Первая краевая задача для уравнения лапласа

Краевые задачи для уравнения Лапласа

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Ноября 2011 в 18:30, курсовая работа

Краткое описание

Рассмотрение понятия краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Как частный случай — уравнение Лапласа (простейшее уравнение эллиптического типа). Для уравнения Лапласа краевая задача I рода — задача Дирихле; краевая задача II рода — задача Неймана. Краевое условие III рода — смешанная краевая задача. Рассматриваются также задача Дирихле в пространств/на плоскости, решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Неймана (второй краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Дирихле для кольца.

Содержание

Введение
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
Корректность краевой задачи.
Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
Задача Дирихле в пространстве
Задача Дирихле на плоскости
Задача Неймана
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Примеры.
Решение задачи Дирихле для кольца.

Вложенные файлы: 1 файл

Понятие краевой з.doc

ПЕНЗЕНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ В. Г. БЕЛИНСКОГО

Кафедра «Математического анализа»

«Краевые задачи для уравнения Лапласа»

1. Введение
2. Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
   1. Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
   2. Корректность краевой задачи.
3. Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
   1. Задача Дирихле в пространстве
   2. Задача Дирихле на плоскости
   3. Задача Неймана
4. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
   1. Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
   2. Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
   3. Примеры.
   4. Решение задачи Дирихле для кольца.

Уравнениями математической физики называются уравнения, описывающие математические модели физических явлений. Среди них процессы, изучаемые в теории упругости, гидродинамике, электродинамике, квантовой физике и т. д. Во многих случаях их изучение приводит к уравнениям с частными производными второго порядка.

Дифференциальным уравнением с частными производными (в частных производных) называется уравнение, связывающее функцию , независимые переменные и частные производные от функции , то есть соотношение

где известная функция и .

При этом предполагается, что в области, где рассматривается данное уравнение, функция имеет частные производные порядка

Порядок старшей из частных производных, входящих в уравнение (1), называется порядком этого уравнения. Например, уравнение второго порядка для функции, имеющей непрерывные частные производные второго порядка, в общем случае может быть записано в виде

Уравнение (1) называется линейным, если данное уравнение линейно относительно этой функции и ее производных.

Решением уравнения (1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в указанное уравнение, обращает его в тождество по всем переменным.

Для полного описания физических процессов помимо уравнений необходимо указать некоторые дополнительные условия. В частности, может быть задана картина процесса в фиксированный момент времени, т.е. начальные условия. Кроме того, задают значения изучаемых величин на границе рассматриваемой области – граничные (или краевые) условия. Дифференциальное уравнение вместе с соответствующими краевыми (и начальными) условиями называется краевой задачей математической физики.

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.

1. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

и уравнение Лапласа

Исключительную роль в математической физике играет уравнение Лапласа

Для уравнения Лапласа обычно считают, что необходимо найти функцию , удовлетворяющую этому уравнению внутри некоторой области , ограниченной поверхностью (кривой) , или вне этой области. Если при этом функция должна удовлетворять краевому условию

то говорят, что необходимо решить соответственно внутреннюю или внешнюю задачу Дирихле.

Если краевые условия имеют вид

где есть производная по внешней нормали к границе области , то говорят, что требуется решить задачу Неймана (внутреннюю или внешнюю).

Если краевые условия записываются в форме

то это – третья краевая задача для уравнения Лапласа.

Здесь M текущая точка границы ; , заданные функции.

Если какая-то из последних трех функций тождественно равна нулю, то соответствующее условие называется однородным.

Для уравнения теплопроводности и волнового уравнения во многих случаях приходится решать так называемую смешанную задачу, то есть задачу с начальными и граничными условиями. Если при этом на границе пространственной (плоской) области задано значение искомой функции, то говорят, что поставлена первая смешанная задача.

Если в качестве краевого условия задано значение производной от искомой функции в направлении внешней нормали к границе, то говорят, что решается вторая смешанная задача. Если задана линейная зависимость между значениями функции на границе и ее производной по нормали, то это – третья смешанная задача.

Описание многих физических явлений требует использования интегральных уравнений. Они появляются также при изучении свойств уравнений с частными производными.

Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа.

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связано с не единственностью решения

дифференциальных уравнений. Действительно, даже для обыкновенных д. у. n-го порядка общее решение зависит от n-произвольных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения в классе функций, зависящих от переменных и , имеет вид , где — произвольная функция класса . Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия. Соответствующая задача называется краевой задачей.

Краевые условия (граничные условия)— условия, которым должно удовлетворять искомое решение заданного дифференциального уравнения на границе (или ее части) области, где это решение ищется.

Краевые условия обычно задаются с помощью дифференциальных операторов, однако встречаются краевые условия и других типов.

Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:

1. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область совпадает со всем пространством , граничные условия отсутствуют.
2. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе , начальные условия, естественно, отсутствуют.
3. Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные и граничные условия, .

— область, где происходит процесс, — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Таким образом, есть область изменения аргументов в уравнении, описывающем стационарный процесс – область задания уравнения.

Уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационарных процессов. Время t в эти уравнения не входит, и обе независимые переменные являются

координатами точки. Для задач такого типа ставятся только краевые условия, т. е.

