Краевые задачи для уравнения Лапласа
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Ноября 2011 в 18:30, курсовая работа
Краткое описание
Рассмотрение понятия краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Как частный случай — уравнение Лапласа (простейшее уравнение эллиптического типа). Для уравнения Лапласа краевая задача I рода — задача Дирихле; краевая задача II рода — задача Неймана. Краевое условие III рода — смешанная краевая задача. Рассматриваются также задача Дирихле в пространств/на плоскости, решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Неймана (второй краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Дирихле для кольца.
Содержание
Введение
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
Корректность краевой задачи.
Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
Задача Дирихле в пространстве
Задача Дирихле на плоскости
Задача Неймана
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Примеры.
Решение задачи Дирихле для кольца.
Вложенные файлы: 1 файл
Понятие краевой з.doc
ПЕНЗЕНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ В. Г. БЕЛИНСКОГО
Кафедра «Математического анализа»
«Краевые задачи для уравнения Лапласа»
- Введение
- Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
- Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
- Корректность краевой задачи.
- Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
- Задача Дирихле в пространстве
- Задача Дирихле на плоскости
- Задача Неймана
- Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
- Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
- Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
- Примеры.
- Решение задачи Дирихле для кольца.
Уравнениями математической физики называются уравнения, описывающие математические модели физических явлений. Среди них процессы, изучаемые в теории упругости, гидродинамике, электродинамике, квантовой физике и т. д. Во многих случаях их изучение приводит к уравнениям с частными производными второго порядка.
Дифференциальным уравнением с частными производными (в частных производных) называется уравнение, связывающее функцию , независимые переменные и частные производные от функции , то есть соотношение
где известная функция и .
При этом предполагается, что в области, где рассматривается данное уравнение, функция имеет частные производные порядка
Порядок старшей из частных производных, входящих в уравнение (1), называется порядком этого уравнения. Например, уравнение второго порядка для функции, имеющей непрерывные частные производные второго порядка, в общем случае может быть записано в виде
Уравнение (1) называется линейным, если данное уравнение линейно относительно этой функции и ее производных.
Решением уравнения (1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в указанное уравнение, обращает его в тождество по всем переменным.
Для полного описания физических процессов помимо уравнений необходимо указать некоторые дополнительные условия. В частности, может быть задана картина процесса в фиксированный момент времени, т.е. начальные условия. Кроме того, задают значения изучаемых величин на границе рассматриваемой области – граничные (или краевые) условия. Дифференциальное уравнение вместе с соответствующими краевыми (и начальными) условиями называется краевой задачей математической физики.
К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.
- Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:
Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.
Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.
В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид
и уравнение Лапласа
Исключительную роль в математической физике играет уравнение Лапласа
Для уравнения Лапласа обычно считают, что необходимо найти функцию , удовлетворяющую этому уравнению внутри некоторой области , ограниченной поверхностью (кривой) , или вне этой области. Если при этом функция должна удовлетворять краевому условию
то говорят, что необходимо решить соответственно внутреннюю или внешнюю задачу Дирихле.
Если краевые условия имеют вид
где есть производная по внешней нормали к границе области , то говорят, что требуется решить задачу Неймана (внутреннюю или внешнюю).
Если краевые условия записываются в форме
то это – третья краевая задача для уравнения Лапласа.
Здесь M текущая точка границы ; , заданные функции.
Если какая-то из последних трех функций тождественно равна нулю, то соответствующее условие называется однородным.
Для уравнения теплопроводности и волнового уравнения во многих случаях приходится решать так называемую смешанную задачу, то есть задачу с начальными и граничными условиями. Если при этом на границе пространственной (плоской) области задано значение искомой функции, то говорят, что поставлена первая смешанная задача.
Если в качестве краевого условия задано значение производной от искомой функции в направлении внешней нормали к границе, то говорят, что решается вторая смешанная задача. Если задана линейная зависимость между значениями функции на границе и ее производной по нормали, то это – третья смешанная задача.
Описание многих физических явлений требует использования интегральных уравнений. Они появляются также при изучении свойств уравнений с частными производными.
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа.
Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связано с не единственностью решения
дифференциальных уравнений. Действительно, даже для обыкновенных д. у. n-го порядка общее решение зависит от n-произвольных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения в классе функций, зависящих от переменных и , имеет вид , где — произвольная функция класса . Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия. Соответствующая задача называется краевой задачей.
