План конспект на тему квадратные уравнения

План-конспект открытого урока по алгебре на тему «Квадратное уравнение» (8 класс)

Просмотр содержимого документа
«План-конспект открытого урока по алгебре на тему «Квадратное уравнение» (8 класс)»

План открытого урока

Подготовил: Рабаданов Халик Курбанович

МБОУ «Кункинская СОШ им. Г. Курбанова»

Конспект урока в 8 классе:

Дата проведения. 14.04.2019 г

Тема. Квадратное уравнение.

Тип урока. Урок изучения нового.

Цели урока. Организовать коллективный способ изучения нового материала, повторение формул сокращенного умножения, работу с учебником. Сформулировать определение квадратного уравнения; доказать теорему о корнях уравнения х 2 = d.

В результате ученик

— какие учебные задачи стоят перед ним при изучении темы,

— определение квадратного уравнения,

— название коэффициентов квадратного уравнения:

— из предложенных уравнений выбирать квадратные,

— определение квадратного уравнения,

— составлять квадратное уравнение, если заданы коэффициенты:

— необходимость изучения темы «Квадратные уравнения»

I. Мотивационная часть:

— мотивация, постановка учебной задачи.

II. Познавательная часть:

— решение учебной задачи (цели урока).

— подведение итогов урока,

— выдача домашнего задания.

«Уравнение — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
С. Коваль.

Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся.

— Каков общий вид линейного уравнения? (ах + с = 0)

— Как называются числа а и с, какие значения они могут принимать? ( Это коэффициенты уравнения, они могут быть любыми, кроме случая, когда

— Дайте определение корня уравнения. (Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство)

— А что значит решить уравнение? ( Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет)

— При изучении каких предметов вам приходилось составлять и решать уравнение? (При изучении физики, химии, геометрии)

— Какую тему я просила вас повторить? (Разложение квадратного трехчлена на множители)

— Чему вы научились за время изучения этой темы, покажут задания, которые я предлагаю вам решить:

( открыть створку доски)

1.1) Решите уравнения (устно):

а) х 2 =36; б) х 2 -144=0; в) х 2 +25=0; г) х 2 — 1= 15; д) (х+5) 2 =0.

1.2) Разложите на множители способом группировки:

х 2 – 12х + 20 = х 2 – 10х — 2х + 20 = х (х – 10) – 2(х – 10) = (х – 10) (х – 2)

2.1 Ребятам предлагается решить задачу №1 в учебнике. Читаем задачу. Учащимся предлагается сформулировать алгоритм решение такого типа задач. На доске ученик записывает решение.

Если х см – это высота прямоугольника, то (х + 10) см — основание

х (х + 10) см 2 – площадь прямоугольника, она равна 24 см 2 . Следовательно

х 2 + 10х – 24 = 0 Разложим левую часть на множители способом группировки

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = (х 2 + 12х) – (2х + 24) =

х (х + 12) — 2 (х + 12) = (х + 12) (х – 2)

х – 2 = 0 или х + 12 = 0

х₁ = 2, х₂ = — 12. Так как длина отрезка не может быть отрицательным числом, то высота прямоугольника равна 2 см.

Учитель обращает внимание, что при решении этой задачи было получено уравнение х 2 + 10х – 24 = 0

Что мы имеем в левой части? (Квадратный трехчлен)

Как вы думаете называется уравнение х 2 + 10х – 24 = 0? (Квадратным уравнением)

Значит тема сегодняшнего урока «Квадратные уравнения».

Мы должны дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные.

Учитель дает определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с – заданные числа, а ≠ 0.

Числа a,b,c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, b — вторым коэффициентом, а c-свободным членом.

2.2 Из истории квадратных уравнений. Презентация.

2.3 Решить уравнение х 2 = 64.

Теорема. Уравнение х 2 = d, где d 0? Имеет два корня х₁ = , х₂ = — .

х 2 – d = 0 Т.к d 0, то d = ( ) 2 .

х 2 — ( ) 2 = 0

(х — ) (х + ) = 0

х — = 0 или х + = 0

х₁ = х₂ = —

Если d = 0, то уравнение имеет один корень х = 0.

2.4 Закрепление изученного материала.