указывается поведение неизвестной функции на контуре области. Для эллиптического уравнения характерно то, что краевые условия задаются на всей границе. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа.

Уравнение Лапласа является основным представителем дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка эллиптического типа, на котором вырабатывались и вырабатываются основные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.

– уравнение Лапласа для случая функций двух независимых переменных.

–уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными, называют оператор Лапласа или лапласиан.

Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях.

Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение температуры в теле.

Действительно, если температура не зависит от времени t, то и

уравнение теплопроводности , где — коэффициент

теплопроводности, сводится к уравнению Лапласа.

Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представление функции как температуры очень удобно и наглядно.

Первая краевая задача для уравнения лапласа

теыеойе лтбечщи ъбдбю дмс дчхнетопзп хтбчоеойс мбрмбуб ч рпмстощи лпптдйобфби нефпдпн тбъдемеойс ретенеоощи ч MAPLE

пВОЙОУЛЙК ЗПУХДБТУФЧЕООЩК ФЕИОЙЮЕУЛЙК ХОЙЧЕТУЙФЕФ БФПНОПК ЬОЕТЗЕФЙЛЙ

1. ччедеойе

1.1. дчхнетопе хтбчоеойе мбрмбуб ч рпмстощи лпптдйобфби

тЕЫЕОЙС ЛТБЕЧЩИ ЪБДБЮ ДМС ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ

ДМС ЛТХЗБ Й ЛПМШГБ НПЗХФ ВЩФШ ОБКДЕОЩ НЕФПДПН ТБЪДЕМЕОЙС
РЕТЕНЕООЩИ.

Äëÿ ЬФПЗП ВХДЕН èñïîëüçПЧБФШ ïîëÿðíóþ ñèñòåìó

à òàêæå âîñïîëüçóåìñÿ ïàêåòîì «VectorCalculus»

äëÿ ïîëóџåíèÿ â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà.

Óðàâíåíèå Ëàïëàñà â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò
âèä:

1.2. тбъдемеойе ретенеоощи й пвэее теыеойе

Óðàâíåíèå Ëàïëàñà äîïóñêàåò ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. ÑðåäñòâàНЙ MAPLE ïîëóџèН ðàçäåëåííûå óðàâíåíèÿ:

Ñäåëàåì çàìåíó êîíñòàíòû ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ:

è ðåøèì ðàçäåëåííûå óðàâíåíèÿ.

Ðåøåíèå óãëîâîãî óðàâíåíèÿ:

Çàìåòèì, џòî ЬФП ðåøåíèå äëÿ óãëîâîé ôóíêöèè Φ(φ) áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ïåðèîäèџíîñòè äëÿ öåëûõ çíàџåíèé n.

Ðåøåíèå ðàäèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:

Ñëåäîâàòåëüíî, óãëîâîå è ðàäèàëüíîå óðàâíåíèÿ áóäóò èìåòü ðåøåíèÿ (ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû ïåðåîáîçíàџåíû):

фБЛЙН ПВТБЪПН, Пáùåå ðåøåíèå ДЧХНЕТОПЗП óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà Ч ïîëÿðíЩИ êîîðäèíàòБИ èìååò âèä:

2. ретчбс лтбечбс ъбдбюб дмс хтбчоеойс мбрмбуб ч лтхзе

2.1. рпуфбопчлб ретчпк лтбечпк ъбдбюй дмс хтбчоеойс мбрмбуб (чохфтй лтхзб)

тБУУНПФТЙН РЕТЧХА ЛТБЕЧХА ЪБДБЮХ ДМС ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ (ЧОХФТЕООСС ЪБДБЮБ дЙТЙИМЕ ДМС ЛТХЗБ).

Ýòî çíàџèò, џòî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ЧОХФТЙ ЛТХЗБ ТБДЙХУБ R ₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà:

è ãðàíèџíПНХ óñëîâèА íà ãðàíèöЕ Σ ЛТХЗБ:

ЗДЕ f — çàäàííБС íà ãðàíèöå ôóíêöèС, Σ — ПЛТХЦОПУФШ ТБДЙХУБ R ₀ .

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙС ДЧХНЕТОПЗП ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ ( ), ОБКДЕООПЕ НЕФПДПН ТБЪДЕМЕОЙС РЕТЕНЕООЩИ Ч ТБЪДЕМЕ «чЧЕДЕОЙЕ», ЙНЕЕФ ЧЙД:

Ïðè ýòîì ãðàíèџíЩЕ óñëîâèС ôîðìóëèðóАòñÿ â âèäå:

1) фТЕВПЧБОЙЕ ПЗТБОЙЮЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС u Ч ОБЮБМЕ ЛППТДЙОБФ:

2) Çíàџåíèå ôóíêöèè u íà ãðàíèöå êðóãà ðàâíî:

Èç ñèììåòðèè çàäàџè ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäèџíîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî ХЗМПЧПК РЕТЕНЕООПК .

2.2. хюеф зтбойюощи хумпчйк (чохфтй лтхзб)

Òåïåðü óџòåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíèџíûå óñëîâèÿ.

