Площадь треугольника через уравнения прямых калькулятор

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь треугольника. Для нахождения площади треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Площадь треугольника по основанию и высоте

Любой из сторон треугольника можно называть основанием треугольника. Если основание выбрана, то под словом «высота» понимают высоту треугольника, проведенную к основанию (Рис.1):

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Пусть AC основание треугольника ABC (Рис.2).

Проведем высоту BH. Обозначим через S площадь треугольника. Докажем, что

Из вершины B проведем прямую, параллельную стороне AC, а из C − прямую, параллельную стороне AB. Поскольку \( \small AC \ || \ BD \) и \( \small AB\ || \ CD \), то ABDC является параллелограммой и, следовательно, \( \small AC \ = \ BD \), \( \small AB\ = \ CD . \) Тогда треугольники ABC и BCD равны по трем сторонам (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Так как площадь параллелограмма ABDC равна \( \small S_=AC \cdot BH, \) то площадь треугольника ABC (и BCD)равна половине площади параллелограмма:

Следствие 1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

,

,

Обозначим через k отношение

.

То есть отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.

Следствие 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Действительно. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу, то один из них можно определить как основание, а другой − как высоту. Тогда по теореме 1, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Обозначим через S площадь треугольника ABC и пусть a=BC, b=AC (Рис.3). Докажем, что

.

Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, полученной выше (теорема 1):

,

(1)

где h − высота треугольника.

,

(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

(3)

Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам

Пусть известна сторона треугольника и две прилежащие углы (Рис.4).

Найдем формулу площади этого треугольника. Обозначим через S площадь треугольника. Если у треугольника известны два угла, то можно найти и третий угол:

(4)

Найдем сторону b используя теорему синусов:

,

.

(5)

В предыдующем параграфе мы вывели площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Подставляя (4) и (5) в (3), получим:

.

.

(6)

Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона:

,

(7)

где a, b, c − стороны треугольника, а p − полупериод треугольника:

.

Доказательство формулы Герона. На рисунке 5 треугольник ABC имеет стороны a=BC, b=AC, c=AB. Проведем высоту h=AH. Обозначим x=CH. Тогда BH=a−x. Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и AHB:

(8)

(9)

Из (8) и (9) следует:

Откуда находим x:

,

(10)

Подставляя (10) в (8) найдем h:

(11)

Тогда площадь треугольника равна:

(12)

Преобразовав (12) получим формулу (7):

.

Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности

Пусть известны все три стороны треугольника и радиус описанной окружности (Рис.6). Докажем, что площадь треугольника равна: \( \small S=\frac<\large abc><\large 4R>. \)

Онлайн калькулятор. Площадь треугольника

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь треугольника в зависимости от имеющихся у вас данных.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади треугольника, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.

Найти площадь треугольника

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби 3, 0.4, 5/7. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Если у вас возникли трудности с преобразованием единиц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши и на клавиатуре.

Вы можете найти площадь треугольника если знаете следующие параметры:

1. Длины трех сторон (используя формулу Герона)
2. Длины двух сторон и значение угла между ними
3. Длины стороны и опущенной на нее высоты
4. Длины трех сторон и радиус описанной окружности
5. Длины трех сторон и радиус вписанной окружности
6. Длина полупериметра и радиус вписанной окружности
7. Длина двух сторон и одного угла треугольника
8. Длина одной стороны и двух углов треугольника
9. Радиус описанной окружности и два угла треугольника

Теория. Площадь треугольника

Формули площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
   

   S =	1	a · h
   	2

2. Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √ p ( p — a )( p — b )( p — c )