№403 (1, 3) №407 (устно)

№404 (1. 3) №408 (1,3,5)

№405 (1, 3) №409 (1,3,5)

(Устно) Какие из перечисленных уравнений являются квадратными?

а) 3х 2 – 17х + 14 = 0;

б) х 2 + 14 + 0;

в) – 7х 2 + 14 – 5х = 0;

д) – 17х + х 2 = 0;

е) 3х 3 – 17х + 14 = 0;

ж) 5х – 8 — 3х 2 = 0

2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:

а) а = 3, b = 7, с = 6;

б) а = 2; b = 0; с = 10;

в) а = 4; b = 1; с = 0

3. Приведите данные уравнения к виду ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

а) х 2 + 2х – 3 = 2х + 6;

б) х (х + 1) – 3 = х ( 2х – 4) + х 2 ;

в) х 2 = ( 3х – 2 ) 2

— Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятие квадратного уравнения)

— Какую цель мы поставили в начале урока?

( Дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по коэффициентам, выбирать среди уравнений квадратные)

— Решили мы ее? (Да)

— Так какое же уравнение называется квадратным? (Учащиеся отвечают)

Какую работу мы должны провести дальше с уравнениями нового класса?

(Научиться решать, исследовать вопрос о количестве корней уравнения, изучить свойства)

— Об этом мы поговорим на следующих уроках

Запишем домашнее задание.

Знать определение квадратного уравнения п.25

№403 (2; 4 ), 404 (2; 4 ), 405 (2; 4; 6 ), 408 (2; 4; 6 ), 409 (2; 4; 6 )

Для желающих доклады:

а) Исследования Декарта по решению алгебраических уравнений.

б) Диофант Александрийский.

в) Трактат «Китаб аль – джебр валь – мукабала» аль Хорезми. Приемы решений уравнений вида ах 2 = bх.

Конспект урока «Решение квадратных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

ТЕМА : Решение квадратных уравнений. (8 класс)

закрепление темы: «Квадратное уравнение»; создание условий для осознанного и уверенного владения навыком решения квадратных уравнений, рассмотрение различных способов решения квадратных уравнений.

Образовательные задачи урока :

закрепить знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, расширить и углубить представления учащихся о решении уравнений, организовать поисковую деятельность учащихся при решении квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие задачи урока:

• развивать математическое мышление, память, внимание;
• развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;
• развивать коммуникативные навыки через коллективный способ обучения; развивать навыки самостоятельной работы;
• развивать устную и письменную речь учащихся;
• привить любовь к предмету, желание познать новое.

Воспитательные задачи урока:

• воспитывать культуру умственного труда;
• воспитывать культуру коллективной работы;
• воспитывать информационную культуру;

• воспитывать потребность добиваться успехов в приобретении знаний; воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, развитие самостоятельности и творчества.

Индивидуальная, фронтальная работа, парная работа, групповая (коллективная) деятельность.

Урок закрепления изученного материала.

Компьютер, мультимедийная установка, презентация, карточки.

Структура урока:

I этап. Организационный момент.

II этап. Актуализация знаний учащихся

III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

IV этап. Самостоятельная работа, с последующей проверкой, в форме дидактической игры.

V этап. Физкультминутка

VI этап. Усвоение новых знаний. Формулирование и разрешение проблемной ситуации.

VII этап. Разноуровневая работа в группах.

VIII этап. Подведение итогов урока.

IX этап. Домашнее задание.

X этап. Рефлексия.

I этап. Организационный момент.

Содержание деятельности : приветствие, определение отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий, доски, мела и т.д.

Раскрытие общей цели урока.

Учитель. Здравствуйте! Садитесь. Ребята! Сегодня мы проведем урок обобщения, где еще раз вспомним о способах решения квадратных уравнениях и оценим свои знания.

Девизом нашего сегодняшнего урока станут слова Рене Декарта (презентация 1, слайд 2), прочтем все вместе:

«Для разыскания истины вещей — необходим метод».

Сегодня на уроке мы продолжим работу по закреплению и систематизации знаний, умений, навыков решения квадратных уравнений различными способами (слайд 3).

II этап. Актуализация знаний учащихся.

