План-конспект открытого урока «Решение показательных уравнений»
Разделы: Математика
Образовательные:
- познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.
Развивающие:
- развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли
Воспитательные:
- воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки.
Тип урока: комбинированный.
Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.
С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.
2. Актуализация опорных знаний.
Устно:
- Какая функция называется показательной?
- Область значений показательной функции.
- Что называется корнем уравнения?
- Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4 х ?
- Сравнить числа 2,7 3 и 1.
- Что является графиком линейной функции?
- Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:
а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5 x , 4) у = x 3 .
3. Математический диктант.
Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).
1.а) является ли убывающей функция y =2 x .
б) является ли возрастающей функция y = (0,3) x .
2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?
3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?
4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a x = b не имеет корней.
5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2 x = 8,
б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3 x = 0,09.
4. Изложение нового материала.
Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.
Так как показательная функция а х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а х =в имеет корень при в >0. Именно к виду а х =в надо сводить более сложные уравнения.
“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.
1.Простейшие уравнения: (устно)
Приведение обеих частей к общему основанию:
Данное уравнение равносильно уравнению:
х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.
Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.
7 х + 7 х+2 = 350
7 х + 7 х 7 2 = 350
7 х (1+ 49) = 350
7 х =350:50
7 х = 7
х = 1
Ответ: х=1.
3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.
16 х – 174 х + 16 = 0
Пусть 4 х = t, где t , тогда уравнение примет вид:
t 2 — 17t + 16 = 0
Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:
Если t1 = 1, то 4 х = 1, 4 х = 4 0 , х1 = 0.
Если t1 = 16, то 4 х = 16, 4 х = 4 2 , х2 = 2
4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.
При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.
15 х + 20 х = 25 х
Корень данного уравнения равен 2.
Действительно, при подстановке получаем верное равенство:
15 2 + 20 2 = 25 2
Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:
+= 1
+= 1
Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.
5. Графический метод.
Решить уравнение: 4 х = 5-х
В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4 х и у = 5-х
Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций
Проверка: х = 1, 4 1 = 5-1, 4 = 4 (верно)
6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.
2 · 2 3 · 2 5 ·… ·2 2х-1 = 512
Рассмотрим арифметическую прогрессию (аn) из х членов, где аn = 2 n-1, а1 = 1:
Sn =х= х·х = х 2
9
х 2 = 9
х1 = 3
х2 = -3 ( (не удовлетворяет)
7.Однородные показательные уравнения второй степени.
6 ·4 х – 13 6 х + 6 ·9 х = 0
6 ·2 х – 13 ·2 х 3 х +6· 3 2х = 0
Так как 3 2х 0, то разделим обе части уравнения на 3 2х , тогда получим
–
6· ( 2х – 13· ( х + 6 = 0
Путь( х =t, тогда получим уравнение 6t 2 – 13t + 6 = 0
D = 13 2 -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25
t1 = , t2 =.
Если t1 = х = , х = () 1 , х1 = 1.
Если t2 = х = , х = () -1 , х2 = -1.
Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.
5. Закрепление изученного материала
М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).
И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.
На доске написаны 5 уравнений:
2.3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63
3.3 -х = —
4.64 х – 8 х –56 = 0
5.3 х +4 х = 5 х ( устно)
К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.
Так как 31, то
= 0
По теореме Виета получаем:
2. 3 х-1 — 3 х + 3 х+1 = 63
Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:
3 х 3 -1 – 3 х + 3 х 3 = 63
Выносим общий множитель за скобки:
3 х (
3 х
3 х =
3 х = 27
3 х = 3 3
х = 3
Ответ: х = 3.
3.3 -х = —
Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3 -х и у = –
4.64 х – 8 х – 56 = 0
(8 2 ) х – 8 х – 56 = 0 или
(8 х ) 2 – 8 х – 56 = 0
Введем новую переменную t = 8 х , тогда уравнение примет вид:
По теореме Виета:
t1+ t2 = 1
t1 t2 = – 56
t1 = 8, t2 = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)
Если t1 = 8, то 8 х = 8, 8 х = 8 1 , х = 1.
5.3 х + 4 х = 5 х (устно)
Итог урока. Выставление оценок.
Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Дома необходимо выполнить домашнюю контрольную работу. Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.
Домашняя контрольная работа.
I вариант
II вариант
Решите уравнения.
Решите уравнения.