1) пЗТБОЙЮЕООПУФШ ТЕЫЕОЙС Ч ОХМЕ ПЪОБЮБЕФ ТБЧЕОУФЧП ОХМА ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ:

ПФЛХДБ ЙНЕЕН (РЕТЕПРТЕДЕМСС РПУФПСООЩЕ A1 _n , A2 _n У ХЮЕФПН B1 _n ):

рПЬФПНХ У ХЮЕФПН РЕТЧПЗП ЗТБОЙЮОПЗП ХУМПЧЙС ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ РТЙНЕФ ЧЙД:

2) чФПТПЕ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПЧЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ:

ÝòП ñîîòíîøåíèЕ ïîçâîëÿАò îïðåäåëèòü çíàџåíèÿ ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , A1 _n ,A2 _n . Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëóџåííПå ñîîòíîøåíèЕ ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ):

2.3. чщюйумеойе рпуфпсоощи (чохфтй лтхзб)

Ïðè âûџèñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , A1 _n ,A2 _n Йñïîëüçóåì ôîðìóëЩ, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (УН. ЖПТНХМЩ (1) — (6) Ч рТЙМПЦЕОЙЙ 1).

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B10, A1n,A2n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:

рПЬФПНХ ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäàџè ЧОХФТЙ ЛТХЗБ
èìååò âèä:

2.4. йофезтбм рхбуупоб (чохфтй лтхзб)

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЙОФЕЗТБМШОПК ЖПТНЕ (ЙОФЕЗТБМПН рХБУУПОБ ДМС ЛТХЗБ).

дМС ЬФПЗП ЧЩРПМОЙН РðåîáðàçПЧБОЙЕ:

дМС РТЕПВТБЪПЧБОЙС ТЕЫЕОЙС ЙУРПМШЪХЕН РЕТЕНЕООЩЕ ρ Й α, ЛПФПТЩЕ ПРТЕДЕМСАФУС УППФОПЫЕОЙСНЙ:

фПЗДБ ТСД НПЦОП РТПУХННЙТПЧБФШ:

чПЪЧТБЭБСУШ Л РЕТЕНЕООЩН r Й φ, РПМХЮБЕН РПМХЮБЕН ЙОФЕЗТБМШОПЕ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС (ЙОФЕЗТБМ рХБУУПОБ) ЧОХФТЙ ЛТХЗБ:

чЧЕДС ПВПЪОБЮЕОЙЕ (СДТП ЙОФЕЗТБМБ рХБУУПОБ):

РПМХЮБЕН ТЕЫЕОЙЕ Ч ЙОФЕЗТБМШОПК ЖПТНЕ (ЙОФЕЗТБМ рХБУУПОБ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ):

2.5. рпуфбопчлб ретчпк лтбечпк ъбдбюй дмс хтбчоеойс мбрмбуб (чое лтхзб)

тБУУНПФТЙН РЕТЧХА ЛТБЕЧХА ЪБДБЮХ ДМС ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ ЧОЕ ЛТХЗБ (ЧОЕЫООСС ЪБДБЮБ дЙТЙИМЕ ДМС ЛТХЗБ).

Ýòî çíàџèò, џòî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ЧОЕ ЛТХЗБ ТБДЙХУБ R ₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà:

è ãðàíèџíПНХ óñëîâèА íà ãðàíèöЕ Σ ЛТХЗБ:

ЗДЕ f — çàäàííБС íà ãðàíèöå ôóíêöèС, Σ — ПЛТХЦОПУФШ ТБДЙХУБ R ₀ .

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙС ДЧХНЕТОПЗП ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ ( ), ОБКДЕООПЕ НЕФПДПН ТБЪДЕМЕОЙС РЕТЕНЕООЩИ Ч ТБЪДЕМЕ «чЧЕДЕОЙЕ», ЙНЕЕФ ЧЙД:

Ïðè ýòîì ãðàíèџíЩЕ óñëîâèС ôîðìóëèðóАòñÿ â âèäå:

1) фТЕВПЧБОЙЕ ПЗТБОЙЮЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС u:

2) Çíàџåíèå ôóíêöèè u íà ãðàíèöå êðóãà ðàâíî:

Èç ñèììåòðèè çàäàџè ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäèџíîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî ХЗМПЧПК РЕТЕНЕООПК .

2.6. хюеф зтбойюощи хумпчйк (чое лтхзб)

Òåïåðü óџòåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíèџíûå óñëîâèÿ.

1) пЗТБОЙЮЕООПУФШ ТЕЫЕОЙС Ч ОХМЕ ПЪОБЮБЕФ ТБЧЕОУФЧП ОХМА ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ:

ПФЛХДБ ЙНЕЕН (РЕТЕПРТЕДЕМСС РПУФПСООЩЕ A1 _n , A2 _n У ХЮЕФПН B2 _n ):

рПЬФПНХ У ХЮЕФПН РЕТЧПЗП ЗТБОЙЮОПЗП ХУМПЧЙС ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ РТЙНЕФ ЧЙД:

2) чФПТПЕ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПЧЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ:

ÝòП ñîîòíîøåíèЕ ïîçâîëÿАò îïðåäåëèòü çíàџåíèÿ ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , A1 _n ,A2 _n . Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëóџåííПå ñîîòíîøåíèЕ ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ):

2.7. чщюйумеойе рпуфпсоощи (чое лтхзб)

Ïðè âûџèñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , A1 _n ,A2 _n Йñïîëüçóåì ôîðìóëЩ, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (УН. ЖПТНХМЩ (1) — (6) Ч рТЙМПЦЕОЙЙ 1).