1) Фронтальная работа (презентация «Фронтальная работа »)

1)Когда уравнение ах² + bх + с = 0 называется квадратным?

2)Какой вид примет уравнение:

а) если b = 0, с = 0;

б) если b = 0, с ≠ 0;

в) если b ≠ 0, с = 0?

3) Имеют ли данные уравнения корни, если имеют, то сколько?

4) Как называются такие уравнения? Приведите примеры таких уравнений.

5) От чего зависит наличие корней уравнения ах² + bх + с = 0?

6)Формулы для нахождения корней уравнения ах² + bх + с = 0.

7)Найти корни уравнения 1978х²-1984х+6=0 наиболее рациональным способом.

8) Если в уравнении ах² + bх + с = 0, а = 1, то уравнение называется…?

9) Как можно найти корни этого уравнения, какую теорему можно употребить для нахождения корней?

10) Можно ли выполнить обратную операцию, зная корни — найти p и q?

2) Устная работа

Учитель. Перед вами 8 уравнений (слайд 4):

1. 3x 2 – 2x – 5= 0;
2. х 2 =5;
3. 7x 2 + 14x = 0;
4. х 2 + 5x + 4= 0;
5. х 2 + 4x +4 = 0;
6. х 2 – 4 =0;
7. 2x 2 – 11x +5 =0;
8. х 2 + 2x = x 2 + 6.

Я сейчас задаю вам вопросы по способам решения квадратных уравнений, а вам надо указать уравнение которое проще всего решить этим способом. Если ответ верный, то откроется буква, соответствующая номеру этого уравнения и мы узнаем имя математика, который занимался изучением уравнений.

1)Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки? №3 (Д)

2)Какое уравнение можно решить, методом выделения полного квадрата? №5 (И)

3) Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент? №1 (О)

4)Какое уравнение удобно решить по теореме Виета? №4 (Ф)

5)Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов на множители? №6 (А)

6)В каком уравнении надо применять общую формулу корней квадратного уравнения? №7 (Н)

7)Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней? №2 (Т)

Вы догадались, о ком идет речь? Да имя математика, который занимался изучением уравнений, их классификацией, способами решения – Диофант (слайд 5).

Диофант смекалку проявил

Много нового в науке открыл.

Он ввел обозначения неизвестной величины,

Чтобы его уравнения решать все могли.

А также знак равенства — как без него,

И методы решения алгебраического уравнения — заслуга его.

Если хочешь больше о Диофанте узнать,

Можно в Интернете, в энциклопедиях почитать.

3)Если класс работает в хорошем темпе, можно разгадать кроссворд

III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

1)Решение примеров (слайд 8)

1. x 2 + 4x – 12 = 0;
2. 3x 2 – 48 = 0;
3. 2a 2 – 5a + 2 = 0;
4. 4x 2 = 7;
5. –4x 2 – 4x + 15 = 0;
6. 5x 2 + 10x = 0.

1. «Выберите неполные квадратные уравнения и решите их».

2) 3х 2 – 48 = 0; 4) 4х 2 = 7; 6) 5х 2 + 10х = 0.

Учащиеся самостоятельно решают. После решения называются корни уравнений, и учащиеся комментируют выбранный способ решения.

2. «Выпишите приведённое квадратное уравнение и решите его».

1) х 2 + 4х – 12 = 0.

Выбранный способ решения аргументируется.

3. «Как называются оставшиеся в данном списке уравнения?»

Уравнения №4 и №6 анализируются и прорешиваются у доски.

2) Решение з адачи из китайского трактата «Математика в девяти книгах» (примерно II в. до н.э.) (слайд 9)

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?»

Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников BED и ABC (см. рис. на слайде 10) получим: k/0.5x=(k+x+l)/d.

Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х 2 +(k+l)-2kd=0.

В данном случае уравнение имеет вид х 2 +34х-71000=0, откуда х=25000 бу.

Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.

IV этап. Самостоятельная работа, с последующей проверкой, в форме дидактической игры.

