План решения уравнения графическим способом

Конспект урока «Графический способ решения уравнений»
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Конспект урока по алгебре для уч-ся 8 класса, где целью является закрепить навыки построения графиков функций.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План–конспект урока по алгебре в 8 классе

«Графический способ решения квадратных уравнений»

Учитель высшей квалификационной категории

Мулдашева Алия Рахметдуллаевна

Мулдашева Алия Рахметдуллаевна МБОУ «Тумакская СОШ» Астраханская область

Тема: «Графический способ решения квадратных уравнений»

1. Образовательные : познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = , у = х 2 , закрепить навыки построения графиков функций.

2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.

Тип урока: урок формирования знаний.

Вид урока: урок – практикум.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2. Актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.

3. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.

4. Закрепление изученного материала.

5. Практическая работа с использованием компьютеров.

6. Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических аппаратов

7. Подведение итогов урока.

8. Творческое домашнее задание.

I. Мотивационная беседа.

Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» — знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике.

Цель урока — познакомить вас еще с одним способом решения квадратных уравнений – графическим, закрепить этот способ решения практической работой с использованием компьютеров.

У вас находятся одинаковые трафареты, состоящие из 10 комбинаций, которые обозначены римскими цифрами.

В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда сложится фраза. Но на трафарете нет места для самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив графические уравнения. У нас получится крылатое изречение из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин». Следует вам ответить на соответствующие тестовые задания I –X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный ответ.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Линию, являющуюся графиком функции у = х 2 , называют…

?) синусоидой; 🙂 гиперболой; …) параболой.

2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х 2 возрастающей на отрезке [a; в], если:

3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х 2 :

М(3; 9), Ж(5; 5), С(-100; -100), Н(-2; 4), О 1 (-1; 1),

Г(0; 0), В(-7; 7), А(2; 8), О 2 (2; 4).

4. Графиком функции является …

а) прямая; б) отрезок; в) гипербола; г) ветвь параболы.

5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

в) 5х + 1 = 0. к) х 3 – 2х 2 + 1 = 0. н) 5 – 8х = 0.

э) 2х 2 – 9х + 5 = 0. з) 2х ─ = 0. м) х 2 + 3х + 2 = 0.

т) 3х 2 – 5х – 8 = 0. о) х 2 + 5х – 6 = 0.

б) Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

к) 2х 2 – 9х + 5 = 0. в) х 2 – 4х 2 + 3 = 0. о) 3х 2 + 5х + 2 = 0.

л) 3х 2 – 4х – 7 = 0. ф) 3х 2 – 2х – 5 = 0. к) х 2 + 6х + 8 = 0.

з) х 2 – 14х + 49 = 0. у) х 2 – 10х + 25 = 0. е) х 2 + 11х – 12 = 0.

III. Изучение нового материала.

Решим уравнение: х 2 + 2х – 3 = 0.

Какое это уравнение?

Как это уравнение можно решить?

Ответ : С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

Можно его решить устно?

Ответ : Можно, по теореме Виета.

Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим данное уравнение в следующем виде:

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x), равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х 2 и g(x)=-2х+3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х 2 и

Для этого составим таблицы их значений.

f(x) = х 2 ─ парабола

g(x) = ─ 2х + 3 ─ прямая

А(-3;9) и В(1;1)-точки пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

Значит х = -3 и х = 1 – решение уравнения х 2 + 2х – 3 =0

Ответ : так) х = ─ 1 и х = 3

для) х = ─ 3 и х = 1

вот) х = ─ 5 и х = 0

Рассмотрим алгоритм решения.

1. дано уравнение х 2 + 2х – 3 = 0.

2. представим уравнение в следующем виде х 2 = ─ 2х + 3.

3. в одной системе координат строятся графики функций

у 1 = х 2 и у 2 = ─ 2х + 3.