- 5 2-3x = 1/25;
- 6 x+2 – 2•6 x = 34;
- 4•2 2x – 5•2 x +1 = 0;
- 5 2x+5 – 2 2x+10 + 3•5 2x+2 – 2 2x+8 = 0;
- 25 x = 7 2x;
- 3 x = -x-2/3.
- 4 1-2x = 1/16;
- 2 x+3 + 3•2 x+1 = 28;
- 6•3 2x – 3 x – 5 = 0;
- 3 2x+5 – 2 2x+7 + 3 2x+4 – 2 2x+4 = 0.
- 2 2x = 91 x ;
- 5 x = -x + 6.
Кроссворд “И в шутку и всерьез”.
По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.
По вертикали:2.Название функции, любой из графиков, которой обязательно пройдет через точку (0;1). 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5.Ученый математик, механик и астроном. Его высказывание о показательной функции напечатано в учебнике перед первым параграфом. 6.Другое название независимой переменной в функции.
Ответы: 1.Корень. 2.Показательная. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.
План-конспект урока на тему «Показательные уравнения»
методическая разработка на тему
Тема урока предназначена для изучения в рамках учебной дисциплины «Математика» студентами 1 курса специальности Программирование в компьютерных системах.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
pokazatelnye_uravneniya.doc | 111 КБ |
Предварительный просмотр:
ГБОУ РМ СПО (ССУЗ) «Зубово-Полянский педагогический колледж»
План-конспект урока по математике
Подготовила и провела: Оркина М.А., преподаватель математики
Зубова Поляна 2014
Тема урока: Показательные уравнения
Продолжительность: 45 минут
- развивать познавательный интерес к математике через содержание учебного материала; развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность, умение правильно формулировать и излагать мысли.
- познакомить студентов с определением показательного уравнения и основными методами решения показательных уравнений.
- воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы и работы товарища; воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля; прививать желание иметь глубокие знания по учебному предмету; воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование: мультимедийный комплекс, презентация, оценочные листы, листы для самостоятельной работы, карточки с домашним заданием.
1. Организационный момент.
Урок я хочу начать притчей: «Однажды молодой человек пришел к мудрецу: «Каждый день по пять раз я произношу фразу «Я принимаю радость в мою жизнь», но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку» — ответил юноша. «Произнеси это 5 раз» «Я выбираю ложку» — послушно произнес юноша 5 раз. «Вот видишь» — сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку.
Вот и вам сегодня надо пополнить свои знания, чтобы потом уметь применять их на практике.
2. Постановка цели и задач. Слайд 2
Тема урока «Показательные уравнения ». А эпиграфом к нашему уроку станут слова Станислава Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». То есть, другими словами, можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то летнего экзамена по математике вам не стоит бояться.
А какие вообще виды уравнений вы знаете? (Рациональные, тригонометрические, иррациональные, логарифмические).
И так как тема нашего урока «Показательные уравнения», то как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке и какие поставим цели? (Познакомиться с показательными уравнениями и способами их решения, частично отработать навыки решения показательных уравнений).
У вас на столах лежат оценочные листы. По мере необходимости вы будет заносить в них баллы за верно выполненные задания, а в конце урока поставите себе оценку, исходя из набранного количества баллов.
3. Актуализация опорных знаний. Слайд 3
- Какая функция называется показательной? (Показательной функцией называется функция y=a x , где а – заданное число, a>0, a≠1)
2. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:
3. Какова область определения функции y= 2 x ? ( Множество всех действительных чисел)
4. Какова область значения функции y= 0,2 x ? (Множество всех положительных чисел)
5. При каком условии показательная функция является возрастающей? (Показательная функция является возрастающей при a>1)
6. При каком условии показательная функция является убывающей? (Показательная функция является убывающей при 0
4. Изложение нового материала. Слайд 4
Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
Начнём со следующего простого вопроса. Уравнение 3 x =9 имеет очевидный корень x = 2. Имеются ли у этого уравнения другие корни?
Легко понять, что других корней нет, поскольку функция y = 3 x является монотонно возрастающей. Каждое своё значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, если отметить на оси ординат точку y = 9, то ей будет соответствовать единственная точка x = 2 на оси абсцисс:
На рисунке показан также единственный корень уравнения 3 x = 4. Он уже не выражается целым числом и равен log 3 4.
Вообще, рассмотрим простейшее показательное уравнение Слайд 5
при a > 0 и a ≠ 1. Показательная функция y = a x монотонна и принимает только положительные значения. Поэтому:
• при любом b > 0 уравнение (1) имеет единственный корень x = log a b;
• при b ≤ 0 уравнение (1) не имеет корней.