Учащимся выдаются карточки с заданиями 2-х вариантов (см. приложение ) Для каждого последующего уравнения значение коэффициента «а» принимается равным большему корню предыдущего уравнения. Поэтому в четырех из них вместо этого коэффициента свободное окошко. После выполнения работы – самоконтроль выполненной работы

х 2 +3х -28 = 0 x 1 =-7, x 2 =4

4х 2 +16x+12=0 x 1 =-3, x 2 =-1

-1х 2 -x+2=0 x 1 =-2, x 2 =1

1х 2 +3x-4=0 x 1 =-4, x 2 =1

1х 2 -4x-12=0 x 1 =6, x 2 =-2

х 2 +4х -21 = 0 x 1 =-7, x 2 =3

3х 2 +6x-9=0 x 1 =1, x 2 =-3

1х 2 +6x-7=0 x 1 =-7, x 2 =1

1х 2 +10x+9=0 x 1 =-9, x 2 =-1

-1х 2 +7x-10=0 x 1 =5, x 2 =2

V этап. Физкультминутка

Гимнастика для глаз (презентация «Физкультминутка»)

На уроке мы сидим

И во все глаза глядим,

А глаза нам говорят,

Что они уже болят.

VI этап. Усвоение новых знаний. Формулирование и разрешение проблемной ситуации.

(Учащиеся работают в тетрадях).

Задание. Найдите значение выражения + , где х 1 и х 2 корни уравнения

Можете обсудить решение с соседом по парте. Сколько времени вам понадобится на выполнение этого задания?

(Можно предположить, что решения в тетрадях учащихся будут следующие записи:

На самом деле это задание можно решить намного рациональнее.

Теорему Виета мы применяли для приведенных квадратных уравнений, а это неприведенное.

А чем отличается приведенное квадратное уравнение от неприведенного? (У приведенного квадратного уравнения коэффициент «а» равен 1.)

Как это уравнение свести к приведенному? (Разделить обе части уравнения на 2.)

Запишем в тетрадях правильное решение.

Чтобы найти значение данного выражения, его надо преобразовать так, чтобы в него входила сумма корней и их произведение. Как это можно сделать?

Привести дроби к общему знаменателю.

+ = = =-3,5 , т.к. x 1 +x 2 =-3,5 x 1 *x 2 =1

Было неприведенное квадратное уравнение ах 2 + bх + c = 0, мы его свели к уравнению х 2 + х + = 0 и тогда получается, теорема Виета для любого квадратного уравнения звучит так:

Если x 1 , x 2 – корни уравнения ах 2 + bх + c = 0, то x 1 +x 2 =- x 1 *x 2 =

Аналогично, звучит и обратная теорема.

Закрепление изученного материала.

(Ученик работает у доски).

Задание. Найти , где х 1 и х 2 корни уравнения 3х 2 -5х -7 = 0.

1) Сведем это уравнение к приведенному.

х 2 — х — = 0

2) Запишем чему равна сумма и произведение корней

x 1 +x 2 = x 1 *x 2 =-

Это выражение надо записать в таком виде, чтобы в него входила сумма чисел x 1 +x 2 и произведение x 1 *x 2

= (x 1 +x 2 )² — 2 x 1 x 2

VII этап. Разноуровневая работа в группах.

Класс делится на группы. Группа получает карточку с заданиями (см. приложение ). Каждый член группы выполняет задание в своей тетради. На проверку берется одна тетрадь из группы. Все члены группы получают одинаковую оценку. Для того, чтобы учитель мог быстро осуществить проверку в каждой карточке закодировано ключевое слово

Конспект урока «Квадратные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

по алгебре в 8 классе

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА по алгебре 8 класс
« Квадратные уравнения»

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

Цели и задачи урока:

систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений .

формирование практических и теоретических умений и навыков по теме “Квадратные уравнения”;

способствовать развитию умения рассуждать, развитию познавательного интереса, умению видеть связь между математикой и окружающей жизнью;

формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

развивать эмоции учащихся через создание на уроке ситуаций эмоциональных переживаний;

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации;

Воспитывать интерес к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем нас мире;

воспитывать внимательность и культуру мышления, мобильность самостоятельность, взаимопомощь и умение общаться.

Тип урока: закрепление и расширение ранее полученных знаний.

Форма урока: практикум.

Сообщение цели и задач урока.

Актуализация знаний по теме «Квадратные уравнения».

