Площади оснований призмы описываются уравнением

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_<осн>$ — периметр основания;

$S_<осн>$ — площадь основания;

$S_<бок>$ — площадь боковой поверхности;

$S_<п.п>$ — площадь полной поверхности;

$h$ — высота призмы.

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

$S=/<2>$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
$S=/<2>$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
Формула Герона $S=√$, где $р$ — это полупериметр $p=/<2>$
$S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
$S=/<4R>$, где $R$ — радиус описанной окружности
Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ — длина стороны.

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$<1>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<√3>/<2>$
$cosα$	$<√3>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<1>/<2>$
$tgα$	$<√3>/<3>$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$<√3>/<3>$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Площадь	Формула
основание	» data-order=»«>
боковая поверхность
полная	» data-order=»«>

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

Площадь	Формула
основание
боковая поверхность
полная

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Площадь	Формула
основание	» data-order=»«>
боковая поверхность
полная	» data-order=»«>

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см 2 . Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

Площадь основания призмы: от треугольной до многоугольной

Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник — от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Треугольная призма

Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если треугольник прямоугольный, то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

Чтобы узнать площадь основания треугольной призмы в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Четырехугольная призма

Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .

В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н_а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н_а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н_а противолежащая к этому углу.

Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d₁ d₂. Здесь d₁ и d₂ — две диагонали ромба.

Правильная пятиугольная призма

Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

Правильная шестиугольная призма

По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней площадь равностороннего треугольника следует умножать на шесть.

Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.

Задачи

№ 1. Дана правильная прямая четырехугольная призма. Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 — н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 — н 2 )/2.

Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .

Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .

Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности — 960 см 2 .

№ 2. Дана правильная треугольная призма. В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.

Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .

Ответ. Площади: основания — 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы — 180 см 2 .

источники:

http://microexcel.ru/ploshad-pravilnoy-prizmy/

http://fb.ru/article/235032/ploschad-osnovaniya-prizmyi-ot-treugolnoy-do-mnogougolnoy