4. абсциссы точек пересечения являются решением данного уравнения

IV. Закрепление изученного материала.

1). Решить уравнение х 2 – х – 2 = 0. x [-5; 5] с шагом 0,5

у 1 = х 2 у 2 = х + 2

Ответ : души) х = — 2 и х = 1

школы) х = 3 и х = 1

сердца) х = 2 и х = — 1.

2). Решить самостоятельно.

1. х 2 – 2х – 8 = 0 x [-5; 5] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью теоремы Виета.

Ответ : широкого) х = 5 и х = 1;

русского) х = 4 и х = — 2;

красного) х = 3 и х = — 1.

1. 2х 2 + х – 3 = 0 x [-4; 4] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью квадратных корней

Ответ : слилось) х = 1 и х = -1,5;

расцвело) х = 3 и х = — 2;

приснилось) х = -1 и х = 2.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

V. Практическая работа.

Раздаются учащимся дифференцированные задания на карточках.

С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных промежутках, получаются буквы: М; О; С; К; В; А. и фигуры: КИТ; ЗОНТИК; ОЧКИ. (см. приложение к уроку).

Учитель: Какие буквы у вас получились?

Ответы учащихся: М О С К В А

Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа «Евгений Онегин» «Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось».

(Как часто в горестной разлуке,

В моей блуждающей судьбе,

Москва, я думал о тебе!

Москва … как много в этом звуке

Для сердца русского слилось!

Как много в нём отозвалось.)

VI. Обогащение знаний.

Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.

а) мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: «Полёт–это математика». Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3) При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты «Пионер-10», «Пионер-11»,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория «Пионера», схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

б) графики помогают нам наглядно увидеть изменения различных величин: изменение роста, веса, температуры, скорости и т.д.

Вот посмотрите на эти графики, характеризующие ваш класс:

1. График успеваемости (Знание – сила. Кто много читает, тот много знает – пословица.

2. График роста, график веса учащихся 8-го класса.

Чтобы достичь нормального веса и роста подростку 15-ти лет нужно заниматься спортом, вести здоровый образ жизни, не увлекаться пагубными привычками: алкоголем, табакокурением, наркотиками. Никогда не забывать пословицу «В здоровом теле здоровый дух»

VII. Подведение итогов урока.

Вы замечательно поработали на уроке. Проверив ваши работы и учитывая ваши ответы за устную работу, я поставила вам оценки в индивидуальную таблицу.

Каждый ученик класса принимал участие в уроке. Во время урока заполняется индивидуальная таблица, в которой виден результат его работы на уроке.

План-конспект урока «Графический способ решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

План–конспект урока по алгебре в 8 классе

«Решение квадратных уравнений графическим способом»

Учитель высшей квалификационной категории

Гуляева Ульяна Ивановна

«Математика – это язык, на котором

говорят все точные науки»

Н. И. Лобачевский.

«Решение квадратных уравнений графическим способом»

Учитель высшей квалификационной категории

Гуляева Ульяна Ивановна

«Математика – это язык, на котором

говорят все точные науки»

Н. И. Лобачевский.

Тема: «Решение квадратных уравнений графическим способом»

1. Образовательные : познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = , у = х 2 , закрепить навыки построения графиков функций.

2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.

Тип урока: урок формирования знаний.

Вид урока: урок – практикум.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2. Актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.

3. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.

4. Закрепление изученного материала.

5. Практическая работа с использованием компьютеров.

6. Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических аппаратов

7. Подведение итогов урока.

8. Творческое домашнее задание.

I . Мотивационная беседа.

Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» — знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике.

Итак, запишите в тетрадь число и тему урока. Сегодня необычный день, 25 января – Татьянин день. Это день всех студентов, день молодости.

Цель урока — познакомить вас еще с одним способом решения квадратных уравнений – графическим, закрепить этот способ решения практической работой с использованием компьютеров.

У вас находятся одинаковые трафареты, состоящие из 10 комбинаций, которые обозначены римскими цифрами.

