Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| sostavlenie_uravneniy_sfery_ploskosti_pryamoy.docx | 32.08 КБ |
Предварительный просмотр:
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.
Справочный материал и примеры.
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.
Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: 
( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) . 
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0
Общее уравнение плоскости:
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.
Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:
A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0
Уравнение поверхности сферы:
Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)
Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.
(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)
Задания для практической работы:
- Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
- Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + (y —3) 2 + z 2 =100.
- Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
- Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
- Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
- Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
- Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).
- Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
- Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
- Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
- Какой вид имеет общее уравнение прямой?
- Какой вид имеет уравнение сферы?
Конспект по теме «Уравнение плоскости»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Метод координат. Уравнение плоскости.
Нормальный вектор плоскости – любой ненулевой вектор, который лежит на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Существует бесконечное количество нормальных векторов данной плоскости. Если 
– нормальный вектор плоскости, то вектор 
(t≠0) – также нормальный вектор этой плоскости.
Каждый из векторов 
считается нормальным вектором соответственно плоскости Oyz, Oxy, Oxz.
Для определения координат нормального вектора 
достаточно знать уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D =0
Пример : Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(–1;2;–3) и два неколлинеарных вектора 
.
3(x+1) + 28(z+3) – 10(y-2) – (-15(z+3) + 4(y-2) + 14(x+1)) = 0 3x + 3 + 28z + 84 – 10y + 20 + 15z + 45 – 4y + 8 – 14x – 14 = 0
–11x – 14y + 43z + 146 = 0 => 11x + 14y – 43z – 146 = 0.
II. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M0(x0, y0, z0), M1( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), не лежащие на одной прямой.
1 способ: Если точка, лежит на плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости, т.е. подставляем координаты каждой точки в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0 и решаем систему из трёх уравнений.
Пример : Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M(0; 1; 0), N(1; 0; 0),
,
Таким образом, уравнение искомой плоскости примет вид: –Dx – Dy + Dz + D = 0 │: (–D) => x + y – z – 1 = 0.
IV. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0, y0, z0), параллельно плоскости A1x + B1y + C1z + D1 =0.
У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали, поэтому искомое уравнение плоскости будет отличаться от данного только свободным коэффициентом, который можно найти, подставляя координаты точки M в уравнение A1x + B1y + C1z + D = 0.
Урок 11 уравнение плоскости плоскость от лат planum ровная поверхность. План урока
| Название | Урок 11 уравнение плоскости плоскость от лат planum ровная поверхность. План урока |
| Дата | 01.11.2021 |
| Размер | 0.96 Mb. |
| Формат файла |  |
| Имя файла | 259929.pptx |
| Тип | Урок #260447 |
| Подборка по базе: Анализ урока Русско-японская война.docx, КОНСПЕКТ УРОКА_ТРЕВОЖНОСТЬ.docx, План урока.doc, Цифровая грамотность урок.docx, 3 урок Перестановка элемента массива.docx, -Template- Урок №8.docx, Иказ 5 кл. урок № 1.docx, 8 урок 6 класс.docx, 65 урок.docx, естествознание 34 урок 21.docx 1 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве. 2 Вывод формулы уравнения плоскости. 3 Решение задач о нахождении уравнения плоскости. Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Вектор нормали прямой – это вектор, который перпендикулярен данной прямой. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве. Частные случаи уравнения прямой Частные случаи уравнения плоскости Частные случаи уравнения прямой Частные случаи уравнения плоскости Если плоскость проходит через начало координат, то d=0 Если прямая проходит через начало координат, то с=0 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору нормальный вектор плоскости Общее уравнение плоскости Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то Уравнение плоскости в отрезках Частные случаи уравнения плоскости 1) Запишите уравнения плоскостей по рисунку и координаты вектора нормали В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1 2) Запишите уравнения плоскости по рисунку, укажите вектор нормали по гипотенузе и катету Предложите как лучше выбрать систему координат? 3) Напишите уравнение плоскости (D1B1C), укажите вектор нормали, если представленная фигура куб 4) Напишите уравнение плоскости (АМC), укажите вектор нормали, если представленная фигура прямоугольный параллелепипед Введем систему координат как показано на рисунке Задача 5(6): Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали. Сложив 1 и 3 уравнение системы получим уравнение с 3-мя неизвестными a, b, d Получили уравнение, которое «созвучно» со 2 уравнением системы с 3-мя неизвестными a, b, d, умножим на 2 данное уравнение и сложим его со 2 уравнением (для того чтобы избавиться от переменной а) Цель – выразить каждую из трех переменных a, b, с через d Проверка правильности составленного уравнения плоскости (подставим координаты точек в данное уравнение плоскости) Запишем координаты вектора нормали к плоскости Составить уравнение плоскости: А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1) 1) Работаем с первым уравнением системы, умножим на 4 и сложим со вторым (избавимся от переменной а) 2) Работаем с первым уравнением системы, умножим на 3 и сложим с третьим (избавимся от переменной а) 1) и 2) позволило получить два уравнения с тремя неизвестными (избавились от переменной а) 3) Работаем с полученными уравнениями (избавимся от переменной b), для этого первое уравнение умножим на (-7), а второе на 10 и сложим, получили уравнение с двумя неизвестными 0) система содержит четыре неизвестных 4) Выразим с через d 5) Подставим (4) в (1) и выразим b через d 6) Подставим (5) во второе уравнение исходной системы и выразим а через d 7) Подставим (4);(5);(6) в общее уравнение плоскости Разделим обе части уравнения на d, и умножим на (-14) Проверка правильности составленного уравнения плоскости (подставим координаты точек в данное уравнение плоскости) Уравнение плоскости проходящей через три точки А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1) имеет вид: Домашнее задание с урока 11: Знать уравнение плоскости, вектор нормали к плоскости, выбрать произвольные три точки, заданные в системе координат в пространстве, составить уравнение плоскости (2 задачи), задача ниже 3) Напишите уравнение плоскостей, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда и (ВЕК). Укажите для каждой плоскости вектор нормали. Подумайте как легче ввести в этом случае систему координат (какую вершину выбрать началом координат, подскажет (ВЕК)). источники: http://infourok.ru/konspekt-po-teme-uravnenie-ploskosti-5456886.html http://topuch.ru/urok-11-uravnenie-ploskosti-ploskoste-ot-lat-planum-rovnaya-po/index.html |