Слайд 6 Хочется процитировать слова великого математика Готфрида Лейбница: «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и в последствии подтвердить это, – что, следуя этому методу мы достигнем цели».
Рассмотрим следующие основные методы решения показательных уравнений: приведение степеней к одинаковому основанию, вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, почленное деление.
При решении показательных уравнений мы постоянно пользуемся упомянутыми выше свойствами показательной функции: она монотонна и принимает только положительные значения.
Слайд 7 Задача 1. Решить уравнение: 8 x+2 = 32 1−x .
Решение. Заметим, что 8 = 2 3 и 32 = 2 5 :
(2 3 ) x+2 =(2 5 ) 1-x ,
Поскольку функция y=2 x монотонно возрастает, равенство 2 a =2 b эквивалентно равенству a=b. Следовательно,
Слайд 8 Задача 2. Решить уравнение: 3 x+1 +3 x — 3 x-2 = 35.
Решение. Выносим за скобки степень с наименьшим показателем 3 x-2 :
3 x-2 (3 3 +3 2 -1)=35 ↔ 3 x-2 ·35=35 ↔ 3 x-2 =1.
Последнее равенство запишем как 3 x-2 =3 0 и ввиду монотонности показательной функции заключаем, что x-2=0, то есть x=2.
Слайд 9 Задача 3. Решить уравнение: 4 x -2 x+1 -8= 0.
Решение. Перепишем уравнение следующим образом:
Вводя замену t=2 x , получим квадратное уравнение относительно t:
Находим его корни: t 1 =4, t 2 =-2. Остается сделать обратную замену. Уравнение 2 x =4 имеет единственный корень x=2. Уравнение 2 x =-2 корней не имеет, так как показательная функция y=2 x не может принимать отрицательных значений.
Слайд 10 Задача 4. Решить уравнение: 2·4 x +6·9 x = 7·6 x .
Решение. Подставим в уравнение 4=2 2 , 9=3 2 и 6=2·3:
2·2 2x -7·2 x ·3 x +6·3 2x =0.
Поделим обе части уравнения на величину 3 2x , которая ни при каких x не обращается в нуль. В результате получим равносильное уравнение:
2·(2/3) 2x -7·(2/3) x +6=0.
Дальше действуем так же, как в предыдущей задаче. Замена t=(2/3) x приводит к квадратному уравнению:
Его корни: t 1 =2 и t 2 =3/2. Обратная замена:
5. Закрепление знаний. Слайд 11
М.В.Ломоносов говорил: «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умения».
И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений. Посмотрите, пожалуйста, на доску, и решите простейшие показательные уравнения.
1) Устная работа. Слайд 12
6 x-1 =-6 Корней нет
Все правильно ответившие студенты заносят по 1 баллу в оценочный лист.
Распределите данные уравнения по методам их решения: Слайд 13
Приведение к одному основанию
Вынесение общего множителя за скобки
Введение новой переменной
Все правильно ответившие студенты заносят по 1 баллу в оценочный лист.
Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что «математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому будем сейчас работать самостоятельно, а оценивать работу будет сосед по парте.
2) Самостоятельная работа (дифференцируемая). Слайд 14
Открытый урок по теме: «Показательные уравнения»
Свидетельство
- Образовательные: познакомить студентов с определением показательного уравнения и основными методами решения простейших показательных уравнений;формировать умения и навыки правильно определять и применять эти методы при решении конкретных показательных уравнений.
- Развивающие: применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях; развивать логическое мышление, математическую речь, самостоятельную деятельность студентов, умения анализировать, обобщать, делать выводы, умозаключения.
- Воспитательные: формировать познавательный интерес к дисциплине; воспитывать культуру общения, умение работать в коллективе, взаимопомощи, воспитывать навыки самостоятельности и саморазвития, взаимоконтроля.
- Организационный момент (2 мин.)
- Актуализация знаний (20 мин.)
- Формирование новых знаний ( 30 мин.)
- Первичное закрепление (35 мин.)
- Итог урока, выставление оценок ( 2 мин.)
- Домашнее задание ( 1 мин.)
Ход урока
1.Организационный момент.
Приветствие. Проверка присутствующих и готовности группы к занятию. Информация об особенностях урока.
2. Актуализация опорных знаний.
http://nsportal.ru/shkola/materialy-k-attestatsii/library/2016/01/18/plan-konspekt-uroka-na-temu-pokazatelnye
http://open-lesson.net/5287/