В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда сложится фраза. Но на трафарете нет места для самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив графические уравнения. У нас получится крылатое изречение из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин». Следует вам ответить на соответствующие тестовые задания I – X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный ответ.

II . Актуализация опорных знаний.

1. Линию, являющуюся графиком функции у = х 2 , называют…

?) синусоидой; 🙂 гиперболой; …) параболой.

2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х 2 возрастающей на отрезке [ a ; в], если:

3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х 2 :

М(3; 9), Ж(5; 5), С(-100; -100), Н(-2; 4), О ₁ (-1; 1),

4. Графиком функции является …

а) прямая; б) отрезок; в) гипербола; г) ветвь параболы.

5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

в) 5х + 1 = 0. к) х 3 – 2х 2 + 1 = 0. н) 5 – 8х = 0.

э) 2х 2 – 9х + 5 = 0. з) 2х ─ = 0. м) х 2 + 3х + 2 = 0.

т) 3х 2 – 5х – 8 = 0. о) х 2 + 5х – 6 = 0.

б) Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

к) 2х 2 – 9х + 5 = 0. в) х 2 – 4х 2 + 3 = 0. о) 3х 2 + 5х + 2 = 0.

л) 3х 2 – 4х – 7 = 0. ф) 3х 2 – 2х – 5 = 0. к) х 2 + 6х + 8 = 0.

з) х 2 – 14х + 49 = 0. у) х 2 – 10х + 25 = 0. е) х 2 + 11х – 12 = 0.

III . Изучение нового материала.

Решим уравнение: х 2 + 2х – 3 = 0.

Какое это уравнение?

Как это уравнение можно решить?

Ответ : С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

Можно его решить устно?

Ответ : Можно, по теореме Виета.

Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим данное уравнение в следующем виде:

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f ( x ), равной левой части уравнения и g ( x ), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f ( x )= g ( x ), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f ( x ) и графику функции g ( x ). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f ( x )=х 2 и g ( x )=-2х+3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f ( x ) = х 2 и

Для этого составим таблицы их значений.

f(x) = х 2 ─ парабола

g(x) = ─2х + 3 ─ прямая

х = -3, х = 1.

А(-3;9) и В(1;1)-точки пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

Значит х = -3 и х = 1 – решение уравнения х 2 + 2х – 3 =0

Ответ : так) х = ─ 1 и х = 3

для) х = ─ 3 и х = 1

вот) х = ─ 5 и х = 0

Рассмотрим алгоритм решения.

1. дано уравнение х 2 + 2х – 3 = 0.

2. представим уравнение в следующем виде х 2 = ─ 2х + 3.

3. в одной системе координат строятся графики функций

у ₁ = х 2 и у ₂ = ─ 2х + 3.

4. абсциссы точек пересечения являются решением данного уравнения

IV . Закрепление изученного материала.

1). Решить уравнение х 2 – х – 2 = 0. x [-5; 5] с шагом 0,5

Ответ : души) х = — 2 и х = 1

школы) х = 3 и х = 1

сердца) х = 2 и х = — 1.

2). Решить самостоятельно.

х 2 – 2х – 8 = 0 x [-5; 5] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью теоремы Виета.

Ответ : широкого) х = 5 и х = 1;

русского) х = 4 и х = — 2;

красного) х = 3 и х = — 1.

2х 2 + х – 3 = 0 x [-4; 4] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью квадратных корней

Ответ : слилось) х = 1 и х = -1,5;

расцвело) х = 3 и х = — 2;

приснилось) х = -1 и х = 2.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

V . Практическая работа.

Раздаются учащимся дифференцированные задания на карточках.

С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных промежутках, получаются буквы: М; О; С; К; В; А. и фигуры: КИТ; ЗОНТИК; ОЧКИ

Учитель: Какие буквы у вас получились?

Ответы учащихся: М О С К В А

Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа «Евгений Онегин» «Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось».

(Как часто в горестной разлуке,

В моей блуждающей судьбе,

Москва, я думал о тебе!

Москва … как много в этом звуке

Для сердца русского слилось!

