2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;
3) площади и уравнения граней;
4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;
5) основания и точка пересечения медиан (центроид);
6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;
7) объём пирамиды;
8) основания, площади и уравнения биссекторов;
9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;
10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
A ( ; ; ), B ( ; ; ), C ( ; ; ), D ( ; ; )
Примечание: дробные числа записывайте через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды
Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид
Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
Тетраэдры. Правильные тетраэдры
Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды
Пирамиды
Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A1A2 . An , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .
Определение 1. Пирамидой ( n — угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A1A2 . An (рис. 1) .
Точку S называют вершиной пирамиды.
Точки A1 , A2 , . , An , S часто называют просто вершинами пирамиды.
Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.
Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.
Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.
Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.
Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:
число вершин
+
число граней
–
число ребер
=
2
число вершин
+
число граней
–
число ребер
=
2
число вершин
+
число граней
–
–
число ребер
=
2
Доказательство. Заметим, что у n — угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n — угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.
то теорема Эйлера доказана.
Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
Замечание 2. Если центр основания A1A2 . An правильной пирамиды SA1A2 . An обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .
Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .
На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SAnAn-1 и отрезок SC – апофема грани SA2A1 .
Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.
Свойства правильной пирамиды:
Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.
У любой правильной пирамиды все апофемы равны.
Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.
Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.
Тетраэдры. Правильные тетраэдры
Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.
Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.
Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.
Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).
Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .
Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,
где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).
,
.
По теореме Пифагора из треугольника BSO находим
Ответ.
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды
Введем следующие обозначения
V
объем пирамиды
Sбок
площадь боковой поверхности пирамиды
Sполн
площадь полной поверхности пирамиды
Sосн
площадь основания пирамиды
Pосн
периметр основания пирамиды
Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды :
Пирамида
Рисунок
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Произвольная пирамида
,
Правильная n – угольная пирамида
Правильный тетраэдр
Произвольная пирамида
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
,
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
Площадь и уравнение грани abc
Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут
Неправильный логин или пароль.
Укажите электронный адрес и пароль.
Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.
Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.
Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль
Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.
Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид
,
.
,