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B1 ₀ , A1 _n ,A2 _n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:

рПЬФПНХ ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäàџè ЧОХФТЙ ЛТХЗБ
èìååò âèä:

2.8. йофезтбм рхбуупоб (чое лтхзб)

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЙОФЕЗТБМШОПК ЖПТНЕ (ЙОФЕЗТБМПН рХБУУПОБ ДМС ЛТХЗБ).

дМС ЬФПЗП ЧЩРПМОЙН РðåîáðàçПЧБОЙЕ:

дМС РТЕПВТБЪПЧБОЙС ТЕЫЕОЙС ЙУРПМШЪХЕН РЕТЕНЕООЩЕ ρ Й α, ЛПФПТЩЕ ПРТЕДЕМСАФУС УППФОПЫЕОЙСНЙ:

фПЗДБ ТСД НПЦОП РТПУХННЙТПЧБФШ:

чПЪЧТБЭБСУШ Л РЕТЕНЕООЩН r Й φ, РПМХЮБЕН РПМХЮБЕН ЙОФЕЗТБМШОПЕ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС (ЙОФЕЗТБМ рХБУУПОБ) ЧОХФТЙ ЛТХЗБ:

чЧЕДС ПВПЪОБЮЕОЙЕ (СДТП ЙОФЕЗТБМБ рХБУУПОБ):

РПМХЮБЕН ТЕЫЕОЙЕ Ч ЙОФЕЗТБМШОПК ЖПТНЕ (ЙОФЕЗТБМ рХБУУПОБ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ):

2.9. пвэее ртедуфбчмеойе теыеойс ч чйде тсдб дмс лтхзб

тЕЫЕОЙЕ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

фПЗДБ ТЕЫЕОЙЕ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ РТЙНЕФ ЧЙД:

тЕЫЕОЙЕ ЧОЕ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

фПЗДБ ТЕЫЕОЙЕ ЧОЕ ЛТХЗБ РТЙНЕФ ЧЙД:

рТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС Ч ЧЙДЕ ТСДБ:

2.10. ртедуфбчмеойе теыеойс ч йофезтбмшопн чйде дмс лтхзб

тЕЫЕОЙЕ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

тЕЫЕОЙЕ ЧОЕ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

фПЗДБ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС Ч ЙОФЕЗТБМШОПН ЧЙД
ЪБРЙЫЕФУС:

3. чфптбс лтбечбс ъбдбюб дмс хтбчоеойс мбрмбуб ч лтхзе

3.1. рпуфбопчлб ретчпк лтбечпк ъбдбюй дмс хтбчоеойс мбрмбуб (чохфтй лтхзб)

тБУУНПФТЙН ЧФПТХА ЛТБЕЧХА ЪБДБЮХ ДМС ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ (ЧОХФТЕООСС ЪБДБЮБ оЕКНБОБ ДМС ЛТХЗБ).

Ýòî çíàџèò, џòî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ЧОХФТЙ ЛТХЗБ ТБДЙХУБ R ₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà:

è ãðàíèџíПНХ óñëîâèА íà ãðàíèöЕ Σ ЛТХЗБ:

ЗДЕ g — çàäàííБС íà ãðàíèöå ôóíêöèС, Σ — ПЛТХЦОПУФШ ТБДЙХУБ R ₀ .

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙС ДЧХНЕТОПЗП ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ ( ), ОБКДЕООПЕ НЕФПДПН ТБЪДЕМЕОЙС РЕТЕНЕООЩИ Ч ТБЪДЕМЕ «чЧЕДЕОЙЕ», ЙНЕЕФ ЧЙД:

Ïðè ýòîì ãðàíèџíЩЕ óñëîâèС ôîðìóëèðóАòñÿ â âèäå:

1) фТЕВПЧБОЙЕ ПЗТБОЙЮЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС u Ч ОБЮБМЕ ЛППТДЙОБФ:

2) ъОБЮЕОЙЕ РТПЙЪЧПДОПК ЖХОЛГЙЙ u íà ãðàíèöå êðóãà
ðàâíî:

Èç ñèììåòðèè çàäàџè ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäèџíîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî ХЗМПЧПК РЕТЕНЕООПК .

3.2. хюеф зтбойюощи хумпчйк (чохфтй лтхзб)

Òåïåðü óџòåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíèџíûå óñëîâèÿ.