Как много в нём отозвалось.)

VI . Обогащение знаний.

Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.

а) мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: «Полёт–это математика». Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3) При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты «Пионер-10», «Пионер-11»,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория «Пионера», схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

б) графики помогают нам наглядно увидеть изменения различных величин: изменение роста, веса, температуры, скорости и т.д.

Вот посмотрите на эти графики, характеризующие ваш класс:

1. График успеваемости (Знание – сила. Кто много читает, тот много знает – пословица.

2. График роста, график веса учащихся 8-го класса.

Чтобы достичь нормального веса и роста подростку 15-ти лет нужно заниматься спортом, вести здоровый образ жизни, не увлекаться пагубными привычками: алкоголем, табакокурением, наркотиками. Никогда не забывать пословицу «В здоровом теле здоровый дух»

VII . Подведение итогов урока.

Вы замечательно поработали на уроке. Проверив ваши работы и учитывая ваши ответы за устную работу, я поставила вам оценки в индивидуальную таблицу.

Каждый ученик класса принимал участие в уроке. Во время урока заполняется индивидуальная таблица, в которой виден результат его работы на уроке.

Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто». Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую домашнюю работу.

VIII . Домашнее задание.

Творческое задание: составить рекламу параболе или гиперболе;

сочинить сказку или рассказ на тему «Замечательные

В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

— Что нового узнали на уроке?

— Понравился ли урок? (с помощью сигнальных карточек)

— Что понравилось на уроке?

— Что не понравилось?

— Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?

Краткое описание документа:

Тема: «Решение квадратных уравнений графическим способом»

1. Образовательные : познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = , у = х2, закрепить навыки построения графиков функций.

2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.

Тип урока: урок формирования знаний.

Вид урока: урок – практикум.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.

Методика организации решения уравнений графическим способом как средство формирования графических умений у учащихся

Разделы: Математика

Графический метод обладает рядом преимуществ:

• он часто проще аналитического;
• обладает наглядностью. Особенно когда нет решений или требуется установить количество корней.
• он красив и доставляет эстетическое наслаждение. Выполнять графики нужно в цвете. Это помогает в выборе ответа.

Умение строить графики функций не является самоцелью. Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая или упрощая аналитические выкладки и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Графический метод решения способствует лучшему усвоению ряда понятий: функции, корней уравнения и неравенства, систем уравнений. При этом целесообразно при графическом решении уравнений устанавливать связи с такими свойствами функций как возрастание и убывание, знакопостоянство, обращение функции в ноль и т.д., что помогает глубже понять функциональную зависимость между величинами. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить график представляет большой самостоятельный интерес. Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявляемых на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков нередко вызывают затруднения у учащихся.

Для того, чтобы по графикам можно было получать достаточно приемлемые числовые ответы, графики должны быть особенно тщательно построены. Решается задача организации работы таким образом, чтобы выработать навыки быстрого построения графиков элементарных функций и их преобразований. Работа над формированием графических умений начинается с 5-го класса.

Изящно выполненная работа способствует развитию чувства красоты, удовлетворения от проделанной работы.

Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу.

Цель – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построение их графиков, применением их к решению уравнений, их систем.

В требованиях к уровню подготовки выпускников по разделу «Функции и графики» прописано:

• решать уравнения, системы уравнений, используя свойства функций и их графические представления;
• находить приближённые решения уравнений и их систем, используя графический метод.

В преподавание алгебры по учебнику под редакцией А.С.Теляковского. Линейная функция и функции у=х 2 , у=х 3 изучаются в 7 классе. Практически не вырабатываются навыки в применении графиков этих функций. Единственное упражнение: найти координаты точек пересечения графиков функций у=8,5х и у=0,5х-19,5. графики линейных функций только иллюстрируют решение систем линейных уравнений.

Автор вводит некоторые упражнения, необходимые в дальнейшем при решении уравнений и их систем:

— постройте в одной и той же координатной плоскости а) у=х 2 ; у=4; б) у=х 2 ; у=2х.