Краевые условия (граничные условия)— условия, которым должно удовлетворять искомое решение заданного дифференциального уравнения на границе (или ее части) области, где это решение ищется.
Краевые условия обычно задаются с помощью дифференциальных операторов, однако встречаются краевые условия и других типов.
Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:
- Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область совпадает со всем пространством , граничные условия отсутствуют.
- Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе , начальные условия, естественно, отсутствуют.
- Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные и граничные условия, .
— область, где происходит процесс, — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Таким образом, есть область изменения аргументов в уравнении, описывающем стационарный процесс – область задания уравнения.
Уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационарных процессов. Время t в эти уравнения не входит, и обе независимые переменные являются
координатами точки. Для задач такого типа ставятся только краевые условия, т. е.
указывается поведение неизвестной функции на контуре области. Для эллиптического уравнения характерно то, что краевые условия задаются на всей границе. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа.
Уравнение Лапласа является основным представителем дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка эллиптического типа, на котором вырабатывались и вырабатываются основные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.
– уравнение Лапласа для случая функций двух независимых переменных.
–уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными, называют оператор Лапласа или лапласиан.
Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях.
Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение температуры в теле.
Действительно, если температура не зависит от времени t, то и
уравнение теплопроводности , где — коэффициент
теплопроводности, сводится к уравнению Лапласа.
Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представление функции как температуры очень удобно и наглядно.
ТЕМА: Уравнения эллиптического типа
ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ
1 Теоретические обоснования уравнений эллиптического типа………………. 4
1.1. Задачи приводящие к уравнению Лапласа………………. 5
1.2. Уравнение Шредингера и его стационарный аналог. 9
1.3. Уравнение Гельмгольца……………………………………………. ……10
2 Примеры решения задач на уравнения эллиптического типа……………………12
Список использованных источников……………………………………………. …16
В курсовой работе будут рассмотрены уравнения эллиптического типа.
Актуальность исследования заключается в том, что благодаря данному типу уравнений можно описать стационарные процессы, проходящие в различных физических полях. Например, с помощью уравнения Пуассона можно описать электростатическое поле, поле давления [1].
Исследование затронет следующие проблемы: применение уравнений эллиптического типа на практике и способы их решения.
Целью исследования является: изучение вопроса, касающегося применения уравнений эллиптического типа на практике.
Основными задачами, поставленными для достижения цели можно считать:
— ознакомиться с положениями, характеризующими уравнения эллиптического типа;
— выявить основные уравнения, относящиеся к данному типу;
— освоить навык решения задач, используя данные уравнения;
— показать специфику проблем, которые могут возникнуть на этапах решения.
Объектом исследования заданной темы являются дифференциальные уравнения в частных производных.
Предметом исследования выступают уравнения эллиптического типа.
Теоретической и методологической основой исследования послужили труды отечественных и зарубежных деятелей, методические пособия по дисциплине «методы математической физики».
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Помимо физических явлений, развивающихся в пространстве и во времени, существует множество процессов, которые не изменяются с течением времени. Эти процессы называются стационарными. При исследовании данных процессов, различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Примерами могут выступать:
1. Уравнения Лапласа и Пуассона, описывают различные стационарные физические поля.
2. Стационарный аналог уравнения Шредингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
3. Уравнение Гельмгольца.
4. Уравнения, получаемые из уравнения Максвелла, если предполагается, что электромагнитное поле не изменяется с течением времени [1].
Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа
.
Этим уравнением характеризуется гравитационный и электростатический потенциалы в точках свободного пространства, оно описывает потенциал скорости безвихревого потока несжимаемой жидкости, и оно же справедливо для температуры однородной изотропной среды при установившемся движении тепла.
Функция 
называется гармонической в области 
, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяют уравнению Лапласа.
При изучении свойств гармонических функций были разработанные различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениями гиперболического и параболического типов [1].
1.1. ЗАДАЧИ ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач.
