Лекция 3. Метод Фурье
Метод Фурье — один из распространенных и эффективных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод часто встречается и под другими названиями: метод разделения переменных или метод собственных функций.
Общая схема метода Фурье.
Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
При применении метода Фурье удобно использовать следующую лемму.
Основная лемма метода Фурье.
Если в прямоугольнике R плоскости XOY:
для некоторых функций выполняется тождество
то в этом случае
Доказательство. Предположим противное, т.е. что
Тогда существуют значения такие, что
Рассмотрим точки (x1,y) и (x2,y), принадлежащие прямоугольнику R. На R справедливо тождество (8), а поэтому
Сравнивая эти равенства, приходим к противоречию с нашим предположением. Следовательно X(x) = const, а тогда Y(y)=const.
Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.
Рассмотрим волновое уравнение
Граничные условия первого рода
И начальные условия
Решим эту задачу методом Фурье.
Шаг 1. Представим функцию U(x,t) в виде
Найдем частные производные Uxx и Utt и подставим в уравнение (9):
В полученном уравнении левая часть зависит только от x, а правая- только от t. Используя основную лемму, заключаем:
Из граничных условий (10) получим
Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля
Она имеет собственные значения и собственные функции
Шаг 3. Подставим найденные значения λn в уравнение а) и решим его:
Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (9):
Для волнового уравнения эти решения называются собственными колебаниями. В лекции 6 мы изучим их подробнее. В силу линейности и однородности уравнения (9) линейная комбинация этих решений
Замечание 1. Здесь мы предполагаем, что полученный функциональный ряд равномерно сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и по t в области 0 0. Об условиях, при которых это можно сделать, будет рассказано в лекции 5.
Шаг 5. Определим коэффициенты Anи Bn в формуле (12), используя начальные условия (11). Из первого начального условия получим
Равенство (13) означает, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями Xn(x) задачи Штурма-Лиувилля.
Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам
Из второго начального условия находятся коэффициенты Bn.
Вычислив коэффициенты An и Bn для конкретных начальных функций и подставив их значения в (12), мы получим решение первой начально-краевой задачи.
Замечание 2. Используя формулу (12), можно получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения колебания струны: Для этого проведем замену переменной τ=at и получим
При этом начальное условие не изменится, а условие преобразуется к виду Тогда решение задачи в переменных (x,τ) будет иметь вид
Возвращаясь к переменным (x,t), получим
Решение начально-граничных задач для волнового уравнения методом интегральных преобразований Фурье Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Фахретдинова Дилара Ильдаровна, Сабитова Юлия Камилевна
В данной статье решены начально-граничные задачи для однородного и неоднородного волновых уравнений, методом интегральных преобразований Фурье .
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Фахретдинова Дилара Ильдаровна, Сабитова Юлия Камилевна
SOLUTION OF THE INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE WAVE EQUATION FOURIER INTEGRAL METHOD
This article addressed the initial-boundary value problems for homogeneous and inhomogeneous wave equation, the Fourier integral method .
Текст научной работы на тему «Решение начально-граничных задач для волнового уравнения методом интегральных преобразований Фурье»
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Фахретдинова Дилара Ильдаровна
студент 4 курса Стерлитамакского филиала Башкирского Государственного
Университета, РФ, г. Стерлитамак E-mail: dilaragirl09@bk. ru Сабитова Юлия Камилевна канд. физ.-мат. наук, доцент Стерлитамакского филиала Башкирского Государственного Университета, РФ, г. Стерлитамак
SOLUTION OF THE INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE WAVE EQUATION FOURIER INTEGRAL METHOD
4th year student of Sterlitamak Branch the Bashkir State University, Russia,
Sterlitamak Julia Sabitova
candidate of physico-mathematical sciences, associate professor of Sterlitamak Branch the Bashkir State University, Russia, Sterlitamak
В данной статье решены начально-граничные задачи для однородного и неоднородного волновых уравнений, методом интегральных преобразований Фурье.
This article addressed the initial-boundary value problems for homogeneous and inhomogeneous wave equation, the Fourier integral method.
Ключевые слова: методом интегральных преобразований Фурье; начально-граничная задача; преобразование Фурье.
Keywords: Fourier integral method; initial-boundary problem; Fourier transform.
Если функция f(x), —го ) 0,
для определения функции йс(Я, £). Решение этой задачи имеет вид
йс(Я, £) = /С(Я) cos(аЯt) + £С(Я)—
Искомую функцию и(х, £) находим с помощью обратного косинус — преобразования Фурье:
http://cyberleninka.ru/article/n/reshenie-nachalno-granichnyh-zadach-dlya-volnovogo-uravneniya-metodom-integralnyh-preobrazovaniy-furie