— изобразите схематически графики функций у = -0,9х + 4; у = 2,3х; у = х/10 . Но упражнения вводятся как дополнительные. И в «Задачах повышенной трудности» (в конце учебника) есть уравнения, которые тоже можно решать графическим способом: |х -3| = 7; |х+2| = 9; |4 — х| = 1,5.

В 8 классе изучаются функции у = к/х; у =. Представлены функции у = 4/|х|, у = -6/|х|.

— Могут ли графики функций у=к/х и у = ах +в пересекаться

а) в одной точке;

б) в двух точках;

в) в трёх точках.

— Могут ли графики функций у = к/х и у = ах +в пересекаться в двух точках, лежащих

а) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях.

Опять же эти упражнения в дополнительных.

В 8 классе обучающихся знакомят с графическим способом решения уравнений (8/х = -х+6; (8/х = х 2 ). Появляются уравнения третьей степени, которые не решаются аналитическим способом. (х 3 — х + 1 = 0; х 3 + 2х — 4=0) На изучение этой темы отводится 1 час.

В 9 классе подробно изучается квадратичная функция и её график. Получены обучающимися представления о преобразовании графического объекта относительно осей координат. Именно в это время отрабатываются навыки в построении параболы. Но данные преобразования почти не переносятся на преобразования других графических объектов. Хотя есть два упражнения, которые соотносятся с заданиями, встречающимися в материалах ЕГЭ.

На рисунке изображён график одной их функций . Какой именно?

— Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке, является графиком функции у = |х -2|

Сделаны попытки преобразования графических объектов.

— Какие преобразования надо выполнить, чтобы

а) из графика функции у=х 3 получить графики функций у = — х 3 ; у = (х-3) 3 ; у = х 3 + 4.

б) из графика функции у = получить графики функций у = — ;

— Постройте в одной координатной плоскости графики функций у = | х|; у =|х -4| ; у = |х -4|-3.

В учебнике 9 класса в главе «Целое уравнение и его корни» упоминается графический способ уравнений третьей и более высокой степени как один из способов наряду с разложением на множители.

Поэтому: уже в 7 классе строим графики функций у = | х| — 3, у = 4 — | х|; у =|х +4|; у = | х — 3|.

При построении параболы вводим первые преобразования:

— построить графики функций у = х 2 +3; у=х 2 -5, где смещение по оси ординат. А затем у = (х+2) 2 ; у = (х-1) 2 . Конечно, не все ученики усваивают, впрочем, как и всё содержание материала. Для успешных учеников это не сложно. Тем более это только пропедевтика.

В 8-м классе: Урок-практикум.

Тема: «График функции у = . Графический способ решения иррациональных уравнений»

Цель: отработать навыки в преобразовании графика функции у = , закрепить умения графически решать иррациональные уравнения.

I. Фронтально

1). Схематически в одной системе координат изобразить графики функций

2). Решить уравнения

II. Построить графики функций

III. Решение уравнений

X 2 -3 =

В 8 классе строим преобразования гиперболы и графика функции у = .

Упражнения взяты из «Сборника задач по алгебре 8-9 класса» М.Л.Галицкого, А.И.Звавича. Уже на факультативных занятиях или занятиях кружка решаем уравнения с параметром |х 2 -2х-3| = а. Определить, при каком а уравнение имеет три корня. Строим графики функций у = |х 2 -2х-3|; у = а. Получаем ответ а = 4.

В 9 классе больше занимаемся исследованием квадратного трёхчлена. Формулы функций усложняю. Рассматриваем графики вида у = (х 2 -2) 2 — (х 2 -1) 2 ;

Необычность конструкций, разрыв графиков, удаление точек вызывает некоторую удивлённость. Тем самым преодолевается стандартность мышления, развивается воображение, повышается интерес: а что ещё может получиться? В каких случаях?

Уравнения, решаемые графическим способом.

I. Решение уравнений Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени большей 2.