1) пЗТБОЙЮЕООПУФШ ТЕЫЕОЙС Ч ОХМЕ ПЪОБЮБЕФ ТБЧЕОУФЧП ОХМА ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ:

ПФЛХДБ ЙНЕЕН (РЕТЕПРТЕДЕМСС РПУФПСООЩЕ A1 _n , A2 _n У ХЮЕФПН B1 _n ):

рПЬФПНХ У ХЮЕФПН РЕТЧПЗП ЗТБОЙЮОПЗП ХУМПЧЙС ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Й ЕЗП РТПЙЪЧПДОБС РТЙНХФ ЧЙД:

2) чФПТПЕ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПЧЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ:

ÝòП ñîîòíîøåíèЕ ïîçâîëÿАò îïðåäåëèòü çíàџåíèÿ ïîñòîÿííûõ A1 _n Й A2 _n . Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëóџåííПå ñîîòíîøåíèЕ ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ):

3.3. чщюйумеойе рпуфпсоощи (чохфтй лтхзб)

Ïðè âûџèñëåíèèè ïîñòîÿííûõ A1 _n ,A2 _n Йñïîëüçóåì
ôîðìóëЩ, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ)
(УН. ЖПТНХМЩ (1) — (6) Ч рТЙМПЦЕОЙЙ 1).

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå A1 _n Й A2 _n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:

рПЬФПНХ ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäàџè ЧОХФТЙ ЛТХЗБ
èìååò âèä:

3.4. йофезтбм рхбуупоб (чохфтй лтхзб)

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЙОФЕЗТБМШОПК ЖПТНЕ (ЙОФЕЗТБМПН рХБУУПОБ ДМС ЛТХЗБ).

дМС ЬФПЗП ЧЩРПМОЙН РðåîáðàçПЧБОЙЕ:

дМС РТЕПВТБЪПЧБОЙС ТЕЫЕОЙС ЙУРПМШЪХЕН ФБЛЦЕ
РЕТЕНЕООЩЕ ρ Й α, ЛПФПТЩЕ ПРТЕДЕМСАФУС УППФОПЫЕОЙСНЙ:

фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН УХННХ (СДТП ЙОФЕЗТБМБ рХБУУПОБ):

дМС Kernel(r, φ, ψ) ЙНЕЕФ НЕУФП УППФОПЫЕОЙЕ:

ЙОФЕЗТЙТХС ЛПФПТПЕ, РПМХЮБЕН:

чПЪЧТБЭБСУШ Л РЕТЕНЕООЩН r Й φ, РПМХЮБЕН РПМХЮБЕН ЙОФЕЗТБМШОПЕ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС (ЙОФЕЗТБМ рХБУУПОБ) ЧОХФТЙ ЛТХЗБ:

3.5. рпуфбопчлб чфптпк лтбечпк ъбдбюй дмс хтбчоеойс мбрмбуб (чое лтхзб)

тБУУНПФТЙН ЧФПТХА ЛТБЕЧХА ЪБДБЮХ ДМС ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ ЧОЕ ЛТХЗБ (ЧОЕЫОСС ЪБДБЮБ оЕКНБОБ ДМС ЛТХЗБ).

Ýòî çíàџèò, џòî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ЧОЕ ЛТХЗБ ТБДЙХУБ R ₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà:

è ãðàíèџíПНХ óñëîâèА íà ãðàíèöЕ Σ ЛТХЗБ:

ЗДЕ g — çàäàííБС íà ãðàíèöå ôóíêöèС, Σ — ПЛТХЦОПУФШ ТБДЙХУБ R ₀ .

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙС ДЧХНЕТОПЗП ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ ( ), ОБКДЕООПЕ НЕФПДПН ТБЪДЕМЕОЙС РЕТЕНЕООЩИ Ч ТБЪДЕМЕ «чЧЕДЕОЙЕ», ЙНЕЕФ ЧЙД:

Ïðè ýòîì ãðàíèџíЩЕ óñëîâèС ôîðìóëèðóАòñÿ â âèäå:

1) фТЕВПЧБОЙЕ ПЗТБОЙЮЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС u:

2) ъОБЮЕОЙЕ РТПЙЪЧПДОПК ЖХОЛГЙЙ u íà ãðàíèöå êðóãà
ðàâíî:

Èç ñèììåòðèè çàäàџè ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäèџíîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî ХЗМПЧПК РЕТЕНЕООПК .

3.6. хюеф зтбойюощи хумпчйк (чое лтхзб)

Òåïåðü óџòåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíèџíûå óñëîâèÿ.

1) пЗТБОЙЮЕООПУФШ ТЕЫЕОЙС Ч ОХМЕ ПЪОБЮБЕФ ТБЧЕОУФЧП ОХМА ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ:

ПФЛХДБ ЙНЕЕН (РЕТЕПРТЕДЕМСС РПУФПСООЩЕ A1 _n , A2 _n У ХЮЕФПН B1 _n ):

рПЬФПНХ У ХЮЕФПН РЕТЧПЗП ЗТБОЙЮОПЗП ХУМПЧЙС ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Й ЕЗП РТПЙЪЧПДОБС РТЙНХФ ЧЙД:

2) чФПТПЕ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПЧЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ:

ÝòП ñîîòíîøåíèЕ ïîçâîëÿАò îïðåäåëèòü çíàџåíèÿ ïîñòîÿííûõ A1 _n Й A2 _n . Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëóџåííПå ñîîòíîøåíèЕ ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ):

3.7. чщюйумеойе рпуфпсоощи (чое лтхзб)

Ïðè âûџèñëåíèèè ïîñòîÿííûõ A1 _n ,A2 _n Йñïîëüçóåì
ôîðìóëЩ, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (УН. ЖПТНХМЩ (1) — (6) Ч рТЙМПЦЕОЙЙ 1).