4)Подготовка учащихся к работе на основном этапе.

5)Этап психологической разгрузки.

6)Закрепление умений и навыков по изучаемой теме.

7) Саморазвитие и конструирование полученных знаний по теме.

8)Подведение итогов урока и задание на дом.

1. Организационно-мотивационный момент.

Сегодня мы с вами продолжим читать главу «Квадратные уравнения». Покажем не только знания, но и свои умения, навыки решения примеров и задач по этой теме.

А, как вы думаете, какая тема сегодняшнего урока?

«Решение квадратных уравнений».

Из записанных на доске уравнений, выберете те уравнения, которые нужно исключить из данной группы и объясните почему. ( слайд №1 )

Квадратные уравнения применяются, так же для решения задач геометрии, физики. Эти уравнения занимают одно из главных мест в математике .( слайд №2 )

3. Актуализация знаний по теме «Квадратные уравнения».

Дайте определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax 2 + bx + c =0, где Х- неизвестное, коэффициенты a , b , c – некоторые числа ( a 0).( слайд №3 )

Как называются каждый из коэффициентов квадратного уравнения?

называется первым коэффициентом;

называется вторым коэффициентом;

— свободным членом.

А сейчас я предлагаю вам следующее задание.

Выпишите коэффициенты квадратных уравнений:

( Учащиеся заносят полученные результаты в таблицу)

На какие группы можно разбить полученные уравнения?

Полные и неполные уравнения.

Какие уравнения называются полными? Неполными?

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три коэффициента ; иными словами, это уравнение, у которого .( слайд№4 )

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, у которого присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. (слайд №5)

.На какие еще группы можно разбить данные уравнения?

Приведенные и неприведённые.

Какие уравнения называются приведёнными? Неприведёнными?

Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если его старший коэффициент отличен от 1.( слайд №6 )

Давайте вспомним как решаются неполные квадратные уравнения( слайд №7 )

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + bx =0.

Уравнение имеет 2 корня: x ₁ =0, x ₂ = —

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c =0. У равнение не имеет корней при c 0, и 2 корня x _1, =и x ₂ =- если c 0.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0.

уравнение имеет 1 корень: x =0.

4.Подготовка учащихся к работе на основном этапе.

Работа в группах

Молодцы, ребята! А сейчас переходим к работе в группах. Класс делится на 3 группы и решают задания

-На прошлом уроке мы по знакомились с решением полного квадратного уравнения. Давайте, вспомним, как найти решение полного квадратного уравнения. (слайд № 8 )

Привести квадратное уравнение к общему виду: аx 2 +вx+с=0.

Находим дискриминант D =в 2 -4*а*с .

Находим корни уравнения .

При — уравнение имеет 2 корня

При уравнение не имеет действительных корней.

Сейчас я диктую вам уравнения, вы пишите решение самостоятельно в тетрадь.

а) x 2 — 2 x +1=0, в) 16 x 2 +8 x +1=0.

б) -7 x 2 -3 x -5=0; г) 3 x 2 -3 x +2=0.

А какие способы решения квадратных уравнений вы еще знаете?

по формуле со вторым четным коэффициентом;

выделением квадрата двучлена;

по теореме Виета

5.Этап психологической разгрузки.

Учащимся предлагается закрыть глаза, представить, что нос стал как у Буратино и, обмакнув нос в чернильницу написать, слово « уравнение».

6.Закрепление умений и навыков по изучаемой теме.

Молодцы, ребята! Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения?( слайд №10,11 )

Квадратные уравнения появились очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, а Европа в 2002 г. отпраздновала 800летие квадратных уравнений, потому что именно в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид. А вот понятие дискриминант придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов. В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форм е. Вам уже известна задача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая
Сколько ж было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?

Сколько обезьян забавлялась на поляне ?

Восьмая часть в квадрате

Сколько обезьян прыгали по лианам ?

Что нужно узнать в задаче?

Сколько всего обезьян.

По мере ответа учеников на слайде появляется решение задачи. ( слайд №12 )

Для закрепления знаний осуществляется раздача тестов. Проверка теста осуществляется путем обмена между собой. Учитель диктует правильные ответы.