Рассматривается стационарное тепловое поле. Температура нестационарного теплового может быть представлена дифференциальным уравнением теплопроводности
Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры 
, не меняющееся с течением времени и, следовательно, удовлетворяющее уравнению Лапласа
 | (1) |
При наличии источников тепла получается уравнение
 | (2) |
где 
– плотность тепловых источников, а 
– коэффициент теплопроводности. Неоднородное уравнение Лапласа (2) часто называют уравнением Пуассона.
Рассматривается некоторый объем 
, ограниченный поверхностью 
. Задача о стационарном распределении температуры внутри тела 
формулируется следующим образом:
Найти функцию 
, удовлетворяющую внутри Т уравнению
 , | (3) |
и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:
I. 
на 
(первая краевая задача);
II. 
на 
(вторая краевая задача);
III. 
на 
(третья краевая задача).
где 
, 
, 
, 
— заданные функции, 
– производная по внешней нормали к поверхности
Первую краевую задачу называют для уравнений Лапласа часто называют задачей Дирехле, а вторую задачу – задачей Неймана.
Если ищется решение в области 
, внутренней (или внешней) по отношению к поверхности 
, то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) краевой задачей [3].
2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля.
В качестве второго примера будет рассмотрено потенциальное течение жидкости без источников. Пусть внутри некоторого объема 
с границей 
имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность 
), характеризуемое скоростью 
. Если течение жидкости не вихревое, то скорость 
является потенциальным вектором, т.е
 | (4) |
где 
– скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если отсутствуют источники, то
 . | (5) |
При подстановке сюда выражения (3) для υ, выходит:
,
 , | (6) |
то есть потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пусть в однородной проводящей среде имеется стационарный ток с объемной плотностью 
. Если в среде нет объемных источников тока, то
 . | (7) |
Электрическое поле 
определяется через плотность тока из дифференциального закона Ома
 | (8) |
где 
– проводимость среды.
Поскольку процесс стационарный, то электрическое поле является безвихревым или потенциальным, т.е. существует такая скалярная функция 
для которой
  ). | (9) |
Отсюда на основании формул (6) и (7) заключается, что
| , | (10) |
т.е. потенциал электрического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа.
Рассматривается электрическое поле стационарных зарядов. Из стационарности процесса следует, что
 , | (11) |
т.е. поле является потенциальным и
 . |
Пусть 
– объемная плотность заряда, имеющихся в среде, характеризуемой диэлектрической постоянной 
.
Исходя из основного закона электродинамики
 | (12) |
где – некоторый объем, 
– поверхность, его ограничивающая, где 
– сумма всех зарядов внутри , и пользуясь теоремой Отроградского
 | (13) |
.
При подстановке сюда выражение (8) для 
, выходит:
 , | (14) |
т.е. электростатический потенциал 
удовлетворяет уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет 
, то потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа
Нами был рассмотрен ряд процессов. Основные краевые задачи для которых относятся к трем типам, приведенным выше [1].
1.2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И ЕГО СТАЦИОНАРНЫЙ АНАЛОГ
В квантовой механике состояние частицы описывается волновой функцией 
, квадрат модуля которой имеет смысл плотности вероятности найти частицу в окрестности данной точки 
в момент времени 
[2]. Волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера
где 
— постоянная Планка. Оператор Гамильтона 
для движения частицы в поле 
имеет вид
Уравнение Шредингера является уравнением в частных производных второго порядка по координатам, но первого порядка по времени. В отличие от волнового уравнения, чтобы выделить частное решение из общего, надо задавать при 
одно начальное условие, а не два.
Если искать решение в виде стационарных состояний 
, имеющих определенную энергию 
, то время можно исключить и получить стационарное уравнение Шредингера
 | (15) |
Требуется найти не только решение 
, но и такие значения энергии , при которых эти решения удовлетворяют граничным условиям. Такая постановка называется спектральной задачей [3].
1.3 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, получаемое из уравнение Максвелла, если предполагается, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Может быть представлено как
где 
– это оператор Лапласа, а неизвестная функция 
определена в 
(на практике уравнение Гельмгольца применяется для 
).
В уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Для примера рассматривается волновое уравнение:
 | (16) |
Пусть функции 
и 
допускают разделение переменных: 
, и пусть 
. Нужно заметить, что в пространстве Фурье – преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель 
. Таким образом, уравнение приводится к виду:
 | (17) |
где 
= 
— это квадрат модуля волнового вектора.
Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса 
в полярных координатах 
уравнение принимает вид:
 | (18) |
Метод разделения переменных позволяет перейти к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от 
:
 | (19) |
 | (20) |
а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:
 | (21) |
Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции 
, где 
– i-корень функции Бесселя λ-го порядка [4].
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
В отличие от смешанных задач, для эллиптических уравнений ставится только краевая задача
где 
– внешняя нормаль к границе области 
.
При этом, если 
, задача называется задачей Дирихле, если 
, задачей Неймана, если 
то задача называется смешанной.
Задачи буду решаться в полярных или сферических координатах. Заданные краевые условия произвольные, неоднородные. Однородные краевые условия для нахождения собственных функций возникают из-за того, что области имеют специальный вид, а потому решение должно иметь период 
, а в случае 
прибавляются условия 
(уравнение Лапласа в новых координатах при этом имеет особенность). [5].
Предлагаю рассмотреть метод нахождения решения уравнения Лапласа в круге, то есть метод нахождения функции 
, удовлетворяющий уравнению Лапласа внутри круга радиусом 
c центром в полюсе полярной системы координат и граничному условию на окружности
где 
– заданная функция, непрерывная на окружности.
Задача № 1. Решить краевую задачу для уравнения 
в круге 
, если на границе круга 
φ.
Решение: Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид
 | (22) |
1. Частное решение уравнения в соответствии с методом Фурье ищется в виде
причем 
и 
периодическая с периодом 
При подстановке 
в уравнение (22) и разделяя переменные, выходит
Поэтому функции 
и являются решениями связанных задач:
a) 
b) 
2. Решается задача 
Общее решение уравнения 
имеет вид
 | (23) |
где 
и 
– константы.
Это решение периодично при 
и имеет период 
при
Если 
Если 
3. Решается задача 
Если 
Общее решение этого уравнения
Так как 
Если 
, 
Общее решение этого уравнения
Так как 
4. Вспомогательные решения имеют вид:
5. Тогда решение исходной задачи ищется в виде
6. При использовании граничного условия 
sin3φ,
получается 
sin3φ. Отсюда
В результате
Ответ:
Задача № 2. Решить краевую задачу 
Решение: Проводятся преобразования, аналогичные предыдущей задачи до момента нахождения коэффициентов 
.
Нужно представить граничное условие в виде
Следовательно, 
Далее предлагаю рассмотреть примеры решения краевых задач уравнения Гельмгольца.
Задача № 3. Решить краевую задачу для уравнения Гельмгольца в круге
(здесь 
, где 
– собственное значение однородной задачи Дирехле для уравнения 
).
Решение: Используя метод разделения переменных (метод Фурье). Полагая, 
и подставляя предполагаемую форму решения в Уравнении Гельмгольца, получается
где – постоянная разделения.
Собственные значения и собственные функции определяются как решения данной задачи:
Выходит 
то для определения 
получается уравнение
 | (24) |
Обозначив 
, переписывается уравнение (24) в виде
Это уравнение Бесселя порядка . Его общее решение есть
где 
– функция Бесселя первого рода порядка 
– функция Бесселя второго рода порядка 
– произвольные постоянные.
Значит, решение уравнения (1) имеет вид
Поскольку 
и имеется дело с ограниченными решениями, то полагаем 
Таким образом, 
. Решение нашей задачи представляется рядом
 | (25) |
Постоянные 
находятся из граничного условия. Полагая в (25) 
, получаем
В частности, при 
выходит
и в этом случае решение имеет вид
В проделанной нами работе, мы акцентировали внимание на такой теме как «Уравнения эллиптического типа». В ходе нашего исследования мы сумели выполнить поставленные перед нами задачи, что повлекло за собой достижение цели работы. Изучив теоретические материалы, мы разобрались с основными уравнениями, научились выводить их и применять в решениях задач. Были обозначены проблемы и пути их решения. В качестве примера выступили три задачи, требующие решение эллиптического уравнения.
Материалом данного исследования выступали труды советских и российских деятелей, содержащие в себе подробную информацию, касающуюся нашей проблемы.
В ходе выполнения данной работы появилась возможность оценить важность заданной темы в современной науке, определить основные задачи, которые можно решать с помощью уравнений эллиптического типа.