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå A1 _n Й A2 _n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:

рПЬФПНХ ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäàџè ЧОХФТЙ ЛТХЗБ
èìååò âèä:

3.8. йофезтбм рхбуупоб (чое лтхзб)

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЙОФЕЗТБМШОПК ЖПТНЕ (ЙОФЕЗТБМПН рХБУУПОБ ДМС ЛТХЗБ).

дМС ЬФПЗП ЧЩРПМОЙН РðåîáðàçПЧБОЙЕ:

дМС РТЕПВТБЪПЧБОЙС ТЕЫЕОЙС ЙУРПМШЪХЕН ФБЛЦЕ РЕТЕНЕООЩЕ ρ Й α, ЛПФПТЩЕ ПРТЕДЕМСАФУС УППФОПЫЕОЙСНЙ:

фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН УХННХ (СДТП ЙОФЕЗТБМБ рХБУУПОБ):

дМС Kernel(r, φ, ψ) ЙНЕЕФ НЕУФП УППФОПЫЕОЙЕ:

ЙОФЕЗТЙТХС ЛПФПТПЕ, РПМХЮБЕН:

чПЪЧТБЭБСУШ Л РЕТЕНЕООЩН r Й φ, РПМХЮБЕН РПМХЮБЕН ЙОФЕЗТБМШОПЕ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС (ЙОФЕЗТБМ рХБУУПОБ) ЧОХФТЙ ЛТХЗБ:

3.9. пвэее ртедуфбчмеойе теыеойс ч чйде тсдб

тЕЫЕОЙЕ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

ЗДЕ B1 — РТПЙЪЧПМШОБС ЛПОУФБОФБ,

фПЗДБ ТЕЫЕОЙЕ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ РТЙНЕФ ЧЙД:

тЕЫЕОЙЕ ЧОЕ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

фПЗДБ ТЕЫЕОЙЕ ЧОЕ ЛТХЗБ РТЙНЕФ ЧЙД:

рТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС Ч ЧЙДЕ ТСДБ:

3.10. пвэее ртедуфбчмеойе теыеойс ч йофезтбмшопн чйде

тЕЫЕОЙЕ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

тЕЫЕОЙЕ ЧОЕ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

фПЗДБ РТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС Ч ЙОФЕЗТБМШОПН ЧЙД
ЪБРЙЫЕФУС:

4. фтефшс лтбечбс ъбдбюб дмс хтбчоеойс мбрмбуб ч лтхзе

4.1. рпуфбопчлб фтефшек лтбечпк ъбдбюй дмс хтбчоеойс мбрмбуб (чохфтй лтхзб)

тБУУНПФТЙН ФТЕФША ЛТБЕЧХА ЪБДБЮХ ДМС ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ.

Ýòî çíàџèò, џòî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ЧОХФТЙ ЛТХЗБ ТБДЙХУБ R ₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà:

è ãðàíèџíПНХ óñëîâèА íà ãðàíèöЕ Σ ЛТХЗБ:

ЗДЕ h — çàäàííБС íà ãðàíèöå ôóíêöèС, Σ — ПЛТХЦОПУФШ ТБДЙХУБ R ₀ .

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙС ДЧХНЕТОПЗП ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч
РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ ( ), ОБКДЕООПЕ НЕФПДПН ТБЪДЕМЕОЙС РЕТЕНЕООЩИ Ч ТБЪДЕМЕ «чЧЕДЕОЙЕ», ЙНЕЕФ ЧЙД:

Ïðè ýòîì ãðàíèџíЩЕ óñëîâèС ôîðìóëèðóАòñÿ â âèäå:

1) фТЕВПЧБОЙЕ ПЗТБОЙЮЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС u Ч ОБЮБМЕ ЛППТДЙОБФ:

2) ъОБЮЕОЙЕ РТПЙЪЧПДОПК ЖХОЛГЙЙ u íà ãðàíèöå êðóãà
ðàâíî:

Èç ñèììåòðèè çàäàџè ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäèџíîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî ХЗМПЧПК РЕТЕНЕООПК .

4.2. хюеф зтбойюощи хумпчйк (чохфтй лтхзб)

Òåïåðü óџòåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíèџíûå óñëîâèÿ.

