответствующих координатов точек M1 и M2: m=x2−x1, p=y2−y1(Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).
Можно также вывести формулу параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого подставим значения m=x2−x1, p=y2−y1 в (1), получим параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2):
(2) |
Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=<−3, 5>. Построить параметрическое уравнение прямой.
Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):
Пример 2. Прямая проходит через точки M1=(−5, 2) и M2=(−2, 3). Построить параметрическое уравнение прямой.
Решение. Воспользуемся формулой (2). Подставим координаты точек M1 и M2 в уравнение (2):
Упростим полученное уравнение:
Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду
Выразим параметр t в (1) через переменные x и y:
(3) |
Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:
. | (4) |
Обратное преобразование смотрите здесь.
Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:
Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.
Решение: Выразим параметр t через переменные x и y:
(5) |
Из выражений (5), можем записать:
Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду
Для приведения параметрического уравнения прямой на плоскости к общему виду, в формулах (1) выразим из второго уравнения параметр t через переменную y и подставим в первое уравнение:
(6) |
Умножим обе части уравнения (6) на p и группируем элементы уравнения:
. | (7) |
Сделаем обозначения: A=p, B=−m, C=−px1+my1. Тогда получим общее уравнение прямой:
Обратное преобразование смотрите здесь.
Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:
(9) |
Привести данное уравнение прямой к общему виду.
Решение: В уравнении (9) имеем: x1=−5, y1=0, m=4, p=−2. Подставим эти значения в формулу (7):
(10) |
Упростив выражение (10) получим общее уравнение прямой (9):
Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам
Напомним, что три или более векторов называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам .
Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.
Пусть в координатном пространстве заданы:
б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).
Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку
Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.16).
Условие компланарности векторов (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:
Параметрическое уравнение плоскости
Пусть в координатном пространстве заданы:
б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).
Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку
Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим -радиус-векторы точек и (рис.4.16).
Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: где — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что получим векторное параметрическое уравнение плоскости :
где — направляющие векторы плоскости, а — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.
Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:
где и — координаты направляющих векторов и соответственно. Параметры в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины пропорциональны расстоянию от заданной точки до точки принадлежащей плоскости. При точка совпадает с заданной точкой . При возрастании (или ) точка перемещается в направлении вектора (или ), а при убывании (или ) — в противоположном направлении.
1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.
2. Любой вектор , коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:
Следовательно, координаты и направляющих векторов и плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:
3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.
4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:
1) найти любое решение уравнения определяя тем самым координаты точки принадлежащей плоскости;
2) найти любые два линейно независимых решения однородного уравнения определяя тем самым координаты решения и направляющих векторов и плоскости;
3) записать параметрическое уравнение (4.20).
5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему , достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:
и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):
6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.
Пример 4.8. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки и (см. рис.4.11). Требуется:
а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;
б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и компланарной радиус-векторам и
Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: Составим параметрическое уравнение:
1) находим любое решение уравнения , например, следовательно, точка принадлежит плоскости;
2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения например и следовательно, векторы являются направляющими для плоскости;
3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):
б) Координаты середины отрезка были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов и
Составляем уравнение (4.14):
Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):
http://matworld.ru/analytic-geometry/parametricheskoe-uravnenie-prjamoj.php
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=uravneniya-ploskosti-komplanarnoi-dvum-nekollinyearnym-vektoram