Подводя итог, хочется отметить, что изучение данного вопроса способствовала возникновению большого интереса, что позволило с энтузиазмом продолжать с ознакомлением трудов знаменитых авторов для дальнейшего анализа и использования в работе.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математической физики М., издательство «наука», 1977. – 735 с.
2. Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика,
М., Изд. 4е, «Наука», 1989. – 767 с.
3. Д.А. Шапиро, Конспект лекций по методам математической физики ч.1, кафедра теоретической физики НГУ, 2004. – 123 с.
4. В. С. Владимиров, В. В. Жаринов, Уравнения математической физики. — М.: «Физматлит», 2004. – 400 с.
5. С.И. Колесникова, Методы решения основных задач уравнений математической физики, М., МФТИ, 2015. – 80 с.
Постановка задачи для уравнения эллиптического типа
Классическим примером уравнения эллиптического типа является уравнение Пуассона
или уравнение Лапласа, 
0,
которое получается из уравнения Пуассона при f(x, t) º 0.
Здесь функция u(x, t) может иметь различный физический смысл, например, описывать стационарное, независящее от времени распределение температуры, скорость потенциального (безвихревого) течения идеальной (без трения и теплопроводности) жидкости, распределение напряжённостей электрического и магнитного полей, распределение потенциала поля тяготения и т.п.
Первая краевая задача. Если на границе Г расчётной области 
= 
+ Г (в данном случае расчётная область 
– это сама область 
, включая её границу Г) задана искомая функция, то соответствующая первая краевая задача для уравнения Лапласа или Пуассона называется задачей Дирихле:
Вторая краевая задача. Если на границе Г расчётной области задаётся нормальная производная искомой функции, то соответствующая вторая краевая задача называется задачей Неймана для уравнения Лапласа или Пуассона:
здесь n — направление внешней к границе Г нормали.
Иногда краевое условие (37) записывают в более удобном виде:
где 
— направляющие косинусы внешнего вектора единичной нормали к границе Г, i и j орты базисных векторов.
Третья краевая задача для уравнения Пуассона (Лапласа) имеет вид:
Замечание. Следует отметить, что в вышеперечисленных постановках задач математической физики число начальных условий равно порядку дифференциального уравнения по времени, а старший порядок производной по времени в начальных условиях на единицу меньше порядка дифференциального уравнения по времени.
Старший порядок производной по пространственной переменной в краевых условиях равен порядку дифференциального уравнения по пространственной переменной минус единица.
В одномерных задачах с одной пространственной переменной количество граничных условий точно равно порядку дифференциального уравнения по пространственной переменной.
Количество краевых условий для многомерных задач не ограничено, поскольку на разных участках границы могут быть заданы граничные условия различного рода.
Заключение (план — аннотация лекции №27).
Лекция 27 посвящена введению в приближённые методы решения дифференциальных уравнений с частными производными.
Отмечено, что при математическом анализе физических процессов, когда исследуемые свойства объекта описываются функциями не одной, а несколькими переменными, то при составлении математических моделей изучаемых явлений вместо обыкновенных дифференциальных уравнений возникают уравнения с частными производными.
В качестве примеров уравнений математической физики, наиболее востребованных на практике, рассмотрены уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение теплопроводности (Фурье), волновое уравнение, уравнение Гельмгольца, телеграфное уравнение, уравнение переноса, уравнение акустики.
Приведена классификация уравнений с частными производными второго порядка, в основу которой положен анализ знака дискриминанта обобщённого уравнения второго порядка с частными производными.
Дана классификация методов решения уравнений с частными производными.
Обсуждаются подходы к постановке задач для уравнений математической физики. При этом корректность постановки задач связываемая с требованиями разрешимости; однозначности; непрерывной зависимости от исходных данных (иначе, устойчивости).
Рассмотрены примеры постановки задач для уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типов.
1. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Т. 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 620 с.
2. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.
3. В.Ф. Формалёв, Д.Л. Ревизников. Численные методы. – М.: Физматлит, 2004. 400 с.
4. Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. Численные методы анализа.
– М.: Наука, 1967. – 368 с.
5. Н.В. Копчёнова, И.А. Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 368 с.
http://poisk-ru.ru/s18178t18.html
http://helpiks.org/5-23016.html