1) пЗТБОЙЮЕООПУФШ ТЕЫЕОЙС Ч ОХМЕ ПЪОБЮБЕФ ТБЧЕОУФЧП ОХМА ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ:

ПФЛХДБ ЙНЕЕН (РЕТЕПРТЕДЕМСС РПУФПСООЩЕ A1 _n , A2 _n У ХЮЕФПН B1 _n ):

рПЬФПНХ У ХЮЕФПН РЕТЧПЗП ЗТБОЙЮОПЗП ХУМПЧЙС ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Й ЕЗП РТПЙЪЧПДОБС РТЙНХФ ЧЙД:

2) чФПТПЕ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПЧЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ:

ÝòП ñîîòíîøåíèЕ ïîçâîëÿАò îïðåäåëèòü çíàџåíèÿ ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , A1 _n Й A2 _n . Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëóџåííПå ñîîòíîøåíèЕ ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ):

4.3. чщюйумеойе рпуфпсоощи (чохфтй лтхзб)

Ïðè âûџèñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , A1 _n ,A2 _n Йñïîëüçóåì ôîðìóëЩ, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (УН. ЖПТНХМЩ (1) — (6) Ч рТЙМПЦЕОЙЙ 1).

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B1 ₀ , A1 _n Й A2 _n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:

рПЬФПНХ ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäàџè ЧОХФТЙ ЛТХЗБ
èìååò âèä:

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ ЛБЛ:

4.4. рпуфбопчлб чфптпк лтбечпк ъбдбюй дмс хтбчоеойс мбрмбуб (чое лтхзб)

тБУУНПФТЙН ФТЕФША ЛТБЕЧХА ЪБДБЮХ ДМС ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ ЧОЕ ЛТХЗБ.

Ýòî çíàџèò, џòî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ЧОЕ ЛТХЗБ ТБДЙХУБ R ₀ óðàâíåíèþ Ëàïëàñà:

è ãðàíèџíПНХ óñëîâèА íà ãðàíèöЕ Σ ЛТХЗБ:

ЗДЕ h — çàäàííБС íà ãðàíèöå ôóíêöèС, Σ — ПЛТХЦОПУФШ ТБДЙХУБ R ₀ .

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙС ДЧХНЕТОПЗП ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ ( ), ОБКДЕООПЕ НЕФПДПН ТБЪДЕМЕОЙС РЕТЕНЕООЩИ Ч ТБЪДЕМЕ «чЧЕДЕОЙЕ», ЙНЕЕФ ЧЙД:

Ïðè ýòîì ãðàíèџíЩЕ óñëîâèС ôîðìóëèðóАòñÿ â âèäå:

1) фТЕВПЧБОЙЕ ПЗТБОЙЮЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС u:

2) ъОБЮЕОЙЕ РТПЙЪЧПДОПК ЖХОЛГЙЙ u íà ãðàíèöå êðóãà ðàâíî:

Èç ñèììåòðèè çàäàџè ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäèџíîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî ХЗМПЧПК РЕТЕНЕООПК .

4.5. хюеф зтбойюощи хумпчйк (чое лтхзб)

Òåïåðü óџòåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíèџíûå óñëîâèÿ.

1) пЗТБОЙЮЕООПУФШ ТЕЫЕОЙС Ч ОХМЕ ПЪОБЮБЕФ ТБЧЕОУФЧП ОХМА ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ:

ПФЛХДБ ЙНЕЕН (РЕТЕПРТЕДЕМСС РПУФПСООЩЕ A1 _n , A2 _n У ХЮЕФПН B1 _n ):

рПЬФПНХ У ХЮЕФПН РЕТЧПЗП ЗТБОЙЮОПЗП ХУМПЧЙС ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Й ЕЗП РТПЙЪЧПДОБС РТЙНХФ ЧЙД:

2) чФПТПЕ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПЧЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ:

ÝòП ñîîòíîøåíèЕ ïîçâîëÿАò îïðåäåëèòü çíàџåíèÿ ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , A1 _n Й A2 _n . Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëóџåííПå ñîîòíîøåíèЕ ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ):

4.6. чщюйумеойе рпуфпсоощи (чое лтхзб)

Ïðè âûџèñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , A1 _n ,A2 _n Йñïîëüçóåì ôîðìóëЩ, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (УН. ЖПТНХМЩ (1) — (6) Ч рТЙМПЦЕОЙЙ 1).

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B1 ₀ , A1 _n Й A2 _n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:

рПЬФПНХ ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäàџè ЧОЕ ЛТХЗБ èìååò âèä:

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЧЙДЕ:

4.7. пвэее ртедуфбчмеойе теыеойс ч чйде тсдб дмс лтхзб

тЕЫЕОЙЕ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

фПЗДБ ТЕЫЕОЙЕ ЧОХФТЙ ЛТХЗБ РТЙНЕФ ЧЙД:

тЕЫЕОЙЕ ЧОЕ ЛТХЗБ ЙНЕЕФ ЧЙД:

фПЗДБ ТЕЫЕОЙЕ ЧОЕ ЛТХЗБ РТЙНЕФ ЧЙД:

рТЕДУФБЧМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС Ч ЧЙДЕ ТСДБ:

тЕЫЕОЙЕ НПЦОП ФБЛЦЕ РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЧЙДЕ:

5. ретчбс лтбечбс ъбдбюб дмс хтбчоеойс мбрмбуб ч лпмшге

5.1. рпуфбопчлб ретчпк лтбечпк ъбдбюй дмс хтбчоеойс мбрмбуб ч лпмшге

Ðàññìîòðèì ïåðâóþ êðàåâóþ çàäàџó äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â êПМШГЕ (Ч ЬФПН РХОЛФЕ СЮЕКЛЙ ЧЩЧПДБ, Ч ПУОПЧОПН, ПРХЭЕОЩ).

Ýòî çíàџèò, џòî íåîáõîäèìî íàéòè ôóíêöèþ u, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò â êîëüöå óðàâíåíèþ Ëàïëàñà:

è ãðàíèџíûì óñëîâèÿì íà ãðàíèöàõ Σ ₁ è Σ ₂ êîëüöБ:

ЗДЕ f ₁ è f ₂ — çàäàííûå íà ãðàíèöå ôóíêöèè, Σ ₁ è Σ ₂ — ПЛТХЦОПУФЙ ТБДЙХУПЧ R ₁ è R ₂ УППФЧЕФУФЧЕООП.

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙС ДЧХНЕТОПЗП ХТБЧОЕОЙС мБРМБУБ Ч РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ ( ), ОБКДЕООПЕ НЕФПДПН ТБЪДЕМЕОЙС РЕТЕНЕООЩИ Ч ТБЪДЕМЕ «чЧЕДЕОЙЕ», ЙНЕЕФ ЧЙД:

Ïðè ýòîì ãðàíèџíûå óñëîâèÿ ôîðìóëèðóþòñÿ â âèäå:

1) Çíàџåíèå ôóíêöèè u íà âíóòðåííåé ãðàíèöå êðóãà ðàâíî:

2) Çíàџåíèå ôóíêöèè u íà âíåøíåé ãðàíèöå ЛПМШГБ ðàâíî:

Èç ñèììåòðèè çàäàџè ñëåäóåò òàêæå óñëîâèå ïåðèîäèџíîñòè ôóíêöèè u(r,φ) ïî ХЗМПЧПК РЕТЕНЕООПК .

ПФЛХДБ îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ЙНЕЕФ âèä:

5.2. хюеф зтбойюощи хумпчйк ч лпмшге

Òåïåðü óџòåì íàëîæåííûå íà ôóíêöèþ u(r,φ) ãðàíèџíûå óñëîâèÿ, ЛПФПТЩЕ ìîæíî çàïèñàòü Ч ЧЙДЕ:

ÝòЙ ñîîòíîøåíèС ïîçâîëÿАò îïðåäåëèòü çíàџåíèÿ ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , B2 ₀ ,C1 _n ,C2 _n ,C3 _n ,C4 _n . Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîëóџåííûå ñîîòíîøåíèÿ ïåðâûé ðàç íà sin(k φ), à âòîðîé ðàç íà cos(k φ) è çàìåíèì ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ:

5.3. чщюйумеойе рпуфпсоощи ч лпмшге

Ïðè âûџèñëåíèèè ïîñòîÿííûõ B1 ₀ , B2 ₀ ,C1 _n ,C2 _n ,C3 _n ,C4 _n Йñïîëüçóåì ôîðìóëЩ, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ) (УН. ЖПТНХМЩ (1) — (6) Ч рТЙМПЦЕОЙЙ 1).

îòêóäà ïðè k = n èìååì:

 ðåçóëüòàòå, ïîñòîÿííûå B1 ₀ , B2 ₀ ,C1 _n ,C2 _n ,C3 _n ,C4 _n ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî:

рПЬФПНХ ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäàџè ЪБРЙУЩЧБЕФУС:

5.4. йофезтбмшопе ртедуфбчмеойе теыеойс ч лпмшге

рПМХЮЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ НПЦОП РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЙОФЕЗТБМШОПК ЖПТНЕ. дМС ЬФПЗП ЧЩРПМОЙН РðåîáðàçПЧБОЙЕ ñ óџåòîì ñîîòíîøåíèé:

Íàêîíåö, îïðåäåëÿÿ ôóíêöèè

РПМХЮБЕН ТЕЫЕОЙЕ ЙОФЕЗТБМШОПК ЖПТНЕ:

ртймпцеойе 1

жîðìóëЩ, êîòîðûå îòðàæàþò ñâîéñòâà îðòîíîðìèðîâàííîñòè ñèñòåì ôóíêöèé sin(k φ) è cos(k φ).

мйфетбфхтб

1. б.ч. фЙИПОЕОЛП. лПНРШАФЕТОЩЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ РБЛЕФЩ Ч ЛХТУЕ ПВЭЕК ЖЙЪЙЛЙ. — пВОЙОУЛ: йбфь, 2003.

2. б.о.фЙИПОПЧ, б.б.уБНБТУЛЙК. хТБЧОЕОЙС НБФЕНБФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЙ. — н.: йЪД-ЧП нзх, 1999.

3. вн. вХДБЛ, б.б. уБНБТУЛЙК, б.о. фЙИПОПЧ. уВПТОЙЛ ЪБДБЮ РП НБФЕНБФЙЮЕУЛПК ЖЙЪЙЛЕ. — н.: жЙЪНБФМЙФ. 2004.